第24章 数据的分析 单元复习 2025-2026学年人教版数学八年级下册易错题重难点讲义

该初中数学《数据的分析》单元复习讲义通过知识框架图系统梳理统计量核心知识，涵盖算术平均数、加权平均数、中位数、众数、方差及四分位数与箱线图，并用对比表格呈现各统计量的定义、特点与适用场景，清晰构建知识内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，基础题型如平均数计算用基准数法简化运算，提升题型通过“数据变换后统计量规律”培养推理意识，培优题型结合箱线图分析学生锻炼时长等实际数据发展数据意识。易错点总结和解题步骤助力学生自主复习，教师可依此实施分层教学提升效率。

第24章 数据的分析 知识点1平均数 1.算术平均数 对于个数据，平均数。 特点：充分利用所有数据信息，易受极端值影响。 2.加权平均数 若出现次，出现次，…，出现次（），则 。 其中叫做权，反映对应数据的重要程度。 知识点2中位数与众数 统计量 定义 特点 中位数 将数据按大小排序后，奇数个数据取最中间的数；偶数个数据取最中间两个数的平均数 代表数据的中等水平，受极端值影响小 众数 一组数据中出现次数最多的数据 代表数据的多数水平；可以有多个，也可以没有 知识点3方差 1.定义：各个数据与平均数差的平方的平均数，记作。 公式： 2.意义：方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，数据波动越小，越稳定。 3.数据变换后的规律 原数据变换方式 新平均数 新方差 每个数据加常数 （不变） 每个数据乘常数 每个数据乘再加 知识点4统计量的选用对比 统计量 优势 局限 适用场景 平均数 利用全部数据信息，应用最广 易受极端值干扰 数据分布均匀，关注整体平均水平 中位数 计算简便，抗极端值能力强 无法体现全部数据信息 存在极端值，关注中等水平 众数 贴合多数情况，符合实际需求 频次相近时无参考意义 进货、投票等关注最普遍结果的场景 知识点5四分位数与箱线图 1.四分位数：将排序后的数据四等分，三个分点依次为下四分位数（25%分位数）、中位数（50%分位数）、上四分位数（75%分位数）。 2.箱线图：由最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值五个部分组成，直观展示数据的分布范围与集中趋势。 【易错题型】 【题型1】中位数计算未排序与众数多解辨析 1.易错点总结 求中位数时未对数据排序，直接取原序列中间位置的数。 误认为众数唯一，忽略多个数据出现次数并列最多时，众数有多个；所有数据出现次数相同时无众数。 数据个数为偶数时，误取中间两个数中的一个作为中位数，忘记计算平均数。 2.纠错技巧 中位数口诀：先排序，定奇偶，奇取中，偶取均。 众数判断：先统计每个数据的出现次数，次数最多且并列的均为众数；所有数据次数相同则没有众数。 【例题1】.（2026·福建福州·模拟预测）某篮球队14名队员的年龄情况如表，则这些队员年龄的中位数是（     ） 年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18 人数 3 1 5 3 2 A．15 B．15.5 C．16 D．16.5 【答案】C 【分析】根据中位数的定义求解，先确定数据总数，再找到排序后中间位置的两个数，计算其平均数即可得到中位数． 【详解】解：∵一共有14名队员，即共有14个数据，且数据已经按年龄从小到大排序， ∴中位数是排列后第7个和第8个数据的平均数， ∵累计人数：14岁共3个，15岁累计个，16岁累计个， ∴第7个和第8个数据都是16， ∴中位数为． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·福建厦门·阶段检测）某校组织八年级期末体育测试，抽查了部分学生每分钟跳绳次数（单位：次）．将所得数据统计如表所示（每组只含最低值，不含最高值）．该样本的中位数落在第________组 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 人数 【答案】 三 【分析】先计算样本总人数，再根据中位数的定义确定中位数对应的位置，最后判断中位数所在的组别． 【详解】解：计算抽查的总人数，可得，总数据个数为偶数， 因此中位数是数据排序后第位和第位数据的平均数， 累加各组人数可得，第一组共有个数据，前两组共有个数据，前三组共有个数据， 因此第个和第个数据都落在第三组，该样本的中位数落在第三组． 【变式题1-2】.（2026·四川攀枝花·中考真题）我国光伏产业技术全球领先，光伏组件产品出口到全球200多个国家和地区，成为中国制造的一张“亮丽名片”．某光伏组件销售公司为了调动销售员工的积极性，决定设置一个适当的季度销售额目标，若完成目标，可获得奖励．现有20名销售员工一季度的销售额如下：（单位：万元） 43，50，67，64，40，42，51，62，58，75， 34，61，42，73，62，72，56，36，50，62． （注：数据分组时，每组的起点值属于本组，终点值属于下一组） (1)这组数据的众数为__________，中位数为__________．若将众数作为季度销售额目标，则一季度有__________名员工可获得奖励； (2)请补全频数分布直方图； (3)销售部对数据进行分析后，决定对一半的销售员工进行奖励，某销售员工一季度的销售额为56万元，他能获得奖励吗？请说明理由． 【答案】(1)62；57；8 (2)组的频数为，补全频数分布直方图如下： (3)该员工不能获得奖励，理由如下： ∵决定对一半的销售员工进行奖励，即奖励销售额最高的名员工，由（1）可知，这组数据的中位数为57万元， ∴销售额高于57万元的有10名员工， ∵56万元57万元， ∴该员工不能获得奖励． 【分析】（1）根据数据中个数最多的即为众数可得众数为62，将数据从小到大排列后，取第10个和第11个数据的平均数即为中位数，根据数据中高于62万元的个数即可得获奖人数； （2）由数据可得组的频数为4，即可补全频数分布直方图； （3）由奖励一半的员工，可得以中位数为奖励目标，由中位数为57万元，即可判断． 【详解】（1）解：由数据可得个数最多的是62，则众数为62； ∵共有20个数据，将数据从小到大排列后，第10个与第11个数据分别为56，58， ∴中位数为； ∵将众数作为季度销售额目标，数据中销售额万元的有8个， ∴一季度有8名员工可获得奖励． （2）略 （3）略 【变式题1-3】.（2026·吉林长春·模拟预测）为了解学生的体育锻炼情况，慧谷学校九年级以“活力校园—初中生运动时长探究”为主题开展调查研究，该年级随机抽取了A、B两个班，通过问卷收集了A、B两个班学生的平均每周锻炼时长数据，现从这两个班级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． 【数据收集】 A班：8，7，12，8，7，5，6，8，6，13； B班学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下： 【数据整理、分析】 班级 平均数 中位数 众数 方差 A班 8 a 8 6 B班 b 8.5 9 1.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)①填空： _________； _________； ②小红对小丽说：“虽然平均每周锻炼时长我俩都是8小时，但我在我们班中的排名比你在你们班的排名靠前．”（锻炼时间越长，排名越靠前）根据以上信息可知小红是_________班的学生．（填“A”或“B”） (2)从B班中再随机抽取一名学生，若该生平均每周锻炼时长为8小时，将这个数据加入到原数据中，得到一组新数据．下列指标中，与原数据相比，新数据中发生变化的是_________．（填序号） ①平均数    ②中位数    ③众数 (3)若九年级有800名学生，请你结合A、B两班调查数据，估计九年级学生中平均每周锻炼时长不低于8小时的学生人数． 【答案】(1)①7.5；8；②A (2)② (3)人 【分析】（1）①根据中位数和平均数的定义进行计算即可；②比较两个班级的中位数与8小时的大小关系，结合中位数的定义进行判断即可； （2）把原数据和新数据列出来，再按照平均数、中位数和众数的定义求解即可； （3）用样本估计总体的方法求解． 【详解】（1）解：①将A班的数据从小到大重新排列得：， ， ，，，，，，，， 其中第5个数为，第6个数为， ∴A班的中位数为，即， B班的平均数； ②：由①可知，A班的中位数为，B班的中位数为 ， ∵， ∴锻炼时长8小时，在A班可以排进前 ，而在B班只能排在后 ，即锻炼时长8小时在A班的排名比在B班靠前， ∴小红是A班的学生； （2）解：B班原数据为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10， 新数据为：6，6，7，7，8，8，9，9，9，9，10 新平均数为，而原平均数为8，故平均数不变； 新中位数为第6个数据为8，而原中位数为，故中位数发生变化； 原众数为9，新众数为9，故众数不变； （3）解：（人） 答：九年级学生中平均每周锻炼时长不低于8小时的学生人数为人． 【基础题型】 【题型2】平均数的计算 1.核心考点 算术平均数公式，结合成绩、身高、劳动时长等真实情境命题。 2.解题技巧 直接套用公式。 数据数值较大时，可用基准数法简化：选取接近的基准数，计算偏差的平均数，再加基准数。 【例题2】.（25-26八年级下·北京·阶段检测）体测数据中7名同学的体重（单位： ）为：， ， ，， ， ， ，这组数据的平均数是____________． 【答案】46 【分析】根据求解即可; 【详解】解：根据题意，得． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）小强在一次检测中，语文74分，英语78分，但语文、英语、数学三科的平均分不低于80分，列出数学分数x应满足的不等关系为______． 【答案】 【分析】本题考查平均数的定义及一元一次不等式的应用，根据“平均分不低于80分”的含义，可得三科总分的平均数大于或等于80，结合已知语文和英语的分数，即可列出数学分数满足的不等关系． 【详解】由题意得，语文、英语、数学三科的平均分不低于分，因此可得 ． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·全国·暑假作业）数学课上，小明拿出了连续五天日最低气温的统计表，那么，这组数据的平均数是________． 日期 一 二 三 四 五 最低气温/℃ 22 24 26 23 25 【答案】/24 【详解】解：这组数据的平均数是． 【变式题2-3】.（2026·浙江台州·三模）某住宅小区3月1日—3月5日每天用水量变化情况如下图所示，那么这5天平均每天用水量是________立方米． 【答案】32 【详解】解：这5天平均每天用水量是立方米． 【题型3】加权平均数的计算 1.核心考点 加权平均数公式，权重以百分比、频数、比例三种形式呈现。 2.解题技巧 百分比权重：各项得分×对应百分比，再求和。 频数权重：数据×对应频数求和，再除以总频数。 验算：所有权重之和为1（百分比）或总数据量（频数）。 【例题3】.（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）学校开展演讲比赛．某选手演讲的内容、能力、效果得分分别为84分、90分、95分，若成绩按照内容、能力、效果权重为 确定，则该选手的最终成绩为_______分． 【答案】 【分析】根据给定的各项得分和对应权重，利用加权平均数的计算方法求出该选手的最终成绩． 【详解】解： 分， 故该选手的最终成绩88分． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·河南南阳·期末）某学校招聘数学教师，对应试者进行笔试和面试（百分制），其中笔试占，面试占．其中一名应试者笔试与面试成绩分别为分，分，则该应试者的招聘成绩是_________分． 【答案】 【分析】根据题目给出的数据，利用加权平均数的计算方法求解即可. 【详解】解：由题意可得，该应试者的招聘成绩为 （分）. 【变式题3-2】.（2026·河南平顶山·三模）小成参加了“古韵今传，最美河南”的主题演讲比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每项满分为10分．已知小成的“演讲内容”“语言表达”“演讲效果”三项得分分别是9分，9分，8分，则小成的最终得分为______分． 【答案】 【分析】根据加权平均数的计算方法计算，即可求解． 【详解】解：由题意，得小成的最终得分为（分）． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·辽宁阜新·期末）某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面考核打分，各项满分均为100，所占比例如下表： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 八（1）班这四项得分依次为80，90，80，70，则该班四项综合得分（满分100）为_______分． 【答案】 【分析】将各项得分乘以对应的权重，求和后即可得到综合得分． 【详解】解：根据题意计算该班的四项综合得分： （分） 【题型4】方差的计算与稳定性判断 1.核心考点 方差计算公式，方差的统计意义，判断数据稳定性。 2.解题技巧 计算三步法：算平均数→求各数据与平均数的差的平方→计算平方的平均数。 稳定性判定：平均数相同时，方差越小，数据越稳定。 【例题4】.（25-26八年级下·河北邢台·期末）数据，，，，，，，，，的方差是__________． 【答案】 【分析】按照方差计算步骤，先计算这组数据的平均数，再根据方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵数据为，，，，，，，，，， ∴， ∴ ． 【变式题4-1】.（2026·内蒙古通辽·三模）某学校开展“铸牢中华民族共同体意识”主题知识竞赛，5名参赛学生的成绩（单位：分）如下：88，92，90，94，96，则这组数据的方差是_______． 【答案】8 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差的计算公式代入计算即可得到结果． 【详解】解：这组数据的平均数， 方差． 【变式题4-2】.（2026·广东东莞·三模）如图是甲、乙两地2月份连续六天的日平均气温，则甲、乙两地这6天日平均气温的方差大小关系为________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据平均气温统计图气温的波动大小进而得出方差大小即可． 【详解】解：观察平均气温统计图可知：乙地的日平均气温波动较小，甲地的日平均气温波动较大； 故甲地的日平均气温的方差大于乙地的日平均气温的方差， 即． 【变式题4-3】.（2026·河南平顶山·三模）为测试甲、乙两款国产大语言模型（AI）在不同任务上的稳定性，研发团队选取了代码生成、逻辑推理、内容创作、知识问答、语言处理5项任务进行测试，分别记录了它们在每项测试中的成绩（满分分），并绘制了如图所示的折线图．已知甲、乙两款国产大语言模型成绩的平均数均为8，根据图中信息判断甲、乙两款国产大语言模型成绩更稳定的是________．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】本题考查折线统计图和方差，理解方差的意义是解题的关键．根据折线统计图以及方差的定义判断即可． 【详解】根据折线统计图可知，甲款国产大语言模型五项任务的成绩波动较小，乙款国产大语言模型五项任务的成绩波动较大，所以甲的成绩更稳定． 故答案为：甲 【提升题型】 【题型5】数据变换后平均数与方差的规律应用 1.核心考点 数据整体加、减、乘常数后，平均数和方差的变化规律。 2.解题技巧 核心规律：加减常数，平均数同步变，方差不变；乘除常数，平均数同步变，方差乘除平方。 复合变换分步推导：先算倍数变化，再算加减变化。 【例题5】.（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）若一组数据，，…，的平均数是5，则数据，，…，的平均数是________． 【答案】 【分析】根据平均数的定义，原数据之和为50，求出，再求平均数． 【详解】解：的平均数是5， ， ， ， ， ， 数据的平均数是2． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如果一组数据，，，，的平均数是5，则数据，，，，的平均数是___________． 【答案】20 【分析】根据平均数的定义，计算即可． 【详解】解：，，，，的平均数是5， ， ． 【变式题5-2】.（2026·福建三明·二模）在一组数据1，2，2，3中，再添加一个数据2，得到一组新的数据．新的这组数据与原来的一组数据相比，发生变化的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】D 【分析】分别计算原数据和新数据的平均数、中位数、众数、方差，对比后即可找出发生变化的统计量． 【详解】原数据为： ，共个数据， ， 排序后原数据中间两个数为，原中位数为， 出现次数最多，原众数为， 原方差：； 添加数据后，新数据为： ，共个数据， ，平均数不变， 新数据排序后第个数为，中位数为，中位数不变， 仍然是出现次数最多的数，众数不变， 新方差： ，方差发生变化， 因此发生变化的统计量是方差． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知一组数据的方差是a，则数据，，…，的方差是 _____ ． 【答案】 【分析】本题考查了求方差．设原数的平均数为，则数据，，…，的平均数为，分别表示出原数的方差和现在数据的方差，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，设原数的平均数为，则数据，，…，的平均数为， ∴原数的方差为， ∴数据，，…，的方差为 ， 故答案为：． 【题型6】统计图中的统计量综合计算 1.核心考点 从条形图、扇形图、频数分布直方图中提取信息，计算平均数、中位数、众数。 2.解题技巧 条形图：读取每组数量，加权计算平均数；累计频数定位中位数位置。 扇形图：结合总量算出各组具体数量，再计算统计量。 直方图：用组中值代表每组数据，计算加权平均数。 【例题6】.（2026·内蒙古通辽·模拟预测）为宣传草原生态保护知识，某校开展竞赛活动，从七、九年级各随机抽取25名学生的竞赛成绩（百分制，整数，不低于60分）整理分析，成绩分组：A．；B．；C．；D．．给出部分信息： 七年级25名学生成绩在B组的数据：81，82，82，84，85，85，85，87，88（共9个）； 九年级25名学生成绩：63，65，71，72，74，76，77，78，80，81，83，83，85，86，88，90，91，92，93，94，95，96，97，98，99． 七、九年级成绩的平均数、中位数表 年级 平均数 中位数 七年级 82 n 九年级 85 (1)求________，________，________； (2)若成绩不低于90分为“优秀”，请通过计算说明七、九年级哪个年级的优秀率更高？ (3)该校七年级有600人，九年级有550人，估计两个年级成绩在的学生总人数； (4)结合平均数、中位数和优秀率，分析哪个年级学生的竞赛成绩整体表现更好，并说明理由． 【答案】(1)，，； (2)九年级优秀率更高，理由如下： 由（1）得，七年级优秀率为， 九年级优秀率为， ， ∴九年级优秀率更高； (3)622人 (4)九年级整体表现更好，理由：九年级的平均数（）高于七年级（82），中位数（85）与七年级持平，优秀率（）也高于七年级（）． 综合来看九年级成绩更优． 【分析】（1）根据题意计算B组所占百分比即可；然后确定，得出A组人数为：，确定将B组的数据从后往前数第5位即为中位数，即可求解； （2）计算出九年级的优秀率进行比较即可； （3）利用样本估计总体进行计算即可； （4）根据平均数、中位数及优秀率进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，， ， ， ∴A组人数为：， ∵随机抽取25名学生的竞赛成绩， ∴中位数为第13位学生的竞赛成绩， ∴将B组的数据从后往前数第5位即为中位数， ∴； （2）略 （3）七年级成绩在的学生总人数为（人）， 九年级成绩在的学生总人数为（人）， （人）． ∴七年级、九年级成绩在的学生总人数为622人； （4）略． 【变式题6-1】.（2026·吉林长春·模拟预测）为了了解九年级男生掷实心球项目的训练水平，某中学对九年级男生进行了一次模拟测试，获得了他们的成绩，并随机抽取了30名男生的成绩进行整理、描述和分析．下面是给出的部分信息： ①成绩频数分布表： 成绩（米） 频数 3 8 10 5 4 ②成绩在这组的数据是（单位：米）：9  9  9.1  9.3  9.4  9.6  9.7  9.7  9.7  9.9 ③规定：成绩不低于9.6米，记为“满分”；成绩不低于9米，记为“优秀”． 根据以上信息，回答下列问题： (1)这30名男生掷实心球成绩的中位数是________米； (2)该校九年级有男生180人，且所有男生都参加了模拟测试．估计其中满分的男生人数； (3)为了使样本数据更精确的反映总体情况，又随机抽取了其他10名男生的测试成绩．这10名男生成绩的中位数恰好为9.6米，且加入10名男生的成绩后，整体的优秀率保持不变．下列说法正确的是________（填序号） ①根据题目中所给条件，能求出原来30名男生掷实心球成绩的平均数； ②新抽取的10名男生的成绩中，有3名男生的成绩低于9米； ③这40名男生成绩的中位数的最大值为9.9米． 【答案】(1) (2) 满分的男生人数约为96人 (3)② 【分析】（1）根据中位数的计算求解即可； （2）根据样本百分比估算总体数量即可； （3）根据平均数，中位数的计算，结合题意判定即可． 【详解】（1）解：随机抽取了30名男生的成绩， ∴中位数是第15，16名男生成绩的平均数，即； （2）解：成绩不低于9.6米，记为“满分”， ∴成绩在这组的数据中，满分的有5个， ∴（人）， ∴满分的男生人数约为96人； （3）解：原来30名男生中，仅组给出具体数据，其余分组只有频数，没有具体成绩，无法计算总成绩， 因此不能求出平均数，①错误； 原来30名中优秀（成绩不低于9米）的人数为，优秀率为，加入10人后优秀率不变，总人数40，总优秀人数为， 因此新抽取的10人中优秀人数为，成绩低于9米的人数为，②正确； 40个数据的中位数是第20和第21个数据的平均数，原来30人中小于米的共有18人，新抽取的10人中位数为米， 因此新增中至少有5个数据小于等于米，即至少5个小于米， 因此总共有至少个数据小于米， 因此第20、21个数据都小于米，中位数一定小于米，③错误； 综上所述，正确的有②． 【变式题6-2】.（25-26九年级下·福建南平·阶段检测）下表是某连锁奶茶店所有员工月收入的资料： 岗位类别 店长A 副店长 B 资深店员C 店员D 学徒 E 兼职F 保洁G 实习生 H 人数 1 1 1 4 8 1 13 1 月收入 /元 49250 16000 9000 5200 4800 4250 3500 2800 (1)由上表可知，该奶茶店所有员工月收入的平均数约为6200 元，中位数是 ，众数是 ； (2)若要反映该奶茶店员工月收入水平的情况，（1）中的三个统计量（平均数，中位数，众数）中，不合适的是 ； (3)该奶茶店因业务调整，将一名员工由原岗位调整至另一岗位，该员工的月收入也随岗位发生相应变化，其他员工的月收入保持不变．调整完成后，奶茶店所有员工的平均月收入比原来减少了 25 元．请判断该员工是从哪个岗位调整至哪个岗位，并说明理由． 【答案】(1)4525元，3500 元 (2)平均数 (3)该员工是从兼职F调整至保洁G， 理由如下：全体员工总收入一共减少元，说明该员工收入减少750元，只有兼职F与保洁G的月收入差值为750元， 只有从兼职F调整到保洁G，收入差值为：元， 故该员工是从兼职F调整至保洁G 【分析】（1）根据员工总人数，找到排序后中间位置的数即为中位数；出现次数最多的数即为众数； （2）平均数受极端值影响大，无法反映大多数员工的实际收入水平，因此不合适； （3）根据平均收入减少25元，可算出总收入减少了元，因此该员工收入需减少750元，据此判断岗位调整情况． 【详解】（1）解：员工总人数：（人）， 将30 名员工的月收入从小到大排列，第 15、16个数的平均数为中位数， 岗位H、G、F，累计人， ∴第15个数是岗位F收入4250，第16个数是岗位E收入4800， 故中位数为元； 月收入为3500的员工人数最多（13人），故众数为3500． （2）解：平均数受岗位 A 的高收入（49250元）极端值影响，被拉高至6200元，远高于大多数员工的实际收入水平，因此平均数不适合反映该公司员工月收入水平的情况． （3）略 【变式题6-3】.（2026·黑龙江·模拟预测）为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知八年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用x表示）：A．；B．；C．；D．；E．；F．．随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下： 笔试 展演 甲 92 89 乙 90 95 已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89，请根据以上信息，完成下列问题： (1)_________，并补全频数分布直方图； (2)在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角的度数是________； (3)已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，上表为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由． 【答案】(1)20，补全频数分布直方图如图： (2) (3)乙同学能获得“环保之星”称号． 理由如下：甲同学的总成绩为（分）， 乙同学的总成绩为（分）． ∵，， ∴乙同学能获得“环保之星”称号． 【分析】（1）用D组的笔试成绩人数除以所占百分比求出的值，再计算B组展演成绩的频数，即可补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，先求出“E组”所对应的百分比，再乘以即可求解； （3）根据加权平均数公式分别计算甲、乙同学的总成绩，再与91分比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，D组的笔试成绩数据有9个， ∴， B组展演成绩的频数为， 补全频数分布直方图略； （2）解：“E组”所对应的百分比为， “E组”所对应的扇形的圆心角的度数是； （3）略 【培优题型】 【题型7】四分位数与箱线图的信息解读 1.核心考点 四分位数的计算，箱线图的结构与数据分布分析。 2.解题技巧 求四分位数：先排序找中位数，再分别求前半段、后半段数据的中位数。 箱线图：箱体两端为上下四分位数，中间线为中位数，两侧线段端点为最值。 【例题7】.（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）为了了解学生对海洋知识的掌握情况，促进学生全面发展和团队合作意识，学校以小组为单位在八年级开展了海洋知识竞赛．竞赛分为笔试与抢答两个环节，记分员分别记录了甲、乙两组队员的得分情况． 信息1：笔试得分（单位：分） 甲组：88，73，87，90，91，91，92，76； 乙组：90，84，88，86，88，84，88，88． 信息2：甲、乙两组抢答赛成绩的箱线图如右图． 信息3：得分统计表 笔试（满分100分） 抢答（满分100分） 参赛组 平均数 众数 中位数 平均数 方差 甲 86 b 89 90 乙 87 88 m 82.5 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的__________，__________，__________（填“>”“=”或“<”）； (2)本次竞赛将“笔试平均数”和“抢答平均数”按的权重来计算综合得分，你认为甲、乙哪个组的综合水平更好？请说明理由； (3)请你选择一个方面，对甲、乙两组在抢答环节的表现进行分析与评价． 【答案】(1)91，88，< (2)甲组的综合水平更好 理由：甲的综合成绩为（分）， 乙的综合成绩为（分）， ， 甲组的综合水平更好； (3)甲组在抢答环节的表现更好，因为甲组的平均数比乙组高，方差比乙组小，成绩更稳定，所以甲组在抢答环节的表现更好．（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）根据平均数，众数，中位数的含义求解，再结合箱线图判断方差即可. （2）先分别求解甲，乙得分的加权平均数，再比较大小即可. （3）分别从方差与平均数方面分析即可. 【详解】（1）解：甲组数据中都出现了次，次数最多， ∴甲的众数为分， 乙的得分从小到大排列：84，84， 86，88，88， 88，88，90． ∴中位数（分）， ∵抢答赛成绩的箱线图中，箱体的长度越大，通常表示数据的方差越大， 可知， （2）略 （3）略 【变式题7-1】.（25-26八年级下·吉林长春·期中）在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，嘉琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． (1)在图2中，A反映 的成绩，B反映 的成绩；（填“甲”或“乙”） (2)图1中甲的众数为 环，乙的平均数为 环； (3)图2中，直接写出A的成绩和B的成绩，结合箱线图判断甲和乙谁的成绩分布比较集中 【答案】(1)乙、甲 (2)7，8 (3)A的；B的；乙的成绩分布比较集中 【分析】（1）直接根据箱线图解答即可； （2）根据众数，平均数的定义解答即可； （3）根据下四分位数，中位数的定义即可求解，再由箱线图即可求解． 【详解】（1）解：由条形统计图可知，乙的成绩波动较小， 在图2中，A的数据比较集中，故A反映乙的成绩，B反映甲的成绩； （2）解：因为甲的成绩中7环出现的次数最多， 所以甲的众数为7环， 乙的平均数为环； （3）解：A的； B的， 从箱线图可得乙的成绩主要集中在环，甲的成绩主要集中在环，高分段更分散，故乙的成绩分布比较集中． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·湖南·期末）某银行理财经营团队A对其2025年上半年负责经营的12项理财产品的收益率（）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）： 2.10，3.15，3.18，3.19，3.50，，3.93，4.00，4.44，，4.47，4.89． 团队A产品收益率的相关数据（） 收益率的平均值 3.925 4.450 3.769 请根据以上信息解答下列问题： (1)计算，，的值，并填入表格． 收益率的平均值 3.925 4.450 3.769 (2)根据统计数据绘制了A团队负责经营的理财产品收益率的箱线图，写出两条你从中得到的信息． 【答案】(1)表格如下： 收益率的平均值 3.185 3.925 4.450 3.92 4.46 3.769 (2)1．收益率最低为，最高为； .收益率的中位数是． 【分析】（1）根据四分位数的公式分别列式计算即可； （2）根据箱线图即可得出结论． 【详解】（1）解：下四分位数； 中位数， ∴； 上四分位数， ∴； 表格略； （2）略． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·北京·阶段检测）跳绳是一项有效的有氧运动，因其便捷被学校广泛选为促进学生体质健康的运动项目，某校八年级400名学生在“跳绳提升”训练前后各参加了一次规则相同的测试，测试成绩为整数，满分10分．两次测试结果显示所有学生成绩都不低于6分，现用抽样调查的方式从中抽取了50名学生训练前后的测试成绩，并绘制出了如下统计图、统计表． 平均数 中位数 众数 方差 训练前 7 a 训练后 b 10 根据以上信息，解答下列问题： (1)____________，____________； (2)补全图1的条形统计图； (3)如图3是小帆绘制的训练前跳绳成绩的箱线图，请直接写出训练后的四分位数： 第一四分位数____________，第二四分位数____________，第三四分位数____________；并将训练后跳绳成绩的箱线图补充完整，并标出数据； (4)请根据以上统计量、箱线图，至少从两个方面分析训练前后的成绩变化． (5)估计该校八年级学生训练后成绩不低于9分的人数． 【答案】(1)6分，9分 (2) (3) (4)解：从箱线图看，训练前箱线图的箱体相对较宽，说明训练前数据的离散程度较大，即学生成绩之间的差异较大；训练后箱线图的箱体相对较窄，表明训练后学生成绩的离散程度变小，成绩更为集中；训练前中位数对应的位置较低，训练后中位数对应的位置较高，说明训练后成绩的整体水平提高了． (5)280人 【分析】（1）根据众数的定义，中位数的定义，求解即可； （2）求得得分8分的人数为：，补图即可； （3）先计算各个四分数，再画出箱线图即可； （4）根据统计量的意义作出决策即可． （5）利用样本估计总体的思想解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得6分出现的次数最多，14次， 故众数分，根据题意，得6分的人数为：（人），7分的人数为：（人），8分的人数为：（人），9分的人数为：（人），10分的人数为：（人）， 中位数是第25个数据，第26个数据的平均数， 故（分）； （2）略 （3）解：根据题意，得6分的人数为：（人），7分的人数为：（人），8分的人数为：（人），9分的人数为：（人），10分的人数为：（人）， 且， 第一四分数是第12个数据，第13个数据的平均数，故分， ，故第二四分数是第25个数据，故分， ，故第三四分数是第37个数据，第38个数据的平均数，故分， 补图略； （4）略 （5）解：根据题意，得（人）， 答：该校八年级学生训练后成绩不低于9分的人数为280人． 【题型8】统计量综合分析与决策 1.核心考点 结合体育、劳动、科技等跨学科情境，综合多个统计量进行评价与决策。 2.解题技巧 先分别计算两组数据的平均数、中位数、众数、方差。 多角度对比：从平均水平、集中趋势、稳定性三个维度分析。 结论要有数据支撑，贴合题目场景，避免主观臆断。 【例题8】.（2026·福建厦门·模拟预测）某小区计划对健身活动区域进行升级改造，物业组织小区住户对漫步机、太极揉推器、单双杠组合这三种健身器材均按等级进行评价，规定：A表示90分；B表示80分；C表示70分；D表示50分．漫步机的评价结果统计如下： (1)①______，______； ②求漫步机的平均得分； (2)物业将根据如下表所示的调查结果，增加平均得分最高的器材．由于部分数据缺失，工作人员建议直接增加A等级数量最多的太极揉推器．这个建议是否合理，若合理，请予以证明； 若不合理，请举例说明． 等级健身器材 A B C D 漫步机 230 180 m n 太极揉推器 350 ▲ ▲ 25 单双杠组合 240 120 ▲ 100 【答案】(1)①；；② (2)设太极揉推器B等级为x票，则C等级为票， 由题意得，太极揉推器平均得分为（分）， 单双杠平均得分为（分）， ∵， ∴工作人员建议合理 【分析】（1）先根据A等级的票数和其在扇形图中的占比，求出总评价人数；再利用C等级的占比求出，最后用总人数减去A、B、C等级的人数得到；②平均得分是加权平均数，用每个等级的分数乘以对应票数，求和后除以总票数即可； （2）要判断“增加A等级数量最多的太极揉推器”是否合理，核心是证明太极揉推器的平均得分一定是三种器材中最高的。先计算已知的漫步机和单双杠组合的平均得分，再通过设未知数表示太极揉推器的平均得分，求出其最小值，与另外两个比较即可． 【详解】（1）解：①由条形图知A等级票数为张，扇形图知A等级占比，因此总票数为：（张）， C等级占比，故C等级票数： ； D 等级票数：； ②漫步机的平均得分计算如下： （分）； （2）略 【变式题8-1】.（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）某校九年级组织某次数学测试中，有一道满分为10分的数学小作文题，其评分标准分为A、B、C、D、E五个等级，分别对应得分1分、3分、5分、8分、10分． 为了解九年级学生数学小作文的写作情况，该校对九年级学生以20人为一组进行了随机分组，并从中随机抽取了3个小组学生的答卷进行统计分析，过程如下： 【整理与描述】 (1)请补全第1小组得分条形统计图； 【分析与估计】 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 第1小组 7.5 a 8 第2小组 b 1 3 第3小组 5.9 5 c (2)由上表填空：________，________，________； (3)若该校九年级有600名学生，请你估计该校九年级学生在测试中得分为10分的人数； 【评价与建议】 (4)结合你的分析，请给第2小组的同学提供一条有关数学小作文的学习建议． 【答案】(1)解：如图， (2) (3)110人 (4)加强对知识的学习和巩固（合理即可） 【分析】（1）小组人数人减去其他等级的人数即可； （2）根据平均数、众数和中位数的定义计算即可； （3）利用样本估计总体计算即可； （4）第2小组的学生得1分和3分的占，因此要加强对知识的学习和巩固（合理即可）． 【详解】（1）解：第一小组等级D的人数为（人）， 条形统计图略； （2）解：第1小组得分出现次数最多的是分，共出现8次，因此众数为， 第2小组得分的平均数为， 由第3小组得分折线统计图可知第3小组得分的中位数为； （3）解：（人）， 答：估计该校九年级学生在测试中得分为分的人数为人； （4）略． 【变式题8-2】.（2026·山西吕梁·二模）为落实“阳光体育运动”政策，满足学生课后延时服务需求，某校在课后服务中全面开展内容丰富、形式多样的体育活动，切实减轻学生学习负担，促进学生健康成长．为了了解该校学生体育活动情况，实施锻炼时间目标管理，该校数学兴趣小组用调查问卷随机调查了该校部分学生平均每天参与体育运动的时间． 调查目的 1.生平均每天在校体育运动情况 2.给学校提出更合理的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生 调查内容 体育运动时间调查问卷你平均每天在校参与体育运动的时间为：（每组时间含最小值，不含最大值；请根据实际情况在方框内打上“√”） □A：0-30分钟           □B：30-60分钟           □C：60-90分钟 □D：90-120分钟         □E：120分钟及以上 调查过程 【数据收集】 ①兴趣小组计划抽取该校七年级50名学生进行问卷调查，下面的抽取方法中，合理的是________． A．从该校七年级1班中随机抽取50名学生的调查问卷 B．从该校七年级女生中随机抽取50名学生的调查问卷 C．从该校七年级学生中随机抽取男、女各25名学生的调查问卷 【数据整理】 ②通过问卷调查，兴趣小组获得了被抽查学生平均每天在校参与体育运动的时间，进行整理统计，并绘制了如下条形统计图和扇形统计图（不完整）． 【数据分析】 ③本次调查学生平均每天参与体育运动的时间的众数落在________中（A，B，C，D，E中选择填写）； ④若A组数据均近似地看作15分钟，B组数据均近似地看作45分钟，C组数据均近似地看作75分钟，D组数据均近似地看作105分钟，E组数据均近似地看作150分钟，则被抽查的50名学生平均每天在校体育活动时间为________分钟． 建议 …… 结合调查信息，回答下列问题： (1)请将调查报告补充完整； ①________；③________；④________； (2)请将【数据整理】中的条形统计图补充完整； (3)如果学校将管理目标确定为每天不少于90分钟，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？请说明理由． (4)请你结合上面的统计结果，对该校“阳光体育运动”采取的措施写出一条合理的建议． 【答案】(1)①C；③D；④88.8 (2)见解析 (3)312名 (4)见解析 【分析】（1）①根据抽样调查的样本代表性原则，判断三个抽取方法中能全面反映七年级学生整体情况的选项；③对比各组的人数，人数最多的组即为众数所在组；④利用加权平均数公式，将每组的组中值乘以对应人数求和后除以总人数，得到平均时间； （2）先通过扇形统计图的各部分占比和已知的抽样总人数，计算出B组、C组的人数，补全条形统计图； （3）先统计出运动时间不少于分钟的人数占抽查总人数的比例，再乘以全校总人数得到估计的达标人数，结合达标比例判断目标合理性； （4）根据统计结果反映的学生运动时间分布情况，提出针对性的活动调整建议． 【详解】（1）解：（1）①随机抽样需要具有代表性，因此随机抽取男、女各25名学生更合理，故选C； ③条形统计图可得，调查的总人数为（人）， ∴C组人数为（人），B组人数为（人）， ∴D组人数最多，故众数落在D组中； ④被抽查的50名学生平均每天在校体育活动时间为（分钟）． （2）解：补充完整的统计图，如图所示： （3）解：（名）． 答：估计有312名学生能完成目标，目标合理，因为，过半的学生都能完成这个目标，所以这个目标合理． （4）解：①学校“阳光体育运动”采取的措施成果显著，超过一半的学生平均每天体育运动的时间为90分钟；②仍然有学生每天平均体育运动的时间不足一小时，学校还需提供更多的体育运动机会．（合理即可） 【变式题8-3】.（2026·江苏无锡·二模）某实践小组为了解游客对该市“古城智能导览”项目中服务机器人的使用满意度，计划从参观古城的游客中随机抽取部分游客进行问卷调查． (1)【确定调查方式】下列抽样调查方式最合理的是（    ） A．只在景区入口处抽取年轻游客进行调查 B．只在智能导览机器人旁抽取使用过的游客进行调查 C．在景区内不同时段、不同区域随机抽取各类游客进行调查 D．只抽取景区工作人员进行调查 (2)【整理分析数据】问卷调查测试满分100分，所有问卷结果都在60分以上，评分分数用x表示，结果分为四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：．部分信息如下： 信息一： 信息二：评分“满意”等级的数据（单位：分） 分数 80 81 82 83 84 88 人数 10 20 20 10 20 10 根据以上信息解答下列问题： ①该调查的样本容量为________， ②请补全条形统计图；所抽取的游客中使用满意程度评分的中位数为________分； (3)【作出合理估计】清明节期间，该城市约有20万人次使用了“古城智能导览”项目，请估计这些游客中对“古城智能导览”项目非常满意的人次． 【答案】(1)C (2)①200； ②82.5 补全条形统计图如图： (3)6万人 【分析】（1）根据抽样调查的基本要求解答即可； （2）①根据图中满意占比，人数为90人求解即可； ②求出非常满意人数，即可补全条形统计图；再根据中位数的定义求解即可； （3）根据样本估计总体的方法解答即可； 【详解】（1）解：抽样调查要求样本具有广泛性和代表性，A只抽取年轻人、B只抽取使用过的游客、D只抽取工作人员，样本都不具备代表性，只有C在景区不同时段、不同区域抽取各类游客，抽样最合理，故选C； （2）解：①由题意可知，“满意”等级共人， 扇形图中满意占比，因此样本容量为； ②非常满意人数为人， 图略； 200个数据从小到大排列，中位数为第100和第101个数据的平均数： 前两个等级（不满意比较满意）共个数据，结合满意等级的人数分布： 80分共10个（累计），81分共20个（累计），82分共20个（累计）， 因此第100个数据为82，第101个数据为83，中位数为； （3）解：样本中非常满意的频率为， 因此20万人次中非常满意的人次约为：（万人次）， 答：估计非常满意的人次约为万人次． 【易错重难点总结】 1.核心易错点 中位数计算不排序，偶数个数据忘记求平均数。 众数判断错误：认为众数唯一，或将出现次数当作众数。 方差公式漏除以，稳定性判断时大小关系搞反。 加权平均数忽略权重，直接用算术平均数计算。 数据变换后方差规律记错，漏乘系数的平方。 2.本章重难点 重点：加权平均数计算、中位数与众数求解、方差的意义与计算、统计量的合理选择。 难点：加权平均数的权的理解、方差的准确计算、综合统计分析与决策、离差平方和分组优化。 3.解题通用步骤 审题：明确所求统计量，理清数据形式与权重信息。 整理：对数据排序、分组，从图表中提取有效数据。 计算：代入对应公式，分步运算，关键步骤验算。 分析：结合统计量的实际意义，给出结论或决策建议。 4.高分必备技巧 中位数必排序，奇偶分情况，计算后核对位置是否正确。 加权平均数看清权重形式，百分比直接相乘，频数型先求和再除以总数。 方差计算先定平均数，平方和仔细算，最后勿忘除以数据个数。 稳定性比较：先看平均数是否相近，再比较方差大小。 综合分析题先列统计量对比表，再分维度阐述结论，条理清晰。 5.素养提升关键 数据分析观念：能从数据中提取有效信息，用统计量定量描述数据特征。 应用意识：能运用统计知识解决生活、学习中的实际决策问题。 严谨思维：统计计算步骤规范，结论做到有理有据。 探究能力：能借助离差平方和等工具，探究数据分组的最优方案。 表达能力：评价与建议类题目逻辑清晰，语言准确，贴合实际。 【同步练习】 一、单选题 1．为了解某校初三（8）班同学的鞋码分布情况，数学兴趣小组随机抽取班上10名同学的鞋码进行调查，统计数据为：38、39、39、39、40、40、40、40、41、41，这组数据的众数是（     ） A．38 B．39 C．40 D．41 【答案】C 【分析】根据众数定义，统计每个数据出现的次数，找出出现次数最多的数据即可得到结果． 【详解】解：先统计各数据出现的次数，∵ 38出现次，39出现次，40出现次，41出现次， ∴ 40出现的次数最多，根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数， ∴ 这组数据的众数是． 2．为解决路途较远的学生中午在校就餐的问题，市教育局协调了配餐公司为学生供餐．某公司为学生提供甲种套餐每份20元，乙种套餐每份15元．若实验中学有的学生订购了甲种套餐，另外的学生订购了乙种套餐，每名学生仅订购一份．则该校订餐的学生午餐花费的平均数是（     ） A．17.5 B．18 C．18.5 D．19 【答案】D 【分析】本题考查加权平均数的计算，以订购不同套餐的学生占比为权重，计算平均花费即可求解． 【详解】解：设该校订餐学生总人数为， ∵订购甲种套餐的人数为，订购乙种套餐的人数为， ∴总花费为， ∴平均花费为． 3．甲、乙、丙、丁四名短跑运动员最近几次选拔赛的平均成绩（单位：秒）和方差（单位：）如表所示，根据表中数据，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（     ） 甲 乙 丙 丁 平均成绩/秒 方差/ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查利用平均数和方差做决策，100米短跑中，平均成绩越小代表成绩越好，方差越小代表发挥越稳定，先比较平均数筛选出成绩更好的选手，再比较方差得到发挥稳定的选手即可求解． 【详解】解：∵平均成绩越小，运动员成绩越好，甲、乙的平均成绩为秒，小于丙、丁的平均成绩秒， ∴从甲和乙中选择一人参赛， ∵方差越小，运动员发挥越稳定，甲的方差为，乙的方差为，， ∴乙的发挥更稳定，因此应选择乙． 二、填空题 4．若一组数据0，1，2，3，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为______． 【答案】或4 【分析】本题考查方差的性质，一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变，据此判断第一组数据应为连续整数，即可确定的可能值． 【详解】解：第二组数据，，，，是个连续整数，方差为固定值， 又∵一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变， 第一组数据，，，，应为个连续整数， 当时，数据为，，，，，是个连续整数，符合条件， 当时，数据为，，，，，是个连续整数，符合条件， 的值为或． 5．现有一批螺丝帽，从中抽选个测得它们的直径尺寸（单位：）依次是，，，，，，现要将这个螺丝帽按直径大小分成两组，每组至少个，且两组的组内离差平方和之和最小，你认为应该如何分______． 【答案】分为两组， 【分析】先将数据从小到大排序，列举所有有序分组的情况，计算每种分组的组内离差平方和，选择组内离差平方和最小的分组作为结果即可． 【详解】解：将个数据从小到大排列，得到， ∴有序数据分成前后两组共有种不同分法，分别计算每种分法的组内离差平方和： 第种分法（第个间隔分割）： 第一组为，离差平方和为， 第二组平均数为，组内离差平方和为， 总离差平方和为； 第种分法（第个间隔分割）： 第一组为，平均数为，组内离差平方和为， 第二组平均数为，组内离差平方和约为，总离差平方和为； 第种分法（第3个间隔分割）： 第一组为，离差平方和约为， 第二组离差平方和为，总离差平方和为 第种分法（第个间隔分割）： 第一组离差平方和约为， 第二组离差平方和为，总离差平方和为； 第种分法（第个间隔分割）： 第一组离差平方和为，第二组离差平方和为，总离差平方和为 ∴对比所有总离差平方和，最小， 因此得到最终分组为和． 6．河南某景区对优秀讲解员进行考核（满分100分），按专业知识、讲解技能、素养仪态的比例计算最终成绩，小颖的上述三项成绩分别为95分、92分、90分，则小颖的最终成绩为____________分． 【答案】 【分析】根据加权平均数的公式，计算即可． 【详解】解：（分）， 则最终成绩为分． 三、解答题 7．为提高学生体质健康水平，某校开展了丰富多彩的课外社团活动．甲、乙两位同学参加了篮球社团的选拔测试，每次测试共有10次定点投篮机会，以命中次数作为测试成绩，命中次数大于等于8次即为优秀．已知这两位同学近8周定点投篮测试成绩的折线统计图如图所示． 分析甲、乙两位同学的成绩，得到如下数据： 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 甲 6.5 a 5 5.75 乙 6.5 7 c 1.25 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：___________，___________，___________． (2)这8周测试成绩中，发挥较稳定的是___________同学（填“甲”或“乙”）． (3)若篮球社团决定从甲、乙两位同学中选出一位，你建议选拔哪位同学，请说明理由． 【答案】(1)6.5，37.5，7 (2)乙 (3)选甲同学，理由：甲同学近8周测试成绩优秀率比乙大，且近4周测试成绩一直在提升，并有三次高于乙同学．（或选乙同学，理由：甲、乙两位同学近8周测试成绩的平均数相等，但乙同学测试成绩的方差比甲低，说明了乙同学测试成绩更稳定．）（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出的值，用优秀的次数除以总次数，求出的值即可； （2）利用方差判断稳定性即可； （3）根据优秀率（或根据平均数和方差）作决策即可. 【详解】（1）解：甲的8个数据排序后，第4个和第5个数据分别为6和7， ∴； 甲命中次数大于等于8次的有3次，故， ∴； 乙的数据中出现次数最多的是7，故； （2）解：∵甲的方差为5.75，乙的方差为1.25，， ∴这8周测试成绩中，发挥较稳定的是乙同学； （3）略 8．为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后组织了航天知识竞赛．为了解七年级两个班级的竞赛情况，该校从两个班级各随机抽取12名学生的成绩（满分分，成绩均为整数），并绘制了如下统计图表： 成绩统计表 统计量 班级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的，，． (2)你认为哪个班级的学生成绩更好？请至少选择两个统计量说明理由． 【答案】(1) (2)班学生的成绩更好． 理由如下： ① 班的中位数是，高于班的中位数，班的中位数是，高于班的中位数， 说明班中等水平的成绩更高，整体成绩更好； ②班的方差小于A班的方差，方差越小成绩越稳定，说明班成绩比班更稳定．（理由合理即可） 【分析】（）先从条形图提取两班各分数人数，分别算出班平均数、班中位数、班众数； （）对比平均数、中位数、方差分析得出B班成绩更好． 【详解】（1）解：① 求（班平均数）： 从条形图可得班各分数人数：分人，分人，分人，分人，分人，总人数人， 班总分为： 平均数； ② 求（班中位数）：班总人数人，中位数是从小到大排序后第个成绩的平均数， 班各分数人数：分人，分人，分人，分人，分人， 排序后：第至名成绩为，第到名成绩为， ∴第个成绩都是，中位数 ； ③ 求（班众数）： 班中分的人数最多（人），因此众数； （2）略 9．某工厂有甲、乙两个生产车间，为比较不同技术培训的效果，分别从甲、乙车间各随机抽取名工人，对其加工的零件进行质量评分（满分分，评分为整数）．数据收集与整理如下： 两车间评分数据统计表 车间 众数 中位数 平均数 方差 甲 乙 请根据以上信息，完成下面任务． (1)______，______，______；并补全条形统计图． (2)对于这次评分，成绩比较整齐的是哪个车间，并说明理由； (3)若甲乙两个车间共有名工人，请估计此次培训中，两个车间的工人不低于分的人数． 【答案】(1)        ； (2)乙车间的成绩比较整齐， 理由： ，， ， 乙车间的成绩比较整齐； (3)两个车间不低于分的人数约为人． 【分析】（1）利用中位数、总数、百分比的求法求解即可； （2）比较方差的大小即可得出结论； （3）用样本估计总体即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴  ， ∵甲车间评分为的人数：（人），， ∴甲车间质量评分为的人数最多，即：， ∵乙车间6分的有：（人），7分的有：（人），8分的有：（人）， ∴乙车间质量评分从小到大排列第个都是分， ∴ ； 补全条形统计图（略）； （2）略 （3）解：（人）， （人）， 答：两个车间不低于分的人数约为人． 10．为了解市民对该市创建全国文明城市工作的满意度，某中学数学兴趣小组在全市随机采访了100名市民，并让他们进行满意度评分（满分100分，评分均为整数）． 【整理数据】将100名市民的评分分为5组，绘制出的频数分布表及频数分布直方图（尚不完整）如下． 频数分布表： 组别 频数 频数分布直方图： 其中，C组数据为：． D组数据的折线统计图如下： 【分析数据】100名市民的评分数据分析如下表： 平均数 中位数 众数 方差 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求出的值并补全频数分布直方图； (2)上述表格中， __________； (3)结合一个统计量，简要评价该市创建全国文明城市的工作效果，并提出一条合理化建议． 【答案】(1)， (2) (3)市民评分的平均数为分，处于较高水平，说明多数市民对工作认可度较高；建议针对评分较低的市民开展意见调研，进一步优化创建举措（言之有理即可）． 【分析】（1）用总数减去其他组别的频数得到的值，进而补全频数分布直方图； （2）根据中位数的定义，即可求解． （3）根据题意写出合理建议，即可． 【详解】（1）由题意知，． 图略 （2）解：由题意知，将100个数据按从小到大的顺序排列后，第50个和第51个数据在组，分别是， 中位数为86． （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24章 数据的分析 知识点1平均数 1.算术平均数 对于个数据，平均数。 特点：充分利用所有数据信息，易受极端值影响。 2.加权平均数 若出现次，出现次，…，出现次（），则 。 其中叫做权，反映对应数据的重要程度。 知识点2中位数与众数 统计量 定义 特点 中位数 将数据按大小排序后，奇数个数据取最中间的数；偶数个数据取最中间两个数的平均数 代表数据的中等水平，受极端值影响小 众数 一组数据中出现次数最多的数据 代表数据的多数水平；可以有多个，也可以没有 知识点3方差 1.定义：各个数据与平均数差的平方的平均数，记作。 公式： 2.意义：方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，数据波动越小，越稳定。 3.数据变换后的规律 原数据变换方式 新平均数 新方差 每个数据加常数 （不变） 每个数据乘常数 每个数据乘再加 知识点4统计量的选用对比 统计量 优势 局限 适用场景 平均数 利用全部数据信息，应用最广 易受极端值干扰 数据分布均匀，关注整体平均水平 中位数 计算简便，抗极端值能力强 无法体现全部数据信息 存在极端值，关注中等水平 众数 贴合多数情况，符合实际需求 频次相近时无参考意义 进货、投票等关注最普遍结果的场景 知识点5四分位数与箱线图 1.四分位数：将排序后的数据四等分，三个分点依次为下四分位数（25%分位数）、中位数（50%分位数）、上四分位数（75%分位数）。 2.箱线图：由最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值五个部分组成，直观展示数据的分布范围与集中趋势。 【易错题型】 【题型1】中位数计算未排序与众数多解辨析 1.易错点总结 求中位数时未对数据排序，直接取原序列中间位置的数。 误认为众数唯一，忽略多个数据出现次数并列最多时，众数有多个；所有数据出现次数相同时无众数。 数据个数为偶数时，误取中间两个数中的一个作为中位数，忘记计算平均数。 2.纠错技巧 中位数口诀：先排序，定奇偶，奇取中，偶取均。 众数判断：先统计每个数据的出现次数，次数最多且并列的均为众数；所有数据次数相同则没有众数。 【例题1】.（2026·福建福州·模拟预测）某篮球队14名队员的年龄情况如表，则这些队员年龄的中位数是（     ） 年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18 人数 3 1 5 3 2 A．15 B．15.5 C．16 D．16.5 【变式题1-1】.（25-26八年级下·福建厦门·阶段检测）某校组织八年级期末体育测试，抽查了部分学生每分钟跳绳次数（单位：次）．将所得数据统计如表所示（每组只含最低值，不含最高值）．该样本的中位数落在第________组 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 人数 【变式题1-2】.（2026·四川攀枝花·中考真题）我国光伏产业技术全球领先，光伏组件产品出口到全球200多个国家和地区，成为中国制造的一张“亮丽名片”．某光伏组件销售公司为了调动销售员工的积极性，决定设置一个适当的季度销售额目标，若完成目标，可获得奖励．现有20名销售员工一季度的销售额如下：（单位：万元） 43，50，67，64，40，42，51，62，58，75， 34，61，42，73，62，72，56，36，50，62． （注：数据分组时，每组的起点值属于本组，终点值属于下一组） (1)这组数据的众数为__________，中位数为__________．若将众数作为季度销售额目标，则一季度有__________名员工可获得奖励； (2)请补全频数分布直方图； (3)销售部对数据进行分析后，决定对一半的销售员工进行奖励，某销售员工一季度的销售额为56万元，他能获得奖励吗？请说明理由． 【变式题1-3】.（2026·吉林长春·模拟预测）为了解学生的体育锻炼情况，慧谷学校九年级以“活力校园—初中生运动时长探究”为主题开展调查研究，该年级随机抽取了A、B两个班，通过问卷收集了A、B两个班学生的平均每周锻炼时长数据，现从这两个班级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． 【数据收集】 A班：8，7，12，8，7，5，6，8，6，13； B班学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下： 【数据整理、分析】 班级 平均数 中位数 众数 方差 A班 8 a 8 6 B班 b 8.5 9 1.8 根据以上信息，回答下列问题： (1)①填空： _________； _________； ②小红对小丽说：“虽然平均每周锻炼时长我俩都是8小时，但我在我们班中的排名比你在你们班的排名靠前．”（锻炼时间越长，排名越靠前）根据以上信息可知小红是_________班的学生．（填“A”或“B”） (2)从B班中再随机抽取一名学生，若该生平均每周锻炼时长为8小时，将这个数据加入到原数据中，得到一组新数据．下列指标中，与原数据相比，新数据中发生变化的是_________．（填序号） ①平均数    ②中位数    ③众数 (3)若九年级有800名学生，请你结合A、B两班调查数据，估计九年级学生中平均每周锻炼时长不低于8小时的学生人数． 【基础题型】 【题型2】平均数的计算 1.核心考点 算术平均数公式，结合成绩、身高、劳动时长等真实情境命题。 2.解题技巧 直接套用公式。 数据数值较大时，可用基准数法简化：选取接近的基准数，计算偏差的平均数，再加基准数。 【例题2】.（25-26八年级下·北京·阶段检测）体测数据中7名同学的体重（单位： ）为：， ， ，， ， ， ，这组数据的平均数是____________． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）小强在一次检测中，语文74分，英语78分，但语文、英语、数学三科的平均分不低于80分，列出数学分数x应满足的不等关系为______． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·全国·暑假作业）数学课上，小明拿出了连续五天日最低气温的统计表，那么，这组数据的平均数是________． 日期 一 二 三 四 五 最低气温/℃ 22 24 26 23 25 【变式题2-3】.（2026·浙江台州·三模）某住宅小区3月1日—3月5日每天用水量变化情况如下图所示，那么这5天平均每天用水量是________立方米． 【题型3】加权平均数的计算 1.核心考点 加权平均数公式，权重以百分比、频数、比例三种形式呈现。 2.解题技巧 百分比权重：各项得分×对应百分比，再求和。 频数权重：数据×对应频数求和，再除以总频数。 验算：所有权重之和为1（百分比）或总数据量（频数）。 【例题3】.（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）学校开展演讲比赛．某选手演讲的内容、能力、效果得分分别为84分、90分、95分，若成绩按照内容、能力、效果权重为 确定，则该选手的最终成绩为_______分． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·河南南阳·期末）某学校招聘数学教师，对应试者进行笔试和面试（百分制），其中笔试占，面试占．其中一名应试者笔试与面试成绩分别为分，分，则该应试者的招聘成绩是_________分． 【变式题3-2】.（2026·河南平顶山·三模）小成参加了“古韵今传，最美河南”的主题演讲比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每项满分为10分．已知小成的“演讲内容”“语言表达”“演讲效果”三项得分分别是9分，9分，8分，则小成的最终得分为______分． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·辽宁阜新·期末）某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面考核打分，各项满分均为100，所占比例如下表： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 八（1）班这四项得分依次为80，90，80，70，则该班四项综合得分（满分100）为_______分． 【题型4】方差的计算与稳定性判断 1.核心考点 方差计算公式，方差的统计意义，判断数据稳定性。 2.解题技巧 计算三步法：算平均数→求各数据与平均数的差的平方→计算平方的平均数。 稳定性判定：平均数相同时，方差越小，数据越稳定。 【例题4】.（25-26八年级下·河北邢台·期末）数据，，，，，，，，，的方差是__________． 【变式题4-1】.（2026·内蒙古通辽·三模）某学校开展“铸牢中华民族共同体意识”主题知识竞赛，5名参赛学生的成绩（单位：分）如下：88，92，90，94，96，则这组数据的方差是_______． 【变式题4-2】.（2026·广东东莞·三模）如图是甲、乙两地2月份连续六天的日平均气温，则甲、乙两地这6天日平均气温的方差大小关系为________．（填“”“”或“”） 【变式题4-3】.（2026·河南平顶山·三模）为测试甲、乙两款国产大语言模型（AI）在不同任务上的稳定性，研发团队选取了代码生成、逻辑推理、内容创作、知识问答、语言处理5项任务进行测试，分别记录了它们在每项测试中的成绩（满分分），并绘制了如图所示的折线图．已知甲、乙两款国产大语言模型成绩的平均数均为8，根据图中信息判断甲、乙两款国产大语言模型成绩更稳定的是________．（填“甲”或“乙”） 【提升题型】 【题型5】数据变换后平均数与方差的规律应用 1.核心考点 数据整体加、减、乘常数后，平均数和方差的变化规律。 2.解题技巧 核心规律：加减常数，平均数同步变，方差不变；乘除常数，平均数同步变，方差乘除平方。 复合变换分步推导：先算倍数变化，再算加减变化。 【例题5】.（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）若一组数据，，…，的平均数是5，则数据，，…，的平均数是________． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如果一组数据，，，，的平均数是5，则数据，，，，的平均数是___________． 【变式题5-2】.（2026·福建三明·二模）在一组数据1，2，2，3中，再添加一个数据2，得到一组新的数据．新的这组数据与原来的一组数据相比，发生变化的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式题5-3】.（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知一组数据的方差是a，则数据，，…，的方差是 _____ ． 【题型6】统计图中的统计量综合计算 1.核心考点 从条形图、扇形图、频数分布直方图中提取信息，计算平均数、中位数、众数。 2.解题技巧 条形图：读取每组数量，加权计算平均数；累计频数定位中位数位置。 扇形图：结合总量算出各组具体数量，再计算统计量。 直方图：用组中值代表每组数据，计算加权平均数。 【例题6】.（2026·内蒙古通辽·模拟预测）为宣传草原生态保护知识，某校开展竞赛活动，从七、九年级各随机抽取25名学生的竞赛成绩（百分制，整数，不低于60分）整理分析，成绩分组：A．；B．；C．；D．．给出部分信息： 七年级25名学生成绩在B组的数据：81，82，82，84，85，85，85，87，88（共9个）； 九年级25名学生成绩：63，65，71，72，74，76，77，78，80，81，83，83，85，86，88，90，91，92，93，94，95，96，97，98，99． 七、九年级成绩的平均数、中位数表 年级 平均数 中位数 七年级 82 n 九年级 85 (1)求________，________，________； (2)若成绩不低于90分为“优秀”，请通过计算说明七、九年级哪个年级的优秀率更高？ (3)该校七年级有600人，九年级有550人，估计两个年级成绩在的学生总人数； (4)结合平均数、中位数和优秀率，分析哪个年级学生的竞赛成绩整体表现更好，并说明理由． 【变式题6-1】.（2026·吉林长春·模拟预测）为了了解九年级男生掷实心球项目的训练水平，某中学对九年级男生进行了一次模拟测试，获得了他们的成绩，并随机抽取了30名男生的成绩进行整理、描述和分析．下面是给出的部分信息： ①成绩频数分布表： 成绩（米） 频数 3 8 10 5 4 ②成绩在这组的数据是（单位：米）：9  9  9.1  9.3  9.4  9.6  9.7  9.7  9.7  9.9 ③规定：成绩不低于9.6米，记为“满分”；成绩不低于9米，记为“优秀”． 根据以上信息，回答下列问题： (1)这30名男生掷实心球成绩的中位数是________米； (2)该校九年级有男生180人，且所有男生都参加了模拟测试．估计其中满分的男生人数； (3)为了使样本数据更精确的反映总体情况，又随机抽取了其他10名男生的测试成绩．这10名男生成绩的中位数恰好为9.6米，且加入10名男生的成绩后，整体的优秀率保持不变．下列说法正确的是________（填序号） ①根据题目中所给条件，能求出原来30名男生掷实心球成绩的平均数； ②新抽取的10名男生的成绩中，有3名男生的成绩低于9米； ③这40名男生成绩的中位数的最大值为9.9米． 【变式题6-2】.（25-26九年级下·福建南平·阶段检测）下表是某连锁奶茶店所有员工月收入的资料： 岗位类别 店长A 副店长 B 资深店员C 店员D 学徒 E 兼职F 保洁G 实习生 H 人数 1 1 1 4 8 1 13 1 月收入 /元 49250 16000 9000 5200 4800 4250 3500 2800 (1)由上表可知，该奶茶店所有员工月收入的平均数约为6200 元，中位数是 ，众数是 ； (2)若要反映该奶茶店员工月收入水平的情况，（1）中的三个统计量（平均数，中位数，众数）中，不合适的是 ； (3)该奶茶店因业务调整，将一名员工由原岗位调整至另一岗位，该员工的月收入也随岗位发生相应变化，其他员工的月收入保持不变．调整完成后，奶茶店所有员工的平均月收入比原来减少了 25 元．请判断该员工是从哪个岗位调整至哪个岗位，并说明理由． 【变式题6-3】.（2026·黑龙江·模拟预测）为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知八年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用x表示）：A．；B．；C．；D．；E．；F．．随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下： 笔试 展演 甲 92 89 乙 90 95 已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89，请根据以上信息，完成下列问题： (1)_________，并补全频数分布直方图； (2)在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角的度数是________； (3)已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，上表为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由． 【培优题型】 【题型7】四分位数与箱线图的信息解读 1.核心考点 四分位数的计算，箱线图的结构与数据分布分析。 2.解题技巧 求四分位数：先排序找中位数，再分别求前半段、后半段数据的中位数。 箱线图：箱体两端为上下四分位数，中间线为中位数，两侧线段端点为最值。 【例题7】.（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）为了了解学生对海洋知识的掌握情况，促进学生全面发展和团队合作意识，学校以小组为单位在八年级开展了海洋知识竞赛．竞赛分为笔试与抢答两个环节，记分员分别记录了甲、乙两组队员的得分情况． 信息1：笔试得分（单位：分） 甲组：88，73，87，90，91，91，92，76； 乙组：90，84，88，86，88，84，88，88． 信息2：甲、乙两组抢答赛成绩的箱线图如右图． 信息3：得分统计表 笔试（满分100分） 抢答（满分100分） 参赛组 平均数 众数 中位数 平均数 方差 甲 86 b 89 90 乙 87 88 m 82.5 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的__________，__________，__________（填“>”“=”或“<”）； (2)本次竞赛将“笔试平均数”和“抢答平均数”按的权重来计算综合得分，你认为甲、乙哪个组的综合水平更好？请说明理由； (3)请你选择一个方面，对甲、乙两组在抢答环节的表现进行分析与评价． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·吉林长春·期中）在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，嘉琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． (1)在图2中，A反映 的成绩，B反映 的成绩；（填“甲”或“乙”） (2)图1中甲的众数为 环，乙的平均数为 环； (3)图2中，直接写出A的成绩和B的成绩，结合箱线图判断甲和乙谁的成绩分布比较集中 【变式题7-2】.（25-26八年级下·湖南·期末）某银行理财经营团队A对其2025年上半年负责经营的12项理财产品的收益率（）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）： 2.10，3.15，3.18，3.19，3.50，，3.93，4.00，4.44，，4.47，4.89． 团队A产品收益率的相关数据（） 收益率的平均值 3.925 4.450 3.769 请根据以上信息解答下列问题： (1)计算，，的值，并填入表格． 收益率的平均值 3.925 4.450 3.769 (2)根据统计数据绘制了A团队负责经营的理财产品收益率的箱线图，写出两条你从中得到的信息． 收益率的平均值 3.185 3.925 4.450 3.92 4.46 3.769 【变式题7-3】.（25-26八年级下·北京·阶段检测）跳绳是一项有效的有氧运动，因其便捷被学校广泛选为促进学生体质健康的运动项目，某校八年级400名学生在“跳绳提升”训练前后各参加了一次规则相同的测试，测试成绩为整数，满分10分．两次测试结果显示所有学生成绩都不低于6分，现用抽样调查的方式从中抽取了50名学生训练前后的测试成绩，并绘制出了如下统计图、统计表． 平均数 中位数 众数 方差 训练前 7 a 训练后 b 10 根据以上信息，解答下列问题： (1)____________，____________； (2)补全图1的条形统计图； (3)如图3是小帆绘制的训练前跳绳成绩的箱线图，请直接写出训练后的四分位数： 第一四分位数____________，第二四分位数____________，第三四分位数____________；并将训练后跳绳成绩的箱线图补充完整，并标出数据； (4)请根据以上统计量、箱线图，至少从两个方面分析训练前后的成绩变化． (5)估计该校八年级学生训练后成绩不低于9分的人数． 【题型8】统计量综合分析与决策 1.核心考点 结合体育、劳动、科技等跨学科情境，综合多个统计量进行评价与决策。 2.解题技巧 先分别计算两组数据的平均数、中位数、众数、方差。 多角度对比：从平均水平、集中趋势、稳定性三个维度分析。 结论要有数据支撑，贴合题目场景，避免主观臆断。 【例题8】.（2026·福建厦门·模拟预测）某小区计划对健身活动区域进行升级改造，物业组织小区住户对漫步机、太极揉推器、单双杠组合这三种健身器材均按等级进行评价，规定：A表示90分；B表示80分；C表示70分；D表示50分．漫步机的评价结果统计如下： (1)①______，______； ②求漫步机的平均得分； (2)物业将根据如下表所示的调查结果，增加平均得分最高的器材．由于部分数据缺失，工作人员建议直接增加A等级数量最多的太极揉推器．这个建议是否合理，若合理，请予以证明； 若不合理，请举例说明． 等级健身器材 A B C D 漫步机 230 180 m n 太极揉推器 350 ▲ ▲ 25 单双杠组合 240 120 ▲ 100 【变式题8-1】.（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）某校九年级组织某次数学测试中，有一道满分为10分的数学小作文题，其评分标准分为A、B、C、D、E五个等级，分别对应得分1分、3分、5分、8分、10分． 为了解九年级学生数学小作文的写作情况，该校对九年级学生以20人为一组进行了随机分组，并从中随机抽取了3个小组学生的答卷进行统计分析，过程如下： 【整理与描述】 (1)请补全第1小组得分条形统计图； 【分析与估计】 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 第1小组 7.5 a 8 第2小组 b 1 3 第3小组 5.9 5 c (2)由上表填空：________，________，________； (3)若该校九年级有600名学生，请你估计该校九年级学生在测试中得分为10分的人数； 【评价与建议】 (4)结合你的分析，请给第2小组的同学提供一条有关数学小作文的学习建议． 【变式题8-2】.（2026·山西吕梁·二模）为落实“阳光体育运动”政策，满足学生课后延时服务需求，某校在课后服务中全面开展内容丰富、形式多样的体育活动，切实减轻学生学习负担，促进学生健康成长．为了了解该校学生体育活动情况，实施锻炼时间目标管理，该校数学兴趣小组用调查问卷随机调查了该校部分学生平均每天参与体育运动的时间． 调查目的 1.生平均每天在校体育运动情况 2.给学校提出更合理的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生 调查内容 体育运动时间调查问卷你平均每天在校参与体育运动的时间为：（每组时间含最小值，不含最大值；请根据实际情况在方框内打上“√”） □A：0-30分钟           □B：30-60分钟           □C：60-90分钟 □D：90-120分钟         □E：120分钟及以上 调查过程 【数据收集】 ①兴趣小组计划抽取该校七年级50名学生进行问卷调查，下面的抽取方法中，合理的是________． A．从该校七年级1班中随机抽取50名学生的调查问卷 B．从该校七年级女生中随机抽取50名学生的调查问卷 C．从该校七年级学生中随机抽取男、女各25名学生的调查问卷 【数据整理】 ②通过问卷调查，兴趣小组获得了被抽查学生平均每天在校参与体育运动的时间，进行整理统计，并绘制了如下条形统计图和扇形统计图（不完整）． 【数据分析】 ③本次调查学生平均每天参与体育运动的时间的众数落在________中（A，B，C，D，E中选择填写）； ④若A组数据均近似地看作15分钟，B组数据均近似地看作45分钟，C组数据均近似地看作75分钟，D组数据均近似地看作105分钟，E组数据均近似地看作150分钟，则被抽查的50名学生平均每天在校体育活动时间为________分钟． 建议 …… 结合调查信息，回答下列问题： (1)请将调查报告补充完整； ①________；③________；④________； (2)请将【数据整理】中的条形统计图补充完整； (3)如果学校将管理目标确定为每天不少于90分钟，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？请说明理由． (4)请你结合上面的统计结果，对该校“阳光体育运动”采取的措施写出一条合理的建议． 【变式题8-3】.（2026·江苏无锡·二模）某实践小组为了解游客对该市“古城智能导览”项目中服务机器人的使用满意度，计划从参观古城的游客中随机抽取部分游客进行问卷调查． (1)【确定调查方式】下列抽样调查方式最合理的是（    ） A．只在景区入口处抽取年轻游客进行调查 B．只在智能导览机器人旁抽取使用过的游客进行调查 C．在景区内不同时段、不同区域随机抽取各类游客进行调查 D．只抽取景区工作人员进行调查 (2)【整理分析数据】问卷调查测试满分100分，所有问卷结果都在60分以上，评分分数用x表示，结果分为四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：．部分信息如下： 信息一： 信息二：评分“满意”等级的数据（单位：分） 分数 80 81 82 83 84 88 人数 10 20 20 10 20 10 根据以上信息解答下列问题： ①该调查的样本容量为________， ②请补全条形统计图；所抽取的游客中使用满意程度评分的中位数为________分； (3)【作出合理估计】清明节期间，该城市约有20万人次使用了“古城智能导览”项目，请估计这些游客中对“古城智能导览”项目非常满意的人次． 【易错重难点总结】 1.核心易错点 中位数计算不排序，偶数个数据忘记求平均数。 众数判断错误：认为众数唯一，或将出现次数当作众数。 方差公式漏除以，稳定性判断时大小关系搞反。 加权平均数忽略权重，直接用算术平均数计算。 数据变换后方差规律记错，漏乘系数的平方。 2.本章重难点 重点：加权平均数计算、中位数与众数求解、方差的意义与计算、统计量的合理选择。 难点：加权平均数的权的理解、方差的准确计算、综合统计分析与决策、离差平方和分组优化。 3.解题通用步骤 审题：明确所求统计量，理清数据形式与权重信息。 整理：对数据排序、分组，从图表中提取有效数据。 计算：代入对应公式，分步运算，关键步骤验算。 分析：结合统计量的实际意义，给出结论或决策建议。 4.高分必备技巧 中位数必排序，奇偶分情况，计算后核对位置是否正确。 加权平均数看清权重形式，百分比直接相乘，频数型先求和再除以总数。 方差计算先定平均数，平方和仔细算，最后勿忘除以数据个数。 稳定性比较：先看平均数是否相近，再比较方差大小。 综合分析题先列统计量对比表，再分维度阐述结论，条理清晰。 5.素养提升关键 数据分析观念：能从数据中提取有效信息，用统计量定量描述数据特征。 应用意识：能运用统计知识解决生活、学习中的实际决策问题。 严谨思维：统计计算步骤规范，结论做到有理有据。 探究能力：能借助离差平方和等工具，探究数据分组的最优方案。 表达能力：评价与建议类题目逻辑清晰，语言准确，贴合实际。 【同步练习】 一、单选题 1．为了解某校初三（8）班同学的鞋码分布情况，数学兴趣小组随机抽取班上10名同学的鞋码进行调查，统计数据为：38、39、39、39、40、40、40、40、41、41，这组数据的众数是（     ） A．38 B．39 C．40 D．41 2．为解决路途较远的学生中午在校就餐的问题，市教育局协调了配餐公司为学生供餐．某公司为学生提供甲种套餐每份20元，乙种套餐每份15元．若实验中学有的学生订购了甲种套餐，另外的学生订购了乙种套餐，每名学生仅订购一份．则该校订餐的学生午餐花费的平均数是（     ） A．17.5 B．18 C．18.5 D．19 3．甲、乙、丙、丁四名短跑运动员最近几次选拔赛的平均成绩（单位：秒）和方差（单位：）如表所示，根据表中数据，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（     ） 甲 乙 丙 丁 平均成绩/秒 方差/ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、填空题 4．若一组数据0，1，2，3，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为______． 5．现有一批螺丝帽，从中抽选个测得它们的直径尺寸（单位：）依次是，，，，，，现要将这个螺丝帽按直径大小分成两组，每组至少个，且两组的组内离差平方和之和最小，你认为应该如何分______． 6．河南某景区对优秀讲解员进行考核（满分100分），按专业知识、讲解技能、素养仪态的比例计算最终成绩，小颖的上述三项成绩分别为95分、92分、90分，则小颖的最终成绩为____________分． 三、解答题 7．为提高学生体质健康水平，某校开展了丰富多彩的课外社团活动．甲、乙两位同学参加了篮球社团的选拔测试，每次测试共有10次定点投篮机会，以命中次数作为测试成绩，命中次数大于等于8次即为优秀．已知这两位同学近8周定点投篮测试成绩的折线统计图如图所示． 分析甲、乙两位同学的成绩，得到如下数据： 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 甲 6.5 a 5 5.75 乙 6.5 7 c 1.25 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：___________，___________，___________． (2)这8周测试成绩中，发挥较稳定的是___________同学（填“甲”或“乙”）． (3)若篮球社团决定从甲、乙两位同学中选出一位，你建议选拔哪位同学，请说明理由． 8．为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后组织了航天知识竞赛．为了解七年级两个班级的竞赛情况，该校从两个班级各随机抽取12名学生的成绩（满分分，成绩均为整数），并绘制了如下统计图表： 成绩统计表 统计量 班级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的，，． (2)你认为哪个班级的学生成绩更好？请至少选择两个统计量说明理由． 9．某工厂有甲、乙两个生产车间，为比较不同技术培训的效果，分别从甲、乙车间各随机抽取名工人，对其加工的零件进行质量评分（满分分，评分为整数）．数据收集与整理如下： 两车间评分数据统计表 车间 众数 中位数 平均数 方差 甲 乙 请根据以上信息，完成下面任务． (1)______，______，______；并补全条形统计图． (2)对于这次评分，成绩比较整齐的是哪个车间，并说明理由； (3)若甲乙两个车间共有名工人，请估计此次培训中，两个车间的工人不低于分的人数． 10．为了解市民对该市创建全国文明城市工作的满意度，某中学数学兴趣小组在全市随机采访了100名市民，并让他们进行满意度评分（满分100分，评分均为整数）． 【整理数据】将100名市民的评分分为5组，绘制出的频数分布表及频数分布直方图（尚不完整）如下． 频数分布表： 组别 频数 频数分布直方图： 其中，C组数据为：． D组数据的折线统计图如下： 【分析数据】100名市民的评分数据分析如下表： 平均数 中位数 众数 方差 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求出的值并补全频数分布直方图； (2)上述表格中， __________； (3)结合一个统计量，简要评价该市创建全国文明城市的工作效果，并提出一条合理化建议． 学科网（北京）股份有限公司 $