第20章 勾股定理单元复习（5大知识点总结+10大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学八年级下册易错题重难点培优讲义

第20章 勾股定理 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.勾股定理（，为直角边，为斜边） 1.已知直角三角形两边求第三边； 2.利用勾股定理列方程求线段长度； 3.勾股定理在几何图形面积计算中的应用； 4.实际情境中距离、高度的求解 1.忽略定理适用条件，对非直角三角形直接套用勾股定理； 2.已知斜边和直角边，求另一直角边时计算错误（平方和与平方差混淆）； 3.涉及折叠、动点问题时，未准确构造直角三角形 2.勾股定理的逆定理 1.利用三边关系判定三角形是否为直角三角形； 2.结合勾股定理逆定理证明垂直关系； 3.勾股定理与逆定理的综合应用 1.判定直角三角形时，未确定最长边为斜边； 2.混淆勾股定理与逆定理的题设和结论； 3.忽略勾股数的正整数条件 3.勾股数 1.识别常见勾股数及勾股数的整数倍； 2.根据规律推导新的勾股数； 3.勾股数在实际问题中的应用 1.误将非正整数的勾股定理满足数当作勾股数； 2.未掌握勾股数的生成规律，无法推导拓展勾股数 4.勾股定理的实际应用 1.最短路径问题（平面/几何体表面）； 2.航海、测量、建筑等实际情境的建模求解； 3.结合生活场景的距离、高度计算 1.几何体表面最短路径问题，未正确展开平面； 2.实际问题建模时，未准确构造直角三角形； 3.忽略单位换算或实际问题的取值范围 5.勾股定理与图形变换 1.折叠问题中利用勾股定理求线段； 2.旋转、平移后结合勾股定理的计算； 3.网格中勾股定理的综合应用 1.折叠问题中未抓住对应边相等、对应角相等的性质； 2.网格中计算线段长度时，数错格点距离； 3.图形变换后，未准确确定新图形的边长关系 【易错题型】 【题型1】勾股定理应用的条件混淆与构造失误 1.易错点总结 对非直角三角形直接套用勾股定理，未通过作高构造直角三角形； 判定直角三角形时，未将最长边作为斜边验证三边关系； 几何体最短路径问题，展开平面时选择错误展开方式，导致路径非最短。 2.纠错技巧 先判断三角形是否为直角三角形，非直角三角形需作高（如钝角三角形作外高）构造直角三角形； 用逆定理判定直角三角形时，先找最长边，验证其平方是否等于另外两边的平方和； 几何体表面最短路径，先列举所有可能的平面展开方式，再用勾股定理计算比较，取最小值。 【例题1】.（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）已知等腰中，，，底角为，动点P从点B向点C运动，当是直角三角形时，长为 _____． 【答案】3或4 【分析】分和两种情况讨论，根据三线合一的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等求解即可． 【详解】解：当时，如图1， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 解得： （负值舍去）， ∴， 当，如图2， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ∴； ∴或4，． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·贵州毕节·期末）若满足方程组的的值恰好是一个直角三角形的两边长，则该直角三角形的第三边长为___________． 【答案】5或 【分析】先利用加减消元法求出的值，再分情况当，为两直角边时，当为直角边，为斜边时，利用勾股定理求出第三条边． 【详解】解：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 当，为两直角边时，第三边长为， 当为直角边，为斜边时，第三条边为， 则该直角三角形的第三边长为5或． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·河南周口·期末）若三角形三边长为5，12，x，且该三角形为直角三角形，则x的值为（    ） A．13 B． C．13或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题需分两种情况讨论，利用勾股定理求解x的值，因为x可能是直角三角形的直角边或斜边． 【详解】解：当x是直角边时，， 当x是斜边时，， 综上，x的值为13或， 故选：C． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·上海·期末）已知，在中，，，边上的高，则边BC的长为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据题意，可能是锐角三角形或钝角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理分别计算和，再根据点D的位置求． 【详解】在中，，，，由勾股定理得：； 在中，，，，由勾股定理得：； 当为锐角三角形时，点D在上，， 当为钝角三角形时，且为钝角，点D在BC的延长线上，． 故答案为：或． 【基础题型】 【题型2】勾股定理的直接计算与逆定理判定 1.考点总结 已知直角三角形两边，直接求第三边； 利用三边平方关系判定直角三角形； 简单勾股数的识别与应用。 2.解题技巧 明确直角边与斜边：若为斜边，则；若为直角边，为斜边，则； 逆定理判定三步法：①找最长边；②计算和；③比较是否相等，相等则为直角三角形； 熟记常见勾股数：、、，其整数倍仍为勾股数。 【例题2】.（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）若一等腰直角三角形的直角边长为2，则它的斜边长为______． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质与勾股定理求解斜边长． 【详解】解：设该等腰直角三角形的斜边长为， 根据勾股定理，可得， 整理得， 因为三角形的边长为正数， 因此． 即它的斜边长为． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在中，，若，，则的值是（    ） A．10 B． C． D．4.8 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求解直角三角形的斜边长度即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴根据勾股定理， ∴， 故选A． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·河南开封·期末）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长 (2)四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)36 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中， 根据勾股定理求得的长即可； （2）在中，根据得到是直角三角形，利用进行求解即可． 【详解】（1）解： 在中，， 由勾股定理得； （2）解：在中， 由于，即， 则是直角三角形， 因此． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·河南平顶山·期末）一个零件的形状如图所示，其中，工人师傅量得三边的尺寸分别为，，，则边的长为（   ） A． B． C． D．15cm 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，先利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：在中，， 在中，， 故选：B． 【题型3】网格中勾股定理的基础应用 1.考点总结 网格中求线段的长度（水平/竖直/斜向）； 网格中判定三角形是否为直角三角形； 网格中求图形的面积（割补法结合勾股定理）。 2.解题技巧 斜向线段长度：以线段为斜边，作水平+竖直的直角三角形，用勾股定理计算； 网格中直角判定：通过勾股定理计算三边长度，再用逆定理验证； 不规则图形面积：用割补法转化为规则图形，结合勾股定理求补形/分割后的边长。 【例题3】.（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理计算斜边长度，从而得到两棋子之间的距离． 【详解】解：根据题意得，“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为：． 故选：C． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有_____个． 【答案】5/五 【分析】本题考查了等腰三角形的定义；利用等腰三角形的定义和网格的特征找到其中一个端点为A或B且与相等且另一个端点为格点的线段即可，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形. 【详解】如图，共有5个格点符合要求， 故答案为：5． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在边长均为个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积，关键是灵活应用知识点解题；先求出，然后利用三角形的面积的不同表示方法得到等积式求出边上的高. 【详解】解：设边上的高为，边上的高为， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 故选：D ． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，梯形的顶点都在网格线的交点上，其中长度为无理数的边是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理，计算各条线段的长度，后判定它们的属性解答即可． 本题考查了勾股定理，无理数，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理，得，是有理数，不符合题意； ，是有理数，不符合题意； ，是有理数，不符合题意； ，是无理数，符合题意； 故选：D． 【题型4】勾股数的识别与规律推导 1.考点总结 识别勾股数及拓展勾股数； 根据勾股数生成规律推导新勾股数； 利用勾股数简化直角三角形计算。 2.解题技巧 勾股数判定：三个正整数满足（为最大数）； 常用生成规律：若为大于1的正整数，则为勾股数； 计算时优先用勾股数的整数倍，简化开方运算（如是的2倍）。 【例题4】.（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3 B． C．7，24，25 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； B、三个数均为分数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； C、7，24，25都是正整数，且，满足勾股数定义，该选项符合题意； D、三个数均为无理数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； 【变式题4-1】.（25-26八年级上·山东济宁·期中）下列各组数中是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数是满足较小两个数的平方和等于最大数的平方的一组正整数，据此对各选项分析判断即可． 【详解】解：A．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意， B．，，不是正整数，故该选项不是勾股数，不符合题意， C．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意， D．，，且，，均为正整数，故该选项是勾股数，符合题意， 故选：D． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为_________． 【答案】8 【分析】本题考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，理解图示，掌握勾股定理计算图形面积的方法是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，由此即可求解． 【详解】解：如图，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意可得，，， ∴， ∴正方形的面积为3，即正方形的面积是正方形的面积和， 同理，正方形的面积是正方形的面积和，即正方形的面积为， ∴同理可得，正方形的面积为， 故答案为：8． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·江苏泰州·期末）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数中较小数的表达式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用勾股定理的平方关系，推导勾股数中较小数的表达式，关键是利用勾股数的性质设出中间数并进行代数变形． 【详解】解：题中所给表达式是毕达哥拉斯生成勾股数的一种形式 该类勾股数的三边可表示为、和， 其中最大数为， 另外两个数为和， 当为正整数时，， 所以， 因此，较小数的表达式是 故选：C． 【题型5】勾股定理的简单实际建模 1.考点总结 航海、测量等简单实际情境的直角三角形建模； 利用勾股定理求实际距离、高度； 结合生活场景的基础几何计算。 2.解题技巧 建模核心：从实际情境中提取直角关系，标注已知边长，设未知量； 常见模型：①测量物体高度（直角三角形中已知一边一角/两边）；②航海方向（北偏东/西、南偏东/西构成的直角三角形）； 计算后验证结果是否符合实际意义（如长度为正、取值合理）。 【例题5】.（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯子底端离墙7米，若梯子顶端下滑4米至C点，那么梯子底端将向左滑动多少米． 【答案】8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理先求得，即可求得，再求出即可解答，熟练运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，记墙角为E点，根据题意可得，米，米， 米， 米， 米， 米． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·江苏淮安·期末）勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是 ，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴ 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 故选：D． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·全国·周测）由于大风，山坡上的一棵树甲从点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部处，如图所示．已知，，两棵树的水平距离是，则甲树原来的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理． 如图，过点作交的延长线于点．则根据题意可以得到，根据勾股定理即可求出的长，再利用勾股定理求出的长，可得到的长，即为甲树原来的高度． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． 由题意，得，，． 在中，， ． 在中，， ． 故甲树原来的高度是． 故选：C． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，灯塔位于海岛的北偏西方向，且相距，一艘船从海岛出发，以的速度沿北偏东方向航行，经过小时到达处，此时，相距，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答．根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可． 【详解】解：由题意可得：，，，， ，，， ， 是直角三角形， ， ． 【提升题型】 【题型6】折叠问题中的勾股定理应用（方程思想） 1.考点总结 长方形、直角三角形折叠后，利用勾股定理求线段长度； 结合折叠的全等性质列方程求解； 折叠问题中多直角三角形的综合分析。 2.解题技巧 折叠核心性质：对应边相等、对应角相等，标记相等线段（如、）； 设未知量：将所求线段或关联线段设为，用表示其他线段； 找直角三角形：在折叠后的图形中确定含未知量的直角三角形，根据勾股定理列方程求解。 【例题6】.（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，，、分别是和边上的点，把沿着直线折叠，若点落在边上，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，因为折叠后点在边上，当点与点重合时，利用勾股定理求出，根据线段之间的关系即可求出的长度；当点与点重合时，可知是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的取值范围． 【详解】解：如下图所示，当点与点重合时， 由折叠的性质可知且， 在中，，，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 则； 如下图所示，当点与点重合时， 由折叠的性质可知且； 综上所述，． 故答案为：． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据折叠得到，，，，然后求出 【详解】解：由折叠性质得：，，，， ∵，，然后利用勾股定理求解即可． ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，中，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，连接． （1）__________； （2）若，，则______． 【答案】 45 【分析】本题考查折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理，运用数形结合的思想解决问题，是解答本题的关键． （1）由翻折的性质可知，，．再根据，即可求出； （2）利用勾股定理可求出．利用三角形的面积公式可求出，从而由（1）结论可得出．再利用勾股定理可求出，最后根据，即可求出的长． 【详解】（1）∵边沿翻折，点A落在上的点处， ∴，即． 由翻折可知，， 又∵，即， ∴，即， 故答案为：45； （2）在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， 根据折叠可知，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 【题型7】勾股定理与图形面积的综合探究 1.考点总结 以直角三角形三边为边的正方形、半圆、正多边形的面积关系； 赵爽弦图、勾股树等模型的面积计算； 利用面积法验证勾股定理及拓展应用。 2.解题技巧 核心结论：以直角三角形三边为边的相似图形，面积满足“两直角边图形面积和=斜边图形面积”； 赵爽弦图：大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积，即； 勾股树：从下往上逐层利用勾股定理，累加正方形面积和。 【例题7】.（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】设两直角边分别为a，b，斜边为c，用a，b，c分别表示正方形，半圆，等边三角形的面积，进而可得答案． 【详解】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c，则， 左边数第1个图中， ， ∵， ∴，符合题意； 左边数第2个图中，，，， ∵， ∴，符合题意； 左边数第3图中，作于点G，则，， ∴， ∴， 同理：，， ∵， ∴，符合题意； 综上，三个图形中面积关系满足的个数是3个． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在四边形中，，分别以、、、为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，若，，，则长为___． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据正方形的面积公式和勾股定理可得：，又因为，可得，即可求出的长度． 【详解】解：，，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且、、三个正方形的面积分别为6、2、12，则正方形的面积为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，确定正方形A、B、C、D面积的数量关系是解题的关键． 根据勾股定理推出中间空白正方形的面积，进而即可求出正方形的面积． 【详解】解：两个空白三角形均为直角三角形，且、、三个正方形的面积分别为6、2、12， 结合勾股定理可知，中间空白正方形的面积为：， 则正方形的面积为； 故答案为：． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置，四个阴影部分面积分别记为，，若已知的面积，则能求下列哪个代数式的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．根据勾股定理得到，用各部分面积分别表示出、和，再列式求解即可． 【详解】解：如图，由题意得，， ∵，，， ∴， ∴， ∵的面积已知， ∴能求出代数式的值， 故选：A． 【题型8】几何体表面的最短路径问题（转化思想） 1.考点总结 正方体、长方体、圆柱体表面的最短路径计算； 几何体的平面展开与勾股定理的综合应用； 多面体表面最短路径的探究式求解。 2.解题技巧 核心思想：化曲为直、化立体为平面，将几何体表面展开为平面图形； 不同几何体展开方法：①正方体/长方体：沿棱展开，列举所有可能的展开方式；②圆柱体：侧面展开为长方形，底面周长为长方形的一边，高为另一边； 计算比较：对每种展开方式用勾股定理计算路径长度，取最小值为最短路径。 【例题8】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个长、宽、高分别为、、（即，，）的无盖长方体木箱，在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从点爬到点所经过的最短路程是_____．（木板的厚度忽略不计，结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了长方体的侧面展开图，勾股定理与最短路径问题，解题的关键是将长方体展开，利用两点之间线段最短找到最短路径． 先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程，再由勾股定理求解． 【详解】解：先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则， 所以， 根据两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程， 在中，，根据勾股定理得， 故答案为：． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 【答案】雕刻在石柱上的巨龙至少为20米． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题．根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·河南郑州·月考）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点在点的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______（填字母） A．    B． C．    D． (2)【拓展应用】如图②，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱，为底面．现在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，画出示意图，并求出此最短路程的长度．（木板的厚度忽略不计，只画出路程最短的一种情况即可） 【答案】(1) (2)示意图见解析， 【分析】本题主要考查了立体图形展开、平面几何基本原理以及勾股定理的应用，解题的关键在于将立体表面转化为平面，利用平面几何知识解决最短路径问题． （1）根据圆柱的侧面展开图为长方形，再结合过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝，即可得出结论； （2）先将长方体的侧面和侧面展开，再作点关于的对称点，连接交于点，则，把立体表面的折线路径转化为平面内的线段，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：由题知，过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝， 根据两点之间线段最短可知，将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是， 故选：； （2）如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点关于的对称点，连接交于点，则， 所以， 根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，的值最小，即的值最小， 此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程， 在中，，根据勾股定理，得， 所以最短路程为． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 【培优题型】 【题型9】动点问题中的勾股定理应用（分类讨论） 1.考点总结 直角三角形中动点引发的线段长度变化； 动点问题中直角三角形的存在性判定； 结合勾股定理的分类讨论思想应用。 2.解题技巧 确定动点运动范围：明确动点的运动轨迹和自变量取值范围； 分类讨论：根据直角顶点的不同分情况； 分别构造直角三角形：每种情况中结合勾股定理列方程，求解后验证是否在取值范围内。 【例题9】.（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动时间为秒（）． (1)当点在点左侧时， ，当点在点右侧时， （用含的代数式表示）； (2)当为直角三角形时，求的值； (3)当为等腰三角形时，请直接写出的值 ． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3)或或 【分析】本题考查三角形综合，涉及勾股定理、等腰三角形性质，根据点的运动情况分类讨论是解决问题的关键． （1）先由勾股定理得到，在求出，分情况表示即可得到答案； （2）分三种情况：当点在点左侧时；当点与点重合时；当点在点右侧时；由勾股定理求解即可得到答案； （3）分三种情况：当点在点左侧，时；当点在点右侧，或时；由等腰三角形性质列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，，，则由勾股定理可得， 动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动时间为秒（）， ， 则当点在点左侧时，，当点在点右侧时，， 故答案为：，； （2）解：由（1）可知，是直角三角形， 当点在点左侧时，不可能为直角三角形； 当点与点重合时，为直角三角形， 则， ； 当点在点右侧时，若为直角三角形，如图所示： 在中，，，，则由勾股定理可得， 在中，，，，则由勾股定理可得， 即， 解得； 综上所述，当为直角三角形时，的值为或； （3）解：由（1）可知，是直角三角形， 当点在点左侧时，若为等腰三角形，如图所示： ， ，，， 在中，，由勾股定理可得， 即， 解得； 当点在点右侧时，若为等腰三角形， 当时，如图所示： 则， ， ； 当时，如图所示： ； 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或或， 故答案为：或或． 【变式题9-1】.（24-25八年级下·四川广安·月考）如图，在中，，，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为t秒（），解答下列问题： (1)当t为何值时，点A在的垂直平分线上？ (2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，请直接写出当t为何值时，． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【分析】本题考查了动点问题的解决方法，线段垂直平分线性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解决本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，则可得出方程求出即可； （2）分两种情形：或分别求解即可． （3）过点作，交于点，求出和，再根据列出方程即可得出答案． 【详解】（1）解：若点在线段的垂直平分线上，则， ， ， 解得：， 答：当时，点在线段的垂直平分线上； （2）解：①若，则是直角三角形， ， ， ， ， ； ②若，则是直角三角形， ， ， ， ， 当或时，是直角三角形． （3）解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， 则， 解得：． 【变式题9-2】.（24-25八年级下·广东中山·月考）如图，中，，，，若动点从点开始，按路径运动，且速度为每秒，设运动时间为秒． (1)动点运动秒后，求的周长； (2)当动点在上运动时，问为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2) 【分析】（）由勾股定理得，进而当动点运动秒后可得，，再利用勾股定理求出即可求解； （）利用三角形的面积求出，再利用勾股定理求出，进而用点运动的路程除以速度即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴， ∵动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， ∴出发秒后，，， ， ， ∴的周长为； （2）解：当点在上，时，为直角三角形， ∴， 即， 解得， ， ， ； 时，为直角三角形． 【变式题9-3】.（20-21八年级下·辽宁大连·月考）已知，如图，在中，，，．动点M从点A出发，沿向点C运动（到达C点停止），动点N从点B出发，沿向点A运动（到达A点停止），如果动点M以，N以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1)图1，当______s时，； (2)如图2，当为等腰三角形时，求t的值； (3)如图1，连接． ①当时，求线段的长； ②在运动过程中，的形状也在不断发生变化，它能否构成直角三角形？如果能，则求出此时t的值，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)2或 (3)①，②2或 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理是解题的关键． （1）先求得的长，再根据点的运动速度可得，，则，列方程即可求得t的值； （2）分两种情况讨论当，，即可求解； （3）①作于H，于G，在中利用勾股定理即可求解； ②分，时，利用含30度直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，． ∴， 由M、N的运动速度可知：，，则， 当时，即， 解得； （2）∵在中，，． ∴， 由N的运动速度可知：， ①当为等腰三角形时，若，如解图1， ∴， ∵， ∴， ∴，即是中点， ∴， ∴ ②当为等腰三角形时，若时， ， ③当为等腰三角形时，若时，点在延长线上，不符合题意，舍去； 综上所述：当为等腰三角形时，为2或． （3）①过点N作于H，作于G，如解图2， ∵，； ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②能构成直角三角形，有以下两种情况： 当时，如解图3， ∵ ∴，， ∴， 由（1）可得：，， ∴，解得：， 当时，如解图4， 同理可得：，即，解得： 综上所述，当t为2或时，是直角三角形． 【题型10】平面图形中的最短路径问题（将军饮马模型） 1.考点总结 结合勾股定理的将军饮马模型（两定一动/一定两动）； 平面内最短路径的建模与计算； 勾股定理与轴对称的综合应用。 2.解题技巧 将军饮马核心：利用轴对称将折线转化为直线，两点之间线段最短； 步骤：①作其中一个定点关于直线的对称点；②连接对称点与另一个定点，交直线于动点；③以连线为斜边构造直角三角形，用勾股定理计算长度。 【例题10】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）综合与实践 (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米．①尺规作图：在边上作出一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求的距离； (2)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值为_____． 【答案】(1)①见解析；②千米 (2)20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，尺规作线段垂直平分线，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求； ②设千米，则千米，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （2）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：①如图，点P即为所求作的点； ②设千米，则千米， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：， 即：千米； （2）解：如图，，先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设，则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·江苏苏州·月考）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图），向右平移直角使点和重合（图），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． （1）代数式的最小值为______； （2）变式训练：求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数满足，则______． （4）的最大值是______； 【答案】（）；（）；（）（）． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （）以和对应直角三角形斜边，通过构造直角三角形，结合勾股定理解方程求解即可； （）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【详解】解：（）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，， 则，， ∴表示， ∵， ∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故答案为：； （）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，， 则，， ∴表示， ∵， ∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为； （）如图，构造，于点，，， 设， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴方程的解是， 故答案为：； （）构造，，，，，，，如图所示， 过点作，交延长线于点， 则，，， 设，则，，， ∴代数式表示， ∵， ∴的最大值为的长， 即代数式的最大值为的长， 在中,由勾股定理得：， ∴的最大值为， 故答案为：． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接，已知，设． (1)则的长为_______（用含x的代数式表示），的长为_______（用含x的代数式表示）； (2)当点C在上运动时，求的最小值； (3)根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为_______； (4)仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为_______． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，两点之间线段最短等知识，解题的关键是正确运用数形结合的思想． （1）对运用勾股定理求解； （2）当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，过点作交的延长线于点，然后对运用勾股定理求解; （3）可作，过点作，过点作，使，，当点共线时，则的长即为代数式的最小值，然后构造，根据勾股定理即可求得的值； （4）构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， 则，，过点作于点，则同上可得，则，那么由勾股定理得，，，，由，得当点共线时，的长即为代数式的最大值，即可求解． 【详解】（1）解：，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 故答案为：；； （2）解：当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，如图： 过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴，同理， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，作线段，C为线段上一动点，过点作，过点作，使，， 设，则， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴当点共线时，取得最小值即，即为的长， 过点作交的延长线于点， 则同上可得，，， ， 即的最小值为13． （4）解：如图，构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， ∴，， 过点作于点，则同上可得， ∴， ∴由勾股定理得，，，， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴， ∴ ∴当点共线时，的长即为代数式的最大值， ∴的最大值为． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，；连接、．已知，，，设． (1)①用含x的代数式表示的长； ②求出的最小值． (2)根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值． (3)若正实数a，b，c满足，请构图求出代数式的最小值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握数形结合思想，正确构造直角三角形是解题的关键， （1）①根据勾股定理即可表示出的长；②过点作，过点作，连接，当三点共线时，的值最小，再利用勾股定理求出的最小值； （2）根据题意构造图形，过点作，过点作，连接，交于点，所以代数式的最小值为的长，由勾股定理求得的最小值； （3）由条件得，将看作直角三角形的斜边，通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移为，再根据两点间距离最短，可得的最小值． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴． ②过点作，过点作，连接，如图， ∴当三点共线时，的值最小， ∴， ∴的最小值为． （2）解：，，，，，如图： 过点作，过点作，连接，交于点， ∴代数式的最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴代数式的最小值为． （3）解：∵ ∴， 将、、看作直角三角形的斜边，如图所示： 通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移总长为， ∴的最小值为． 同步练习 一、单选题 1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（   ） A．1,2,3 B．3,4,5 C．6,8,10 D．5,12,13 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，判断三边能否构成直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先判断能否构成三角形，再验证是否为直角三角形． 【详解】解：∵三角形任意两边之和需大于第三边， ∴在选项A中，， 不满足三边关系， 无法构成三角形， 更不能构成直角三角形； 选项B中，∵， 符合勾股定理逆定理， ∴能构成直角三角形； 选项C中，∵， 符合勾股定理逆定理， ∴能构成直角三角形； 选项D中，∵， 符合勾股定理逆定理， ∴能构成直角三角形， 故选：A． 2．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出吸管在罐内长度的最大值和最小值，然后求出在罐外部分的最大值和最小值即可． 【详解】解：当吸管底部在底面圆心时吸管在罐内部分b最短，此时b就是圆柱形的高， 即； ∴此时， 当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长， 此时， ∴此时， ∴． 3．如图，每个小正方形的边长为1，若、、是小正方形的顶点，则度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据网格结构利用勾股定理分别求出、、的长度，再利用勾股定理逆定理判断的形状，最后根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ∵，且， ∴是等腰直角三角形， ∴． 4．如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的直角边为m、n，小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据小正方形的面积为5并结合计算得出，即可得出结果． 【详解】解：∵直角三角形的直角边为m、n，小正方形面积为5， ∴， ∵， ∴由可得：， ∴， ∴大正方形面积为． 5．若3、4、a为勾股数，则a的相反数的值为（　　） A． B．5 C．或 D．5或 【答案】A 【分析】根据勾股数定义，勾股数是满足勾股定理的三个正整数，因此分a是斜边、4是斜边两种情况计算，舍去不符合勾股数定义的结果，最后求a的相反数即可． 【详解】解：∵勾股数是能构成直角三角形三边的正整数， ∴a为正整数，分两种情况讨论： 当a为斜边时，根据勾股定理得： ． ∵， ∴，符合勾股数定义； 当4为斜边时，根据勾股定理得： ，解得． ∵不是正整数，不符合勾股数定义，舍去； ∴，a的相反数为，故选A． 二、填空题 6．如图，在数轴上点A表示的实数是___________． 【答案】 【分析】勾股定理求出的长，即可得出结果. 【详解】解：由作图和勾股定理可知：， 故在数轴上点A表示的实数是. 7．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_______，却踩伤了花草． 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用．利用勾股定理求出“捷径”的长度，据此进一步求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得： “捷径”长度， ∴， 即他们仅仅少走了，却踩伤了花草． 8．如图，是的角平分线，，则的长为 _____． 【答案】 【分析】过点作于点，先用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而根据角平分线的性质可得，证明，设，在中，利用勾股定理求得的值，进而在中，勾股定理即可求得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 过D作于E， ∵是的角平分线， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．如图，在中，，D为中点，E为上一点，，P为线段上一动点，则周长的最小值为______． 【答案】6 【分析】连接，三线合一结合中垂线的性质，得到，进而得到，勾股定理求出的长，根据三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵，D为中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， ∵， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 10．如图，在四边形中，，，，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】连接，作于点，过点作的平行线，延长交直线于点，延长到点，使，则点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接，求得的最小值为的长，作交延长线于点，据此计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， 作于点，过点作的平行线，延长交直线于点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 延长到点，使，则点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接，则， ∴的最小值为， 作交延长线于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题 11．如图，一根旗杆高10m，旗杆顶部A与地面一个固定点B之间可拉一根直的铁索，已知固定点B到旗杆底部的距离是8m，一工人准备了一根长为12.5m的铁索；你认为这一长度够吗？ 【答案】不够 【分析】此题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理计算长度是解题的关键． 根据勾股定理可求出直角三角形斜边，再将的长与铁索的长的平方进行比较即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，旗杆顶部、固定点、旗杆底部构成一个直角三角形， ，， 根据勾股定理，有， ， 由于， 所以铁索的长度不够． 12．在中，，，，求的面积． 【答案】54 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理可得： 即 解得 因此 答：的面积为． 13．《国务院关于印发全民健身计划（2021—2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量照明灯灯板的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处．已知m，m 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 【答案】m 【分析】本题考查了勾股定理，先计算，再计算，最后相减即可得到． 【详解】解：由题意可知， 在中， ，， ， 在中， ，， ， ∴． 14．甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． (1)甲同学所做的点表示的数是_______； (2)仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、用数轴上的点表示无理数． (1)根据勾股定理可得，可知，所以点表示的数是； (2)构造，使，，，根据勾股定理可得，所以点表示的数是． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：如下图所示，在中，，，， ， ， 点表示的数是． 15．如图1，中，，点为斜边上动点． (1)边 ； (2)如图2，过点作交于点，连接，当平分时，求； (3)如图3，在点的运动过程中，连接，若为等腰三角形，直接写出的长为 ． 【答案】(1)20 (2) (3)的值为15或12.5或18． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用勾股定理列式计算，解得，即可作答． （2）先证明，推出，，设，则，，在中，根据勾股定理即可解决问题； （3）分三种情形分别求解，即可解决问题； 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 在中， ∴， ∴． （3）解：依题意，∵为等腰三角形， ∴①当时，为等腰三角形 ∵， ∴． ②当时，为等腰三角形 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ③当时，为等腰三角形， 如图1中，作于点H， 则， ∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴． 综上所述：的值为15或12.5或18． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 勾股定理 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.勾股定理（，为直角边，为斜边） 1.已知直角三角形两边求第三边； 2.利用勾股定理列方程求线段长度； 3.勾股定理在几何图形面积计算中的应用； 4.实际情境中距离、高度的求解 1.忽略定理适用条件，对非直角三角形直接套用勾股定理； 2.已知斜边和直角边，求另一直角边时计算错误（平方和与平方差混淆）； 3.涉及折叠、动点问题时，未准确构造直角三角形 2.勾股定理的逆定理 1.利用三边关系判定三角形是否为直角三角形； 2.结合勾股定理逆定理证明垂直关系； 3.勾股定理与逆定理的综合应用 1.判定直角三角形时，未确定最长边为斜边； 2.混淆勾股定理与逆定理的题设和结论； 3.忽略勾股数的正整数条件 3.勾股数 1.识别常见勾股数及勾股数的整数倍； 2.根据规律推导新的勾股数； 3.勾股数在实际问题中的应用 1.误将非正整数的勾股定理满足数当作勾股数； 2.未掌握勾股数的生成规律，无法推导拓展勾股数 4.勾股定理的实际应用 1.最短路径问题（平面/几何体表面）； 2.航海、测量、建筑等实际情境的建模求解； 3.结合生活场景的距离、高度计算 1.几何体表面最短路径问题，未正确展开平面； 2.实际问题建模时，未准确构造直角三角形； 3.忽略单位换算或实际问题的取值范围 5.勾股定理与图形变换 1.折叠问题中利用勾股定理求线段； 2.旋转、平移后结合勾股定理的计算； 3.网格中勾股定理的综合应用 1.折叠问题中未抓住对应边相等、对应角相等的性质； 2.网格中计算线段长度时，数错格点距离； 3.图形变换后，未准确确定新图形的边长关系 【易错题型】 【题型1】勾股定理应用的条件混淆与构造失误 1.易错点总结 对非直角三角形直接套用勾股定理，未通过作高构造直角三角形； 判定直角三角形时，未将最长边作为斜边验证三边关系； 几何体最短路径问题，展开平面时选择错误展开方式，导致路径非最短。 2.纠错技巧 先判断三角形是否为直角三角形，非直角三角形需作高（如钝角三角形作外高）构造直角三角形； 用逆定理判定直角三角形时，先找最长边，验证其平方是否等于另外两边的平方和； 几何体表面最短路径，先列举所有可能的平面展开方式，再用勾股定理计算比较，取最小值。 【例题1】.（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）已知等腰中，，，底角为，动点P从点B向点C运动，当是直角三角形时，长为 _____． 【答案】3或4 【分析】分和两种情况讨论，根据三线合一的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等求解即可． 【详解】解：当时，如图1， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 解得： （负值舍去）， ∴， 当，如图2， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ∴； ∴或4，． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·贵州毕节·期末）若满足方程组的的值恰好是一个直角三角形的两边长，则该直角三角形的第三边长为___________． 【答案】5或 【分析】先利用加减消元法求出的值，再分情况当，为两直角边时，当为直角边，为斜边时，利用勾股定理求出第三条边． 【详解】解：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 当，为两直角边时，第三边长为， 当为直角边，为斜边时，第三条边为， 则该直角三角形的第三边长为5或． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·河南周口·期末）若三角形三边长为5，12，x，且该三角形为直角三角形，则x的值为（    ） A．13 B． C．13或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题需分两种情况讨论，利用勾股定理求解x的值，因为x可能是直角三角形的直角边或斜边． 【详解】解：当x是直角边时，， 当x是斜边时，， 综上，x的值为13或， 故选：C． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·上海·期末）已知，在中，，，边上的高，则边BC的长为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据题意，可能是锐角三角形或钝角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理分别计算和，再根据点D的位置求． 【详解】在中，，，，由勾股定理得：； 在中，，，，由勾股定理得：； 当为锐角三角形时，点D在上，， 当为钝角三角形时，且为钝角，点D在BC的延长线上，． 故答案为：或． 【基础题型】 【题型2】勾股定理的直接计算与逆定理判定 1.考点总结 已知直角三角形两边，直接求第三边； 利用三边平方关系判定直角三角形； 简单勾股数的识别与应用。 2.解题技巧 明确直角边与斜边：若为斜边，则；若为直角边，为斜边，则； 逆定理判定三步法：①找最长边；②计算和；③比较是否相等，相等则为直角三角形； 熟记常见勾股数：、、，其整数倍仍为勾股数。 【例题2】.（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）若一等腰直角三角形的直角边长为2，则它的斜边长为______． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质与勾股定理求解斜边长． 【详解】解：设该等腰直角三角形的斜边长为， 根据勾股定理，可得， 整理得， 因为三角形的边长为正数， 因此． 即它的斜边长为． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在中，，若，，则的值是（    ） A．10 B． C． D．4.8 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求解直角三角形的斜边长度即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴根据勾股定理， ∴， 故选A． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·河南开封·期末）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长 (2)四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)36 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中， 根据勾股定理求得的长即可； （2）在中，根据得到是直角三角形，利用进行求解即可． 【详解】（1）解： 在中，， 由勾股定理得； （2）解：在中， 由于，即， 则是直角三角形， 因此． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·河南平顶山·期末）一个零件的形状如图所示，其中，工人师傅量得三边的尺寸分别为，，，则边的长为（   ） A． B． C． D．15cm 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，先利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：在中，， 在中，， 故选：B． 【题型3】网格中勾股定理的基础应用 1.考点总结 网格中求线段的长度（水平/竖直/斜向）； 网格中判定三角形是否为直角三角形； 网格中求图形的面积（割补法结合勾股定理）。 2.解题技巧 斜向线段长度：以线段为斜边，作水平+竖直的直角三角形，用勾股定理计算； 网格中直角判定：通过勾股定理计算三边长度，再用逆定理验证； 不规则图形面积：用割补法转化为规则图形，结合勾股定理求补形/分割后的边长。 【例题3】.（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理计算斜边长度，从而得到两棋子之间的距离． 【详解】解：根据题意得，“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为：． 故选：C． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有_____个． 【答案】5/五 【分析】本题考查了等腰三角形的定义；利用等腰三角形的定义和网格的特征找到其中一个端点为A或B且与相等且另一个端点为格点的线段即可，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形. 【详解】如图，共有5个格点符合要求， 故答案为：5． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在边长均为个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积，关键是灵活应用知识点解题；先求出，然后利用三角形的面积的不同表示方法得到等积式求出边上的高. 【详解】解：设边上的高为，边上的高为， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 故选：D ． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，梯形的顶点都在网格线的交点上，其中长度为无理数的边是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理，计算各条线段的长度，后判定它们的属性解答即可． 本题考查了勾股定理，无理数，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理，得，是有理数，不符合题意； ，是有理数，不符合题意； ，是有理数，不符合题意； ，是无理数，符合题意； 故选：D． 【题型4】勾股数的识别与规律推导 1.考点总结 识别勾股数及拓展勾股数； 根据勾股数生成规律推导新勾股数； 利用勾股数简化直角三角形计算。 2.解题技巧 勾股数判定：三个正整数满足（为最大数）； 常用生成规律：若为大于1的正整数，则为勾股数； 计算时优先用勾股数的整数倍，简化开方运算（如是的2倍）。 【例题4】.（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3 B． C．7，24，25 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； B、三个数均为分数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； C、7，24，25都是正整数，且，满足勾股数定义，该选项符合题意； D、三个数均为无理数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； 【变式题4-1】.（25-26八年级上·山东济宁·期中）下列各组数中是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数是满足较小两个数的平方和等于最大数的平方的一组正整数，据此对各选项分析判断即可． 【详解】解：A．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意， B．，，不是正整数，故该选项不是勾股数，不符合题意， C．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意， D．，，且，，均为正整数，故该选项是勾股数，符合题意， 故选：D． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为_________． 【答案】8 【分析】本题考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，理解图示，掌握勾股定理计算图形面积的方法是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，由此即可求解． 【详解】解：如图，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意可得，，， ∴， ∴正方形的面积为3，即正方形的面积是正方形的面积和， 同理，正方形的面积是正方形的面积和，即正方形的面积为， ∴同理可得，正方形的面积为， 故答案为：8． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·江苏泰州·期末）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数中较小数的表达式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用勾股定理的平方关系，推导勾股数中较小数的表达式，关键是利用勾股数的性质设出中间数并进行代数变形． 【详解】解：题中所给表达式是毕达哥拉斯生成勾股数的一种形式 该类勾股数的三边可表示为、和， 其中最大数为， 另外两个数为和， 当为正整数时，， 所以， 因此，较小数的表达式是 故选：C． 【题型5】勾股定理的简单实际建模 1.考点总结 航海、测量等简单实际情境的直角三角形建模； 利用勾股定理求实际距离、高度； 结合生活场景的基础几何计算。 2.解题技巧 建模核心：从实际情境中提取直角关系，标注已知边长，设未知量； 常见模型：①测量物体高度（直角三角形中已知一边一角/两边）；②航海方向（北偏东/西、南偏东/西构成的直角三角形）； 计算后验证结果是否符合实际意义（如长度为正、取值合理）。 【例题5】.（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯子底端离墙7米，若梯子顶端下滑4米至C点，那么梯子底端将向左滑动多少米． 【答案】8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理先求得，即可求得，再求出即可解答，熟练运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，记墙角为E点，根据题意可得，米，米， 米， 米， 米， 米． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·江苏淮安·期末）勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是 ，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴ 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 故选：D． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·全国·周测）由于大风，山坡上的一棵树甲从点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部处，如图所示．已知，，两棵树的水平距离是，则甲树原来的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理． 如图，过点作交的延长线于点．则根据题意可以得到，根据勾股定理即可求出的长，再利用勾股定理求出的长，可得到的长，即为甲树原来的高度． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． 由题意，得，，． 在中，， ． 在中，， ． 故甲树原来的高度是． 故选：C． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，灯塔位于海岛的北偏西方向，且相距，一艘船从海岛出发，以的速度沿北偏东方向航行，经过小时到达处，此时，相距，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答．根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可． 【详解】解：由题意可得：，，，， ，，， ， 是直角三角形， ， ． 【提升题型】 【题型6】折叠问题中的勾股定理应用（方程思想） 1.考点总结 长方形、直角三角形折叠后，利用勾股定理求线段长度； 结合折叠的全等性质列方程求解； 折叠问题中多直角三角形的综合分析。 2.解题技巧 折叠核心性质：对应边相等、对应角相等，标记相等线段（如、）； 设未知量：将所求线段或关联线段设为，用表示其他线段； 找直角三角形：在折叠后的图形中确定含未知量的直角三角形，根据勾股定理列方程求解。 【例题6】.（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，，、分别是和边上的点，把沿着直线折叠，若点落在边上，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，因为折叠后点在边上，当点与点重合时，利用勾股定理求出，根据线段之间的关系即可求出的长度；当点与点重合时，可知是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的取值范围． 【详解】解：如下图所示，当点与点重合时， 由折叠的性质可知且， 在中，，，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 则； 如下图所示，当点与点重合时， 由折叠的性质可知且； 综上所述，． 故答案为：． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据折叠得到，，，，然后求出 【详解】解：由折叠性质得：，，，， ∵，，然后利用勾股定理求解即可． ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 【变式题6-3】.（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，中，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，连接． （1）__________； （2）若，，则______． 【答案】 45 【分析】本题考查折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理，运用数形结合的思想解决问题，是解答本题的关键． （1）由翻折的性质可知，，．再根据，即可求出； （2）利用勾股定理可求出．利用三角形的面积公式可求出，从而由（1）结论可得出．再利用勾股定理可求出，最后根据，即可求出的长． 【详解】（1）∵边沿翻折，点A落在上的点处， ∴，即． 由翻折可知，， 又∵，即， ∴，即， 故答案为：45； （2）在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， 根据折叠可知，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 【题型7】勾股定理与图形面积的综合探究 1.考点总结 以直角三角形三边为边的正方形、半圆、正多边形的面积关系； 赵爽弦图、勾股树等模型的面积计算； 利用面积法验证勾股定理及拓展应用。 2.解题技巧 核心结论：以直角三角形三边为边的相似图形，面积满足“两直角边图形面积和=斜边图形面积”； 赵爽弦图：大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积，即； 勾股树：从下往上逐层利用勾股定理，累加正方形面积和。 【例题7】.（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】设两直角边分别为a，b，斜边为c，用a，b，c分别表示正方形，半圆，等边三角形的面积，进而可得答案． 【详解】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c，则， 左边数第1个图中， ， ∵， ∴，符合题意； 左边数第2个图中，，，， ∵， ∴，符合题意； 左边数第3图中，作于点G，则，， ∴， ∴， 同理：，， ∵， ∴，符合题意； 综上，三个图形中面积关系满足的个数是3个． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在四边形中，，分别以、、、为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，若，，，则长为___． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据正方形的面积公式和勾股定理可得：，又因为，可得，即可求出的长度． 【详解】解：，，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且、、三个正方形的面积分别为6、2、12，则正方形的面积为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，确定正方形A、B、C、D面积的数量关系是解题的关键． 根据勾股定理推出中间空白正方形的面积，进而即可求出正方形的面积． 【详解】解：两个空白三角形均为直角三角形，且、、三个正方形的面积分别为6、2、12， 结合勾股定理可知，中间空白正方形的面积为：， 则正方形的面积为； 故答案为：． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置，四个阴影部分面积分别记为，，若已知的面积，则能求下列哪个代数式的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．根据勾股定理得到，用各部分面积分别表示出、和，再列式求解即可． 【详解】解：如图，由题意得，， ∵，，， ∴， ∴， ∵的面积已知， ∴能求出代数式的值， 故选：A． 【题型8】几何体表面的最短路径问题（转化思想） 1.考点总结 正方体、长方体、圆柱体表面的最短路径计算； 几何体的平面展开与勾股定理的综合应用； 多面体表面最短路径的探究式求解。 2.解题技巧 核心思想：化曲为直、化立体为平面，将几何体表面展开为平面图形； 不同几何体展开方法：①正方体/长方体：沿棱展开，列举所有可能的展开方式；②圆柱体：侧面展开为长方形，底面周长为长方形的一边，高为另一边； 计算比较：对每种展开方式用勾股定理计算路径长度，取最小值为最短路径。 【例题8】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个长、宽、高分别为、、（即，，）的无盖长方体木箱，在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从点爬到点所经过的最短路程是_____．（木板的厚度忽略不计，结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了长方体的侧面展开图，勾股定理与最短路径问题，解题的关键是将长方体展开，利用两点之间线段最短找到最短路径． 先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程，再由勾股定理求解． 【详解】解：先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则， 所以， 根据两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程， 在中，，根据勾股定理得， 故答案为：． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·山西临汾·期末）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 【答案】雕刻在石柱上的巨龙至少为20米． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题．根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·河南郑州·月考）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点在点的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______（填字母） A．    B． C．    D． (2)【拓展应用】如图②，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱，为底面．现在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，画出示意图，并求出此最短路程的长度．（木板的厚度忽略不计，只画出路程最短的一种情况即可） 【答案】(1) (2)示意图见解析， 【分析】本题主要考查了立体图形展开、平面几何基本原理以及勾股定理的应用，解题的关键在于将立体表面转化为平面，利用平面几何知识解决最短路径问题． （1）根据圆柱的侧面展开图为长方形，再结合过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝，即可得出结论； （2）先将长方体的侧面和侧面展开，再作点关于的对称点，连接交于点，则，把立体表面的折线路径转化为平面内的线段，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：由题知，过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝， 根据两点之间线段最短可知，将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是， 故选：； （2）如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点关于的对称点，连接交于点，则， 所以， 根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，的值最小，即的值最小， 此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程， 在中，，根据勾股定理，得， 所以最短路程为． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 【培优题型】 【题型9】动点问题中的勾股定理应用（分类讨论） 1.考点总结 直角三角形中动点引发的线段长度变化； 动点问题中直角三角形的存在性判定； 结合勾股定理的分类讨论思想应用。 2.解题技巧 确定动点运动范围：明确动点的运动轨迹和自变量取值范围； 分类讨论：根据直角顶点的不同分情况； 分别构造直角三角形：每种情况中结合勾股定理列方程，求解后验证是否在取值范围内。 【例题9】.（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动时间为秒（）． (1)当点在点左侧时， ，当点在点右侧时， （用含的代数式表示）； (2)当为直角三角形时，求的值； (3)当为等腰三角形时，请直接写出的值 ． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3)或或 【分析】本题考查三角形综合，涉及勾股定理、等腰三角形性质，根据点的运动情况分类讨论是解决问题的关键． （1）先由勾股定理得到，在求出，分情况表示即可得到答案； （2）分三种情况：当点在点左侧时；当点与点重合时；当点在点右侧时；由勾股定理求解即可得到答案； （3）分三种情况：当点在点左侧，时；当点在点右侧，或时；由等腰三角形性质列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，，，则由勾股定理可得， 动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动时间为秒（）， ， 则当点在点左侧时，，当点在点右侧时，， 故答案为：，； （2）解：由（1）可知，是直角三角形， 当点在点左侧时，不可能为直角三角形； 当点与点重合时，为直角三角形， 则， ； 当点在点右侧时，若为直角三角形，如图所示： 在中，，，，则由勾股定理可得， 在中，，，，则由勾股定理可得， 即， 解得； 综上所述，当为直角三角形时，的值为或； （3）解：由（1）可知，是直角三角形， 当点在点左侧时，若为等腰三角形，如图所示： ， ，，， 在中，，由勾股定理可得， 即， 解得； 当点在点右侧时，若为等腰三角形， 当时，如图所示： 则， ， ； 当时，如图所示： ； 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或或， 故答案为：或或． 【变式题9-1】.（24-25八年级下·四川广安·月考）如图，在中，，，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为t秒（），解答下列问题： (1)当t为何值时，点A在的垂直平分线上？ (2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，请直接写出当t为何值时，． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【分析】本题考查了动点问题的解决方法，线段垂直平分线性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解决本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，则可得出方程求出即可； （2）分两种情形：或分别求解即可． （3）过点作，交于点，求出和，再根据列出方程即可得出答案． 【详解】（1）解：若点在线段的垂直平分线上，则， ， ， 解得：， 答：当时，点在线段的垂直平分线上； （2）解：①若，则是直角三角形， ， ， ， ， ； ②若，则是直角三角形， ， ， ， ， 当或时，是直角三角形． （3）解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， 则， 解得：． 【变式题9-2】.（24-25八年级下·广东中山·月考）如图，中，，，，若动点从点开始，按路径运动，且速度为每秒，设运动时间为秒． (1)动点运动秒后，求的周长； (2)当动点在上运动时，问为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2) 【分析】（）由勾股定理得，进而当动点运动秒后可得，，再利用勾股定理求出即可求解； （）利用三角形的面积求出，再利用勾股定理求出，进而用点运动的路程除以速度即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴， ∵动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， ∴出发秒后，，， ， ， ∴的周长为； （2）解：当点在上，时，为直角三角形， ∴， 即， 解得， ， ， ； 时，为直角三角形． 【变式题9-3】.（20-21八年级下·辽宁大连·月考）已知，如图，在中，，，．动点M从点A出发，沿向点C运动（到达C点停止），动点N从点B出发，沿向点A运动（到达A点停止），如果动点M以，N以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1)图1，当______s时，； (2)如图2，当为等腰三角形时，求t的值； (3)如图1，连接． ①当时，求线段的长； ②在运动过程中，的形状也在不断发生变化，它能否构成直角三角形？如果能，则求出此时t的值，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)2或 (3)①，②2或 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理是解题的关键． （1）先求得的长，再根据点的运动速度可得，，则，列方程即可求得t的值； （2）分两种情况讨论当，，即可求解； （3）①作于H，于G，在中利用勾股定理即可求解； ②分，时，利用含30度直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，． ∴， 由M、N的运动速度可知：，，则， 当时，即， 解得； （2）∵在中，，． ∴， 由N的运动速度可知：， ①当为等腰三角形时，若，如解图1， ∴， ∵， ∴， ∴，即是中点， ∴， ∴ ②当为等腰三角形时，若时， ， ③当为等腰三角形时，若时，点在延长线上，不符合题意，舍去； 综上所述：当为等腰三角形时，为2或． （3）①过点N作于H，作于G，如解图2， ∵，； ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②能构成直角三角形，有以下两种情况： 当时，如解图3， ∵ ∴，， ∴， 由（1）可得：，， ∴，解得：， 当时，如解图4， 同理可得：，即，解得： 综上所述，当t为2或时，是直角三角形． 【题型10】平面图形中的最短路径问题（将军饮马模型） 1.考点总结 结合勾股定理的将军饮马模型（两定一动/一定两动）； 平面内最短路径的建模与计算； 勾股定理与轴对称的综合应用。 2.解题技巧 将军饮马核心：利用轴对称将折线转化为直线，两点之间线段最短； 步骤：①作其中一个定点关于直线的对称点；②连接对称点与另一个定点，交直线于动点；③以连线为斜边构造直角三角形，用勾股定理计算长度。 【例题10】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）综合与实践 (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米．①尺规作图：在边上作出一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求的距离； (2)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值为_____． 【答案】(1)①见解析；②千米 (2)20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，尺规作线段垂直平分线，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求； ②设千米，则千米，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （2）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：①如图，点P即为所求作的点； ②设千米，则千米， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：， 即：千米； （2）解：如图，，先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设，则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·江苏苏州·月考）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图），向右平移直角使点和重合（图），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． （1）代数式的最小值为______； （2）变式训练：求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数满足，则______． （4）的最大值是______； 【答案】（）；（）；（）（）． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （）以和对应直角三角形斜边，通过构造直角三角形，结合勾股定理解方程求解即可； （）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【详解】解：（）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，， 则，， ∴表示， ∵， ∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故答案为：； （）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，， 则，， ∴表示， ∵， ∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为； （）如图，构造，于点，，， 设， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴方程的解是， 故答案为：； （）构造，，，，，，，如图所示， 过点作，交延长线于点， 则，，， 设，则，，， ∴代数式表示， ∵， ∴的最大值为的长， 即代数式的最大值为的长， 在中,由勾股定理得：， ∴的最大值为， 故答案为：． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接，已知，设． (1)则的长为_______（用含x的代数式表示），的长为_______（用含x的代数式表示）； (2)当点C在上运动时，求的最小值； (3)根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为_______； (4)仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为_______． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，两点之间线段最短等知识，解题的关键是正确运用数形结合的思想． （1）对运用勾股定理求解； （2）当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，过点作交的延长线于点，然后对运用勾股定理求解; （3）可作，过点作，过点作，使，，当点共线时，则的长即为代数式的最小值，然后构造，根据勾股定理即可求得的值； （4）构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， 则，，过点作于点，则同上可得，则，那么由勾股定理得，，，，由，得当点共线时，的长即为代数式的最大值，即可求解． 【详解】（1）解：，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 故答案为：；； （2）解：当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，如图： 过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴，同理， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，作线段，C为线段上一动点，过点作，过点作，使，， 设，则， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴当点共线时，取得最小值即，即为的长， 过点作交的延长线于点， 则同上可得，，， ， 即的最小值为13． （4）解：如图，构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， ∴，， 过点作于点，则同上可得， ∴， ∴由勾股定理得，，，， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴， ∴ ∴当点共线时，的长即为代数式的最大值， ∴的最大值为． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，；连接、．已知，，，设． (1)①用含x的代数式表示的长； ②求出的最小值． (2)根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值． (3)若正实数a，b，c满足，请构图求出代数式的最小值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握数形结合思想，正确构造直角三角形是解题的关键， （1）①根据勾股定理即可表示出的长；②过点作，过点作，连接，当三点共线时，的值最小，再利用勾股定理求出的最小值； （2）根据题意构造图形，过点作，过点作，连接，交于点，所以代数式的最小值为的长，由勾股定理求得的最小值； （3）由条件得，将看作直角三角形的斜边，通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移为，再根据两点间距离最短，可得的最小值． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴． ②过点作，过点作，连接，如图， ∴当三点共线时，的值最小， ∴， ∴的最小值为． （2）解：，，，，，如图： 过点作，过点作，连接，交于点， ∴代数式的最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴代数式的最小值为． （3）解：∵ ∴， 将、、看作直角三角形的斜边，如图所示： 通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移总长为， ∴的最小值为． 同步练习 一、单选题 1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（   ） A．1,2,3 B．3,4,5 C．6,8,10 D．5,12,13 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，判断三边能否构成直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先判断能否构成三角形，再验证是否为直角三角形． 【详解】解：∵三角形任意两边之和需大于第三边， ∴在选项A中，， 不满足三边关系， 无法构成三角形， 更不能构成直角三角形； 选项B中，∵， 符合勾股定理逆定理， ∴能构成直角三角形； 选项C中，∵， 符合勾股定理逆定理， ∴能构成直角三角形； 选项D中，∵， 符合勾股定理逆定理， ∴能构成直角三角形， 故选：A． 2．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出吸管在罐内长度的最大值和最小值，然后求出在罐外部分的最大值和最小值即可． 【详解】解：当吸管底部在底面圆心时吸管在罐内部分b最短，此时b就是圆柱形的高， 即； ∴此时， 当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长， 此时， ∴此时， ∴． 3．如图，每个小正方形的边长为1，若、、是小正方形的顶点，则度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据网格结构利用勾股定理分别求出、、的长度，再利用勾股定理逆定理判断的形状，最后根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ∵，且， ∴是等腰直角三角形， ∴． 4．如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的直角边为m、n，小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据小正方形的面积为5并结合计算得出，即可得出结果． 【详解】解：∵直角三角形的直角边为m、n，小正方形面积为5， ∴， ∵， ∴由可得：， ∴， ∴大正方形面积为． 5．若3、4、a为勾股数，则a的相反数的值为（　　） A． B．5 C．或 D．5或 【答案】A 【分析】根据勾股数定义，勾股数是满足勾股定理的三个正整数，因此分a是斜边、4是斜边两种情况计算，舍去不符合勾股数定义的结果，最后求a的相反数即可． 【详解】解：∵勾股数是能构成直角三角形三边的正整数， ∴a为正整数，分两种情况讨论： 当a为斜边时，根据勾股定理得： ． ∵， ∴，符合勾股数定义； 当4为斜边时，根据勾股定理得： ，解得． ∵不是正整数，不符合勾股数定义，舍去； ∴，a的相反数为，故选A． 二、填空题 6．如图，在数轴上点A表示的实数是___________． 【答案】 【分析】勾股定理求出的长，即可得出结果. 【详解】解：由作图和勾股定理可知：， 故在数轴上点A表示的实数是. 7．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_______，却踩伤了花草． 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用．利用勾股定理求出“捷径”的长度，据此进一步求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得： “捷径”长度， ∴， 即他们仅仅少走了，却踩伤了花草． 8．如图，是的角平分线，，则的长为 _____． 【答案】 【分析】过点作于点，先用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而根据角平分线的性质可得，证明，设，在中，利用勾股定理求得的值，进而在中，勾股定理即可求得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 过D作于E， ∵是的角平分线， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．如图，在中，，D为中点，E为上一点，，P为线段上一动点，则周长的最小值为______． 【答案】6 【分析】连接，三线合一结合中垂线的性质，得到，进而得到，勾股定理求出的长，根据三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵，D为中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， ∵， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 10．如图，在四边形中，，，，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】连接，作于点，过点作的平行线，延长交直线于点，延长到点，使，则点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接，求得的最小值为的长，作交延长线于点，据此计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， 作于点，过点作的平行线，延长交直线于点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 延长到点，使，则点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接，则， ∴的最小值为， 作交延长线于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题 11．如图，一根旗杆高10m，旗杆顶部A与地面一个固定点B之间可拉一根直的铁索，已知固定点B到旗杆底部的距离是8m，一工人准备了一根长为12.5m的铁索；你认为这一长度够吗？ 【答案】不够 【分析】此题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理计算长度是解题的关键． 根据勾股定理可求出直角三角形斜边，再将的长与铁索的长的平方进行比较即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，旗杆顶部、固定点、旗杆底部构成一个直角三角形， ，， 根据勾股定理，有， ， 由于， 所以铁索的长度不够． 12．在中，，，，求的面积． 【答案】54 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理可得： 即 解得 因此 答：的面积为． 13．《国务院关于印发全民健身计划（2021—2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量照明灯灯板的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处．已知m，m 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 【答案】m 【分析】本题考查了勾股定理，先计算，再计算，最后相减即可得到． 【详解】解：由题意可知， 在中， ，， ， 在中， ，， ， ∴． 14．甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． (1)甲同学所做的点表示的数是_______； (2)仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、用数轴上的点表示无理数． (1)根据勾股定理可得，可知，所以点表示的数是； (2)构造，使，，，根据勾股定理可得，所以点表示的数是． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：如下图所示，在中，，，， ， ， 点表示的数是． 15．如图1，中，，点为斜边上动点． (1)边 ； (2)如图2，过点作交于点，连接，当平分时，求； (3)如图3，在点的运动过程中，连接，若为等腰三角形，直接写出的长为 ． 【答案】(1)20 (2) (3)的值为15或12.5或18． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用勾股定理列式计算，解得，即可作答． （2）先证明，推出，，设，则，，在中，根据勾股定理即可解决问题； （3）分三种情形分别求解，即可解决问题； 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 在中， ∴， ∴． （3）解：依题意，∵为等腰三角形， ∴①当时，为等腰三角形 ∵， ∴． ②当时，为等腰三角形 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ③当时，为等腰三角形， 如图1中，作于点H， 则， ∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴． 综上所述：的值为15或12.5或18． 学科网（北京）股份有限公司 $