精品解析：福建省漳州市龙海区第四中学2025-2026学年九年级上学期第一次素养测试数学试题

绝密★启用前 龙海四中2025--2026学年上学期第一次 素养测试 九年级数学 考试范围：第21、22章；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的一元二次方程的一个解为，则 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 下列运算中正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 下列一元二次方程无实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则化简的结果为（ ） A. B. 2 C. 0 D. 7. 为做好疫情常态化防拉工作，某校2020年投入疫情防控专项资金28万元，预计到2022年底三年累计共投入140万元．设每年投入的专项资金的年平均增长率为，则下列方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 若是某个一元二次方程的根，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 9. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；②若是一元二次方程的根，则其中正确的（　　） A. ①④ B. ①②④ C. ①②③④ D. ①②③ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 12. 若是关于的一元二次方程，则 的值为___________． 13. 若最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 14. 若关于的二次方程的常数项等于 ，则 的值为___． 15. 已知，则的值为______． 16. 已知实数a、b满足等式a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0，则的值是_____． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 阅读与思考，下面是小其的学习日记，请认真阅读，并完成相应任务． 小其在学了一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得，第一步 二次项系数化为1，得，第二步 配方，得，第三步 因此，第四步 由此得或，第五步 解得第六步 任务： （1）小其运用的解法是_____，小其的解题过程从第_____步开始出现错误． （2）请利用小其的方法正确地解方程． 21. 已知三角形的三边长分别为 、 、，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式其中①我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式②． 一个三角形的三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积．（写出计算过程） 22. 小明在解一元二次方程时，发现这样一种解法． 如：解方程 解：原方程可变形为 ， 直接开平方整理得：； 我们称小明的这种解法为“平均数法” （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程． 解：原方程变形为 ， 直接开平方整理得：； 上述过程中的 ______；______；______；______． （2）请用“平均数法”解方程： 23. 某商场将进价为25元的台灯以40元出售，1月份销售256个，2、3月份销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个． （1）求2、3这两个月销售量的月平均增长率； （2）该商场决定从4月份进行降价促销，经调查发现，台灯价格在3月份的基础上，每个降价1元，销售量可增加4个，若商场要想使4月份销售这种台灯获利4200元，则台灯售价应定为多少元？ 24. 【课本再现】 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．所以被开方数a为非负数． 【探究新知】 （1）若，则a的取值范围是________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 25. 若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为________； （2）若关于的一元二次方程（ 为整数，且）是“快乐方程”，求 的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于的一元二次方程与（ 、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 龙海四中2025--2026学年上学期第一次 素养测试 九年级数学 考试范围：第21、22章；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，分母有理化，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、不是最简二次根式，故A不符合题意； B、不是最简二次根式，故B不符合题意； C、不是最简二次根式，，故C不符合题意； D、最简二次根式，，故D符合题意； 故选：D． 2. 已知关于的一元二次方程的一个解为，则 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，将代入中即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的解为， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 3. 下列运算中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次根式的乘法、合并同类二次根式、二次根式的除法、乘方运算分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，正确； B、、不是同类二次根式，不能合并，故B错误； C、，故C错误； D、，故D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法、除法运算，以及二次根式的加法运算，乘方运算，解题的关键是掌握运算法则，正确进行计算． 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故选：D． 5. 下列一元二次方程无实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断即可； 【详解】解：A．，方程有两个不等的实数根，不符合题意； B．，方程有两个不等的实数根，不符合题意； C．，方程没有实数根，符合题意； D．，方程有两个相等的实数根，不符合题意； 故选： C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△＞0时方程有两个不等的实数根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程没有实数根． 6. 若，则化简的结果为（ ） A. B. 2 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查二次根式的性质和绝对值的性质．直接根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ ． 故选：B． 7. 为做好疫情常态化防拉工作，某校2020年投入疫情防控专项资金28万元，预计到2022年底三年累计共投入140万元．设每年投入的专项资金的年平均增长率为，则下列方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设每年投入每年投入的专项资金的年平均增长百分率为，根据题意可得，2020年投入专项资金年投入专项资金增长率）年投入专项资金增长率）亿元，据此列方程． 【详解】解：设每年投入的专项资金的年平均增长百分率为， 由题意得， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 8. 若是某个一元二次方程的根，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴，， ∴满足要求的方程为：． 故选：C． 9. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质计算即可得解，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 10. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；②若是一元二次方程的根，则其中正确的（　　） A. ①④ B. ①②④ C. ①②③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】①由，可得出是一元二次方程的解，进而可得出； ②由方程有两个不相等的实根，可得出，结合偶次方的非负性，可得出，进而可得出方程有两个不相等的实根； ③代入，可得出，当时，无法得出； ④利用求根公式，可得出，变形后即可得出． 【详解】解：①， 是一元二次方程的解， ，结论①正确； ②方程有两个不相等的实根， ， ， 方程有两个不相等的实根，结论②正确； ③是方程的一个根， ， 若为0，则无法得出，结论③不正确； ④是一元二次方程的根， ， ， ，结论④正确． 正确的结论有①②④． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 12. 若是关于的一元二次方程，则 的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为： ． 13. 若最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式．根据同类二次根式的定义得出，再求出的值，得到答案． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， ， 故答案为：7． 14. 若关于的二次方程的常数项等于 ，则 的值为___． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和常数为0，得，且，进而得出答案． 【详解】解：根据一元二次方程的常数等于0， 得，且， 解得，且， ∴． 故答案为：2． 15. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数的非负性可得x＝2，从而得到，再代入，即可求解． 【详解】解：依题意得：，， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，求算术平方根，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 16. 已知实数a、b满足等式a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0，则的值是_____． 【答案】2或﹣6 【解析】 【分析】实数a、b满足等式a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，①当a=b时，a，b可能是方程x2-2x-1=0的同一个根，两数相等； ②当a≠b时，由根与系数的关系，得a+b=2，ab=-1，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值． 【详解】解：（1）当a＝b时，原式＝＝1+1＝2． （2）当a≠b时，可以把a，b看作是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根． 由根与系数的关系，得a+b＝2，ab＝﹣1． ∴＝＝﹣6． 故本题答案为：2或﹣6． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的应用以及分类讨论思想的运用．此题综合性较强，特别注意不要漏掉“a=b”的情况． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：． ， 或， 解得：，． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的性质和运算法则进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. 阅读与思考，下面是小其的学习日记，请认真阅读，并完成相应任务． 小其在学了一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得，第一步 二次项系数化为1，得，第二步 配方，得，第三步 因此，第四步 由此得或，第五步 解得第六步 任务： （1）小其运用的解法是_____，小其的解题过程从第_____步开始出现错误． （2）请利用小其的方法正确地解方程． 【答案】（1）配方法，二 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程， （1）观察解题步骤可知是运用配方法解一元二次方程，逐步判断即可发现错误的步骤； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：观察解题步骤可知小其运用的解法是：配方法， 解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，方程右边的 未除以2， 故答案为：配方法，二； 【小问2详解】 解：． 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 因此， 由此得：， 解得：，． 21. 已知三角形的三边长分别为、、，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式其中①我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式②． 一个三角形的三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积．（写出计算过程） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是选择合适的公式进行计算， 根据题意选择秦九韶公式代入，化简二次根式即可得出答案． 【详解】解：∵，，，不是同类二次根式，无法合并，代入公式①中计算不方便， ∴可代入公式②进行计算， ∵，，， ∴ ． 22. 小明在解一元二次方程时，发现这样一种解法． 如：解方程 解：原方程可变形为 ， 直接开平方整理得：； 我们称小明的这种解法为“平均数法” （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程． 解：原方程变形为 ， 直接开平方整理得：； 上述过程中的 ______；______；______；______． （2）请用“平均数法”解方程： 【答案】（1）5，2， ， （2）； 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键． （1）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可； （2）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可； 【小问1详解】 解： 原方程可变形为 ∴ ∴ ∴直接开平方整理得：； ∴，，，． ∴上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5，2， ，． 【小问2详解】 原方程可变形为， ∴ ∴ ∴直接开平方整理得：； 23. 某商场将进价为25元的台灯以40元出售，1月份销售256个，2、3月份销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个． （1）求2、3这两个月销售量的月平均增长率； （2）该商场决定从4月份进行降价促销，经调查发现，台灯价格在3月份的基础上，每个降价1元，销售量可增加4个，若商场要想使4月份销售这种台灯获利4200元，则台灯售价应定为多少元？ 【答案】（1）； （2）35元． 【解析】 【分析】（1）设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x，根据1月份销售256个，2、3月份销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个，列一元二次方程，求解即可； （2）设每个降价元，根据商场要想使4月份销售这种台灯获利4200元，列一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设2、3这两个月销售量的月平均增长率为， 则：， （舍），， 答：2、3这两个月销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每个降价元， 则：， 整理得：， 解得：（舍），， 所以售价元 答：售价定为35元在4月份可获利4200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立相应的等量关系是解题的关键． 24. 【课本再现】 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．所以被开方数a为非负数． 【探究新知】 （1）若，则a的取值范围是________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2） ；（3）； 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用，二元一次方程组的解法； （1）根据被开方数为非负数可得答案； （2）根据非负数的性质可得，再解方程组，最后代入计算即可； （3）由被开方数为非负数，可把原式化为，再结合算术平方根的含义可得答案． 【详解】解：（1），则a的取值范围是； 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得：， ∴； （3）∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 25. 若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为________； （2）若关于的一元二次方程（ 为整数，且）是“快乐方程”，求 的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于的一元二次方程与（ 、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 【答案】（1） （2）， （3）n的值为0或3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【小问1详解】 解：方程的“快乐数为：， 故答案为： ； 【小问2详解】 解：方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， 则， 故其“快乐数”数是； 【小问3详解】 解：， ∴， 设， 则， 又与同奇偶， ∴或或或 解得或 ， ∴方程为：或； ， ∴， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得： 或（舍去）， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得， 综上，n的值为0或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $