第25章 全章综合训练-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（人教版·新教材）
2026-07-13
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教辅
资源信息
| 学段 | 初中 |
|---|---|
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 初中数学人教版九年级上册 |
| 年级 | 九年级 |
| 章节 | 第二十五章 一元二次方程 |
| 类型 | 课件 |
| 知识点 | - |
| 使用场景 | 同步教学-新授课 |
| 学年 | 2026-2027 |
| 地区（省份） | 全国 |
| 地区（市） | - |
| 地区（区县） | - |
| 文件格式 | PPTX |
| 文件大小 | 3.52 MB |
| 发布时间 | 2026-07-13 |
| 更新时间 | 2026-07-13 |
| 作者 | 众望益飞教育科技（北京）有限公司 |
| 品牌系列 | 初中必刷题&教材划重点·初中同步课件 |
| 审核时间 | 2026-06-24 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/58470537.html |
| 价格 | 2.00储值（1储值=1元） |
| 来源 | 学科网 |
摘要：
该初中数学课件聚焦第二十五章一元二次方程，涵盖方程的解、解法、根的判别式、根与系数关系及应用等核心知识点，通过中考真题导入，从基础概念到综合应用构建递进学习支架。
其亮点是中考真题同步训练与分层设计，以根的判别式（如安徽中考题）、韦达定理（河北中考题）实例培养推理能力与模型意识，问题驱动教学结合思路分析助学生掌握方法，教师可利用超链接便捷教学提升效率。
内容正文：
数 学
九年级上册 RJ
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第二十五章 一元二次方程
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全章综合训练
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中考
考点1 一元二次方程的解
1.【2025青海中考】若是一元二次方程的一个根，则 的值
为___.
3
【解析】若是一元二次方程的一个根，则 ，
解得 .故答案为3.
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考点2 一元二次方程的解法
2.【2025贵州中考】一元二次方程 的根是________________.
，
【解析】，，，，故答案为， .
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3.【2025黑龙江齐齐哈尔中考】解方程： .
【解】整理得，因式分解得，所以
或，解得， .
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考点3 一元二次方程根的判别式
4.【2025安徽中考】下列方程中，有两个不相等的实数根的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】A选项，，故方程没有实数根；B选项， ，故方程有两个
相等的实数根；C选项，，故方程没有实数根；D选项， ，故
方程有两个不相等的实数根.故选D.
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5.【2025四川内江中考】若关于的一元二次方程 有实数根，
则实数 的取值范围是( )
C
A. B. C.且 D.且
【解析】 关于的一元二次方程 有实数根，
解得且， 实数的取值范围是且 .故选C.
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思路分析
根据二次项系数不为0及根的判别式，可列出关于 的一元一次不等式组，解
之即可得出实数 的取值范围．
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6.【2025北京中考】若关于的一元二次方程 有两个相等的实数
根，则实数 的值为( )
C
A. B. C.1 D.4
【解析】 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
且,且, .故选C.
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考点4 一元二次方程根与系数的关系
7.【2025河北中考】若一元二次方程 的两根之和与两根之积分别
为,，则点 在平面直角坐标系中位于( )
C
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】方程，整理得， 两根之和 ，
两根之积， 点 在平面直角坐标系中位于第三象限.故选C.
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8.【2025四川泸州中考】若一元二次方程的两根为 ， ，则
的值为____.
10
【解析】将 代入原方程得， 一元二次
方程的两根为 ， ， ，
.故答案为10.
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9.【2025四川南充中考】设，是关于的方程 的两根.
（1）当时，求及 的值.
【解】把代入方程，得， ，
，即，解得,， ,
.
先把代入方程，得到关于的新方程并求解，然后将 的值代入原方程,
再求解即可得出方程的另一个解；
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（2）求证： .
【证明】 方程，即 ,
, 无论为何值,原方程都有两个不相等的实数根为 ，
， ，
，
，即 .
思路分析
先利用根与系数的关系得出,的值，再将其整体代入
变形后的式子，即可得出结论.
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考点5 一元二次方程的应用
10.【2025福建中考】为加强劳动教育，增加学生实践机会，某
校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，
围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形
的一边长为 米，根据题意可列方程( )
C
A. B. C. D.
【解析】已知矩形的一边长为米，则另一边长为 米.根据矩形的面积为6平
方米可列方程为 ．故选C.
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11.【2025四川泸州中考】某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每
件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，
乙种商品2024年每件的进价为80元.
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；
【解】设乙种商品每件进价的年平均下降率为.根据题意得 ，解
得， （不符合题意，舍去）.
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为 .
找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键；
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（2）2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求
最少购进多少件甲种商品.
【解】设购进件甲种商品，则购进 件乙种商品.根据题意得
，解得， 的最小值为40.
答：最少购进40件甲种商品.
关键点拨
根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
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章测
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1.【2026河南洛阳期中】一元二次方程 的解是( )
B
A.， B.，
C.， D.，
【解析】原方程可因式分解为，或 ，即
或 ，故选B．
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2.【2025四川凉山州质检】若关于的一元二次方程 的
一个根是，则 的值为( )
A
A.2 B. C.2或 D.
【解析】 关于的一元二次方程的一个根是 ，
且，解得 ，故选A.
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3.【2025安徽阜阳期末】数学课上，4个同学以接龙的方式解一个一元二次方程，
每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则
这位同学是( )
D
A.小张 B.小王 C.小李 D.小赵
【解析】，， ，
，或，解得，， 所负责步骤
错误的是小赵，故选D.
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4.【2026山东德州质检】有理数，， 对应的点在数轴上的位置如图所示，则关
于的方程 的根的情况,下列说法正确的是( )
B
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.无实数根 D.无法确定
【解析】由，可得 .观察数
轴可知，,, ,
， 该方程有两个不相等的实数根．故选B．
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5.已知命题“关于的一元二次方程 必有实数解”是假命题，则在
下列选项中， 的值可以是( )
C
A.4 B.3 C.2 D.5
【解析】 “关于的一元二次方程 必有实数解”是假命题，
，， ，只有C项符合，故选C.
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6.【2025河南平顶山质检】已知直角三角形的两条边长分别是方程
的两个根，则此三角形的第三条边长是( )
D
A.4或5 B.3 C. D.3或
【解析】解方程得 或5.分两种情况：①当4和5均为直角边
长时，第三条边（斜边）的长为 ；②当4为直角边长，5为斜边长
时，第三条边（直角边）的长为 .综上，此三角形的第三条边长为3或
，故选D.
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7.【2026四川绵阳期中】若关于的一元二次方程
，为常数，且有两个不相等的整数根，则这样的 有( )
D
A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个
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【解析】方程整理得 ，则
一元二次方程
，为常数，且有两个不相等的整数根， ，
即，，， .
设方程的两个整数根为和， ，
.令，则，且， 为整数,
，，的取值为，,，， ，
，， 整数，满足，， 当 时，
，方程的解为0，，满足条件;当时， ，方程的解为
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1，，满足条件，其余的值均无法满足整数解的条件.综上所述，符合条件的
的值为，，则对应的 值有无数个，故选D.
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8.【2026广东深圳期中】如图，在矩形中，， ，点
，分别是边，上的动点，点，同时出发，点从点出发以 的速
度向点移动，点从点出发以的速度向点移动，则当点与点 的距离
是时，， 两点运动了( )
A
A.或 B.或 C. D.
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【解析】如图所示，过点作于，则 .设 后，
. 四边形是矩形， ，
， ， 四边形 是矩形，
. 点从点出发以的速度向点移动，点
从点出发以的速度向点移动,，. 当点 在
点的上方时，;当点在点 的
下方时，.在 中，
，，解得， ，均符合题
意， 经过或后，,两点之间的距离是 ．故选A．
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二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9.【2026上海崇明区期中】若,为实数，且 ，则
的平方根是____.
【解析】设，则原方程化为，即 ,解得
或．由于，故, ，其平方根为
．故答案为 ．
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10. 开放性试题 【2025山东菏泽期中】若一元二次方程 有整数
根，则 的值可以是__________________.（填一个可能的值）
（答案不唯一）
【解析】，，. 方程 有整数
根，为完全平方数，的值可以是，故答案为 （答案不唯一）.
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11.李伟同学在解关于的一元二次方程时，误将看作 ，
结果解得， ，则原方程的解为________________.
，
【解析】由题意得的解为， ，可得
，所以原方程为，分解因式得 ，
解得，.故答案为， .
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12.【2026湖南长沙质检】已知关于 的一元二次方程
的两实数根，满足，则 的值为
____.
【解析】的两实数根为， ，
， ，
，整理得，解得 ，
.又，，故 不
符合条件，舍去，，故答案为 .
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思路分析
利用根与系数的关系,结合已知条件得到关于 的方程，然后解方程即可,注意不符
合条件的 值要舍去.
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13.【2025北京海淀区期末】阅读下面的材料.
一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》
中.到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了
求一元二次方程正数解的几何解法.
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以 为例，花拉子米的几何解法步骤如下：
①如图（1），在边长为的正方形的两个相邻边上作相邻两边长分别为 和5的矩
形，再补上一个边长为5的正方形，最终把图形补成一个大正方形；
②一方面大正方形的面积为（________） ，另一方面大正方形的面积又等于
图中各部分面积之和，因为，可得方程（________） __
_______，则方程的正数解是 ________.
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图（1）
图（2）
根据上述材料，解答下列问题.
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（1）补全花拉子米的解法步骤②；
【解】5; 5; 25; 3
【解析】一方面大正方形的面积为 ，另一方面大正方形的面积又等于图中
各部分面积之和，因为，可得方程 ，则方程的正
数解是 .故答案为5，5，25，3.
（2）根据花拉子米的解法，在图（2）的两个构图①②中，能够得到方程
的正数解的正确构图是____（填序号）.
①
【解析】由题意可得，能够得到方程 的正数解的正确构图是①.故答案
为①.
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三、解答题（本大题共3小题，共48分）
14.【2025山东青岛质检】解方程：
（1） （公式法）；
【解】原方程化为一般形式，得，，， ，
， ，
, .
（2） （配方法）；
【解】整理得，配方得，即 ，
，, .
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（3） .
【解】整理得，因式分解得 ，
或，, .
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15. 传统文化 【2026福建泉州期中】对联是中华传统文化的瑰宝.对联装裱
后，如图（1）所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边.
一般情况下，天头长与地头长的比是 ，左、右边的宽相等，均为天头长与地头
长的和的 .
图（1）
图（2）
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（1）若对联装裱后的左边的宽为，则天头长为____，地头长为___ .
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【解】 对联装裱后的左边的宽为，为天头长与地头长的和的， 天头长
与地头长的和为 天头长与地头长的比是， 天头
长为，地头长为 ．故答案为12，8.
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（2）如图（2）,某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为 .若要求装
裱后的面积为 ，求装裱后对联的左边的宽.
【解】设天头长为，则地头长为， 左、右边的宽为
， 装裱后的长为 ，宽为
.由题意得 ，
整理得，，（不符合题意，舍去）， 装裱
后对联的左边的宽是 ．
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16.【2025湖南长沙质检】已知关于的一元二次方程 .
（1）求证：无论 为何值，方程总有两个实数根.
【证明】，, 无论 为何值，
方程总有两个实数根.
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（2）若的一条边的长为5，另两边, 的长是一元二次方程的两个实数根.
①当为何值时，是以 为斜边的直角三角形？
【解】由题意，得，是以 为斜
边的直角三角形，，，解得或 （不
合题意，舍去）， .
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②当为何值时，是等腰三角形?并求出 的周长.
【解】若为腰，则方程有一个根为5，将 代入方程，得
，， 方程为 ，解得
或5， 等腰三角形的三边长分别为5，5，3， 周长为 .
若为底边，则方程有两个相等的实数根，，， 方
程为，解得， 等腰三角形 的三边长分别为
3,3,5， 周长为.综上,当或7时， 是等腰三角形，此
时 的周长为11或13.
关键点拨
注意分 为腰和底边这两种情况讨论．
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