精品解析：第二十九届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷小学六年级

**基本信息** 小学六年级数学竞赛卷，20道填空题聚焦分数应用、几何体积、工程问题等，通过真实情境（如泄洪闸、水箱注水）考查抽象能力与模型意识，凸显思维梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|20题|分数应用（题1、8）、圆柱圆锥体积（题2、7）、工程问题（题6、12）、逻辑推理（题14）|结合几何直观（铁皮做圆柱）、运算能力（分数比例计算）、模型意识（泄洪闸问题建模）|

第二十九届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷 小学六年级 一、填空题。 1. 比（ ）千克多是27千克。 【答案】20 【解析】 【分析】把要求的重量看成单位“1”，它的（1＋35%）对应的数量是27千克，由此用除法求出要求的数量。 【详解】 （千克） 2. 一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，已知圆锥与圆柱的体积比是，圆锥的高是4.5厘米，则圆柱的高是（ ）厘米。 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意，设底面积为S，设圆柱的高为h；再由圆柱和圆锥的体积公式列出式子，求出圆柱的高即可。 圆柱体积公式：V＝Sh；圆锥体积公式：Sh， 【详解】设圆锥与圆柱的底面积为S，设圆柱的高为h。 圆锥体积：V＝S×4.5 圆柱体积：V＝Sh （S×4.5）∶Sh＝1∶6 Sh＝2×S×4.5 h＝9 3. 用能组成（ ）个同时能被2和3整除，且十位数字与个位数字相同的三位数。 【答案】6 【解析】 【分析】首先，能被2整除的数，个位必须是偶数，再结合十位和个位数字相同的要求，就能确定后两位的可能情况共有3种，接着利用被3整除的数各位数字之和是3的倍数这一规则，对每一种后两位的情况，逐一筛选符合要求的百位数字，最后统计所有结果即可。 【详解】确定后两位：个位为偶数且与十位相同，后两位只能是 22、44、66。 确定百位数字： 后两位是22：百位＋ 4是3的倍数，百位可选 2、5，组成的三位数是222、522。 后两位是44：百位＋ 8是3的倍数，百位可选 1、4，组成的三位数是144、444。 后两位是66：百位 ＋ 12是3的倍数，百位可选3、6，组成的三位数是366、666。 【点睛】想要做好此类题目，必须熟练牢记各类数的整除特征，做题优先选取限制条件更强的条件当作解题突破口，快速缩小可选数字范围，再结合其余条件逐一筛选排查，梳理出全部符合要求的情况，最后统计汇总得出最终结果。 4. 六年级四个班共订某种课外读物100本，每个班至少订24本，至多订27本，则有（ ）种不同的订法。 【答案】31 【解析】 【分析】先计算每个班订24本时的总数，求出剩余本数，再将剩余本数按每个班最多增加3本的规则分配，运用乘法原理算出不同方案的种数，最后统计不同分配方式的数量。 【详解】（本） （本） （本） 方案一：1＋1＋1＋1（每个班各增加1本） 所有班订的数量相同，只有1种 方案二：2＋2＋0＋0（其中两个班各增加2本） （种） 方案三：3＋1＋0＋0（一个班增加3本，一个班增加1本，另外两个班不增加） （种） 方案四：2＋1＋1＋0（一个班增加2本，两个班各增加1本，一个班不增加） （种） 总的：（种） 【点睛】此类题注意转化思想＋分类枚举，先定基础量，简化问题，再按“剩余本数”的不同拆分方式分类，不重不漏分类枚举计算。 5. 某些数除以11余1，除以13余3，除以15余那么这些数中最小的数是（ ）。 【答案】419 【解析】 【分析】先根据前两个条件找出满足这两个条件的数的特征，再结合第三个条件确定最小的数。某些数除以11余1，除以13余3，所以如果把这些数加上10，那么得到的新数就能被11和13整除。由于11和13都是质数，所以11和13的最小公倍数为11×13＝143，满足除以11余1和除以13余3的数就可以表示为143n－10（n为自然数），再结合除以15余14的条件确定n的值。 【详解】[11，13]＝143 除以11余1和除以13余3的数就可以表示为143n－10（n为自然数） 当n＝1时 ，不满足除以15余14的条件 当n＝2时 ，不满足除以15余14的条件 当n＝3时 ，满足除以15余14的条件 综上，这些数中最小的数是419。 【点睛】此类带余数除法的应用需要分析余数与除数的关系，通过对余数进行调整，找到能同时满足三个条件的数。 6. 加工一个零件，甲要9分钟，乙要12分钟，丙要15分钟。现有423个零件，甲、乙、丙三人一起完成，乙需要加工（ ）个零件。 【答案】135 【解析】 【分析】先求甲、乙、丙的工作效率比，再按比例分配总零件数，得出乙加工的零件数。 【详解】 （个） 7. 如图，有一张长方形铁皮，剪下图中的两个圆及一块长方形，正好可以做成一个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为7厘米，那么圆柱的体积是（ ）立方厘米。（取3） 【答案】2058 【解析】 【分析】图中两个圆是圆柱的上下两个底面；中间的长方形是圆柱的侧面，长方形的长等于底面圆的周长，长方形的宽等于底面圆的直径为圆柱的高。根据已知条件圆的半径为7厘米，取3，可以求出圆柱的底面圆的面积和圆柱的高，然后用圆柱体积公式求出答案。 【详解】 8. 一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下部分的，两次剪去的部分比余下的部分多3米，则这根绳子原来长（ ）米。 【答案】45 【解析】 【分析】将这根绳子全长看作单位“1”，第一次剪去全长的，则余下全长的1－＝；第二次剪去余下部分的30%，这里将余下部分看作单位“1”即第二次剪去全长的×30%＝；两次共剪去全长的，可以求出余下部分占全长的1－＝；两次剪去的部分比余下的部分多，即多3米。根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法”，即可解答。 【详解】×30% ＝× ＝ 1－＝ 3÷（） ＝3÷ ＝3×15 ＝45（米） 9. 某工厂生产的灯泡中有是次品，实际检查时，只发现其中的被剔除，另有的正品也被误以为是次品而剔除，其余灯泡全部上市出售，那么该工厂出售的灯泡中次品所占的百分比是（ ）%。 【答案】5 【解析】 【分析】观察题中分数，分母有5和20，又求百分比，便于计算可以把总灯泡数设为100，先计算上市的次品数，然后计算上市的正品数，最后计算次品所占百分率。次品所占百分率＝出售的灯泡中次品数量÷出售的总灯泡数×100% 【详解】设工厂共生产100个灯泡。 总次品数：（个） 上市次品： （个） 总正品数：（个） 上市正品数： （个） 出售的灯泡中次品所占的百分比： 10. 小明所在的学校合唱团有学生72人，其中女生占全体的，后来又增加女生若干人，这时女生人数恰好是全合唱团人数的，那么又增加了（ ）名女生。 【答案】3 【解析】 【分析】这道题的关键是抓住男生人数不变这个核心条件。先根据原来的总人数和女生占比，用总人数乘男生的占比，算出男生的人数。再根据后来女生的占比，算出男生对应的占比，用男生人数除以这个占比，就能求出后来的总人数，最后用前后总人数的差得到增加的女生人数。 【详解】原来男生人数： 72×（1－37.5%） ＝ 72× ＝ 72× ＝ 45（人） 后来合唱团的总人数： 45（1－40%） ＝ 45÷0.6 ＝ 75（人） 增加的女生人数： 75 － 72 ＝ 3（人） 【点睛】要想解决这类百分数应用题中的 “抓不变量”问题 ，关键是先找出不变的量，再根据它求出变化后的总数量，最后通过前后数量的差得到结果。 11. 所有运动员分成三个组，男女运动员的总数之比为，第一组中男女人数比为，第二组中男女人数比为，且第一、第二、第三组的人数之比为 ，求第三组中男女人数的比值是（ ）。 【答案】20 【解析】 【分析】题中给出第一、二、三组的人数比为 11：16：9，男女运动员总数比为 4：3。为使计算中所有份数均为整数，取两组比例总份数的最小公倍数设总人数，再依次求出各组人数、前两组男女人数，用总男女人数减去前两组男女人数，得到第三组男女人数，进而求得其比值。 【详解】计算比例总份数并求最小公倍数： 三组人数比的总份数：11 ＋ 16 ＋ 9 ＝ 36 男女总数比的总份数：4 ＋ 3 ＝ 7 取36与7的最小公倍数：36×7 ＝ 252，设总人数为252份。 计算各组人数： 第一组人数：252×＝77人 第二组人数：252×＝112人 第三组人数：252×＝63人 总男生人数：252×＝144人 总女生人数：252×＝108人 第一组男生人数：77×＝42人 第一组女生人数：77×＝35人 第二组男生人数：112×＝112×＝42人 第二组女生人数：112－42＝70人 第三组男生人数：144－42－42＝60人 第三组女生人数：108－35－70＝3人 第三组男女人数比值：60：3＝20：1＝20 【点睛】本题运用份数法解题是核心思路，解题关键是借助最小公倍数统一份数，再用整体减去部分求出剩余数量，最后化简得出所求比。 12. 一水池装有两个相同的进水管和一个排水管。如果只开1个排水管，6小时可将一池子水排空；如果开1个进水管和1个排水管，3小时可以将空池灌满。现在将2个进水管和1个排水管同时打开，那么（ ）分钟可以灌满水池的一半。 【答案】36 【解析】 【分析】把一池水的工作量看作单位“1”。只开1个排水管，6小时可将一池水排空，根据“工作效率＝工作量÷工作时间”，可知排水管的工作效率为1÷6＝；开1个进水管和1个排水管，3小时可以将空池灌满，此时实际的进水效率为1÷3＝；因为实际进水效率是进水管效率减去排水管效率，所以进水管的工作效率为实际进水效率加上排水管效率，即；2个进水管效率为，排水管的工作效率为，实际进水效率为1－＝；根据“工作时间＝工作量÷工作效率”，即可求得灌满水池一半所需的时间。 【详解】把一池水的工作量看作单位“1”。 1÷6＝ 1÷3＝ － ＝1－ ＝ （小时） ×60＝36（分钟） 13. 采购甲、乙、丙三种糖果，三种的购买总价比为，而单价比为，如果丙种糖果买了72袋，那么甲乙两种糖果一共是（ ）袋。 【答案】27 【解析】 【分析】根据“数量＝总价÷单价”。根据购买总价比为3:1:4，将甲、乙、丙的总价分别看作3份、1份、4份；根据单价比3:2:1，将甲、乙、丙的单价分别看作3份、2份、1份。则甲、乙、丙的数量比为（3÷3）:（1÷2）:（4÷1）＝2:1:8。已知丙购买了72袋，对应数量比中的8份，则每份为：72÷8＝9（袋）；甲乙的数量为2＋1＝3（份），则甲乙总袋数为：9×3＝27（袋）。 【详解】（3÷3）:（1÷2）:（4÷1） ＝1:0.5:4 ＝（1×10）:（0.5×10）:（4×10） ＝10:5:40 ＝（10÷5）:（5÷5）:（40÷5） ＝2:1:8 72÷8＝9（袋） 2＋1＝3（份） 9×3＝27（袋） 14. 某次数学竞赛设一、二、三等奖，已知： （1）”甲、乙两校获一等奖人数比为，且两校获奖总人数之比是； （2）”甲、乙两校获二等奖人数占两校获奖人数总和的，其中乙校是甲校的3.5倍； （3）”甲校三等奖获奖人数占该校获奖人数的。 请问：乙校获三等奖人数占该校获奖人数的（ ）%。 【答案】25 【解析】 【分析】设两校总人数为9份（符合甲乙总人数比5：4），方便计算。然后求出二等奖总份数，根据乙校二等奖是甲校的3.5倍，分配甲乙二等奖份数。再利用甲校三等奖占比求出甲校三等奖份数，进而求出甲校一等奖份数。最后根据甲乙一等奖比求出乙校一等奖份数，进而求出乙校三等奖份数及占比。 【详解】解：设两校获奖总人数为9份（甲校5份，乙校4份） 二等奖总份数为（份） 甲校二等奖份数为（份） 乙校二等奖份数为（份） 甲校三等奖份数为（份） 甲校一等奖份数为（份） 乙校一等奖份数为 （份） 乙校三等奖份数为（份） 乙校三等奖占比为 15. 一个水池有甲、乙、丙三个水管，甲乙是进水管，丙是排水管。单开甲管20分钟可以将水池注满，单开乙管20分钟可以将水池注满，单开丙管25分钟可以将水池的水放完。现在先开甲乙两管，4分钟后关上甲管开丙管，问：又经过（ ）分钟才能将水池注满。 【答案】60 【解析】 【分析】我们把水池注满水的总量看作单位“1”，那么甲、乙、丙每分钟的工作效率分别是，工程问题中，工作总量等于工作时间乘以工作效率，我们运用这个关系来进行求解。 【详解】先开甲乙两管，4分钟注水量为： 剩余需要注水量为： 关上甲管开丙管，只有乙管进水丙管排水，工作效率为： 注满水需要的时间为： 16. 有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米。圆柱体积是圆锥体积的（ ）倍。 【答案】24 【解析】 【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式计算即可。 圆柱体积公式：V＝Sh 圆锥体积公式：V＝Sh 【详解】圆柱半径：8÷2＝4（厘米） 圆柱底面积：π×42＝16π（平方厘米） 圆柱体积：16π×8＝128π（立方厘米） 圆锥的底面半径：4÷2＝2（厘米） 圆锥的底面积：π×22＝4π（平方厘米） 圆锥体积：×4π×4＝π（立方厘米） 圆柱体积是圆锥体积的倍数： 128π÷π＝24 17. 一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是10厘米。其内有一些水，正放时水面离容器顶9厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是（ ）立方厘米。 【答案】942 【解析】 【分析】根据题意，容器正放和倒放时，水得体积都不变，设圆锥的高为h厘米，圆柱的底面积为S。 正放时：水都在圆柱部分，水面离容器顶9厘米，说明水面离圆柱顶部还有（9−h）厘米，因此水面的高度为：10−（9−h）＝1＋h，此时水的体积：V＝S（1＋h）； 倒放时：圆锥部分被水填满，剩余的水在圆柱部分，水面离顶部5厘米，而高是5厘米，因此圆柱内水的高度为5厘米；此时水的体积：V＝Sh＋5S； 利用两次水的体积相等，列出方程，可以求出圆锥的高。再分别求出圆锥和圆柱的体积，加起来，就是这个容器的体积。 圆锥体积公式：V＝Sh 圆柱体积公式：V＝Sh 【详解】设圆锥的高为h厘米，圆柱的底面积为S。 根据分析： S（1＋h）＝Sh＋5S S（1＋h）＝S（h＋5）（左右两边同时除以S） 1＋h＝h＋5 1＋h－1＝h＋5－1 h＝h＋4 h－h＝h＋4－h h＝4 h÷＝4÷ h＝6 所以圆锥的高为6厘米。 圆柱底面积： 10÷2＝5（厘米） S＝πr2＝3.14×52＝78.5（平方厘米） 圆锥体积： V＝×78.5×6＝157（立方厘米） 圆柱体积： V＝78.5×10＝785（立方厘米） 容器总容积： V总＝785＋157＝942（立方厘米） 18. 有一个圆柱体，高是底面半径的4倍，将它如图分成大、小两个柱体，如果大圆柱体的表面积是小圆柱体的表面积的3倍，那么大圆柱体的体积是小圆柱体的体积的（ ）倍。 【答案】7 【解析】 【分析】设底面半径为r，则原圆柱高为4r。设分割后大圆柱高为h1，小圆柱高为h2，则h1＋h2＝4r。 利用圆柱表面积公式，根据“大圆柱表面积是小圆柱的3倍”列方程，求出h1与h2的比值。由于两个圆柱底面积相同，体积比等于高之比，即可得出答案。 【详解】设底面半径为r，则原圆柱高为4r。 设分割后大圆柱高为h1，小圆柱高为h2，则h1＋h2＝4r ①。 大圆柱表面积：S1＝2πr2＋2πrh1 小圆柱表面积：S2＝2πr2＋2πrh2 因为S1＝3S2，所以2πr2＋2πrh1＝3×（2πr2＋2πrh2） 等式两边同时除以2πr，得：r＋h1＝3r＋3h2 化简得：h1－3h2＝2r ② 用①式减②式得： h1＋h2－（h1－3h2）＝4r－2r h1＋h2－h1＋3h2＝2r 4h2＝2r h2＝r 将h2的值代入①式中可得h1＝4r－r＝r 所以 即大圆柱体的体积是小圆柱体的体积的7倍。 19. 某水库建有10个泄洪闸，现有水库的水位已经超过安全线，上游河水还在按不变的速度流入，为了防洪，需调节泄洪速度。假设每个闸门泄洪速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降至安全线；若打开2个泄洪闸，10个小时水位降至安全线。现在抗洪指挥部要求在3小时使水位降至安全线以下，至少要同时打开（ ）个闸门。 【答案】6 【解析】 【分析】将每个闸门每小时的泄洪量看作1份。先计算两种泄洪情况的总泄洪量，然后计算每小时上游的进水量，再计算原有超过安全线的水量，最后计算出3小时泄洪需要的闸门数量。 【详解】打开1个闸门30小时的总泄洪量： （份） 打开2个闸门10小时的总泄洪量： （份） 两种情况的泄洪量差值对应20小时的新进水量： 每小时进水量 （份） 原有超水量 （份） 总泄洪量 （份） 每小时需要泄洪的量： （份） 因为闸门数量必须是正整数，所以至少要打开6个闸门。 20. 如图，有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高的三等分点处有两个排水孔和，它们排水时的速度相同且保持不变。现在以一定的速度从上面往水箱注水。如果打开孔、关闭孔，经过30分钟可将水箱注满；如果关闭孔，打开孔，经过33分钟可将水箱注满。如果两个孔都打开，那么注满水箱的时间是（ ）分钟。 【答案】39 【解析】 【分析】依据排水孔位置将水箱平均分成三段，三段水量完全相等，结合两种不同开孔注水的实际用时，先算出两种方式的时间差距，由此推算出单纯进水灌满一段水需要的时间，再算出开启一个排水孔时灌满一段水的用时，进一步求出同时开启两个排水孔灌满一段水的用时，最后按照水位由低到高的顺序，分段算出各段注水时间，相加得到注满整箱水的总时长。 【详解】设每段水量为1份 求时间差：33－30＝3（分钟） （30－3）÷3＝9（分钟） 求单孔排水单段用时：9＋3＝12（分钟） 求单个孔排水的效率： 求双孔同时排水的效率： 求双孔排水单段用时：1÷＝18（分钟） 求注水总时长：9＋12＋18＝39（分钟） 【点睛】本题属于牛吃草问题的经典变式，这类题型通用解法是借助两种不同工作情形对比求出时间差，先算出无消耗状态下的基础效率，再算出存在消耗时的实际效率，结合实际场景分段计算时长，最后合并得出最终结果。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷 小学六年级 一、填空题。 1. 比（ ）千克多是27千克。 2. 一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，已知圆锥与圆柱的体积比是，圆锥的高是4.5厘米，则圆柱的高是（ ）厘米。 3. 用能组成（ ）个同时能被2和3整除，且十位数字与个位数字相同的三位数。 4. 六年级四个班共订某种课外读物100本，每个班至少订24本，至多订27本，则有（ ）种不同的订法。 5. 某些数除以11余1，除以13余3，除以15余那么这些数中最小的数是（ ）。 6. 加工一个零件，甲要9分钟，乙要12分钟，丙要15分钟。现有423个零件，甲、乙、丙三人一起完成，乙需要加工（ ）个零件。 7. 如图，有一张长方形铁皮，剪下图中的两个圆及一块长方形，正好可以做成一个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为7厘米，那么圆柱的体积是（ ）立方厘米。（取3） 8. 一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下部分的，两次剪去的部分比余下的部分多3米，则这根绳子原来长（ ）米。 9. 某工厂生产的灯泡中有是次品，实际检查时，只发现其中的被剔除，另有的正品也被误以为是次品而剔除，其余灯泡全部上市出售，那么该工厂出售的灯泡中次品所占的百分比是（ ）%。 10. 小明所在的学校合唱团有学生72人，其中女生占全体的，后来又增加女生若干人，这时女生人数恰好是全合唱团人数的，那么又增加了（ ）名女生。 11. 所有运动员分成三个组，男女运动员的总数之比为，第一组中男女人数比为，第二组中男女人数比为，且第一、第二、第三组的人数之比为 ，求第三组中男女人数的比值是（ ）。 12. 一水池装有两个相同的进水管和一个排水管。如果只开1个排水管，6小时可将一池子水排空；如果开1个进水管和1个排水管，3小时可以将空池灌满。现在将2个进水管和1个排水管同时打开，那么（ ）分钟可以灌满水池的一半。 13. 采购甲、乙、丙三种糖果，三种的购买总价比为，而单价比为，如果丙种糖果买了72袋，那么甲乙两种糖果一共是（ ）袋。 14. 某次数学竞赛设一、二、三等奖，已知： （1）”甲、乙两校获一等奖人数比为，且两校获奖总人数之比是； （2）”甲、乙两校获二等奖人数占两校获奖人数总和的，其中乙校是甲校的3.5倍； （3）”甲校三等奖获奖人数占该校获奖人数的。 请问：乙校获三等奖人数占该校获奖人数的（ ）%。 15. 一个水池有甲、乙、丙三个水管，甲乙是进水管，丙是排水管。单开甲管20分钟可以将水池注满，单开乙管20分钟可以将水池注满，单开丙管25分钟可以将水池的水放完。现在先开甲乙两管，4分钟后关上甲管开丙管，问：又经过（ ）分钟才能将水池注满。 16. 有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米。圆柱体积是圆锥体积的（ ）倍。 17. 一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是10厘米。其内有一些水，正放时水面离容器顶9厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是（ ）立方厘米。 18. 有一个圆柱体，高是底面半径的4倍，将它如图分成大、小两个柱体，如果大圆柱体的表面积是小圆柱体的表面积的3倍，那么大圆柱体的体积是小圆柱体的体积的（ ）倍。 19. 某水库建有10个泄洪闸，现有水库的水位已经超过安全线，上游河水还在按不变的速度流入，为了防洪，需调节泄洪速度。假设每个闸门泄洪速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降至安全线；若打开2个泄洪闸，10个小时水位降至安全线。现在抗洪指挥部要求在3小时使水位降至安全线以下，至少要同时打开（ ）个闸门。 20. 如图，有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高的三等分点处有两个排水孔和，它们排水时的速度相同且保持不变。现在以一定的速度从上面往水箱注水。如果打开孔、关闭孔，经过30分钟可将水箱注满；如果关闭孔，打开孔，经过33分钟可将水箱注满。如果两个孔都打开，那么注满水箱的时间是（ ）分钟。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $