精品解析：第二十四届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷小学六年级

**基本信息** 小学六年级竞赛试卷，含15道计算题与26道填空题，聚焦运算能力、空间观念及逻辑推理，适配思维拓展训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |计算题|15题|速算巧算（如12345679×18）、分数运算|强化运算能力，注重技巧性与简洁性| |填空题|26题|行程问题（18题）、几何面积（20题）、数论（25题十全数）|梯度设计，融合几何直观与模型意识，考察综合推理|

第二十四届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷 小学六年级 一、计算题。 1. 12345679×18－37×27－7×143＋625×16＝______。 2. ______。 3. ______。 4. ______。 5. ______。 6. _____。 7. ______。 8. 计算：（）÷（） 9. 计算。 10. ______。 11. ______。 12. ______。 13. 计算。 14. ＝______。 15. 计算： 二、填空题。 16. 12345654321×（1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1）是（ ）的平方。 17. 已知都是质数，那么______。 18. 一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高，那么可以比原定时间提前1时到达。如果以原速行驶90千米后再将车速提高，那么也比原定时间提前1时到达。甲、乙两地的距离______是千米。 19. 在一圆形跑道上，甲从点、乙从点同时出发反向而行，6分钟后两人相遇，再过4分甲到达点，又过8分两人再次相遇。乙环行一周需要______分钟。 20. 如图，三角形中边的高长7厘米，三角形中边的高长4厘米。并且已知，则______平方厘米。 21. 如图，面积为36平方厘米的正方形中，是边上的三等分点，那么阴影部分的面积是______平方厘米。 22. 如下图，正方形中，为的中点， ，求 的值是______。 23. 如图所示，在中，BE∶EC＝4∶1，D 是AE的中点，求AF∶FC的值。 24. 甲、乙两个工程队分别负责两项工程。晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和。实际情况是两队同时开工、同时完工。那么在施工期间，下雨的天数是（ ）天。 25. 一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160就是一个十全数。现已知一个十全数能被 整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是____________。 26. 记 ，这里 。当在1至2019之间取正整数值时，有______个不同的，使得是一个正整数的平方。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十四届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷 小学六年级 一、计算题。 1. 12345679×18－37×27－7×143＋625×16＝______。 【答案】222230222 【解析】 【分析】将式中乘法的因数进行适当拆分、利用缺8数规律、乘法凑整，分别算出乘法的结果，再合并计算。最后计算加减法时，先算两个减数的和可以使计算简便。 【详解】分别计算式中的乘法： 12345679×18＝12345679×9×2＝111111111×2＝222222222 37×27＝37×3×9＝111×9＝999 7×143＝1001 625×16＝25×25×4×4＝（25×4）×（25×4）＝100×100＝10000 222222222－999－1001＋10000 ＝222222222－（999＋1001）＋10000 ＝222222222－2000＋10000 ＝222220222＋10000 ＝222230222 2. ______。 【答案】2019 【解析】 【分析】观察式子中数字的特点，通过积不变的规律和乘法分配律进行简便运算。22.3×12.5可转化为223×1.25，230÷4＝230×0.25，0.7×2.5可转化为7×0.25。 【详解】 3. ______。 【答案】449.5 【解析】 【分析】观察题目，式子中有小数也有带分数，可以将带分数转换为小数，，同时可以看到8.1和1.9可以凑整，考虑将53.7拆分为41.2＋12.5，利用乘法分配律展开，再合并含41.2的项，提取公因数计算。接着根据积不变性质将11×1.25转化为1.1×12.5，提取公因数12.5计算。 【详解】 4. ______。 【答案】 【解析】 【分析】这道题先交换分子，把原式两项变成完全相同的乘法算式；两项完全相同，直接写成 “×2” 的形式；接着调整顺序、计算整数乘积；再拆分分数，用乘法分配律展开，算出结果。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝） ＝ 5. ______。 【答案】 【解析】 【分析】先计算分子中0.25与472的乘积得118，118与分母119相差1，可以将118改写成119－1，再运用乘法分配律计算。 【详解】 6. _____。 【答案】15 【解析】 【分析】先把被除数中的带分数和分数统一形式，发现被除数可以提取公因数15，构造出和除数相同的部分，再利用除法的性质进行简便计算。 【详解】 7. ______。 【答案】24 【解析】 【分析】这道题先把中的两个分子交换位置，变形为，和第一项相加，可以逆用乘法分配律，凑出×24；再和中间的24×相加时，提取相同因数 24，第二次逆用乘法分配律，快速算出结果。 【详解】 ＝ 8. 计算：（）÷（） 【答案】 【解析】 【分析】先算小括号的加法，再算除法。 【详解】原式＝（）÷（） ＝2016（2012） ＝20162012 9. 计算。 【答案】6 【解析】 【分析】仔细观察这个繁分式，分子和分母都有、、、的结构，分子里每个分式都可以拆开。例如，对每一项都这样处理。分子拆开后，先化成带分数，再按照分母的形式一个一个分组，一定能分成3组。这样一来分子分母会有公因式，可以约分，最终是一个简单的数。 【详解】原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝6 10. ______。 【答案】1 【解析】 【分析】用乘法分配律把括号展开，然后用同类项抵消的巧算方法来解。 【详解】 11. ______。 【答案】 【解析】 【分析】带分数相加求和，一定要看成总和＝整数部分和＋分数部分和。 整数部分很明显是，分数部分需要想到裂项的知识，将常见的2、6、12、20等这些积联想到1×2、2×3、3×4等。也就是分数部分写成，整数部分直接相加，分数部分裂项相消即可。 【详解】原式＝（）＋（） ＝＋（） ＝ ＝ 12. ______。 【答案】153 【解析】 【分析】观察题目，本题为带分数的除法，要注意合理拆分、除法与乘法的转换及乘法分配律的运用。先将除法运算转换为乘法运算，然后拆分带分数，应用乘法分配律计算。 【详解】 13. 计算。 【答案】1 【解析】 【分析】分母中含有大量的临近的大数，我们一般采用换元法统一以字母表示，化简代数式来代替计算。 设，方便观察。则，，原式变为。观察分母出现了三次方，首先想到立方差公式，果然，分母上a3被我们消灭了。 【详解】设，原式＝ ＝ ＝ ＝1 14. ＝______。 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知的分数式，列出第n个分数的通项：。 对通项进行裂项拆分并化简，并将化简后的分数式继续裂项，利用裂项后的规律，中间项相互抵消，从而快速求和。 【详解】列出通项公式并将其初步裂项： ＝ ＝＋ ＝＋ 继续对进行裂项：＝ 对进行裂项：＝ 所以通项公式转化为：＋ 将n＝1~9代入通项公式中： ＋＋…＋ ＝＋＋…＋＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝ 【点睛】本题的难点在于求出通项公式后，需要对其进行两次裂项，然后将n的数值带入，分成两部分两两相消，最终求出答案。 15. 计算： 【答案】31 【解析】 【分析】分子写成12×（）的形式，分母写成的形式，分母其他分数也写成同样的方式后即可简便运算。 【详解】原式 ＝31 二、填空题。 16. 12345654321×（1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1）是（ ）的平方。 【答案】666666 【解析】 【分析】根据12345654321＝1111112，1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36＝62，由此即可解决。 【详解】12345654321×（1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1） ＝1111112×36 ＝1111112×62 ＝（111111×6）2 ＝6666662 因此12345654321×（1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1）是666666的平方。 17. 已知都是质数，那么______。 【答案】5 【解析】 【分析】质数是指在大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数。根据题意，n本身是质数，最小的质数是2，然后是3、5、7……，逐个代入计算结果，看哪个得到的结果都是质数。 【详解】n＝2时，n＋36，n＋14，n＋162，n＋68都是偶数，偶数除了2以外都不是质数，不符合要求； n＝3时，n＋36＝39，39是3的倍数，不是质数，不符合要求； n＝5时，n＋36＝41，n＋14＝19，n＋162＝167，n＋68＝73，结果都是质数，符合要求，所以n＝5。 18. 一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高，那么可以比原定时间提前1时到达。如果以原速行驶90千米后再将车速提高，那么也比原定时间提前1时到达。甲、乙两地的距离______是千米。 【答案】324 【解析】 【分析】路程不变，速度与时间成反比，根据第一个条件，车速提高20%，时间提前了1个小时，可以求出原定时间； 根据第二个条件，原速行驶90千米后，提速30%，也比原定时间提前了1个小时，可以求出提速的路程段原本所用时间，进而求出行驶90千米路程段所用时间，最后求出全程距离。 【详解】车速提高20%，原速:新速＝ 路程一定，速度与时间成反比，原时间：新时间＝ 时间差为：6－5＝1（份），对应是1个小时，那么原定时间为： 车速提高30%，原速：新速＝ 路程一定，速度与时间成反比，原时间：新时间＝ 时间差：13－10＝3（份），对应1个小时，一份时间就是小时 这段路程原时间为： 行驶90千米用时： 原速： 全程距离： 19. 在一圆形跑道上，甲从点、乙从点同时出发反向而行，6分钟后两人相遇，再过4分甲到达点，又过8分两人再次相遇。乙环行一周需要______分钟。 【答案】30 【解析】 【分析】由题意知，乙在第一次相遇行的6分钟的路程，甲在相遇后只用4分钟就走完了，从第一次相遇到再次相遇，两个人共走一周，用时为4＋8＝12（分钟），所以甲乙合走一圈需要12分钟，根据路程相等时，速度与时间成反比，可得：：＝6：4＝3：2；即＝，将这个圆形跑道看作为单位“1”，那么一圈的长度：S＝12×（＋），求出乙的速度，根据时间＝路程÷速度，即可得出乙环行一周所用时间。 【详解】：＝6：4 ＝3：2 所以＝ S＝12×（＋） ＝12×（＋） ＝12× ＝30 ＝S÷ ＝30÷ ＝30（分钟） 【点睛】这类题的核心是抓住路程、速度、时间的关系。从第一次相遇后到第二次相遇，两人合走的路程刚好是一整圈，所用时间就是两次相遇的时间间隔。 环形跑道上，两次相遇的时间间隔＝两人合走一圈的时间（从同一点出发时，第一次相遇的时间就是合走一圈的时间） 20. 如图，三角形中边的高长7厘米，三角形中边的高长4厘米。并且已知，则______平方厘米。 【答案】40 【解析】 【分析】观察图可知，三角形ABC和三角形BCE共用同一条底边BC，通过已知三角形的面积和高求出公共底边的长度，再利用该底边和另一个三角形的高求出其面积。三角形的面积＝底×高÷2 【详解】BC： （厘米） ： （平方厘米） 21. 如图，面积为36平方厘米的正方形中，是边上的三等分点，那么阴影部分的面积是______平方厘米。 【答案】9 【解析】 【分析】已知正方形的面积等于36平方厘米，因为，就可以求出边长为6厘米；又因为是边上的三等分点，就可以求出的长，即，再利用梯形的面积；最后利用“蝴蝶模型”的性质，，进行解题。 【详解】正方形的边长：（厘米） ：（厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 22. 如下图，正方形中，为的中点， ，求 的值是______。 【答案】# 【解析】 【分析】在△BEO和△BFO中，它们共顶点B，底边EO、OF在同一直线EF上，过B作EF的垂线，即为这两个三角形的公共高，高相等时，面积比等于底边长之比，因此。同理，△EGO和△FGO共顶点G，底边也在同一直线EF上，因此。即。 【详解】连接BE、EG、GF，设正方形ABCD的边长为12，确定各线段长度： E为AD中点，AE ＝ ED ＝ 6； BF＝2CF，BC＝12，得BF＝8，CF＝4； DG＝3CG，DC＝12，得CG＝3，DG＝9。 或。 【点睛】本题运用风筝模型解题，解题依据为等高三角形面积之比等于对应底边之比。 23. 如图所示，在中，BE∶EC＝4∶1，D 是AE的中点，求AF∶FC的值。 【答案】0.8 【解析】 【分析】本题已知两个比例，求第三个比例，关键在于找到比例模型。常见的比例模型有鸟头模型、相似模型、燕尾模型等，选择相似模型进行转化。 首先要用上D是AE的中点这一结论，就是要将AD、AE转化到一组“8字”三角形的对应边中去。观察到目前还没有这样的三角形，因此我们将三角形BDE“旋转”180°变为三角形MDA，这样一来，AM＝BC，BD＝DM，我们本来就知道BE于CE的比，目前相当于把BE转移到了AM，可以发现另一组相似三角形（也是“8”字）三角形AMF与三角形CBF，其上正好有我们要的AF∶FC（作为一组对应边出现了），问题转化为求AM∶BC，而我们刚刚已经将BE转化为AM；BC转化为BE＋CE，可以直接根据份数关系计算了。 【详解】 作 AM∥BC交 BF 的延长线于点 M，设CE＝x，BE＝4x； 因为AM∥BC，AD＝DE，所以AM＝BE＝4x； 同样地，因为AM∥BC，所以AF∶FC＝AM∶BC＝4x∶5x＝4∶5＝0.8。 24. 甲、乙两个工程队分别负责两项工程。晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和。实际情况是两队同时开工、同时完工。那么在施工期间，下雨的天数是（ ）天。 【答案】12 【解析】 【分析】先求出晴天时甲、乙的工作效率，再计算雨天时甲、乙的工作效率，求出晴天、雨天甲、乙的工作效率的关系；由于两队同时开工、同时完工，可以求出晴天和雨天之比，然后再计算具体的天数。 【详解】在晴天，甲、乙两队的工作效率分别为和，甲队比乙队的工作效率高； 在雨天，甲队、乙队的工作效率分别为和，乙队的工作效率比甲队高。由于两队同时开工、同时完工，完成工程所用的时间相同，所以整个施工期间，晴天与雨天的天数比为。 如果有8个晴天，则甲共完成工程的，而实际的工程量为1，所以在施工期间，共有个晴天，个雨天。 所以下雨的天数是12天。 【点睛】本题考查的是工程问题，难点在于本题中的工作效率是变化的。 25. 一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160就是一个十全数。现已知一个十全数能被 整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是____________。 【答案】4876391520 【解析】 【分析】本题求前四位是4876的十全数，数字0到9各用一次，能被1至16整除，先依据数的整除规律（能被9整除的数，各位数字之和是9的倍数，0到9十个数字总和为45，是9的倍数，所有十全数都满足该条件。能被11整除的数，奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数。判断一个数能否被 7、13整除，从右往左每三位分成一段，分出奇数段与偶数段，用所有奇数段数值之和减去所有偶数段数值之和，所得差值若是7或13的倍数，这个数就可以被7或13整除。）确定末尾数字，再运用11的整除特征锁定中间数字，最后用三位分段法验证能否被 7、13 整除，筛选出符合要求的数。 【详解】设这个十全数为4876abcde0，据这个数能被10整除的特征，得末位0；这个数能被4整除，得末两位组成的数是4的倍数，得出十位上的e为2；这个数能被8整除，得末三位组成的数是8的倍数，得出百位上的数d为5；这个数能被16整除，则末四位组成的数是16的倍数，可确定后四位为1520，得出千位上的数c为1。 已用数字：4、8、7、6、1、5、2、0，剩余数字：3、9。 0到9各位数字总和为45，满足9的倍数要求，所以这个数一定能被9整除。 判断能否被11整除，奇数位数字和为8＋6＋b＋5＋0，偶数位数字和为4＋7＋a＋1＋2，两者的差是 11的倍数，整理式子可得b＋5－a为11的倍数，结合剩余数字范围推算，得出b＝9，a＝3，反之不成立。 将所得4876391520从右往左三位分段，用奇数段之和减去偶数段之和，判断差值能否被7和13整除，可确定4876391520满足全部整除条件。 【点睛】熟练掌握各类特殊数字的整除特征，合理运用整除传递性简化运算，依照规则逐步推算筛选，即可求出正确结果。 26. 记 ，这里 。当在1至2019之间取正整数值时，有______个不同的，使得是一个正整数的平方。 【答案】43 【解析】 【分析】偶数的平方：，除以 余数为；奇数的平方：，除以 余数为。再利用若时，，除以 余数为 ，与以上结论不符。所以当时，结合在至之间取正整数值，即可得出结论。 【详解】 （1）当时，包含因数 ，故除以 余数为 则除以 余数为 ， 当时，所以不是平方数； （2）当时， 除以 余数为，为奇数的平方。 当时， ， 当时，， 当在至之间，在至之间的平方数是 其中一个平方数对应一个值，的个数： 【点睛】这题考查的是平方和平方运算，重点是偶数的平方除以 余数为，奇数的平方除以 余数为。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $