精品解析：2026年河南平顶山市叶县第四教研区中考考前模拟数学试题

2026年中考学科第三次调研 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四个海拔中，最低的是（ ） A. 0米 B. 米 C. 米 D. 10米 2. 如图是生活中常用的“空心卷纸”，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后入眼，若，，，则反射角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于 的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 7. 2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．现随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本，整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，且分数均为整数，把样本数据分成5组（第1组：；第2组：；第3组：；第4组：；第5组：），并绘制了如图所示的频数直方图，则下列说法不正确的是（ ） A. 样本容量为100 B. 所抽取学生竞赛成绩在第5组的学生人数占比为30% C. 所抽取学生竞赛成绩在第4组内的学生人数最多 D. 估计全校1000名学生中成绩不低于81分的有70名 8. 如图，在矩形 中，， ，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接．M，N分别是的中点，连接，则的最小值是（ ） A. B. 5 C. 6 D. 7 （新考法）（知识重组） 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，过点A，B的 与x轴相切于点B，与y轴交于另一点C（在点A上方），连接．若 平分，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. （新情境）（跨学科） 10. 某项目化学习小组设计了一款用于监测一氧化碳（）浓度的安全断路器，其电路图如图1所示．装置由控制电路（含电源、气敏电阻、定值电阻、电磁铁E等）和机械传动部分（含闸刀开关、轻质杠杆 、铁块C等）组成，电磁铁E位于铁块C的正上方．当控制电路中的电流I超过设定值时，铁块C被电磁铁E吸起，杠杆 偏转，带动细绳拉开闸刀开关，自动切断电路．已知电源电压U为，定值电阻的阻值为，．电磁铁E对铁块C的吸引力与通过控制电路中的电流I的关系如图2所示，气敏电阻的阻值与浓度的关系如图3所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 气敏电阻的阻值随浓度的增大而减小 B. 浓度越大，电磁铁E对铁块C的吸引力越大 C. 当电磁铁E对铁块C的吸引力为时，的浓度为 D. 使用一段时间后，由于电源电压U减小，闸刀开关被拉开时一氧化碳实际的浓度会偏大 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______. （新考法）（开放性） 12. 如图是反比例函数的图象，请写出一个符合要求的整数k的值：___________． 13. 商店购进一批文具盒，每个进价 元，售价元，为促销，商店决定打折销售，但要求利润率不低于，那么该文具盒最多可打___________折销售． 14. 如图， 是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 15. 如图，在 中，，，点P为 内部一动点（不在边上），且．延长交直线 于点D．当是等腰三角形时，线段 的长为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及化简： （1）计算：． （2）化简：． 17. 为提高学生体质健康水平，某校开展了丰富多彩的课外社团活动．甲、乙两位同学参加了篮球社团的选拔测试，每次测试共有10次定点投篮机会，以命中次数作为测试成绩，命中次数大于等于8次即为优秀．已知这两位同学近8周定点投篮测试成绩的折线统计图如图所示． 分析甲、乙两位同学的成绩，得到如下数据： 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 甲 6.5 a 5 5.75 乙 6.5 7 c 1.25 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________． （2）这8周测试成绩中，发挥较稳定的是___________同学（填“甲”或“乙”）． （3）若篮球社团决定从甲、乙两位同学中选出一位，你建议选拔哪位同学，请说明理由． 18. 如图，在矩形 中． （1）尺规作图：在边上分别作点E，F，使，． （2）在（1）的条件下，若，，求 的长． （新考法）（反比例函数与网格、概率结合） 19. 如图，反比例函数的图象经过点． （1）求t的值． （2）若直线l：也经过点P，求直线l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l． （3）在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取2个不同的格点（横、纵坐标都是整数的点），求这2个格点都在反比例函数图象上的概率． 20. 某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．已知A品牌共享电动车骑行，收费元，且；B品牌共享电动车骑行，收费元，且，A，B两种品牌的共享电动车所收费用，与骑行时间x之间的函数图象如图所示． （1）说明图中函数与图象的交点P表示的实际意义． （2）已知王老师家与学校的距离为，且王老师骑共享电动车的平均速度为，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由． （3）当x为何值时，两种品牌的共享电动车收费相差0.8元？ 21. 综合与实践 为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时 海里的速度向码头 航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头 在灯塔 北偏西方向 时，渔船航行至灯塔 北偏东方向的 处 时，渔船航行至灯塔 东北方向的 处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜里，码头 附近海域将出现浓雾天气．请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离． （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：，，，，，）． （新考法）（新定义） 22. 定义：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ② 是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是___________（填写正确结论的序号）． 该兴趣小组继续对二次函数进行探究，并设计了以下问题，请你解答． （2）若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． （3）在（2）的条件下，当时，对应函数的最大值与最小值的差为5，请求出b，c的值． 23. 【教材呈现】 （1）如图1，E是正方形 边 上一点（不与点B，C重合）， 是等腰三角形，且 ， ， 交 于点G，连接 ，探究 与 之间的数量关系． 爱动脑筋的小鼎同学通过思考，给出如下解题过程，请补充完整． 解：在边 上取点H，使得 ，则 ，∴ ． ∵四边形 是正方形，∴ ， ． ∵ ，∴ ． ∵ ， ，∴ ___________． ∵ ，∴ ___________．∴ ． ∴ ．∴ ． （2）【类比迁移】如图2，E是菱形 边 上一点， 是等腰三角形， ，， 交 于点G，连接 ，判断 与 之间的数量关系，并证明． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若 ， ，点G是 的三等分点，请直接写出 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第三次调研 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四个海拔中，最低的是（ ） A. 0米 B. 米 C. 米 D. 10米 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴海拔最低的是米． 2. 如图是生活中常用的“空心卷纸”，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：俯视图是． 故选：C． 3. 著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：218000000用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后入眼，若，，，则反射角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到的度数，再求出的度数，再根据反射角等于入射角即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵反射角等于入射角， ∴． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别依据合并同类项、同底数幂除法、幂的乘方、完全平方公式逐一计算四个选项，判断等式是否成立，选出正确选项． 【详解】解：A：与不是同类项，无法合并，，A错误． B：，B错误． C：，C正确． D：，D错误． 6. 关于 的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式的值，即可得出答案． 【详解】解： 关于 的一元二次方程为， ， 该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 7. 2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．现随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本，整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，且分数均为整数，把样本数据分成5组（第1组：；第2组：；第3组：；第4组：；第5组：），并绘制了如图所示的频数直方图，则下列说法不正确的是（ ） A. 样本容量为100 B. 所抽取学生竞赛成绩在第5组的学生人数占比为30% C. 所抽取学生竞赛成绩在第4组内的学生人数最多 D. 估计全校1000名学生中成绩不低于81分的有70名 【答案】D 【解析】 【分析】求出样本容量即可判断A选项；再求出所抽取学生竞赛成绩在第5组的学生人数占比即可判断B选项；由频数直方图可知所抽取学生竞赛成绩在第4组内的学生人数最多，即可判断C选项；利用样本估计总体的思想即可判断D选项． 【详解】解：样本容量，故选项A说法正确； 所抽取学生竞赛成绩在第5组的学生人数占比，故选项B说法正确； 由频数直方图，可知所抽取学生竞赛成绩在第4组内的学生人数最多，故选项C说法正确； （名）， ∴全校1000名学生中成绩不低于81分的约有700名，故选项D说法不正确． 8. 如图，在矩形 中，， ，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接．M，N分别是的中点，连接，则的最小值是（ ） A. B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】斜边上的中线得到，，进而得到，即当的值最小时，有最小值，作点C关于直线的对称点，连接，，得到，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵，M，N分别是的中点， ∴，． ∴，即当的值最小时，有最小值． 如图，作点C关于直线的对称点，连接，，则， 即当B，P，三点共线时，的值最小，最小值就是的长． 在中，，， ∴． ∴的最小值． （新考法）（知识重组） 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，过点A，B的 与x轴相切于点B，与y轴交于另一点C（在点A上方），连接．若 平分，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交 于点D，求出．根据含角的直角三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：延长交 于点D，如图1，则是直径． ∵ 与x轴相切于点B， ∴轴，即， ∴轴， ∴． ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∴所对的圆心角的度数为， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． （新情境）（跨学科） 10. 某项目化学习小组设计了一款用于监测一氧化碳（）浓度的安全断路器，其电路图如图1所示．装置由控制电路（含电源、气敏电阻、定值电阻、电磁铁E等）和机械传动部分（含闸刀开关、轻质杠杆 、铁块C等）组成，电磁铁E位于铁块C的正上方．当控制电路中的电流I超过设定值时，铁块C被电磁铁E吸起，杠杆 偏转，带动细绳拉开闸刀开关，自动切断电路．已知电源电压U为，定值电阻的阻值为，．电磁铁E对铁块C的吸引力与通过控制电路中的电流I的关系如图2所示，气敏电阻的阻值与浓度的关系如图3所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 气敏电阻的阻值随浓度的增大而减小 B. 浓度越大，电磁铁E对铁块C的吸引力越大 C. 当电磁铁E对铁块C的吸引力为时，的浓度为 D. 使用一段时间后，由于电源电压U减小，闸刀开关被拉开时一氧化碳实际的浓度会偏大 【答案】C 【解析】 【分析】根据，结合图象逐项分析即可． 【详解】解：A、由图3，可知气敏电阻的阻值随浓度的增大而减小，A选项说法正确； B、由图3，可知浓度越大，阻值越小，由，可知阻值越小，I越大，由图2，可知随I的增大而增大，即浓度越大，电磁铁E对铁块C的吸引力越大，B选项说法正确； C、由图2，可知当时，，代入，即，解得．由图3，可知当时，浓度为，C选项说法错误； D、闸刀开关被拉开时，通过控制电路中的电流I不变，根据，可知当电源电压U减小，偏小，即偏小，由图3，可知此时浓度偏大，D选项说法正确． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______. 【答案】x≠-2． 【解析】 【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的取值范围． 【详解】∵分式 在实数范围内有意义， ∴x+2≠0， 解得：x≠-2， 则x的取值范围是：x≠-2． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． （新考法）（开放性） 12. 如图是反比例函数的图象，请写出一个符合要求的整数k的值：___________． 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：由反比例函数的图象，可知， ∴整数k可取4．（答案不唯一） 13. 商店购进一批文具盒，每个进价 元，售价元，为促销，商店决定打折销售，但要求利润率不低于，那么该文具盒最多可打___________折销售． 【答案】八##8 【解析】 【分析】先根据利润率最低值算出最低实际售价，再用最低售价除以原售价得到折扣数． 【详解】解：设该文具盒最多可打 折销售．由题意，得 ， 解得，即最多可打八折销售． 14. 如图， 是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】记与半圆O交于点C，连接，由旋转的性质，可知两个半圆的面积相等，，则，根据计算即可． 【详解】解：记与半圆O交于点C，连接，如图所示． 由旋转的性质可知两个半圆的面积相等，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 15. 如图，在 中，，，点P为 内部一动点（不在边上），且．延长交直线 于点D．当是等腰三角形时，线段 的长为___________． 【答案】1或 【解析】 【分析】分两种情况进行讨论求解即可. 【详解】由题意，可知，， ∴点P在以 为直径的圆弧上．分两种情况讨论： ①如图1，当时，此时． ②如图2，当时，则， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得． ∴． 综上所述， 的长为1或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及化简： （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 为提高学生体质健康水平，某校开展了丰富多彩的课外社团活动．甲、乙两位同学参加了篮球社团的选拔测试，每次测试共有10次定点投篮机会，以命中次数作为测试成绩，命中次数大于等于8次即为优秀．已知这两位同学近8周定点投篮测试成绩的折线统计图如图所示． 分析甲、乙两位同学的成绩，得到如下数据： 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 甲 6.5 a 5 5.75 乙 6.5 7 c 1.25 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________． （2）这8周测试成绩中，发挥较稳定的是___________同学（填“甲”或“乙”）． （3）若篮球社团决定从甲、乙两位同学中选出一位，你建议选拔哪位同学，请说明理由． 【答案】（1）6.5，37.5，7 （2）乙 （3）选甲同学，理由：甲同学近8周测试成绩优秀率比乙大，且近4周测试成绩一直在提升，并有三次高于乙同学．（或选乙同学，理由：甲、乙两位同学近8周测试成绩的平均数相等，但乙同学测试成绩的方差比甲低，说明了乙同学测试成绩更稳定．）（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出的值，用优秀的次数除以总次数，求出的值即可； （2）利用方差判断稳定性即可； （3）根据优秀率（或根据平均数和方差）作决策即可. 【小问1详解】 解：甲的8个数据排序后，第4个和第5个数据分别为6和7， ∴； 甲命中次数大于等于8次的有3次，故， ∴； 乙的数据中出现次数最多的是7，故； 【小问2详解】 解：∵甲的方差为5.75，乙的方差为1.25，， ∴这8周测试成绩中，发挥较稳定的是乙同学； 【小问3详解】 略 18. 如图，在矩形 中． （1）尺规作图：在边上分别作点E，F，使，． （2）在（1）的条件下，若，，求 的长． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）3 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心， 为半径画弧交 于点E，作的角平分线交 于点F即可； （2）连接 ，由作图和矩形的性质得到，，在中由勾股定理求出．得到．设，则．在中，由勾股定理求出，即可求出 的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接 ， ∵，， ∴在中，． ∴． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 解得． ∴． （新考法）（反比例函数与网格、概率结合） 19. 如图，反比例函数的图象经过点． （1）求t的值． （2）若直线l：也经过点P，求直线l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l． （3）在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取2个不同的格点（横、纵坐标都是整数的点），求这2个格点都在反比例函数图象上的概率． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）把代入反比例函数解析式即可求出答案； （2）求出．得到．令，得．即可得到直线l与y轴交点的坐标为．再画出一次函数的图象即可； （3）求出直线l与两坐标轴围成的三角形内部（不包括边界）的格点共有3个，分别记为点，，，其中点，在反比例函数图象上．再利用列表法求出概率即可． 【小问1详解】 解：由题意，将代入， 得． 【小问2详解】 由（1），得， ∴点P的坐标为． 将代入， 得， 解得． ∴． 令，得． ∴直线l与y轴交点的坐标为． 图见解析 【小问3详解】 根据题意，直线l与两坐标轴围成的三角形内部（不包括边界）的格点共有3个，分别记为点，，，其中点，在反比例函数图象上． 根据题意，列表如下： A B C A - B - C - 由表，可知共有6种等可能的结果，其中2个格点都在反比例函数图象上的结果有2种， ∴这2个格点都在反比例函数图象上的概率． 20. 某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．已知A品牌共享电动车骑行，收费元，且；B品牌共享电动车骑行，收费元，且，A，B两种品牌的共享电动车所收费用，与骑行时间x之间的函数图象如图所示． （1）说明图中函数与图象的交点P表示的实际意义． （2）已知王老师家与学校的距离为，且王老师骑共享电动车的平均速度为，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由． （3）当x为何值时，两种品牌的共享电动车收费相差0.8元？ 【答案】（1）交点P表示的实际意义是当骑行时间为时，A，B两种品牌的共享电动车收费均为3元 （2）王老师选择A品牌的共享电动车更省钱，理由如下： 由题意，当 时，， 将点，代入，得， 解得， ∴当 时，， ∴， ，， 当时，（元），（元）， ∴， ∴王老师选择A品牌的共享电动车更省钱． （3）当x的值为36或8时，两种品牌的共享电动车收费相差0.8元 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，结合x，y所表示的实际意义即可解答； （2）依据题意，先利用待定系数法，求出的解析式，然后根据“时间路程速度”求出王老师从家骑行到学校所需时间，再分别求出选择A和B品牌共享电动车所需费用，比较即可求解； （3）当时；当时，有两种情况：当 时，当时．以此列出方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 当时， 结合图象，可知， 解得； 当时， 结合图象，可知当 时，， 解得； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）． ∴当x的值为36或8时，两种品牌的共享电动车收费相差0.8元． 21. 综合与实践 为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时 海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头在灯塔 北偏西方向 时，渔船航行至灯塔 北偏东方向的 处 时，渔船航行至灯塔 东北方向的 处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜里，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离． （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：，，，，，）． 【答案】（1）最短距离约为海里 （2）渔船不能在浓雾到来前到达码头，理由如下： 如图，过点 作于点 ． 在中，， 由（1）可知海里， ∴（海里）． ∴（海里）． ∵小时分钟，从经过分钟是， ∴渔船不能在之前到达． ∴若不改变航行速度，渔船不能在浓雾到来前到达码头． 【解析】 【分析】（1）过点 作构造直角三角形，先根据航行时长算出 长度，设垂线段，利用的正切表示，结合列方程求解，即为渔船到灯塔的最短距离． （2）在中利用求出，算出总路程，结合船速求出行驶总时长，对比到的时间，判断能否抵达码头． 【小问1详解】 解：如图，过点 作于点 ． 由题意，得，，， ∴，． ∴． 设，则． 在中，， ∴， 解得． ∴渔船在航行过程中到灯塔 的最短距离约为海里． 【小问2详解】 解：略． （新考法）（新定义） 22. 定义：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ② 是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是___________（填写正确结论的序号）． 该兴趣小组继续对二次函数进行探究，并设计了以下问题，请你解答． （2）若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． （3）在（2）的条件下，当时，对应函数的最大值与最小值的差为5，请求出b，c的值． 【答案】（1）②③ （2） （3）b，c的值分别为，或， 【解析】 【分析】（1）根据新定义逐一进行判断即可； （2）一般式化为顶点式，求出顶点坐标，根据新定义即可得出对应的关系式； （3）分3种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：①当时，，故不是“不动点函数”； ②把点代入 ，得，解得， ∴ 是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③对于任意一个 的值，点都在直线上，故是“不动点函数”，且有无数个不动点． 综上：正确的是②③； 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴，即． 【小问3详解】 解：由（2），得． ∴函数图象为开口向上的抛物线，顶点坐标为． 分以下三种情况讨论： ①当时，由二次函数的性质，可知当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，；当 时，y有最大值，． ∴，解得． ∵， ∴符合题意． 将代入，得． ∴，． ②当时，由二次函数的性质，可知当时，y随x的增大而减小． ∴当时，y有最大值，；当 时，y有最小值，． ∴，解得， ∵， ∴符合题意， 将代入，得， ∴，． ③当时，函数在时取最小值，． Ⅰ．当时，函数在 时取最大值，． ∴，即，解得． ∵， ∴不符合题意． Ⅱ．当时，函数在时取最大值，， ∴，即，解得． ∵， ∴不符合题意， 综上所述，b，c的值分别为，或，． 23. 【教材呈现】 （1）如图1，E是正方形 边 上一点（不与点B，C重合）， 是等腰三角形，且 ， ， 交 于点G，连接 ，探究 与 之间的数量关系． 爱动脑筋的小鼎同学通过思考，给出如下解题过程，请补充完整． 解：在边 上取点H，使得 ，则 ，∴ ． ∵四边形 是正方形，∴ ， ． ∵ ，∴ ． ∵ ， ，∴ ___________． ∵ ，∴ ___________．∴ ． ∴ ．∴ ． （2）【类比迁移】如图2，E是菱形 边 上一点， 是等腰三角形， ，， 交 于点G，连接 ，判断 与 之间的数量关系，并证明． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若 ， ，点G是 的三等分点，请直接写出 的长． 【答案】（1） ， （2） ， 证明：如下图，在 上截取 ，使 ，连接 ， 在菱形 中， ， 则 ． ∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴． ∴ ． ∵ ， ∴， ∴． ∵ ， ∴ ，即 （3）或 【解析】 【分析】（1）在边 上取点H，使得 ，证明．得到 ，求出 ，即可得到结论； （2）在 上截取 ，使 ，连接 ，则 ．证明．则 ．进一步求出 ，即可得到结论； （3）过点A作 的垂线交 的延长线于点P，证明 ．分两种情况讨论：① ，② ，分别进行解答即即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可知 ， 过点A作 的垂线交 的延长线于点P， 如图2，3，则 ． ∴ ． 分两种情况讨论：①若 ，如图2，则 ， ． ∵ ， ∴ ． ∴，． ∵ ， ∴． ∴． ②若 ，如图3，则 ， ． 同①，得． 综上所述， 的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $