2025-2026学年·高中数学·苏教版·必修 第二册·第14章统计 14.4 用样本估计总体 14.4.1 用样本估计总体的集中趋势参数·导学案（概念课）（课后巩固）

该高中数学导学案聚焦“用样本估计总体的集中趋势参数”，围绕平均数、中位数、众数的定义、计算、估计及情境选择设定学习目标，通过知识点梳理、例题讲解、课堂练习等模块，构建“定义理解-计算应用-情境选择”的递进式学习路径，体现知识建构的系统性与连贯性。 亮点在于“哪个统计量更能代表‘平均水平’”的主题探究设计，结合公司员工工资数据开展分组计算与讨论，通过“工资争论”角色扮演引导学生分析不同统计量的适用场景，培养数学思维（推理意识）和数学语言（数据观念），促进深度学习。学案为学生提供分层练习，为教师实施单元教学提供完整支撑，助力核心素养落地。

2025-2026学年·高中数学·苏教版·必修 第二册·第14章统计 14.4 用样本估计总体 14.4.1 用样本估计总体的集中趋势参数·导学案（概念课）（课后巩固） 模块一 学习目标 一、能说出平均数、中位数、众数的定义，并能根据原始数据准确计算这三个统计量，正确率达到80%以上。 二、能根据频率分布直方图估计总体的众数、中位数和平均数，理解各组组中值与频率的乘积和即为平均数估计值的原理。 三、能结合实际情境，判断在不同场景下应选择哪种集中趋势参数，并说明选择理由。 模块二 知识点梳理 一、众数 1. 定义：一组数据中出现次数最多的数值，叫做这组数据的众数。注意啦，众数说的是"数据"本身，不是它出现的次数。 2. 特点： （1）众数可能不止一个。如果有多个数据出现的次数相同且都是最多的，那它们都是众数。 （2）众数也可能不存在。如果每个数据出现的次数都一样，那就没有众数。 （3）众数不受极端值影响。哪怕数据里有一个特别大或特别小的数，众数也不会变。 3. 求法：先统计每个数据出现的次数，再找出次数最多的那个数据。 【注意】众数不是"出现次数最多的次数"，而是出现次数最多的那个数据本身。比如数据1,2,2,3中，众数是2，不是2次。 二、中位数 1. 定义：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，处于中间位置的数，叫做这组数据的中位数。 2. 特点： （1）如果数据个数为奇数，中位数就是正中间的那个数。 （2）如果数据个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数。 （3）中位数不受极端值影响，能反映数据的"中等水平"。 3. 求法：第一步永远是排序，排好序后再找中间位置。这里容易踩坑，很多同学拿到数据就直接找中间的数，忘了排序，结果就错了。 【温馨提示】求中位数的第一步永远是排序，这是学生最容易漏掉的步骤。哪怕数据看起来已经差不多有序了，也要老老实实先排一遍。 三、平均数 1. 定义：一组数据的总和除以数据的个数，得到的结果就是这组数据的平均数。 2. 特点： （1）平均数利用了所有数据的信息，是最"全面"的统计量。 （2）平均数容易受极端值影响。一个特别大或特别小的数，就能把平均数拉高或拉低很多。 （3）平均数是最常用的集中趋势参数，生活中说的"平均"大多指的是平均数。 3. 求法：把所有数据加起来，再除以数据的总个数。如果数据有不同的权重，就要用加权平均数公式。 【注意】加权平均数怎么算？说白了就是每个数据乘以它的权重，加起来之后再除以权重的总和。比如平时成绩占30%，期末成绩占70%，那总评成绩就是平时分乘0.3加期末分乘0.7。 【课堂探究活动】 探究主题：哪个统计量更能代表"平均水平"？ 活动设计： 1. 教师给出某公司员工月工资数据：3000, 3200, 3500, 3800, 4000, 4200, 4500, 20000（经理）。 2. 学生分组计算这组数据的平均数、中位数、众数。 3. 讨论：如果老板说"我们公司平均工资5781.25元"，这个说法是否合理？ 4. 各组派代表分享讨论结果。 5. 教师总结：不同统计量有不同的适用场景，要根据实际情况选择。 【重点】 平均数、中位数、众数的计算方法及统计意义是本节课的重点。这三个统计量从不同角度描述了数据的集中趋势：众数代表"最常见"的值，中位数代表"中间水平"，平均数代表"平均水平"。学生需要掌握在原始数据和频率分布直方图两种情境下的计算方法。在原始数据中，计算相对直接；在频率分布直方图中，需要利用各组的组中值和频率来估计。这部分内容之所以重要，是因为它是后续学习离散程度参数（方差、标准差）的基础，也是统计推断的核心工具。学生在哪个具体步骤容易出错呢？主要有三个地方：一是求中位数时忘记先排序，直接取中间位置的数；二是在频率分布直方图中计算时，误将纵坐标（频率/组距）直接当作频率使用，忘记乘以组距；三是混淆三个统计量的适用场景，不知道在什么情况下该用哪个。 【难点】 根据实际情况合理选择集中趋势参数，以及在频率分布直方图中估计中位数和平均数，是本节课的难点。为什么难？因为这需要学生不仅会计算，还要理解每个统计量的统计意义，能结合具体情境做出判断。学生在哪个具体步骤容易出错呢？在频率分布直方图中找中位数时，学生往往不知道从左边开始累加频率，找到频率和为0.5的位置，而是直接取中间组的组中值，这样误差就大了。突破方法：课堂上设计一个"工资争论"的情境，让学生分别扮演老板、员工、税务官三个角色，从不同立场选择对自己有利的统计量，通过角色扮演加深对三个统计量差异的理解。对于频率分布直方图的计算，教师可以用"面积累加"的直观方式讲解，把直方图的总面积看作1，中位数就是把总面积分成左右各0.5的那条竖线，这样学生更容易理解。 板书设计 14.4.1 用样本估计总体的集中趋势参数 一、众数 定义：出现次数最多的数 特点：可能多个/不存在，不受极端值影响 二、中位数 定义：排序后中间位置的数 特点：不受极端值影响 三、平均数 定义：总和除以个数 特点：利用所有数据，受极端值影响 四、频率分布直方图中的估计 众数：最高矩形的中点 中位数：左右面积各0.5的位置 平均数：各组组中值×频率之和 模块三 例题讲解 例1 某班10名学生的数学测试成绩如下（单位：分）： 78, 85, 92, 68, 85, 90, 85, 75, 88, 95 （1）求这组数据的众数、中位数和平均数； （2）如果去掉一个最高分和一个最低分，新的平均数是多少？ 解： （1）先将数据从小到大排列： 68, 75, 78, 85, 85, 85, 88, 90, 92, 95 众数：85出现了3次，出现次数最多，所以众数是85分。 中位数：数据个数为10（偶数），中位数是第5和第6个数的平均数。 第5个数是85，第6个数是85。 中位数 = (85 + 85) ÷ 2 = 85分。 平均数：总和 = 68 + 75 + 78 + 85 + 85 + 85 + 88 + 90 + 92 + 95 = 841 平均数 = 841 ÷ 10 = 84.1分。 （2）去掉最高分95和最低分68，剩余8个数据： 75, 78, 85, 85, 85, 88, 90, 92 总和 = 75 + 78 + 85 + 85 + 85 + 88 + 90 + 92 = 678 新的平均数 = 678 ÷ 8 = 84.75分。 方法总结求中位数的第一步永远是排序，这是关键步骤。当数据中有极端值时，平均数会受到较大影响，这时中位数或众数可能更能代表数据的集中趋势。为什么比赛打分要去掉一个最高分和一个最低分？就是为了减少极端值对平均数的影响，让结果更公平。 例2 某工厂对一批电子元件进行寿命追踪调查，情况如下： 寿命（小时） 100~200 200~300 300~400 400~500 500~600 个数 20 30 80 40 30 （1）估计这批电子元件寿命的众数； （2）估计这批电子元件寿命的中位数； （3）估计这批电子元件寿命的平均数。 解： （1）众数：频率最高的组是300~400小时，所以众数估计为该组的组中值，即(300+400)÷2 = 350小时。 （2）中位数：总个数 = 20 + 30 + 80 + 40 + 30 = 200 中位数是第100和第101个数据的平均数。 前两组累计：20 + 30 = 50 < 100 前三组累计：20 + 30 + 80 = 130 > 100 所以中位数在300~400这一组。 设中位数为x，则： 50 + (x - 300) ÷ 100 × 80 = 100 (x - 300) ÷ 100 × 80 = 50 (x - 300) × 0.8 = 50 x - 300 = 62.5 x = 362.5 所以中位数估计为362.5小时。 （3）平均数：各组组中值分别为150, 250, 350, 450, 550 平均数 = (150×20 + 250×30 + 350×80 + 450×40 + 550×30) ÷ 200 = (3000 + 7500 + 28000 + 18000 + 16500) ÷ 200 = 73000 ÷ 200 = 365小时 方法总结在频率分布直方图（或频数分布表）中，众数取最高矩形的组中值，中位数需要从左往右累加频率找到0.5的位置，平均数则是各组组中值乘以频率之和。为什么平均数要用组中值乘频率？因为我们不知道每组内具体的数据，只能假设每组的数据都均匀分布在组中值附近，这是一种估计方法。 模块四 课堂练习 【基础巩固】 1. 数据2, 3, 5, 5, 5, 7, 8的众数是（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 8 2. 数据1, 3, 5, 7, 9的中位数是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 3. 数据10, 20, 30, 40, 50的平均数是（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 4. 一组数据按从小到大排列为2, 4, 5, x, 8, 9，若这组数据的中位数是6，则x的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 某班5名学生的身高（单位：cm）分别为160, 165, 168, 170, 172，这组数据的平均数是______。 【能力提升】 6. 某班一次数学测试的成绩（单位：分）如下： 72, 75, 78, 80, 82, 82, 85, 88, 90, 92, 95 这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 82, 82 B. 82, 85 C. 85, 82 D. 85, 85 7. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下。根据下图可得这100名学生中体重在56.5~64.5的学生人数是（ ） 【图像说明：频率分布直方图，横坐标为体重（kg），从54.5到70.5，组距为2；纵坐标为频率/组距。各组对应的频率/组距分别为：54.5~56.5对应0.03，56.5~58.5对应0.05，58.5~60.5对应0.08，60.5~62.5对应0.07，62.5~64.5对应0.05，64.5~66.5对应0.04，66.5~68.5对应0.02，68.5~70.5对应0.01】 A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 8. 某公司有10名员工，他们的月工资（单位：元）如下： 3000, 3200, 3500, 3500, 3800, 4000, 4200, 4500, 5000, 15000 （1）求这10名员工月工资的平均数、中位数和众数； （2）你认为哪个统计量更能反映这10名员工的月工资水平？请说明理由。 模块五 参考答案 【基础巩固】 1. 【答案】B 【解析】在数据2, 3, 5, 5, 5, 7, 8中，5出现了3次，出现次数最多，所以众数是5。 2. 【答案】B 【解析】数据1, 3, 5, 7, 9已经按从小到大排列，共有5个数（奇数个），中位数是第3个数，即5。 3. 【答案】B 【解析】平均数 = (10 + 20 + 30 + 40 + 50) ÷ 5 = 150 ÷ 5 = 30。 4. 【答案】C 【解析】这组数据共有6个数（偶数个），中位数是第3和第4个数的平均数。 第3个数是5，第4个数是x。 由题意得：(5 + x) ÷ 2 = 6 5 + x = 12 x = 7 5. 【答案】167 【解析】平均数 = (160 + 165 + 168 + 170 + 172) ÷ 5 = 835 ÷ 5 = 167 (cm) 【能力提升】 6. 【答案】A 【解析】这组数据已经按从小到大排列，共11个数据（奇数个），中位数是第6个数，即82。 众数是82，因为82出现了2次，出现次数最多。 7. 【答案】D 【解析】体重在56.5~64.5的范围包含4组：56.5~58.5, 58.5~60.5, 60.5~62.5, 62.5~64.5。 对应的频率/组距分别为0.05, 0.08, 0.07, 0.05。 频率 = (0.05 + 0.08 + 0.07 + 0.05) × 2 = 0.25 × 2 = 0.5 人数 = 100 × 0.5 = 50 8. 【答案】 （1）平均数 = (3000 + 3200 + 3500 + 3500 + 3800 + 4000 + 4200 + 4500 + 5000 + 15000) ÷ 10 = 49700 ÷ 10 = 4970元 中位数：数据已经按从小到大排列，共10个（偶数个），中位数是第5和第6个数的平均数。 第5个：3800，第6个：4000 中位数 = (3800 + 4000) ÷ 2 = 3900元 众数：3500出现了2次，出现次数最多，所以众数是3500元。 （2）中位数更能反映这10名员工的月工资水平。 理由：因为数据中有一个极端值15000元（经理工资），它拉高了平均数，使得平均数4970元不能真实反映大多数员工的工资水平。而中位数不受极端值影响，3900元更能代表员工工资的中间水平。 学科网（北京）股份有限公司 $