14.4.1用样本估计总体的集中趋势学案-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

第二册问题导学单·第14章——统计 江苏省启东中学高一数学讲义 高一 班 姓名： 学号： A 第14章 统计 14.4　用样本估计总体 14.4.1　用样本估计总体的集中趋势 【学习目标】 1．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)； 2．理解集中趋势参数的统计含义． 【温顾·习新】 思考　回顾初中学习的众数、中位数、平均数，思考下列问题： (1)中位数一定是样本数据中的一个数吗？ (2)一组数据的众数可以有几个？中位数是否也具有相同的结论？ 填空　(1)平均数、均值 ①(算术)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数． ②总体的均值：一般地，我们把总体中所有数据的 ，称为总体的均值． ③平均数的计算公式：一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数为 ． 如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…，xjnj，第j层的样本量为nj，样本平均数为j，j＝1，2，…，k．记 ，则所有数据的样本平均数为 ． (2)众数：一般地，我们将一组数据中出现次数 的那个数据叫作该组数据的众数． (3)中位数：一般地，将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在 的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么，排在正中间的 即为这组数据的中位数． 温馨提醒　众数、中位数和平均数的比较 名称 优点 缺点 众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感 中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，数据越“离群”，对平均数的影响越大 做一做　思考辨析，判断正误 (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( ) (2)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变．( ) (3)一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数都为14．( ) (4)已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．( ) 【研讨·拓展】 一、众数与中位数的确定 【例1】从某中学抽取10名同学，得到他们的数学成绩如下：88，85，82，92，90，92，96，92，96，98(单位：分)，则可得这10名同学数学成绩的众数、中位数分别为(　　) A．92，92 B．92，96 C．96，92 D．92，90 【变式1-1】已知一组数据按从小到大的顺序排列为－8，－1，4，x，10，13，且这组数据的中位数是7，那么这组数据的众数是(　　) A．7 B．6 C．4 D．10 二、平均数的计算 角度1　平均数公式的应用 【例2】某校数学兴趣小组15名同学的年龄(单位：岁)如下：14　15　14　16　15　17　16　15　16　16　15　15　17　13　14，求小组同学的平均年龄． 成绩 6 7 8 9 10 人员分布 2 5 7 11 15 【变式2-1】(1)在一次知识竞赛中，抽取40名选手，成绩分布如下：则选手的平均成绩是________． (2)如果5个数x1，x2，x3，x4，x5的平均数是7，那么x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1这5个数的平均数是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2-2】已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a，而x4，x5，x6，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为(　　) A． B． C． D． 【变式2-3】某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委给参赛作品A打出的分数如下：88,89,89,93,92,9■，92,91,94.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91.复核员在复核时，发现有一个数的个位数字无法看清.若记分员计算无误，则该数应该是________. 角度2　平均数的估计 【例3】有容量为100的样本，数据分组及各组的频数、频率如下： [12.5，14.5)，6，0.06；[14.5，16.5)，16，0.16；[16.5，18.5)，18，0.18；[18.5，20.5)，22，0.22；[20.5，22.5)，20，0.20；[22.5，24.5)，10，0.10；[24.5，26.5]，8，0.08．试估计总体的平均数． 【变式3-1】现有50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：[40，50)，2；[50，60)，3；[60，70)，10；[70，80)，15；[80，90)，12；[90，100]，8． 列出样本的频率分布表并求这50名同学的平均分． 三、利用众数、中位数、平均数估计总体 【例4】据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下： 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 11 000 10 000 9 000 8 000 6 500 5 500 4 000 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数； (2)假设副董事长的工资从10 000元提升到20 000元，董事长的工资从11 000元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法． 【变式4-1】(多选)小华所在的班级共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米，则下列说法正确的是(　　) A．1.65米是该班学生身高的平均水平 B．班上比小华高的学生人数不会超过25人 C．这组身高数据的中位数不一定是1.65米 D．这组身高数据的众数不一定是1.65米 【变式4-2】(多选)如图，样本A，B分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为A，B，中位数分别为yA，yB，则(　　) A．A>B B．A<B C．yA>yB D．yA<yB 【变式4-3】为了普及环保知识，增强环保意识，某学校随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m，众数为n，平均数为，则m，n，的大小关系为_____________． 【变式4-4】某小区广场上有甲、乙两群市民正在各自进行一项活动，两群市民的年龄(单位：岁)如下： 甲群　13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群　54，3，4，4，5，5，6，6，6，57． (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？ (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？ 【总结提炼】 一、牢记3个概念——平均数、众数、中位数的计算及应用 二、掌握1种方法——数据分析统计 三、注意1个易错点：求中位数时需先把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，再找中间位置的数或中间两数的平均数． 【拓展强化】 完成《微练习》相关课时作业 ·4· ·3· 学科网（北京）股份有限公司 $$