精品解析：贵州凯里市凯里学院附属中学2026年中考考前预测模拟考试数学试题

凯里学院附属中学2026年初中第五次学业水平适应性考试试题卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 5 2. 黔东南侗族木构建筑营造技艺是国家级非物质文化遗产，其鼓楼、风雨桥等建筑不用一钉一铆，全靠榫卯结构咬合而成，体现了极高的营造智慧．如图①是传统木构件的榫卯结构示意图，图②是其中的一个卯件，箭头方向为正面，则该卯件的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 为了解某校初三（8）班同学的鞋码分布情况，数学兴趣小组随机抽取班上10名同学的鞋码进行调查，统计数据为：38、39、39、39、40、40、40、40、41、41，这组数据的众数是（ ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图①，小晞同学配制氯化钠溶液过程如图所示，其部分示意图如图②所示，，，某一时刻，则（ ） A. B. C. D. 6. 某一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个一元一次不等式组可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在边长均为1的网格纸上建立平面直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，网格纸被撕掉了一部分，已知点M的坐标为，则点N的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正方形中，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图①，在四边形 中，，，点P从点A出发，沿运动到点D．图②是点P运动时，的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（ ） A. 7 B. C. 8 D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13. 分解因式：＝__________. 14. 不透明袋子中只装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率是______． 15. 我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”设人数为x人，根据题意可列一元一次方程为______． 16. 菱形的边长为6，，E、F分别是、的中点．点M在上，且．连接交于点G．则的长为______． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算与解方程组 （1）计算：； （2）解二元一次方程组：． 18. 为增强学生安全意识，某校开展“防溺水安全知识”主题教育活动，并随机抽取部分学生进行防溺水知识测试（测试等级分为：优秀、良好、合格、不合格），根据测试结果绘制了如下尚不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受测试的学生共有______人，扇形统计图中“优秀”对应的圆心角度数______； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，请估计该校防溺水知识测试“不合格”的学生约有多少人，并对学校防溺水安全教育工作提出一条合理化建议． 19. 智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． （1）求当时，y与x之间的函数关系式； （2）求a的值； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 20. 如图，在中，，E、F分别是、的中点，连接、． （1）求证：四边形是矩形： （2）若，，求四边形的面积． 21. 贵州省第十一届少数民族传统体育运动会将于2026年7月28日在黔东南苗族侗族自治州凯里开幕，某校为丰富校园民族文化活动，决定购买甲、乙两款运动会吉祥物“旺旺”摆件．已知购买甲款吉祥物花费了2500元，购买乙款吉祥物花费了2000元，且购买甲款吉祥物数量是购买乙款吉祥物数量的2倍．已知购买一个乙款吉祥物比购买一个甲款吉祥物多花30元． （1）购买一个甲款、一个乙款吉祥物各需多少元？ （2）学校计划再次购进甲、乙两款吉祥物共50个，恰逢商家调整售价，甲款吉祥物售价比第一次购买时提高，乙款吉祥物按第一次购买时售价的9折出售．若此次购买总费用不超过3200元，那么最多可以购买多少个乙款吉祥物？ 22. 凯里学院附中航模社小轩同学，在研究歼战机模型时，画出了如图1所示的俯视图与如图2所示的机翼（小鸭翼和主机翼）组件分解图．其中是一段弧线，B、C、E、F四点共线，于点E，于点F，，，，，，． （1）求的度数： （2）求的长．（参考数据：，，，） 23. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、E，过D作于点F，连接． （1）写出图中一对相等的角：____________； （2）求证：是的切线； （3）若的半径为5，且，求图中阴影部分的面积． 24. 【问题情境】立定跳远是贵州省中考体育测试的项目之一，如图1，班级跳远成绩最好的同学能够稳定达到．老师了解到该同学参考运动员苏炳添的动作要领，将身体与地面成起跳，以求跳出更远的距离． 【数学建模】该同学跳远时，脚可以抽象为一个点，则脚的运动轨迹就可以看作一条抛物线（其他因素忽略不计）．这种起跳方式的抛物线的解析为． 【问题提出】 （1）求的值； （2）该同学训练时利用了如图2所示的长方体障碍物，已知长方体截面的长为，高为．记该同学起跳前，起跳点与障碍物左侧边缘下方点的距离为，要保证该同学能够安全跃过障碍物，求的取值范围；（，结果保留一位小数） （3）若该同学将（2）中的障碍物固定放置在距离起跳点的位置（即障碍物左侧边缘位于处）．训练中，他逐步叠加新的同宽度（高度不同）障碍物来提高障碍物的整体高度．求他能安全跃过的障碍物整体高度的最大值，并说明此时他下落过程中会不会撞到障碍物的右侧边缘． 25. 综合与探究问题情境：如图1，数学活动课上，老师让同学们制作两个全等的直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片重合放置，其中，将保持固定，绕点按逆时针方向旋转． （1）初步探究：“善思小组”提出问题：如图2，若，当点落在边上时，连接，取的中点，连接．判断四边形的形状，并说明理由． （2）深入探究：“博学小组”提出问题：如图3，当绕点按逆时针方向旋转时，连接，取的中点，连接交于点，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）拓展延伸：当绕点按逆时针方向旋转时，连接，是射线上的一点，连接，过点作的垂线交于点，若是的三等分点，请直接写出的值． 卷尾语：没有题了！ 或许，我们只能送你们到这儿了，一路走来，难免会出现磕磕碰碰，望同学们释怀，并努力留住最美最开心的瞬间． 凯里学院附中2026届初三数学备课组全体老师祝同学们： 中考顺利！蟾宫折桂！既有锦绣前程可奔赴，亦有美好岁月可回首． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凯里学院附属中学2026年初中第五次学业水平适应性考试试题卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是相反数的含义，根据相反数的定义求解即可. 【详解】解：∵ 相反数的定义是仅仅只有符号不同的两个数， ∴ 的相反数是， 故选：A 2. 黔东南侗族木构建筑营造技艺是国家级非物质文化遗产，其鼓楼、风雨桥等建筑不用一钉一铆，全靠榫卯结构咬合而成，体现了极高的营造智慧．如图①是传统木构件的榫卯结构示意图，图②是其中的一个卯件，箭头方向为正面，则该卯件的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】三视图中，能看到的部分用实线表示，存在，但看不见的用虚线表示，结合图形判定即可． 【详解】解：该卯件的主视图是 3. 为了解某校初三（8）班同学的鞋码分布情况，数学兴趣小组随机抽取班上10名同学的鞋码进行调查，统计数据为：38、39、39、39、40、40、40、40、41、41，这组数据的众数是（ ） A. 38 B. 39 C. 40 D. 41 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数定义，统计每个数据出现的次数，找出出现次数最多的数据即可得到结果． 【详解】解：先统计各数据出现的次数，∵ 38出现次，39出现次，40出现次，41出现次， ∴ 40出现的次数最多，根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数， ∴ 这组数据的众数是． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、合并同类项法则逐一判断即可． 【详解】解：选项A：根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． ∵ ，∴ 选项A运算正确，符合题意； 选项B：根据积的乘方法则，积的乘方等于各因式分别乘方的积． ∵ ，∴选项 B运算错误，不符合题意； 选项C：与不是同类项，不能合并，∴ 选项C运算错误，不符合题意； 选项D：与不是同类项，不能合并，，∴选项 D运算错误，不符合题意； 综上，故选A． 5. 如图①，小晞同学配制氯化钠溶液过程如图所示，其部分示意图如图②所示，，，某一时刻，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得，再根据可求得的度数． 【详解】解：，， ∴， ∵， ∴． 6. 某一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个一元一次不等式组可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴得到表示的不等式组的解集，再分别解四个不等式组即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得，表示的不等式组的解集为； A、， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为，故此选项不符合题意； B、， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为，故此选项不符合题意； C、， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为，故此选项符合题意； D、， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组无解，故此选项不符合题意； 7. 如图，在边长均为1的网格纸上建立平面直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，网格纸被撕掉了一部分，已知点M的坐标为，则点N的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据点M的坐标为，补全平面直角坐标系，则点N的坐标为． 8. 如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判定是直角三角形，再用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算即可． 【详解】解：由图可得，， ， 为直角三角形．， 又为中点， ， ． 9. 如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，再结合题目已知进行列方程组求解即可． 【详解】解：在四边形中，， ∵， ∴， 由图可得，，且， ∴， 解得． 10. 方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数即可求解的值． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 可得 ， ∵方程有两个相等的实数根 ， ∴ ， 代入系数得 ，即 ，解得 ． 11. 如图，在正方形中，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记直线与分别交于点，点，连接，设正方形的边长为，在中，由勾股定理得，则，证明，得，列关于的方程，解得的值，进而得正方形的边长的值． 【详解】解：如图，记直线与分别交于点，点，连接， 设正方形的边长为，则， 由题意得，直线垂直平分， ， 点为圆心，以的长为半径作弧交直线于点， ， ， ， ， ， ，即， 解得， ， 正方形的边长为． 12. 如图①，在四边形 中，，，点P从点A出发，沿运动到点D．图②是点P运动时，的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（ ） A. 7 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，根据矩形的判定和性质得出相等的边，利用面积求出，假设未知数，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由图形可知， ∴， 设，则，， 由勾股定理， ∴， 解得， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13. 分解因式：＝__________. 【答案】x(x-1) 【解析】 【分析】确定公因式是x，然后提取公因式即可． 【详解】解：=x（x-1）． 故答案为：x(x-1). 14. 不透明袋子中只装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．直接利用概率公式计算可得． 【详解】解：从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率为， 故答案为：． 15. 我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”设人数为x人，根据题意可列一元一次方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两种出钱方式分别表示出物价，利用物价不变列一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意知，每人出，多出，因此物价可表示为；每人出，还差，因此物价可表示为． ∵物价为固定值，两种表示物价的式子相等， ∴可列方程为 ． 16. 菱形的边长为6，，E、F分别是、的中点．点M在上，且．连接交于点G．则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，过点G作于点H，于点N，根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质求出，，根据，求出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，过点G作于点H，于点N， 则， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 和都是边长为6的等边三角形， ∴， 、F分别是、的中点， ，，， ，， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 又和同高， ， ． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算与解方程组 （1）计算：； （2）解二元一次方程组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算绝对值，负整数指数幂，二次根式，零次幂的结果，再计算加减即可； （2）运用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 由得：， 解得， 将代入方程①得， 解得， 所以原方程组的解． 18. 为增强学生安全意识，某校开展“防溺水安全知识”主题教育活动，并随机抽取部分学生进行防溺水知识测试（测试等级分为：优秀、良好、合格、不合格），根据测试结果绘制了如下尚不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受测试的学生共有______人，扇形统计图中“优秀”对应的圆心角度数______； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，请估计该校防溺水知识测试“不合格”的学生约有多少人，并对学校防溺水安全教育工作提出一条合理化建议． 【答案】（1）， （2） （3）人，合理化建议：多开展防溺水主题班会、观看警示片，提高学生安全意识（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据良好的人数和百分比得到测试总人数，根据“优秀”的人数，圆心角度数的计算公式得到其圆心角度数； （2）根据测试总人数及各项的人数得到合格人数，即可作图； （3）根据调查数据作决策即可． 【小问1详解】 解：总人数：（人）， 圆心角度数：； 【小问2详解】 解：合格人数：（人） 补全条形统计图：略 【小问3详解】 解：估计全校不合格人数：（人）， 合理化建议：多开展防溺水主题班会、观看警示片，提高学生安全意识；加强家校沟通，提醒家长做好学生防溺水监护工作等合理即可． 19. 智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． （1）求当时，y与x之间的函数关系式； （2）求a的值； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】（1）； （2）20； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，已知函数值求自变量的值，对于（1），直接点的坐标代入关系式即可得出答案； 对于（2），将点代入关系式，求出解即可； 对于（3），先求出直线关系式，再将代入两个关系式，求出解即可得出答案. 【小问1详解】 解：设反比例函数的表达式为：， 将点代入反比例函数表达式得：， 故函数的表达式为：； 【小问2详解】 当时，， 则； 【小问3详解】 设时，函数的表达式为：， 将点代入关系式，得 ， 解得 即一次函数的表达式为：， 令，则， 解得. 在降温过程中，水温为时，， 解得：. ∵， ∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为． 20. 如图，在中，，E、F分别是、的中点，连接、． （1）求证：四边形是矩形： （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ∴是等腰三角形， ∵E为的中点， ， ， 平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）首先，根据四边形是平行四边形，、F分别是、的中点，证得，，得四边形是平行四边形，然后，再证得是等腰三角形，再由E为的中点，得即可证得结论； （2）先证得是等边三角形， 得，再由E为的中点，得的长，接着，由，运用勾股定理得 的长，即可求得四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， 在中，，， 是等边三角形， ， 是的中点， ， 由(1)得， 在中，， 矩形的面积为． 21. 贵州省第十一届少数民族传统体育运动会将于2026年7月28日在黔东南苗族侗族自治州凯里开幕，某校为丰富校园民族文化活动，决定购买甲、乙两款运动会吉祥物“旺旺”摆件．已知购买甲款吉祥物花费了2500元，购买乙款吉祥物花费了2000元，且购买甲款吉祥物数量是购买乙款吉祥物数量的2倍．已知购买一个乙款吉祥物比购买一个甲款吉祥物多花30元． （1）购买一个甲款、一个乙款吉祥物各需多少元？ （2）学校计划再次购进甲、乙两款吉祥物共50个，恰逢商家调整售价，甲款吉祥物售价比第一次购买时提高，乙款吉祥物按第一次购买时售价的9折出售．若此次购买总费用不超过3200元，那么最多可以购买多少个乙款吉祥物？ 【答案】（1）购买一个甲款、一个乙款吉祥物各需50元、80元 （2）最多可以购买16个乙款吉祥物 【解析】 【分析】（1）设购买一个甲款吉祥物需x元，则购买一个乙款吉祥物需，根据购买甲款吉祥物数量是购买乙款吉祥物数量的2倍列出分式方程解答即可； （2）设学校再次购买乙款吉祥物m个，根据题意列出不等式解答即可． 【小问1详解】 解：设购买一个甲款吉祥物需x元，则购买一个乙款吉祥物需元， 依题意，得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：购买一个甲款、一个乙款吉祥物各需50元、80元． 【小问2详解】 解：设学校再次购买乙款吉祥物m个，则购买个甲款吉祥物， 依题意，得：， 解得， 又为非负整数， 的最大值为16， 答：最多可以购买16个乙款吉祥物． 22. 凯里学院附中航模社小轩同学，在研究歼战机模型时，画出了如图1所示的俯视图与如图2所示的机翼（小鸭翼和主机翼）组件分解图．其中是一段弧线，B、C、E、F四点共线，于点E，于点F，，，，，，． （1）求的度数： （2）求的长．（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，根据余弦值求角度即可； （2）由得到，过点A作于点H，则，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ， ∴， ． 【小问2详解】 解：在中，，， ， ， ， ， 如图，过点A作于点H， ， ， 在中，， ， ， 的长约为． 23. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、E，过D作于点F，连接． （1）写出图中一对相等的角：____________； （2）求证：是的切线； （3）若的半径为5，且，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）(或)（答案不唯一，合理即可） （2）证明：如图1，连接， ，， 又在中，，， ，， 又，， 又为的半径，是的切线． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目给出的条件找出一对相等的角即可； （2）连接，先证得，，得，进而得，再由，得，即可证得结论； （3）连接，过点O作于点G，先由，得，再证得为等边三角形，得，进而可求得扇形的面积，然后，再证得为等边三角形，得 的长，由，得，，再由勾股定理得的长，可得的面积，最后，由可得阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：， ∴，为等腰三角形， ∵是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，得；（答案不唯一，合理即可） 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2，连接，过点O作于点G， ∵， ∴， 在中， ，且为锐角， ， ， 又， 为等边三角形， ∴， 的半径为5， ， 由（2）得， ， ， ， ， ， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 24. 【问题情境】立定跳远是贵州省中考体育测试的项目之一，如图1，班级跳远成绩最好的同学能够稳定达到．老师了解到该同学参考运动员苏炳添的动作要领，将身体与地面成起跳，以求跳出更远的距离． 【数学建模】该同学跳远时，脚可以抽象为一个点，则脚的运动轨迹就可以看作一条抛物线（其他因素忽略不计）．这种起跳方式的抛物线的解析为． 【问题提出】 （1）求的值； （2）该同学训练时利用了如图2所示的长方体障碍物，已知长方体截面的长为，高为．记该同学起跳前，起跳点与障碍物左侧边缘下方点的距离为，要保证该同学能够安全跃过障碍物，求的取值范围；（，结果保留一位小数） （3）若该同学将（2）中的障碍物固定放置在距离起跳点的位置（即障碍物左侧边缘位于处）．训练中，他逐步叠加新的同宽度（高度不同）障碍物来提高障碍物的整体高度．求他能安全跃过的障碍物整体高度的最大值，并说明此时他下落过程中会不会撞到障碍物的右侧边缘． 【答案】（1） （2） （3）障碍物整体高度的最大值，此时他下落过程中不会撞到障碍物的右侧边缘 【解析】 【分析】（1）由题可知点的坐标为，将点代入抛物线解析式求解得的值； （2）由（1）得抛物线解析式为：，求出当时，，，结合长方体障碍物的长为得，求解得的取值范围； （3）当时，代入抛物线解析式即可求得障碍物整体高度的最大值，当时，入抛物线解析式即可求得跨越障碍物右侧边缘时的跳跃高度，与障碍物整体高度的最大值比较来判断是否撞到障碍物的右侧边缘． 【小问1详解】 解：由题可知点的坐标为， 将点代入解析式得，， 解得， 的值为； 【小问2详解】 解：由（1）得， 当时，， 化简得，， ， ，， ，， ， ； 【小问3详解】 解：当时，， ∴障碍物整体高度的最大值， 当时，， ， ∴此时他下落过程中不会撞到障碍物的右侧边缘． 25. 综合与探究问题情境：如图1，数学活动课上，老师让同学们制作两个全等的直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片重合放置，其中，将保持固定，绕点按逆时针方向旋转． （1）初步探究：“善思小组”提出问题：如图2，若，当点落在边上时，连接，取的中点，连接．判断四边形的形状，并说明理由． （2）深入探究：“博学小组”提出问题：如图3，当绕点按逆时针方向旋转时，连接，取的中点，连接交于点，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）拓展延伸：当绕点按逆时针方向旋转时，连接，是射线上的一点，连接，过点作的垂线交于点，若是的三等分点，请直接写出的值． 【答案】（1） 解：四边形是矩形，理由如下： 由旋转可得 ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∵点是的中点， ∴，即， ∴ ∴四边形是矩形； （2） 解：，，理由如下： 过点E作交的延长线于点F，交于点M ∴ ∵P是的中点， ∴， ∴ ∴是的中位线 ∴ 根据旋转的性质可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴， 记与相交于点N， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴，即． （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转可得，则是等边三角形，然后由三线合一得到，而，再由有三个角是直角的四边形是矩形证明即可； （2）过点E作交的延长线于点F，交于点M，利用平行线分线段成比例定理证明是的中位线，则，然后证明，则，可得，记与相交于点N，由全等三角形得到，再结合对顶角以及平行线的性质即可证明位置关系； （3）过点作交的延长线于点，交于点，记与的交点为点，然后分两种情况讨论，当点为靠近点的三等分点时，则，证明即可求解的值，当点为靠近点的三等分点时，同理可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点为靠近点的三等分点时，则，过点作交的延长线于点，交于点，记与的交点为点， ∴ 由旋转可得， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴； 当点为靠近点的三等分点时，则，过点作交的延长线于点，交于点，记与的交点为点， ∴ 由旋转可得， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 综上：的值为或． 卷尾语：没有题了！ 或许，我们只能送你们到这儿了，一路走来，难免会出现磕磕碰碰，望同学们释怀，并努力留住最美最开心的瞬间． 凯里学院附中2026届初三数学备课组全体老师祝同学们： 中考顺利！蟾宫折桂！既有锦绣前程可奔赴，亦有美好岁月可回首． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $