广西来宾高级中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

2028届高一（下）数学自主练习（7) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.(2026全国一卷)样本数据6,8,4,5,12的中位数为 A.5 B.6 C.8 D.9 2.(2026全国二卷)(1-31)2= A.-8+6i B.-8-6i C.8+6i D.8-6i 3.(2026全国一卷)已知平面向量a,不共线，且2a+yb=xa-36,则 A.x=2,y=-3 B.x=-2,y=3 C.x=2,y=3 D.x=-2,y=-3 4.(2026全国二卷)已知向量a,b满足a+b=1,a-b=3,则ab= A. B. C. D.月 5.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 A月 B.36 C.G D. 6.(2026全国二卷)已知棱台的上、下底面均是有一个内角为60°的菱形，上、下底面的边 长分别为2,3，该棱台的高为√5，则其体积为 A号 号 c.号 .号 7.棣莫弗公式(cos0+isin)”=cosne+isinne(neN)是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数 o=cos名+1n名，则o5- 6 A.5B.5 22 2+21 21 .9 8.在三棱锥O-ABC中，△OAC,△OBC均是边长为√2的等边三角形，当平面OAB⊥平面ABC时， 三棱锥O-ABC内切球的半径为 A.5-1 B.2-V5 C.√2-1 D.2-√2 试卷第1页，共4页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(2026全国一卷)设==3+2i,则 A.=3-2iB.E=5 C.=2=5+12i D.3 R 10.已知P(A)=0.5,P(B)=0.3,则下列说法中正确的是 A.如果BA,那么P(AUB)=0.5 B.如果B≤A,那么P(AB)=0.3 C.如果A,B互斥，那么P(AUB)=0.8 D.如果A,B互斥，那么P(AB)=0.15 11.(2026全国一卷)在空间中，A、B为两个定点，动点C到直线AB的距离为2，动点D到 直线AB的距离为1.若二面角C-AB-D为60°，则 A.∠CAD≥60 B.CD≥√5 C.当AB⊥CD时，CD⊥平面ABD D.当AB1平面ACD时，AC⊥AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知平面向量园=2，e是单位向量，e与ā夹角为45°，则向量ā在向量e上的投影向量为 13.总体由编号为01,02，…，39,40的40个个体组成，从中选取6个个体利用科学计 算器依次生成一组随机数如下：6506586154350242354896321552395240，则选 出来的第6个个体的编号为 14.(2026全国二卷)已知球O的体积为4√5π，A,B,C,D四点均在球O的球面上，△ABC 为等边三角形，DA=DB=DC=√2，则△ABC的面积为 试卷第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(2026全国二卷)从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们 首次出现故障的时间（单位：天)，由试验结果得到如下频率分布直方图： 频率 个组距 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005… 0345355365375385395405415425首次出现敌 障的时间/天 (1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均 匀分布)： (2)设p为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率估计值，求p. 16.(2026全国-卷)已知在△ABC中，AB=3,BC=25,coB=5 3 (1)求c0s4; (2)设D,E两点满足：D在BA的延长线上，DE/IBC,AE⊥AC.若DE=√6，求CE. 17.(2026全国二卷)如图，三棱锥A-BCD中，点E在BD上，AE⊥CE,AE⊥DE,CD⊥AD. (I)证明：CD⊥AB; (2)若DE=2,BE=1,AE=√2，CD=23.求直线AD与平面ABC所成角的正弦值， B 试卷第3页，共4页 18.(2026全国二卷)在a4BC中，已知cosB=子，c0s(4+C9+sin4sinC=1. (I)证明：△ABC为钝角三角形： (②)若a4BC的面积为？，求aABC的周长。 19.(2026全国一卷)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC,D,E分 别为AB,AC的中点， (I)证明：DE//平面BCCB: (2)设CC1=2,直线DE与平面ACC1A1所成的角为45°，求直线DE到平面BCCB的距离. B E以 - 试卷第4页，共4页 《2028届高一（下)数学自主练习（7)》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 A D A B ACD ABC BC 1.B【详解】将已知数据从小到大排序为4,5,6,8,12，则中位数为6 2.B【详解】(1-3i)=1-6i+(3i)=1-9-6i=-8-6i 3.A【详解】由题意可知平面向量a,B不供线，且2a+6=a-36,则x=2 y=-3 4.D【详解】由a+b=1,得a+=1,所以(a+)=l,即+2a.B+6=1: 由a-=5,得a-矿=3，所以(a-b=3,即2-2a.i+b=3 两式相减，得4ab=2,所以a6= 5.A【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，共有6×6=36个样本点， *作点数和为5包合0打本点为：小、2认(g以、(，共1种，故P-音-号 6D(详解】由愿意，得棱台的上底面面积为2×分×2x2×n60-26,下底面面积为2×3×3x3xsm60-9 2 所以该棱台的体积为 22 2 7.C【详解】由棣莫弗公式，02=cos+ism 2元 6 2元+isin 6=cos3 6 6 32+2 8.B【详解】如图所示，作OD⊥AB,因为OA=OB=√2，所以D是AB中点，因为平面OAB⊥平面ABC, 所以OD⊥平面ABC,所以OD⊥CD, 设AB=2,则0D=CD=V2-2=2-, 在直角三角形OCD中，0D+CD2=0C2, 即：(2-x+(2-=(5), 解得：x=1,即：AB=2,OD=1, 因为AB=2,AC=BC=√2，所以△ABC和△OAB是直角三角形， 且Sec=8ae=方k回-1.则%e=8*oD=方k 3, 设三校锥0-ABC内切球的半径为1，则6Sac+Sac+Sac+Sasr, a9-9代八与59小：-5 9.ACD【详解】对于A选项，复数二=a+bi的共轭复数三=a-bi,因此三=3-2i,A选项正确. 对于B选项，复数的模|z=√+b2,因此==V32+22=√3≠5，B选项错误 对于C选项，，二=3+2i,.z2=(3+2)2-32+2×3×2i+(21)2=9+12i-4=5+12i,该选项正确 对于D选项，，分子：+3=3+2i+3=6+2i,分母：-i=3+2i-i=3+i, -。产6-18--公-82,2是实数，极R,该诚项正确 z-i3+i(3+i)3-i)9-i2 10 10.ABC【详解】 对于AB,由BA可得AUB=A,A∩B=B,所以P(AUB)=P(A)=0.5,P(AB)=P(B)=0.3,故AB正确： 对于CD,由A,B互斥可得AOB=O,所以P(AUB)=P(A)+P(B)=0.8,P(AB)=C,故C正确，D错误 11.BC【详解】过点C作CE⊥AB,E为垂足，过点D作DF⊥AB,F为垂足， 过点E作EG1IFD,EG=FD,连接GD,则EG⊥AB,因为二面角C-AB-D为60°， 答案第1页，共4页 所以∠CEG=60°，由已知CE=2,DF=1, 所以CG2=4+1-2×2×1×c0s60°=3，所以CG=√3， 故CG⊥EG,CD≥CG=√3，B正确： 当点A与点E的距离无限大时，CA,AD无限大，CA,CD无限靠近AB, 此时∠CAD趋向于0°，A错误； B 因为AB⊥CE,AB⊥EG,CE∩EG=E,CE,EGC平面CEG, D 所以ABI平面CEG,又CGC平面CEG,所以AB⊥CG, 若AB⊥CD,D,G不重合，结合CG∩CD=C,CG,CDC平面CDG, 可得ABI平面CDG,DGC平面CDG,所以AB⊥DG,矛盾，所以D,G重合， 因为AB⊥CG,CG⊥EG,EG∩EF=E,EG,EFC平面EFDG, 所以CG⊥平面EFDG,故CD⊥平面ABD,C正确： 因为ABI平面CEG,若AB⊥平面ACD, 则平面CEG与平面ACD重合，此时点A与点E重合，点D与点G重合， 故AC与AD的夹角为60°，D错误， 12.V2e【详解】由题意可知向量a在向量e上的投影向量为acos45.E=2x5。:VE 13.39【详解】剔除重复项后，按顺序选取的6个个体编号为：06,35,02,32,15,39. 14.y5【详解】由球的体积公式，V=号R=4WBm,解得R=V5,设△ABC的外心为H,连接DH, 由题意知DH为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心O在DH上， 不妨设O在线段DH上，连接AO,DO,AH,设△ABC的边长为VBx,由正弦定理可得，AH=,√3x =X, 2sin60° [x2+y2=3 2 再设OH=y,由题知， x++=2'解得y=店（负值表示球心O在线段DH的延长线上，实 际情视如右闲，所以P号自三角彩面积公式。一方(5网sn6w5看 4 15.(1)由直方图可知，[345,365]的频率为0.015×10=0.15<0.25， [345,375]的频率为0.035×10=0.35>0.25， 故第一四分位数在[365,375]上，设为x,则(x-365)×0.02+0.15=0.25,解得x=370: [345,375]的频率为0.035×10=0.35<0.5， [345,385]的频率为0.06×10=0.6>0.5， 故中位数在[375,385]上，设为y,则y-375)×0.025+0.35=0.5,解得y=381 故第一四分位数为370，中位数为381： (2)由直方图可知，小于365天的频率为(0.005+0.01)×10=0.15，故)=0.15. 16.1)在AMBC中，AB=3,BC=25,cosB=5 3 由余弦定理可知AC2=AB2+BC-21BBCc0B=9+12-2x3×25×5=9, 3 故4C=3.再由余弦定理得c0s4=4B+AC-BC_9+9-12_61 2AB·AC2x3x3183 (2)以A为原点，AB为x轴正方向建立平面直角坐标系如图： 答案第2页，共4页 则A0,0),B3,0),由AC=3,c0sA=得C,22) D在BA延长线上，设AD=t>0,则D(-t,0),BC=（2,22,DE1/BC, 设D亚=(-2,22)，则E(-t-21,222) 由AE⊥AC,得4A正.4C=0,故(-t-2n)x1+(22x2W2=0→-t+6=0→2=艺 于是Ds=4Bc名2N5-9 VA 已知DB=6,则5i=V61=3N5,则=5 代入得E(-4W2,2),而C1,2W2) 故CB=V1+45)+(25-2=V3+82)2-8五5=3. 17.(1)证明：因为AE⊥CE且AE⊥DE,CEDE=E,且CE,DEC平面BCD,所以AE⊥平面BCD 因为CDC平面BCD,所以AE⊥CD 又AD⊥CD,AFOAD=A,AEC平面ABD, ADC平面ABD,CDE平面ABD, 所以CD⊥平面ABD,故CD⊥AB, (2)如图所示，以D为原点，DE所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点D且垂直于平面BCD的 直线为z轴，建立空间直角坐标系， 可得D(0,0,0),C(0,2W5,0),E(2,0,0),B(3,0,0). 因为AB1DE且AE=√5，所以A(2,0,V2): 所以AD=(-2,0-2),AB=(10,-2),Ac=（-2,25,-V2): 设平面ABC的法向量i=(c,则C-2x+2y-医=0 ,「i.AB=x-√2z=0 可得x=√2：，令z=2,则：x=25,y=√6，即i=(22,V6,2): 设AD与平面ABC所成的角为O: 所以sin0= AD.列。6W2√6 AD风√6x3W23 所以AD与平面ABC所成的角的正弦值为6 法二：在RiAADE中，AD=VAE2+DB2=√2+2=6， 在ABE中，AB=VAE2+BE=2+P=5, 由(1)知CD⊥平面ADE,则CD⊥DE,CD⊥AD 在RBDC中，BC=BD+CD=3+(25=V2i. 在Rt△ADC中，AC=V√AD+CD=√6+12=3N2 B1C=2C,448c为直角=角形，则又e484C-5356 设点D到平面ABC的距离为h,AD与平面ABC所成角为日， 由6a=m得：ch=如证，即5h传325.解得：h=2 3 3232 所以sm8=h=2-V6 AD6 3 答案第3页，共4页 18.(1)i证明：由A+B+C=元，则cos(4+C)=-cosB=-3 又cos4+0+5m45血C=1,得8mAmc=1.则m4smc 161 由两角和的余弦公式，cos(A+9=AcoC-sin4sinC=-2 结合nAsinC=乙可知cocoC=-5 <0, 16 16 则cosA,c0sC异号，必然一个为负，一个为正 又A,C∈(0，四，即A,C中必有一个是钝角： (2)方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， SAc-)ab sinC=-(2 R sin)(2RinB)sinC=2R'inA sinB sinc,(R是AABC外接圆半径) 1 2 、又sn4sc-之站-a,则生=2R,解粥：. 3)2 4 64 7 又sinB= ￥，则b=2RinB=2, 由余弦定理B2=d2+c2-2 eaccosB,即d+c2-34c=2, 2 Xm车周2 于是d+c2-3ac=2,即d+c2=5, 21 (a+c)2=a2+2ac+c2=9,解得a+c=3, 故△ABC周长为(a+c)+b=3+√2 方法二：由cos2(A+C)+sinAsinc=1,则cos2B+sin Asin C=1, 即sin AsinC=1-cog2B=sim2B,由正弦定理可得，ac=b2, esmB-lcx万5 1 由三角形面积公式，SAsc= 2c×4￥，得到a=2,则b=5,其余同上 C× 19.(1)如图，连接BC, 在△ABC中，D,E分别为AB,AC1中点，DEI/BC, ,DEd平面BCCB,BCC平面BCCB, B .DE/平面BCCB (2)由题意及(1)得，CC1=2 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，设AC=BC=Y(t>0), 四边形ACC1A1与四边形BCCB,是矩形， .AC⊥BC,AC⊥CC,BC⊥CC, B 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到A(2t,0,0),B(0,2t,0),C(0,0,0),D(t,t,0),E(t,0,1), ∴.ED=(0,t,-1),面ACC1A1的一个法向量为h=(0,1,0), B 直线DE与平面ACC1A1所成的角为45°， 设直线DE与平面ACC1A1所成的角为B .sin6=cos(ED,4〉 ED乃 l0+tx1+0 sin45 @网V0++(-x√0+1P+0 解得t=1,.A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,0),D(1,1,0),E(1,0,1), ,DE//面BCCB,∴由几何知识得，DE到面BCCB,的距离为xD=1. 答案第4页，共4页