《第4章平行四边形》解答压轴题专题提升训练2025-2026学年浙教版八年级数学下册期末综合复习

**基本信息** 聚焦平行四边形压轴题，以题载法整合性质判定、动态探究等核心内容，突出辅助线构造与转化思想，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形基础|1-2题|判定证明、中点性质应用|从定义出发，结合三角形中位线推导平行四边形判定定理，形成“性质-判定-应用”逻辑链| |特殊平行四边形|3-5题|正方形动态问题、菱形面积与周长|以平行四边形为基础，延伸菱形、正方形特殊性质，通过旋转、对称实现性质综合应用| |动态与最值|4、7、10题|动点轨迹、线段和差最值|运用“两点之间线段最短”“垂线段最短”，结合轴对称转化动态问题，体现空间观念| |中点四边形|14-15题|中点连线性质、新定义证明|通过三角形中位线定理构建中点四边形与原四边形关系，培养抽象能力与推理意识|

2025-2026学年浙教版八年级数学下册期末综合复习《第4章平行四边形》 解答压轴题专题提升训练（附答案） 1．如图，四边形中，，，、分别是、的中点，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，为的中点，点是线段上一动点． ①当点M是线段的中点时，连结，求证：； ②若，试求出的最小值． 2．如图1，在四边形中，，点E在上，平分，平分，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，四边形对角线交于点O，连接， ①探究之间的等量关系，并说明理由； ②若，，求的长． 3．如图，在正方形中，点是线段上一个动点（与点、不重合），过点作线段于点，且，连接，过点作，交于点，交于点，连接． (1)求证：①； ②四边形是平行四边形； (2)如图，点是延长线上一点，当点在线段上运动时，求证：点始终在的角平分线上． 4．【问题提出】 （1）如图1，在菱形中，，其中分别是边上的中点，则的周长为 ； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，点在边上，点在边上，且，则周长的最小值为 ； 【问题解决】 （3）如图3，规划部门准备绿化一块四边形空地，计划在边，上分别取点，，利用小路，将这块四边形空地分开，在四边形空地内种植郁金香，其他区域种植草坪，为了方便市民游览，决定取的中点，沿着修建观赏长廊．经测量，，，，，为节约建设成本，修建长廊长度之和应该最短．请你帮助规划部门确定是否有最小值．若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知四边形为平行四边形，的平分线与相交于，与延长线相交于，过点分别作，的垂线，垂足为，． (1)求证：为等腰三角形； (2)如图1，连接，且． ①求证：：②若，，求的长． (3)如图2，若，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，请判断的形状，并说明理由． 6．综合与实践 （1）观察发现 如图1，在平面直角坐标系中，将顶点都在格点上的进行如下变换后（点A，B，C的对应点分别为，，），以，，，为顶点的四边形是平行四边形的是　　　．（填写序号） ①将向左平移3个单位长度；②作关于x轴的对称图形；③将绕点O旋转． （2）探究迁移 如图2，中，，点是上一动点（点不与点重合），将绕点旋转，得到，连接，，．请仅就图2的情形解决以下问题： ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若点是的中点，，求的长． （3）拓展应用 如图3，在（2）的条件下，在上，将沿翻折，得到．若，当和重叠部分的面积是时，请直接写出的面积． 7．在平行四边形中，于E，于F，H为上一动点，连接，交于G，且． (1)如图1，若，求、的长； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，若，点H是直线上任一点，将线段绕C点逆时针旋转，得到线段，请直接写出的最小值______． 8．在中，．点在边上且，将绕点B逆时针旋转a得到（）． (1)如图1，当时，求； (2)如图2，在旋转过程中，连接，取中点 F，作射线交直线于点G．当时， 求证：； (3)如图3．当时，点P为线段上一动点，过点E作射线于点N，M为中点，直接写出的最大值与最小值． 9．如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长； (3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 10．平行四边形中，连接，过点作、的垂线，垂足点在边上，垂足点在延长线上，，，． (1)求的面积； (2)如图1，连接，点是的中点，求的长； (3)如图2，与交点为，，的两边，分别与，所在直线交于点、，绕点逆时针旋转，当点从点运动到点时，求线段中点的运动路径长． 11．如图1，在等边中，，点、、分别为边、、的中点，此时被分成4个全等的小等边三角形． 【感知图形】（1）如图1，________，________． 【特殊情形】（2）如图2，点是边上的一个动点，，与边交于点．当点与点重合时，求的值． 【一般结论】（3）如图3，在（2）的条件下，求证：在运动过程中，的结果为定值，并求出这个定值． 12．（1）问题发现 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，过对称中心的直线平分平行四边形的面积．如图1，在中，点是对称中心，经过点，交于点，交于点，请证明：平分的面积； 我们还可以发现：若直线平分的面积，则经过的对称中心且． （2）结论应用 如图2，菱形的边长为，面积为，点是上一点，且，过点的直线与交于点．若平分菱形的面积，则四边形的周长为__________； （3）问题解决 旅游度假区在一块矩形草地上进行旅游功能区规划工作，如图3，在矩形草地中，，过点的直线将矩形的面积平分为两部分，左侧为休闲住宿区，右侧为活动娱乐区，现规划在左侧休闲住宿区域内搭建帐篷，顶点在矩形内，且到、的距离相等，直线过点，分别交、于点、，，求出此时的长，并直接写出的面积为__________． 13．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，、是的中线，，垂足为，像这样的三角形均称为“中垂三角形”，设，，． (1)如图1，当，时，________，________；如图2，当，时，________，________． (2)请你观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． (3)如图4，在中，点、、分别是、、的中点，，，，则________． 14．如图1，P是线段上的一点，在的同侧作和，使，，连接，点E、F、G、H分别是的中点，顺次连接E、F、G、H． (1)猜想四边形的形状，直接回答，不必说明理由； (2)当点P在线段的上方时，如图2，在的外部作和，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)如果（2）中，，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形的形状，并说明理由． 15．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． (1)性质探究：如图1，已知：四边形中，E、F、G、H分别是、的中点，交于点O，，且，求证：四边形是“中方四边形”； (2)问题解决：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，求证：四边形是“中方四边形”； (3)拓展应用：如图3；已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点，若，求的最小值． 16．已知，等腰中，，，的边经过点，点是线段上一动点，连接． (1)如图1，若点是的中点，，求的长； (2)如图2，连接，当时，求证：； (3)如图3，等腰中，，连接，若，，当点在运动过程中，请直接写出周长的最小值． 17．【提出问题】 如图1，在中，于点E，于点F．求证：； 【问题探究】 如图2，在四边形中， ，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：； 【拓展延伸】 如图3，在四边形中， ，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ． 18．定义：对于给定的一次函数（，为常数），把形如（，为常数）的函数称为一次函数的关联函数．已知平行四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)已知函数． ①若点在这个一次函数的关联函数图象上，则______． ②若点在这个一次函数的关联函数图象上，则______． (2)如图1，一次函数（，k、b为常数）的关联函数图象与平行四边形交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是，的面积为，求该一次函数的解析式． (3)一次函数（，k、b为常数），其中k、b满足，它的关联函数图象与平行四边形的边恰好有两个交点，则k的取值范围是______． 19．如图，，，在四边形中，，于点，于点，且，． (1)的长为___________； (2)动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿向终点运动，设运动的时间为秒． ①如图，连接，，，当时，写出与之间的数量关系，并说明理由； ②如图，连接，当平分时，过点作，交于点，求四边形的周长（用含的式子表示）； ③如图，若点开始运动的同时动点从点出发，以3个单位长度/秒的速度沿向终点运动，当，中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．线段将四边形分为两部分，直接写出为何值时，所分成的两部分中存在平行四边形． 20．已知在平行四边形中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数． (2)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，当运动时间为 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点F，平分交于E点，当，时，求的长 (4)如图4，在（1）的条件下，连并延长与的延长线交于点F，若，求的面积． 参考答案 1．（1）证明：，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）①证明：如图1，    是的中点，是的中点， 是的中位线， ； ②解：如图2，连接、，    由（1）得：四边形是平行四边形， ，， 、分别是、的中点，， ， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ， ， ， 平行四边形是菱形， 垂直平分， ， ， 当点、、三点共线时，的值最小，其最小值为的长， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 是等边三角形， ， 为的中点， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 的最小值为． 2．(1)见解析 (2)①；理由见解析；② 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，根据，得出，根据平行线的判定得出，根据，即可证明结论； （2）①延长交于点F，证明，得出，，证明，，得出，根据直角三角形的性质得出，，证明，即可证明结论； ②过点E作于点M，过点O作于点N，根据中位线性质得出，，证明，得出，求出，证明四边形为平行四边形，得出，证明，得出，求出，根据勾股定理得出，，根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：①；理由如下： 延长交于点F，如图所示： ∵四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点F为的中点， ∵为直角三角形， ∴，， ∴， ∴； ②过点E作于点M，过点O作于点N，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，根据勾股定理得：， ∴在中，根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴，负值舍去． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 3．(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①先根据正方形的性质得，证明；②由①得出，结合以及，即可证明四边形是平行四边形； （2）过点作于点，于点，证明四边形是矩形．然后根据证明，得出，证明四边形是正方形，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，． ，， ， ， ， ． 由，可知． ， ． ， 四边形是平行四边形． （2）解：如图，过点作于点，于点，则， ， 四边形是矩形． ， ， ， ． ，， ，． ， ， ， ， ∵四边形是矩形． ∴四边形是正方形 点始终在的角平分线上． 4．（1）（2）（3）存在， 【分析】（1）根据菱形的性质，推出为等边三角形，勾股定理求出的长，即可； （2）证明，得到，，得到为等边三角形，推出周长等于，进而得到当最小时，的周长最小，根据垂线段最短，得到时，最小，进行求解即可； （3）过点作于点，于点，连接，勾股定理求出的长，证明为等边三角形，进而推出，得到，得到，在上截取，连接，取的中点，连接，作点关于的对称点，连接，交于点，证明，得到为等边三角形，再证明，推出，再进行求解即可． 【详解】解：（1）∵菱形，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵分别是边上的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴的周长； （2）∵， ∴，为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵的周长为， ∴当最小时，的周长最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小，此时：， ∴， ∴周长的最小值为； （3）存在，如图，过点作于点，于点，连接， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在上截取，连接，取的中点，连接，作点关于的对称点，连接，，交于点，则是的中位线，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即：的最小值为：， ∴的最小值为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最短问题，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 5．(1)见解析 (2)①见解析；② (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再根据角平分线得，进而得，，即可得证； （2）①由角平分线的性质得，进而证明，即可得证；②先证明，得，由①得，即，求解即可； （3）连接，根据旋转的性质可得是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出，利用“边角边”证明和全等，得到，，然后求出，再求出，根据等边三角形的判定方法判断即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）①证明：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：∵，，四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 由①得， ∴，即， ∴； （3）解：是等边三角形，理由如下：连接， ∵线段绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中， ， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，作辅助线构造等边三角形及利用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 6．（1）①③； （2）①平行四边形， 证明：如图，连接， ∵将绕点旋转，得到， ∴共线，，， ∴四边形是平行四边形； ②； （3） 【分析】（1）分别画出图形，再结合平移，旋转，轴对称的性质作答即可； （2）①如图，连接，证明共线，，，可得四边形是平行四边形；②如图，连接，证明四边形是菱形，可得，证明四边形是菱形；再进一步作答即可； （3）证明，记的交点为，如图，证明是等边三角形，过作于， 结合面积可得，，证明，过作于，求解，再结合面积公式可得答案． 【详解】解：（1）①如图，是平移后的三角形， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ②如图，是轴对称后的三角形， 此时， ∴四边形不是平行四边形； ③如图，是旋转后的三角形， 由中心对称的含义可得：，， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：①③ （2）①略 ②如图，连接， 在中，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵四边形是平行四边形； ∴四边形是菱形；而， ∴， ∴； （3）∵在中，，， ∴，，， 结合旋转可得：，，，， ∴， 记的交点为，如图， ∴是等边三角形， ∴， 过作于， 设，则，， ∵和重叠部分的面积是， ∴， 解得：， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∴， 过作于， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是平移，旋转，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，化为最简二次根式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 7．(1)，； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可； （2）过点作于点，连接，由垂直平分线的性质和等边对等角的性质，得到，证明，得到，，进而得出，再证明，得到，即可得出结论； （3）在取点，使得，连接并延长交于，连接，则是等边三角形，结合旋转的性质，可证，得出，进而推出，设与的交点为，点在直线上运动，则当点运动到点处时，有最小值，由（1）可知，，从而得出，再利用勾股定理，求出的长，即为的最小值． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，，， ，， ， ， 在中，，， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作于点，连接， ，， 垂直平分， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，在取点，使得，连接并延长交于，连接， 四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设与的交点为， 点在直线上运动， 当点运动到点处时，有最小值， ，， ， 由（1）可知，， ， ， 在中，， ，， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，综合性较强，掌握相关知识点是解题关键． 8．(1) (2)见解析 (3)的最大值，的最小值， 【分析】（1）如图1，过点E作交的延长线于点H， 根据题意求得，再根据特殊直角三角形的性质进而求得上的高，代入面积公式算出结果； （2）①如图，在线段上截取，连接，可证得四边形是平行四边形，得出，可证，得出，由，即可推出结论； （3）连接AE，取的中点，的中点Q，连接，可证是等腰直角三角形，得出：，再由点是的中点，可得：，且，利用勾股定理得，当B、Q、M三点共线时，的最小值，当点P与点E重合时，此时，的最大值．． 【详解】（1）解：如图1，过点E作交的延长线于点H， ∴， ∵， ∴， ∵点在边上且，将绕点B逆时针旋转a得到． ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）如图，在线段上截取，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴ ， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）解：连接，取的中点，的中点Q，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点S是的中点， ∴，且， ∵M是的中点，S是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点Q是的中点， ∴， 在中，， 当B、Q、M三点共线时，的最小值， 当点P与点E重合时，， 此时，的最大值． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 9．(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】（）根据平行四边形的性质得到，，再根据角平分线得到平分，平分，通过即可求证． （）延长交于,通过，点为中点，平分，平分，求得，，再根据，证得；同理可证,得到是的中点，最后证明为的中位线即可． （）过作交于，先证出四边形是平行四边形，再结合，得到，最后证出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴∠， ∴． （2）解：延长交于, 由（）知，点为中点，， ∴， ∴, ∵平分，平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴，， ∴∠，， ∴，， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴； 同理可证, ∴是的中点， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． （3）解：如图， 过作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴,,， 由（）知， ∴， ∴， ∵, ∴， 由（）可知，，,， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，中点的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 10．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，易证是等腰直角三角形，得到，再结合三角形面积公式求解即可； （2）过点作于点，交于点，与延长线交于点，根据等腰直角三角形的性质，得到，，结合平行四边形的性质，易证是等腰直角三角形，得出，进而得到，证，得出，，再由勾股定理求出，即可得到的长； （3）延长、交于点，取、的中点、，连接，当点在点位置时，点与点重合，中点与中点重合，当点运动到点位置时，点与点重合，中点与中点重合，从而得出中点的运动路径长为的长，证明是等腰直角三角形，得到，再利用三角形中位线定理，求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：如图，过点作于点，交于点，与延长线交于点， 是等腰直角三角形，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：如图，延长、交于点，取、的中点、，连接， ，， ， 当点在点位置时， ， 点与点重合，中点与中点重合， 当点运动到点位置时， ， 点与点重合，中点与中点重合，连接， ∴,,,， ∴共线， 中点的运动路径长为的长， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 由（2）可知，， ， ， 即线段中点的运动路径长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，正确作辅助线，推出中点的运动路径长为的长是解题关键． 11．（1）3，3；（2）3；（3）见解析，定值为3 【分析】本题考查等边三角形性质、三角形中位线定理及全等三角形的判定与性质，解题关键是利用等边三角形和中位线性质，通过构造全等三角形转化线段求解定值． （1）利用三角形中位线定理（三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半），结合等边三角形三边相等，求出、、的长度，进而计算的值． （2）根据等边三角形性质（三线合一等）和角的关系，得出平分，再利用特殊角度求出，结合线段关系计算的值． （3）通过在上构造点，使，利用全等三角形的判定证明和，将、、进行转化，从而证明为定值并求出该定值． 【详解】（1）∵点、、分别为边、、的中点，是等边三角形，边长为， ∴，，， ∴， 故答案为：3，3； （2）为等边三角形，点为中点， ， ， ， 为等边三角形， ， 即平分， ， ； （3）如图，在上取点，使 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴． 12．（1）见解析；（2）；（3），平方米． 【分析】（）由四边形是平行四边形 则，故有，，证明，所以，然后通过面积和差即可； （）过作于点，过作于点，则，证明四边形是矩形，则有，又菱形的边长为，面积为，即，所以，然后通过勾股定理分别求出，，从而求解； （）连接交于点，取中点，连接，交于点，延长交于点，则，由、为、的中点，故有，， ，由勾股定理得，，通过，则，证明，所以，，，的面积为平方米． 【详解】解：（）∵四边形是平行四边形 ， ∴， ∴，， ∵、交于点，为对称中心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ，即平分的面积； （）过作于点，过作于点，则， ∵平分菱形的面积， ∴经过菱形的对称中心且， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵菱形的边长为，面积为， ∴， ∴， 在中由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴四边形的周长为 ， 故答案为：； （）连接交于点， 由题意可知，， 取中点，连接，交于点，延长交于点， 则， ∵、为、的中点， ∴，， ∴， ∵点到、的距离相等 ， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平方米）， ∴的面积为平方米． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，菱形的性质，中心对称，全等三角形的判定与性质，中位线定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 13．(1)，；，； (2)，证明见解析； (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和勾股定理，求出，根据题意易得是的中位线，进而得出，，再推出，利用勾股定理得到，，即可利用中线的定义求解；连接，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理和三角形中位线定理，同理证明即可； （2）观察（1）中的计算结果，得到猜想，再连接，由三角形中位线定理可得，根据勾股定理可得，，，，进而推出，，即可证明猜想； （3）先证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，根据三角形中位线定理，得出，从而得到是“中垂三角形”，再根据（2）所得关系式求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， 、是的中线， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ，， ，； 如图，连接， ，，， ，， 、是的中线， 是的中位线， ，， ， 在中，，， ，， ，； 故答案为：，；，； （2）解：由（1）可知，当时，，，； 当时，，，， 观察发现，． 证明：如图，连接 ，是的中位线， ， ， 由勾股定理得：，，，， ，， ，， ， 即； （3）解：如图，连接，连接分别交、于点、，与的交点为， 在中，，， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 、是的中线， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， 是“中垂三角形”， 由（2）可知，， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据题意得出“中垂三角形”三边的关系式是解题关键． 14．(1)四边形是菱形 (2)成立，理由见解析 (3)四边形是正方形，理由见解析 【分析】（1）证明，可得，根据三角形中位线的性质，可得，进而可得，即可得出结论； （2）连接，．证明，可得，同（1）的方法，即可得证； （3）连接，．证明，同理可得四边形是菱形，证明，即可得证． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 如图所示，连接， ∵ ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∵点，，，分别是，，，的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）成立． 理由：连接，． ， ． 即． 又，， ， ． ，，，分别是，，，的中点， ，，，分别是，，，的中位线． ，，，． ． 四边形是菱形． （3）解：补全图形，如图． 判断四边形是正方形． 理由：连接，． （2）中已证：， ． ， ． 又， ， ． 由（2）知，分别是，的中位线， ，． ． 又（2）中已证四边形是菱形， 菱形是正方形． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，正方形的判定，三角形中位线的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15．(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】（1）由中点条件及三角形中位线的性质易得四边形是平行四边形；再由，且，可得四边形是正方形，从而结论得证； （2）连接，证明，则得，由（1）即可得四边形是“中方四边形”； （3）分别取的中点E、F、H，连接；由四边形是“中方四边形”得四边形是正方形，则有；由三角形中位线定理得，则，当点H在线段上时，取得最小值，从而取得最小值，进而求得最小值． 【详解】（1）证明：∵E、F、G、H分别是、的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴； ∵， ∴； ∵是的中位线， ∴， ∴； ∴四边形是矩形； ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形是“中方四边形”； （2）证明：如图，连接， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，， ∴， 即； ∴， ∴； ∵ ， ∴； ∵，， ∴由（1）知，四边形是“中方四边形”； （3）解：如图，分别取的中点E、F、H，连接； ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴； ∵的中点分别是E、F、H， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， 故当点H在线段上时，取得最小值， 从而取得最小值，且最小值为． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了平行四边形的判定，矩形的判定及正方形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，两点间线段最短等知识，有一定的综合性，三角形中位线定理的应用是解题的关键． 16．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据点是的中点，得出 ，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （2）延长、，交于，延长交于，先证明，证明，进而证明，得出，进而即可得证； （3）过点作于，作，且，连接，作点关于的对称点，交于，连接交于，勾股定理求得，，证明得出点在与成的直线上运动，当、、三点共线时，的周长最小，此时点与点重合，最小值为，进而证明，得出，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在等腰中，，， ∴， 点是的中点， ， 在中，， ， ； （2）证明：延长、，交于点，延长交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ；． （3）解：如图3，过点作于，作，且，连接，作点关于的对称点，交于，连接交于， 则， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点在与成的直线上运动， ， 当、、三点共线时，的周长最小，此时点与点重合，最小值为， 在和中， ， ， ，， ，， ， 周长的最小值为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，综合性强，难度较大，正确作出辅助线，熟练运用相关知识是解题关键． 17．提出问题：证明见解析；问题探究：证明见解析；拓展延伸： 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理； 提出问题：由垂直可得，由，可得，，得到，即可证明； 问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，先证明，得，，再证明，得到，推出，即可证明，得到，； 拓展延伸：过作于，过作交延长线于，证明，得到，再由勾股定理得到，最后根据计算即可． 【详解】解：提出问题：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； 问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，则， ∵G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 拓展延伸：过作于，过作交延长线于，则， ∵ ， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．(1)①3；②1或 (2) (3)或或． 【分析】（1）①写出一次函数的关联函数，再根据点E的坐标中横坐标的符号代入相应的解析式中即可求解； ②分n为非负与负的情况考虑即可； （2）易得一次函数（，k、b为常数）的关联函数，由点P在上得k、b的方程；再由面积条件得点N的坐标，从而得k、b的中一个方程，解方程组即可求解； （3）根据k和b的关系得出，即可得出定点坐标，根据题意得出当关联函数图象经过点A时，与平行四边形有三个交点，求出此时的b和k的值，然后分情况讨论符合条件的b的取值范围即可求得k的取值范围． 【详解】（1）解：①一次函数的关联函数为， ∵点中横坐标为负， ∴； ②当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上，n的值为1或； （2）解：一次函数（，k、b为常数）的关联函数为， ∵P点坐标是， ∴点P在函数图象上， 即； 如图，设与y轴交于点F， ∵平行四边形的顶点坐标分别为，，，， ∴轴， ∴， ∵的面积为， 即， ∴， ∵， ∴， ∵点N在函数图象上， ∴， 联立①②，解得：， ∴； （3）解：∵满足， ∴， 则，即， 当时，，即过定点， ∴一次函数（，k、b为常数）的关联函数图象过点与， ∴，且点在平行四边形内， 设关联函数与y轴的交点为G， 如图2，点G沿y轴向上平移的过程中，当关联函数图象经过点A时，平行四边形有三个交点， 把代入中，得， 解得：， ∴， ∴当时，关联函数的图象恰好与平行四边形有两个交点， 即， ； 当点继续沿y轴向上平移，关联函数图象经过点时，与平行四边形有三个交点，当关联函数经过点时，则，不符合题意，如图3， ∴当时，关联函数与平行四边形恰好有两个交点， 即， 解得：； 当点继续沿y轴向上平移，如图4， 此时，关联函数与平行四边形恰好有两个交点， 即，解得：； 综上，当关联函数与平行四边形恰好有两个交点，k的取值范围为或或． 19．(1) (2)①，理由见解析；②；③为或时，所分成的两部分中存在平行四边形 【分析】（1）先证明出四边形为矩形，得出，再由计算即可得解； （2）①由（1）可得四边形为矩形，由矩形的性质可得，再证明四边形为平行四边形，得出，即可得解；②证明出四边形为菱形，由题意可得，再结合菱形的性质即可得解；③由题意可得，，由（1）可得，，表示出，求出当时，，再分两种情况：当时，四边形为平行四边形；当时，四边形为平行四边形，分别利用平行四边形的性质列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵，于点，于点， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵ ∴； （2）解：①，理由如下： 由（1）可得四边形为矩形， ∴， ∵动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿向终点运动，设运动的时间为秒， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； ②∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿向终点运动，设运动的时间为秒， ∴， ∴四边形的周长为； ③点开始运动的同时动点从点出发，以3个单位长度/秒的速度沿向终点运动，动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿向终点运动，设运动的时间为秒， ∴，， 由（1）可得：，， ∴点运动的时间为秒，点运动的时间为秒，， ∴， ∵线段将四边形分为两部分，所分成的两部分中存在平行四边形， ∴当时，， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形，此时， 解得：； 当时，四边形为平行四边形，此时， 解得：； 综上所述，为或时，所分成的两部分中存在平行四边形． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 20．(1) (2)4.8或8或9.6 (3)的长为8 (4) 【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到，得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答； （2）分、、、四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案； （3）延长交于点，证明，可得，，再证明，得，然后利用线段的和差即可解决问题； （4）作，求出，根据三角形面积公式得到，得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 要使四边形是平行四边形，则， 设运动时间为秒，根据题意可知：，，， ①当时，， ， 解得，不合题意； ②当时，， ， 解得，； ③当时，， ， 解得，； ④当时，， ， 解得，； 综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形； （3）解：如图3，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为8； （4）解：如图2，作于， 是等边三角形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $