期末综合复习解答压轴题专题提升训练2024-2025学年浙教版数学八年级下册

2024-2025学年浙教版八年级数学下册期末综合复习解答压轴题专题提升训练（附答案） 1．已知关于的方程，其中，为实数． (1)当，时，求方程两根的平方和． (2)当时，若方程有一个根为，判断与的大小关系并说明理由． (3)若对于任何实数，此方程都有实数根，求的取值范围． 2．小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的： ，，， ，． 请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题： (1)直接写出结果：__________； (2)化简：； (3)已知，求的值． 3．某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 4．【数学经验】 我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 例如：． 【深入探索】如何化简？ 【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：， 【问题解决】化简． 解：首先把化为，这里，．由于，． 即，． ． 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）． 5．某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克． (1)若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克樱桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种樱桃平均每天获利可以达到2400元吗？如果可以，请求出应降价多少元；如果不可以，请说明理由． 6．如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 7．如图，小明打算用总长度为的栅栏围成两个大小相同的矩形花园，花园的一面靠墙，墙长，设的长为． (1)的长为多少米？（用含的代数式表示） (2)若矩形花园的面积为，求的长． (3)矩形花园的面积是否有可能达到？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 8．为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”知识竞赛，每班抽取25名同学参加比赛，成绩分为 A，B，C，D四个等级，其中相应等级得分依次记为100分、90分、80分、70分．现将八（1）班和八（2）班参赛学生的成绩绘制成如图所示的不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)该校采取的调查方式是 （填“全面调查”或“抽样调查”），请将八（1）班参赛学生的成绩的条形统计图补充完整； (2)求出下表中a，b，c的值： 班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/分² 八（1）班 a 90 90 c 八（2）班 88 b 100 136 根据表格中数据的结果，请你对这次竞赛成绩的结果进行分析，推荐一个班级获得表彰，并说明理由； (3)若八年级共有800人参加本次知识竞赛，且规定90分及以上的成绩为优秀，请估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人． 9．为了丰富学校文化氛围，促进学生综合素质发展，增强学生的学习动力和求知欲，增强师生之间归属感和凝聚力．某校准备成立校园广播站，有20名学生报名参加选拔，报名选手需参加综合知识，语言，写作三项测试（每项测试满分100分，打分为整数），然后将三项测试的成绩按的比例计算出最后每人的总评成绩，其中，语言测试由七位评委打分，取评委打分的平均分作为该项测试的成绩．现得到如下信息： 信息一：20名选手的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值） 信息二：小明和小亮两位选手的三项测试成绩如下表： 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 综合知识 语言 写作 小明 83 72 80 78 小亮 86 a 93 b 信息三：在语言测试中，七位评委给小亮打出的分数（单位：分）如下：67、72、68、69、74、69、71． 根据以上信息解决下列问题： (1)求小亮语言类得分a； (2)请你计算小亮的总评成绩b； (3)学校决定根据总评成绩择优选拔10名广播员，试分析小明，小亮能否入选？并说明理由． 10．如图，在中，点E在上，点P是上一点，分别与于点F，G，． (1)若，判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求证：； (3)若，直接写出DG的长． 11．在中，，对角线平分，点M为射线上一点，连接，将沿直线翻折得到，连接．    (1)如图1，点在边上，，求的度数； (2)射线与射线交于点F，在射线上取一点G，使，连接，交于点H． ①如图2，点M在线段上，求证：； ②点M在线段延长线上，和，之间有何数量关系？写出你的结论并证明． 12．【问题初探】 （1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形中，，且，点E是的中点，点F为对角线上的点，且，连接线段，若，求的长． 小鹏同学考虑到点E是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接，与交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题． 【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答． （2）如图2，在中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，点D在上，，点E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：． 13．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线交于点．      (1)①直线的解析式为__________． ②若点P在y轴上，则的最小值为_______． (2)点Q在x轴上，过点Q作直线l⊥x轴，交直线于点D，交直线于点E．若，求点Q的坐标． (3)若H为坐标平面内任意一点，是否存在这样的点H，使以A，O，C，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 14．已知矩形和矩形，是上一点，与边相交于点，与边相交于点． (1)如图1，若，，则________； (2)如图2，在（1）的条件下，若，，求； (3)如图3，若，，求证：． 15．综合与实践 问题背景 如图，在菱形中，连接，，． 初步探究 （1）菱形的面积为 ． （2）如图1，若E，F分别是，上的动点，且，过点E作，过点F作，垂足分别为点G，点H，求的值． 拓展延伸 （3）如图2，P是上的动点，连接． ①的最小值为 ； ②如图3，Q是上的动点，连接，且，求的最小值．          16．【课本再现】如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求证．（提示：取的中点G，连接）； (2)【类比迁移】如图2，若点E是边上任意一点（不与B，C重合），其他条件不变，求证：； (3)【拓展应用】在（2）的条件下，连接，过点E作于P，当时，如图3，求证四边形是平行四边形． 17．已知四边形是正方形，点是射线上一点，（点在直线的右侧），，于点．          (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)射线与射线交于点，和交于点． ①如图2，当点在线段上时，求证：与互相平分； ②连接若，，请直接写出的面积． 18．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点A坐标为，点的坐标为 (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)观察图像直接写出时的取值范围是______； (4)若为轴上一动点，请直接写出当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标． 19．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，，（不与，重合），反比例函数的图像经过点，且与交于点，连接，，． (1)若点的横坐标为． ①求的值； ②点在轴上，当的面积等于的面积时，试求点的坐标； (2)延长交轴于点，连接，判断四边形的形状 20．教室里的饮水机接通电源，就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时x成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若在水温为时，接通电源后，水温和时间x的关系如图． (1)直线的函数关系式为______． (2)①如图，t的值为______； ②饮水机第一次关机前，当水温达到以上时，则x的取值范围为______． (3)为了在上午第三节下课时（）能喝到不超过的水，则接通电源的时间可以是当天上午的吗？说明理由． 参考答案 1．（1）解：当，时，方程为， 解得：，， ∴， 即两根的平方和为50． （2）解：把方入方程得： ， 整理得：， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：由题可知， 整理得：， 即， ∵对于任何实数，此方程都有实数根， ∴对于任何实数，恒成立， ∴． 2．（1）解：； （2）解：原式 ， ； （3）解：， ， ，即， ， ， 原式． 3．（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 4．（1）解：①这里，，由于，， 即，   ． ②首先把化为， 这里，，由于，， 即，， ． （2）在中，由勾股定理得，， ， ，   ． 5．（1）①解：设每千克樱桃应降价x元，根据题意，得： ， 解得  ，， 答：每千克樱桃应降价4元或6元； ②由（1）可知每千克樱桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克樱桃应降价6元． 此时，售价为（元）， ∴． 故答案是：9． （2）设每千克樱桃应降价y元，根据题意，得： ， 即， ∵， ∴原方程没有实根． 答：该专卖店销售这种樱桃平均每天获利不可以达到2400元． 6．解：（1）由题意，得线段， 故答案为：t，； （2）解：∵四边形为矩形， 则，即， 解得：； （3）解：过点作于点 在中，根据勾股定理， 已知， ， 则可得方程， 即， 移项可得， 两边同时开平方得； 当时， 移项可得， 解得； 当时， 移项可得， 解得； 所以，经过秒或秒，的长为． 7．（1）解：由题意，知， 长为， 的长为； （2）解：由题意知，，即， 解得， 又，即， ， 由题意，知，即， 整理，得， 解得（不合题意，舍去），， 的长为； （3）解：不可能， 理由：由题意，得， 整理，得， ， 该方程没有实数根， 矩形花园的面积不可能达到． 8．（1）解：该校采取的调查方式是抽样调查， 八（1）班等级的人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：一班成绩的平均数（分， 一班成绩的方差， 二班等级人数为（人，等级人数为（人，等级人数为（人，等级为（人， 二班成绩的中位数是第13个数据，在等级，即中位数， ，，； 从平均数和方差的角度，一班和二班平均数相等，一班的方差小于二班的方差，故一班成绩好于二班，推荐对一班进行表彰． （3）解：（人）， 答：估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有496人. 9．（1）解：小亮语言这项测试的得分为：； （2）解：． 答：小亮的总评成绩为81分． （3）解：小明不能入选，小亮能入选． ∵由这20名选手的总评成绩频数直方图可知，分数小于80分的有10人， 又∵学校准备根据总评成绩择优选拔10名广播员， ∴小亮总评成绩超过80分，能够入选；小明总评成绩没超过80分，不能入选． 10．（1）解：四边形是平行四边形．理由如下： ， ， 又∵， ． ， ， ∵， 四边形PCDG是平行四边形． （2）证明：，， ． ， 又， ． ． （3）解：如图：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴．． ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ． 11．（1）解：如图1，    由翻折得：，， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①证明：设，    由翻折得：，，，， 由（1）知：，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：结论：，理由如下： 如图3，连接，，设，    由翻折得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由翻折得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．解：（1）连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，延长交的延长线于点G， ∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 取的中点F，连接，则有，且， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图，连接，取中点H，连接， ∵E，F分别为和中点， ∴和分别为和的中位线， ∴且，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．解：（1）①点在直线上， ， 解得， ； 将，代入直线，得： ， 解得， 直线的解析式为：； 故答案为：； ②如图，作点A关于y轴的对称点，连接交轴于点P，连接，此时的值最小，     点关于y轴的对称点，， 的最小值为， 故答案为：； （2）根据题意设点坐标为， 点、、三点在同一直线上，且点在直线上，点在上， ，， 又， ， 解得或， 点Q的坐标为或； （3）存在， 如图所示： ，， 若以为对角线， 则， 的横坐标为，的纵坐标与点的纵坐标相等， 点的坐标为：； 同理若以为对角线， 则， 点； 若以为对角线， 则点与点 可得； 点的坐标为：或或． 14．（1）解：∵矩形 ∴， 在中，，， ∴ 故答案为：． （2）解：∵矩形和矩形， ∴ ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ （3）解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴ 在四边形中， ∴， 又∵ ∴ 在中， ∴ ∴， 在中， ∴ ∴， ∴． 15．解：（1）连接，交于点O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）如图1，连接，交于点O，过点E作于点K． ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，即． ∵， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为4． （3）①如图2，过点A作于点， ∵垂线段最短， ∴的最小值为的长， 由（1）可知菱形的面积为24， ∴， 即， 解得： ， ∴的最小值为． ②如图3，在的延长线上截取，连接，． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点A，点P，点R在同一条直线上时，有最小值， 即的最小值为的长， ∴的最小值为的长 过点A作于点T， 由①易知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 16．（1）证明：如图，取的中点G，连接； ∵四边形是正方形， ∴； ∵G，E分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵是的补角的平分线，且， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图2，在上取点G，使，连接； ∵四边形是正方形， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵是的补角的平分线，且， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图，在上取点G，使，连接； 由（2）知，则； 设，则， 由勾股定理得； 在正方形中，， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 17．（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中，， ∴． （2）①证明：如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是正方形 的对角线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴与互相平分． ②解：如图，设 与交于点， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵正方形中，与交于点， ∴点是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴． 18．（1）解：∵点A坐标为， ∴将点A代入到反比例函数中可得到：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：， ∴将点B的坐标代入到反比例函数中得到：， 解得：， ∴， 将A、B的坐标代入到一次函数中可得到： ，解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：如图所示，当时，，即， ， ∴， ∴； （3）解：根据图像可得，当时，即一次函数图像在反比例函数图像上方时，的取值范围是：或； （4）解：当是以为腰的等腰三角形时，存在以下两种情况： 当时，如图所示： ， ∵， ∴， ∴或； 当时，如图所示： ， 根据等腰三角形的特征以及点A的坐标可得到：； 综上，P的坐标为或或． 19．（1）解：①∵四边形是矩形，， ∴，， ∵，点的横坐标为， ∴，， ∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴的值为； ②∵， ∴， ∵，都在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在轴上，的面积等于的面积， 设， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； （2）四边形AEFC是平行四边形． 理由：连接， ∵，，，都在反比例函数的图像上， ∴，， 设的函数解析式为：， ∴， 解得：， ∴的函数解析式为：， 当时，得：， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 20．（1）解：根据题意，得温度升到用时间为， 设直线的函数关系式为， 根据题意，得， 解得， 所以． （2）解：①根据题意，得反比例函数经过点， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故， 当时， 故， 故答案为：； ②解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为60摄氏度以上时的时间范围是， 故答案为：． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 故温度为50摄氏度以上时的时间范围是， 即有， 根据题意，得饮水机循环开机时间为，且每个循环周期中，和时段中温度低于， 若接通电源的时间是当天上午的，到一共为， 经过5次循环，剩余时长为， 恰好在的时段中，此时温度不高于， 故可以在接通电源． 学科网（北京）股份有限公司 $$