期末复习讲义03：导数研究函数的极值与最值【11个题型归纳】【原卷版】人教A版高二数学下学期

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【期末复习讲义03：导数研究函数的极值与最值】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．函数的极值点与极值 在包含的一个邻域区间上，函数在任何不为的一点处的函数值都小于点处的函数值，称点为函数的_极大值点_______，其函数值为函数的__极大值______. 在包含的一个邻域区间上，函数在任何不为的一点处的函数值都大于点处的函数值，称点为函数的_极小值点_______，其函数值为函数的_极小值_______. 函数的极大值点､极小值点统称为_极值点_________，极大值和极小值统称为__极值________. 2．求可导函数的极值的步骤 （1）求导函数． （2）求方程的根． （3）列表，检验在方程的根左右两侧的函数值的符号，如果__左正右负______，那么函数在这个根处取得极大值；如果_左负右正_______，那么函数在这个根处取得极小值；如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点． （4）得极值，由表得极大值与极小值． 3．函数的最大（小）值 （1）函数在区间上有最值的条件：如果在区间上,函数的图象是一条__连续不断________的曲线，那么它必有最大值和最小值． （2）求在区间上的最大（小）值的步骤： ①求函数在区间上的__值____； ②将函数的各个极值与_____端点处的函数值，________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 4．如图所示，设函数在区间内有定义，是区间内的一个点，若点附近的函数值都_大于或等于_____（即______），就说是函数的一个极小值，此时称为的一个极小值点． 5．如图所示，设函数在区间内有定义，是区间内的一个点，若点附近的函数值都_ 小于或等于_____（即______），就说是函数的一个极大值，此时称为的一个极大值点． 6．三次函数的导数的零点与其单调区间和极值 设，，填写下表． 当时， 的零点、 的性质 无 和 的符号 ______0 ______时，；______时， 的单调性 在上__单调递增____ 在上_单调递增_____ 在，上_单调递增_____，在上_单调递减_____ 的极值 __无____ _无____ 在______处取极大值，在______处取极小值 当时， 的零点、 的性质 无 和 的符号 ______0 ______时，；______时， 的单调性 在上单调递减______ 在上__单调递减____ 在，上_单调递减_____，在上_单调递增_____ 的极值 无 无 在______处取极小值，在______处取极大值 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求不含参数的函数的极值与最值】 【练方法】 方法技巧 1确定函数定义域求导 2解方程得到驻点 3分段判断符号区分极大/极小值点 4闭区间最值：极值与区间端点函数值比较取最大最小 公式结论 1极值判定第一充分条件 左侧右侧为极大值点 左侧右侧为极小值点 2闭区间最值 （2026·云南·三模）已知函数在处的切线的斜率为1.经典例题1例题 (1)求的值； (2)当时，求的极值. 【答案】(1) (2)极小值为1，无极大值 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）利用导数确定函数的单调性，再根据单调性求解即可. 【详解】（1）由题可知， 因为在处切线的斜率为1， 所以， 解得 （2）由（1）得，因此， 所以， 令，则. 因为，所以，所以，而， 所以在区间上恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增. 又， 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以时，取得极小值为，在上无极大值. 综上所述，在上的极小值为1，无极大值. （25-26高二下·上海黄浦·期末）已知函数经典例题2例题 (1)求函数在处的切线； (2)求函数的单调区间和极值（结果保留e）． 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为. 【分析】（1）根据导数的几何意义求解． （2）由确定增区间，由确定减区间，然后根据极值的定义得极值． 【详解】（1）由求导得，则，又， 所以函数在处的切线方程为； （2）因， 由得或，由得， 所以函数的递增区间是和，递减区间是， 故该函数的极大值为，极小值为． 即的单调递增区间为和，单调递减区间为； 极大值为，极小值为． （25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）函数在上的最小值为（     ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 令，得， 令，得或；令，得， 所以，在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递减，上单调递增，则. （25-26高二下·河南郑州·阶段检测）已知函数.小试牛刀2 (1)求； (2)求函数的单调区间； (3)求在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，无单调递减区间 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据基本初等函数求导法则计算导数； （2）结合定义域分析导数符号得到单调区间； （3）根据单调性求解闭区间上的最值. 【详解】（1）函数的定义域为， ； （2）将导数通分整理得： ， 分母，对分子配方得， 由可知分子恒大于，因此在上恒成立， 故的单调递增区间为，无单调递减区间； （3）由（2）可知在上单调递增， 因此在闭区间上也单调递增，最值在区间端点处取得： ，， 因此在上的最大值为，最小值为. （25-26高二下·广东广州·期中）已知函数．小试牛刀3 (1)求的极值； (2)求在区间的最值． 【答案】(1) ， (2) 最大值为，最小值为 【分析】（1）利用导数判断函数单调性，然后可求极值； （2）比较函数极值与区间端点处函数值的大小关系，据此可得函数最值. 【详解】（1），，. 从而在上单调递减，在上单调递增. 从而，； （2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增. 则， 【题型2：含参数的函数的极值分析】 【练方法】 方法技巧 1求导因式分解对参数分类讨论驻点个数、驻点与定义域边界位置 2分区间讨论导函数正负判定极值类型 公式结论 1是为极值点必要不充分条件 2二阶导判定： 极大值 极小值 （25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数．经典例题1例题 (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数并求出相应的极大和极小值点． 【答案】(1) (2)当时，函数无极值点；当时，函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为；当时，函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为；当时，函数有1个极值点，该极值点为极小值点，为，无极大值点. 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程求出切线方程； （2）求导，分，，，四种情况分类讨论，根据导数研究函数的单调性，进而求出极值点. 【详解】（1）,, , 所以函数在处的切线方程为，即； （2）， 当时，恒成立，函数在上单调递增， 所以函数无极值点； 当时，令，解得或， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增； 所以函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为； 当时，令，解得或， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增； 所以函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为； 当时，恒成立，令，解得， 当时， ，单调递减，当时，，单调递增； 所以函数有1个极值点，该极值点为极小值点，为，无极大值点. 综上，当时，函数无极值点； 当时，函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为； 当时，函数有2个极值点，极大值点为，极小值点为； 当时，函数有1个极值点，该极值点为极小值点，为，无极大值点. （2025高三·全国·专题练习）已知，．经典例题2例题 (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照和分类讨论研究函数的单调性，利用极值的定义求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即切线的斜率为， 又，所以所求的切线方程为， 即； （2）由，得，， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ①当，即时，对恒成立， 此时在单调递增，故没有极值点； ②当，即时，方程有两个不等正数解， ， 不妨设，则当时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增； 所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点． 综上所述，当时，没有极值点；当时，有两个极值点． （25-26高三上·山东·阶段检测）已知函数．小试牛刀1 (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照，，，分类讨论研究函数的单调性，进而利用极值点的定义求解即可. 【详解】（1）∵， ∴， ∴在处的切线方程为，即． （2）由题意，函数的定义域为． ， ①当时，由，得，由，得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得极小值． ②当时，， ∴在上单调递增，无极值． ③当时，由，得或， 由，得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得极大值，在处取得极小值． ④当时，由，得或， 由，得， ∴在单调递增，在单调递减， ∴在处取得极大值，在处取得极小值． 综上，当时，的极值点个数为0； 当时，有1个极值点； 当且时，有2个极值点． （2025高三·全国·专题练习）设函数，其中为常数．若函数的有极值点，求：小试牛刀2 (1)实数的取值范围； (2)的极值点． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分析可知有2个不相等的实数根，且有正的实数根，结合韦达定理以及判别式运算求解； （2）分和两种情况，利用导数判断的单调性和极值点. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 令，可得， 若有极值点 ，则有2个不相等的实数根，且有正的实数根， 设方程的根为， 若有两个极值点，即，则，解得； 若有一个极值点，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为． （2）由（1）可知：，则方程的两根为：， 当时，则， 可得的单调区间为： 单调递增 单调递减 单调递增 所以的极大值点为，极小值点为； 当时， 可得的单调区间为： 单调递减 单调递增 所以的极小值点为，无极大值点； 综上所述：当时，的极大值点为，极小值点为； 当时，的极小值点为，无极大值点． （25-26高三上·河北·期中）已知函数.小试牛刀3 (1)讨论函数的极值点个数； 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令，， 当，即时，恒成立，则在上单调递增，无极值点； 当时，即或时， 有两个不等的实数根， 当时，，，得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则函数有一个极小值点，无极大值点； 当时，，得或；得； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故为极大值点，为极小值点，即函数有两个极值点， 综上，时，无极值点； 时，有一个极小值点，无极大值点； 时，有一个极小值点，一个极大值点. 【题型3：已知函数的极值/极值点求参数的值】 【练方法】 方法技巧 1极值点满足代入建立参数方程 2回代检验驻点两侧导数符号排除非极值驻点 公式结论 1若为极值点则 2检验：驻点左右符号必须发生改变 （24-25高三上·福建厦门·期中）在等比数列中是函数的极值点，则______.经典例题1例题 【答案】 【分析】求得，得到是的两个实数根，所以，结合等比数列的性质，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为是函数的极值点， 所以是的两个实数根，可得， 又因为数列为等比数列，可得同号，且， 所以，所以. （25-26高二下·四川南充·期末）若函数在处有极小值，则常数的值为________．经典例题2例题 【答案】 【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，计算并验证即可． 【详解】由， 则， 又函数在处有极小值， 则，解得或， 当时，令，解得，或， 则当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增， 此时在处有极小值，符合题意； 当时，令，解得，或， 则当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增， 此时在处有极大值，不符合题意， 综上所述：． （25-26高二下·上海闵行·期末）已知，函数在处取得极大值，则的取值范围是________．小试牛刀1 【答案】 【分析】先求出导数，然后分，和三种情况讨论，利用导数得到函数的单调性，再根据极值点的定义进行判断，即可得解. 【详解】函数的定义域为，对求导可得 . 令，解得或. ①当，即时， 当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意； ②当，即时，恒成立， 所以在上单调递增，无极值，不符合题意； ③当，即时， 当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，不符合题意， 综上，的取值范围是. （25-26高二下·山东青岛·期末）已知函数在处有极大值，则的极小值为（    ）小试牛刀2 A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】求导后，根据极值点定义可知，由此可得或，分别验证和两种情况下，是否为的极大值点，由此可确定的取值，并根据极小值定义求得结果. 【详解】，，解得：或； 当时，，， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减， 是的极小值点，不符合题意； 当时，，， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减， 是的极大值点，符合题意， 此时函数在时取极小值，极小值为， 综上所述：的极小值为. （25-26高二下·重庆·期中）函数在处取得极小值，则的值为（    ）小试牛刀3 A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】求出导函数，根据极值点及极值列式计算方程组得出参数即可求解. 【详解】函数的导数为， 由题意得，解得， 当时，， 单调递减，单调递增， 所以是的极小值点，且，符合题意， 所以. 【题型4：由函数的极值/极值点限制求参数范围】 【练方法】 方法技巧 1驻点落在指定区间内结合根分布列不等式 2保证驻点两侧导函数符号发生变化 公式结论 1极值点方程在内有变号实根 （25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数有极小值，且极小值小于0，则实数的取值范围为_________．经典例题1例题 【答案】 【详解】可知， 当时，可知，在上恒成立，函数在上单调递增，无极小值； 当时，令，解得， 所以时，，函数在上单调递减， 时，，函数在上单调递增， 在处取得极小值，极小值为， 可得，因为，所以，解得， 即实数的取值范围是. （25-26高二下·四川眉山·期中）（）的两个极值点，满足，则的取值范围为___经典例题2例题 【答案】 【分析】根据函数极值点的定义可得出，可得出，令，则，可得出，，可得出，构造函数，利用导数求出函数的值域即可. 【详解】由，得， 由，得， 因为函数有两个极值点、， 则，可得①， 设，则且，代入①得，， 所以， 设，则， 令， 则 ， 所以在上单调递增，所以， 从而，所以在单调递增， 又， 令且，则， 所以在上单调递减，则， 即，故时， 综上，时，，且， 所以 . （2026·河南开封·模拟预测）已知函数的定义域为，的极小值大于，则的取值范围为________．小试牛刀1 【答案】 【分析】由函数存在极值，得到有两个不同根，由极小值大于，确定只有一个零点，结合判别式和韦达定理即可求解. 【详解】，. 因为的极小值大于0， 所以存在两个不同的根，，设， 当或时，，则在，上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 则为极大值，为极小值， 又极小值大于0，所以极大值，所以只有一个零点， 又， 显然是的零点，所以方程无实数根， 即，即， 因为，若，因为在上单调递增， 结合，可得，与条件矛盾， 所以，又，，所以， 即的极大值点与极小值点均大于0， 且方程的2个实数根均大于0， 所以，解得， 综上可得：，故b的取值范围为. （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若函数有两个极值点，且，，则实数a的取值范围为______.小试牛刀2 【答案】 【分析】将函数的极值点问题转化为方程有两个不同实根的问题，构造函数，结合导数与单调性及最值的关系求出值域即可. 【详解】. 因为函数有两个极值点，，所以，是方程的两个不同实数根， 即函数与的图象有两个交点， 所以，，，且，. 两式相除得，即. 令 ，则，所以，解得 . 令 ，则， 令 ，则在上恒成立， 所以在上单调递减，所以， 所以在上恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，又，所以. 又 ，所以. 由，得，则 . 令 ，则在上恒成立， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以， 故实数a的取值范围为. （2026·安徽合肥·三模）已知分别是函数的极小值点和极大值点，若，则的取值范围是______．小试牛刀3 【答案】 【分析】法一：将函数极值点的问题转化为其导函数对应的两个函数与的交点问题，通过图像分析判断出，再利用两函数相切的临界状态，通过切点处的函数值与导数值相等建立方程组，求出切点横坐标,进而结合图像中交点存在两个的条件，得到与的关系，最终得出的取值范围. 法二：将导函数的两正实根问题，转化为方程有两实根的问题，构造函数，通过求导分析其单调性与值域，得到的最大值及极限趋势，结合直线与图像有两个交点的条件，确定的取值范围，进而推出的取值范围. 【详解】法一：因为， 若函数有极大值点和极小值点，则与至少有两个交点． 如下图，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以由图易知． 记恰与相切时，切点为， 则有，解得，此时． 由题意和图像分析可知，又，所以． 法二：，函数有极大值点和极小值点，有两正实根. 即有两实根，令，则. 故易知在上单调递增，在上单调递减. 又，，；，. 所以，经检验时，符合题意． 【题型5：由函数的极值极值点个数求参数范围】 【练方法】 方法技巧 1转化为导函数方程有变号实根个数问题 2二次导函数用判别式、根分布；超越函数结合单调性判断零点数量 公式结论 1导函数的变号实根个数=函数极值点个数 2一元二次有两不同实根 （25-26高二下·江苏无锡·期末）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是________．经典例题1例题 【答案】 【分析】对求导，化简得到，令，转化为直线与有两个交点，求解即可. 【详解】由题意可得，，所以等价于， 即在时，有两个不同的解，所以，令， 问题转化为直线与有两个交点时，的取值范围，所以， 令，解得，解得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，因此在处，取得最大值，所以， 当时，，当时，，所以. （2026·广西南宁·模拟预测）已知函数在区间上存在极值点，则的取值范围是____________．经典例题2例题 【答案】 【详解】由求导得， 因函数在区间上存在极值点， 则需使方程在上存在变号零点； 若，则，则在上单调递减，不符合题意； 若，令，解得， 此时当时，单调递增； 当时，单调递减， 故是的极大值点，由题意知要使该极值点落在内，需满足， 故a的取值范围是. （25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为___________．小试牛刀1 【答案】 【分析】求出函数的导数，再利用导数求出有两个变号零点的的范围即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数有两个极值点，得函数有两个变号零点， 令函数，求导得，显然函数在R上单调递增， 当时，，函数，即单调递增，函数最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当时，；当时，， 当且仅当时，函数有两个变号零点， 由，解得，所以实数的取值范围为. （2026·甘肃·模拟预测）若函数的两个极值点都为正数，则实数的取值范围是__________．小试牛刀2 【答案】 【分析】首先求出函数的导数，根据题意得二次方程有两个不等正根，再根据不等式求解即可. 【详解】已知，进而. 令，设其两个根为，由题意. 二次方程有两个不等正根，则， 解得或，则实数的取值范围. 【题型6：由已知函数的最值求参数】 【练方法】 方法技巧 1求出区间内极值、端点函数值 2结合最值给定条件建立含参等式/不等式求解 （2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（     ）经典例题1例题 A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】法1：（1）当时，由，解得， 故函数定义域为. ①当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； ②当时，此时，， 故最大值不为，不合题意； ③当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； （2）当时，则，则函数定义域为. 且由最大值为可知，， 即对任意恒成立，且等号能取到. 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，当且仅当时，， 由对任意恒成立，可知， 又当时，恒有，取不到等号，所以有， 故选：B. 法2：， 由选项知，则定义域为， 故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为， 由， 则由，可得①， 且，即②， 联立①②解得. 验证：当时，， 则， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； ，且， 且当，；当，； 作出函数的大致图象， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 则，满足题意，故. 法3：由选项知，则定义域为， 由，解得. 同法2验证可得，故满足题意，由选项唯一可得.. 法4：由选项知，则定义域为， 由，解得. 验证：当时，由不等式可得， 故，当且仅当时等号成立， 故满足题意，由选项唯一可得. （25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）若函数的最小值为，则正实数的值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数的单调性，根据单调性得到函数的最小值的表达式，结合题意即可求解. 【详解】已知函数，则， 令，由于，正实数，所以得， 令，则，由于，正实数，所以恒成立， 所以是一个单调递增的函数，当时，；当时，； 因此方程有且仅有一个实数根，设为，即， 因为，当时，有，解得，矛盾，因此， 当时，，即，函数单调递减； 当时，，即，函数单调递增； 所以函数在处取得最小值， 由于函数的最小值为，即，则有， 同时极值点满足， 代入上式得，解得， 则有，解得，故A正确. （25-26高二下·重庆·期中）已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因为，函数在上存在最小值， 所以，得， 故a的可能取值为. （25-26高二下·河南新乡·阶段检测）已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得在上恒成立，且能取等号，即，令，再利用导数得到，解方程即可． 【详解】由题意得在上恒成立，且能取等， 即在上恒成立，且能取等， 令，则的最小值为0， 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，解得． （25-26高二下·福建龙岩·期中）若函数的最小值为，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性结合零点存在定理得出，再根据导数得出函数单调性得出，最后结合指对数运算得出参数值. 【详解】因为函数，所以，在上单调递增， 又因为，，所以，， 所以单调递减，单调递增， 所以，所以， 又因为在上单调递减，所以，所以， 则. 【题型7：三次函数的极值与最值分析】 【练方法】 方法技巧 1三次函数导数为二次函数判别式时存在两个极值点 2函数单调无极值 公式结论 设 1 2有两个极值点充要条件 （25-26高二下·河北衡水·期末）（多选）已知函数（），其中是在处的导数值，，则下列结论正确的有（   ）经典例题1例题 A．若，则是奇函数且在上单调递增 B．若函数在定义域上无极值点，则 C．若，则函数的图象的对称中心是 D．若，有三个不相等的实数根，则当取得最大值时，等于16 【答案】BCD 【分析】A. 代入得，虽在上单调递增，但不满足奇函数定义； B. 求导得导函数为二次式，无极值点等价于导函数无变号零点，即两根相等，可解得的值； C. 代入得的表达式，求二阶导可得拐点横坐标，验证对称性得对称中心； D. 三次方程三根时由韦达定理及根与系数关系，用表达并配方求最大值，代回得对应. 【详解】由题意，得，所以，所以 ． 对于A，若，则，所以在上单调递增，但它是非奇非偶函数，故A错误． 对于B，由得． 因为函数在定义域上无极值点，所以无变号零点． 令，得．当时，，此时无变号零点； 当时，有变号零点，不符合题意，舍去．所以，故B正确． 对于C，当时，． 因为，所以，所以． 令，则．令，得， 所以，所以函数的图象的对称中心是，故C正确． 对于D，由C项分析知，． 当和时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减． 因为， 所以要使得有三个解，则， 且是方程的根． 为了简化研究，由对称性，只研究的情况． 因为， 所以， 且， 故，即． 所以． 所以，当时，取得最大值， 此时， 所以，则，故D正确． （25-26高二下·河南·阶段检测）（多选）已知函数，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有（   ）经典例题2例题 A． B．的单调递减区间为 C．的极小值为1 D．在上的最大值为3 【答案】BCD 【分析】先求出导函数得出判断A，进而得出函数单调性及极值判断B，C，最后得出最值判断D. 【详解】函数，，令，则，，故A错误； 函数，则，所以函数的单调递减区间为，故B正确； 函数，则或，所以函数的单调递增区间为或， 所以函数的极小值为，故C正确； 由上分析，时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增， 所以函数的极大值为，又， 故在上的最大值为3，故D正确. （24-25高二下·福建厦门·阶段检测）（多选）已知函数 的导函数为，，是的两个极值点，则（      ）小试牛刀1 A． B． C．只有一个零点 D．直线与曲线 相切 【答案】ACD 【分析】求得，得出函数的单调区间，求得函数的极值点和极值，以及结合曲线在点处的切线方程，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数，可得，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，当时，函数取得极小值，极小值为， 当时，函数取得极大值，极大值为， 且两个极值点之和为，所以A正确； 由，所以B错误； 当时，，且函数连续不间断， 又函数的极大值和极小值都是负数， 结合函数的单调性可知函数仅在上有且仅有一个零点， 在和上无零点，所以C正确； 当时，可得， 所以曲线在点处的切线方程为，所以D正确. （25-26高二下·山东临沂·阶段检测）（多选）设函数，则（   ）小试牛刀2 A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】CD 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故是函数的极小值点，A错误； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，B错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，C正确； 对D，当时， ， 所以，D正确. （25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）（多选）已知函数，，则（   ）小试牛刀3 A．曲线过定点 B．有2个极值点 C．在区间上单调递减 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，当时，参数取任意实数时，都有，可得曲线过定点；对于选项B与选项C，通过求导，讨论导函数的零点分布即可判断；对于D，由函数的单调性即可判断. 【详解】对于A，由，可知曲线过定点，故A正确； 对于B，C,由求导得，因, 由，可得或；由，可得, 故在和上单调递增；在上单调递减， 所以有2个极值点，故B正确，C错误； 对于D，因为在上单调递增，所以由，得，故D正确. 【题型8：极值与最值综合题型】 【练方法】 方法技巧 1先求导划分单调区间求出全部极值 2结合区间端点、定义域约束比较得到最值 3综合参数、零点、不等式条件联立求解 公式结论 1极值判定：驻点两侧导数异号 2闭区间最值：极值、端点值对比取最值 （2026·海南三亚·一模）（多选）已知，，则下列结论正确的是（     ）经典例题1例题 A．若在处取得极值，则 B．当时，函数的最小值为2 C．当时，函数有2个零点 D．若对任意，有恒成立，则的取值范围是 【答案】AB 【分析】利用导数讨论函数的单调性和极值，即可得判断AB；对于C：分析可得，结合单调性可得，即可判断C；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为，则， 若，则，可知在定义域内单调递增，无极值； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，且的最小值为. 对于选项A：若在处取得极值，则且， 所以，故A正确； 对于选项B：当时，函数的最小值为，故B正确； 对于选项C：当时，则在内单调递减，在内单调递增， 可得， 因为在内单调递减，则， 可得，函数无零点，故C错误； 对于选项D：若对任意，有恒成立， 则，解得， 可知的取值范围不可能是，故D错误. （2026·江苏泰州·模拟预测）（多选）已知函数存在极小值点，则（    ）经典例题2例题 A． B．函数有唯一的极小值点 C． D．函数有且只有3条斜率为4的切线 【答案】BCD 【分析】对于AB选项，对求导，结合，分析单调性即可求解；对于C选项，根据，代入中讨论即可判断；对于D选项，对的导数进行求导分析，判断解的个数，即可判断. 【详解】对于选项AB，， 当时，， 而当时，设，则，当时，当时， 因此，当时，取得最小值，则， 所以，当时，，即， 则， 所以在上单调递增，在上无极值， 当时，，在上单调递增， 注意到，因为，所以，则， ， 所以存在唯一的似的， 当且仅当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以为唯一的极小值点， 由可知，A选项错误，B选项正确. 对于选项C，，因此， 所以，， 因为，所以， 因此，故，C 选项正确. 对于选项D，当时，令， 设，，所以 令，所以， 在上单调递减；在上单调递增，， 且时，，时，， 所以在和上各有一个零点、， 此时，的两根为、， 当时，令，在上单调递增， 而当，时，，当时，， 所以，存在唯一的使得， 所以函数有且只有 3 条斜率为 4 的切线，故D正确. （25-26高二下·山东菏泽·阶段检测）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀1 A．函数的最小值为 B．函数有2个极值点 C．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 D．函数有5个零点 【答案】ABD 【分析】对函数求导，再根据导数与函数的关系验证选项的答案，对于D选项验证与函数y的解有几个交点. 【详解】由题目可知， 令，因为，则，即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 可得当时，为极小值，，故A选项正确； 有两个零点，故有2个极值点，故B选项正确； 减区间为，故实数的取值范围是，故C选项错误； 对于D选项，令，则 ， ，解得或， 由A知 ，作出的图象和直线，由图可知有5个交点， 则函数有5个零点，故D选项正确.    （2026·重庆北碚·模拟预测）（多选）已知函数，其中．则下列说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．的图象为中心对称图形 B．时，函数在上单调递减 C．对任意的实数，，既没有最大值，也没有最小值 D．若有两个不同的极值点，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对A：计算可得，即的图象关于点中心对称；对B：求导后计算即可得；对C：分及进行讨论，计算值域即可得；对D：求导后结合极值点定义计算即可得. 【详解】对A：， 故的图象关于点中心对称，故A正确； 对B：， 当时，， 故函数在上单调递增，故B错误； 对C：由， 则当时，，无最大、最小值； 当时，，则，无最大、最小值； 综上可得，对任意的实数，，既没有最大值，也没有最小值，故C正确； 对D：，令，则， 若有两个不同的极值点，则有两个不同根， 当时，，，无实数根，不符； 当时，若，则，不符，则， 令，， 有，则为偶函数， 当时，，则由对勾函数性质可知单调递增， 又单调递增，故单调递减，且， 故，则； 故有两个不同的极值点的充要条件为，故D正确. （25-26高二下·辽宁鞍山·期中）（多选）已知函数，对，使得 成立．下列结论正确的是（   ）小试牛刀3 A．，使得 B．函数的最小值为0 C．的取值范围为 D．过作的切线，有且只有一条 【答案】ABD 【分析】A：通过求导利用函数的单调性来判断； B：通过求导从而找出函数的最值； C：通过将不等式转化为小于一个定值，在根据函数的性质进行求解； D：通过求导得到切线方程，构建辅助函数，通过求辅助函数的零点来解答. 【详解】选项A：，求导可得， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 当时，，所以，使得，即A正确； 选项B：由A可知，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，即B正确； 选项C：由B可知，，由题意可知，，，使得， 等价于的最小值大于或等于的最小值， 对于函数，当时，， 因此无论取什么值，都，使得，所以的取值范围为，即C错误； 选项D：设切点坐标为，切线斜率为， 切线方程为， 因为切线经过，所以代入可得， 化简可得， 设函数， 求导可得， 因为当时，恒成立， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为当时，取到极小值， 所以只有一个零点，即只有时，成立， 因此过点作的切线，有且只有一条，D正确. 【题型9：构造函数证明不等式的恒成立问题】 【练方法】 方法技巧 1移项构造辅助函数 2求导分析单调性、最值 3证明或 （2026·海南三亚·一模）已知函数（），．经典例题1例题 (1)讨论函数的单调性； (2)若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； (3)当时，证明：对任意的，恒成立． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减； (2)； (3)证明：当时，， 要证明对任意的，恒成立， 即证明，即， 令，则， 令，得， 所以当时，单调递减；当时，单调递增； 所以， 所以，即， 令， 则有， 又因为， 所以， 所以对任意的，恒成立． 【分析】（1）求导后分和两种情况讨论求解即可； （2）首先求得切线的方程为，设直线与函数相切于点，由题意可得且，求解即可； （3）要证明原不等式在上恒成立，即证明恒成立，先证明，从而可得，再令，借助于放缩法即可得证明. 【详解】（1）因为， 所以， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增；在上单调递减； （2）因为， 所以，， 所以， 所以切线的方程为， 设直线：与函数相切于点， 因为， 所以且， 解得， 所以； （25-26高二下·天津武清·期中）已知函数.经典例题2例题 (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)时，在上是增函数；时，在上是减函数，在上是增函数． (2)； (3)证明见解析． 【分析】（1）求出导函数，按和分类讨论确定的正负得单调性； （2）用分离参数法化不等式为，引入函数，求出导函数，通过分子确定存在唯一零点，其中，然后求出的最小值即可得结论，对作一些变化：，利用同构法得，，代入后可得； （3）不等式化为，引入 函数，由导数求出的最小值，（确定，然后利用可证明得证． 【详解】（1）， 当时，，在上是增函数； 当时，时，，时，， 所以在上是减函数，在上是增函数． 综上，时，在上是增函数； 时，在上是减函数，在上是增函数． （2）不等式即为，， 设，则， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， ，因为， 所以，所以， 又， 所以存在唯一的，使得，即， ，， 在时，是单调增函数，所以，即，从而， 时，，即，单调递减， 时，，即，单调递增， 所以， 代入，，得， 所以； （3）要证不等式成立， 即证， 也即证不等式， 设，则， 易知是增函数， 又，， 因为，所以，所以， 所以存在唯一的，使得，时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，得， ， 因为，所以，，， 所以， 而，所以， 所以， 所以成立． （25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）已知函数.小试牛刀1 (1)证明：当时，恒成立； (2)证明：当时，恒成立； 【答案】(1)设，因为， 所以在上单调递减，所以当时，， 即当时，恒成立； (2)设，则， 因为时，，时，， 故在上单调递减，上单调递增，于是， 所以 等号当且仅当时成立，于是可得 ，等号当且仅当成立； 结合两不等式可得，且等号不同时成立； 所以当时，恒成立； （25-26高二下·河北唐山·期中）已知函数．小试牛刀2 (1)若函数 是增函数，求实数a的取值范围； (2)求的单调区间； (3)当时，证明：当时，恒成立． 【答案】(1) (2)当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为 (3)证明见解析 【分析】（1）增函数满足导数在定义域内恒大于等于，将问题转化为参数恒大于等于对应函数的最大值，借助基本不等式求解最值即可. （2）先求函数导数，对参数的取值范围分类讨论，根据导函数的正负判断函数的单调性，进而得到对应单调区间. （3）先根据的条件对不等式进行放缩消去参数，构造新的函数，通过多次求导判断新函数在时的单调性，结合端点值即可证明不等式成立. 【详解】（1）函数的定义域为， 由题可知恒成立，故， 当时，，当且仅当时等号成立，故． （2）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为 （3），且时，， 令，下证即可. ，再令，则，显然在上递增，则， 即在上递增，故，即在上单调递增， 故，问题得证. （2026·山东日照·模拟预测）已知函数，．小试牛刀3 (1)若曲线与直线相切，求的值． (2)若不等式（）恒成立． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求证：恒成立． 【答案】(1)e (2)（ⅰ）1 ； （ⅱ）法一：由（ⅰ）知，． 所以恒成立，当且仅当时，等号成立． 所以 ，即 ，当且仅当时，等号成立． 要证恒成立，需证恒成立， 即证恒成立，令 ， 下证：易知， 令，则 ． 由，得，则在上单调递增； 由，得，则在上单调递减． 因为，，， 所以存在唯一，使得， 当时，；当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以在时恒成立，当且仅当时，等号成立． 所以 ，当且仅当时，等号成立． 又与 的取等条件不相同， 所以，即恒成立， 法二：要证恒成立， 只需证 恒成立，即证， 先证明当时，， （同法一）设，则， 令，则 ， 由，得；由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为 ， ，， 所以可作出的大致图象如图1所示， 根据图象分析，可得存在，使得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由，，得的大致图象如图2所示， 根据函数图象，可得， 由此可证（），当且仅当时，等号成立， 再证明，即， 设，则， 由，得；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则，当且仅当时，等号成立， 因为与 的取等条件不相同， 所以，即，即恒成立. 【分析】（1）由导数的几何意义，结合切线方程求参数值即可； （2）（i）问题化为恒成立，构造，应用分类讨论及导数研究恒成立求参数值；（ii）法一：问题化为证明恒成立，应用导数研究不等式恒成立，即可证；法二：问题化为证明，再应用导数证明 ，即可证. 【详解】（1）设函数，且曲线与直线的切点为， 则，解得，而 ， 则此曲线斜率为0的切线方程为，可得； （2）（ⅰ）若恒成立，则恒成立， 设 ，则恒成立，易得． ①当时，，函数在上单调递减． 又时，，所以 不恒成立． ②当时，，当时，；当时，， 所以不恒成立， ③当时，由，得；由，得． 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 若 恒成立，则， 设 ，则， 由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以，即，所以只有满足题意． 综上所述，． 【题型10：参变分离证明不等式恒成立问题】 【练方法】 方法技巧 1将参数与自变量拆分到不等式两侧 2单独构造不含参函数求其最值得到参数边界 公式结论 1恒成立 2恒成立 （25-26高二下·河南濮阳·期末）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________．经典例题1例题 【答案】 【分析】先化简不等式，将不等式恒成立问题转化为两函数图象的位置关系，再利用导数研究函数的图象，求出直线与曲线相切时的值，最后作出两函数图象，数形结合即可得解． 【详解】因为不等式恒成立， 所以不等式恒成立． 设，， 则由题意知函数的图象恒不在直线的下方， 又， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 当时，，且， 又直线恒过点， 当直线与曲线相切时，设切点为， 则，解得或， 故当直线与曲线相切时的值为或． 在同一平面直角坐标系中作出直线与函数的图象如图所示， 结合上图可知，当函数的图象恒不在直线的下方时，实数的取值范围为． （2026·宁夏吴忠·三模）已知函数.经典例题2例题 (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)若恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用在处斜率为0即可求解； （2）将问题转化成进行求解. 【详解】（1）当时，，， 设点的坐标，由题意得：，解得：， 所以，因此点的坐标为. （2）， 令，则， 因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 即：a的取值范围是. （25-26高二下·河北张家口·阶段检测）已知函数．小试牛刀1 (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，参变分离，再求函数的最值即得； （2）参变分离，构造新函数，进而求导分析单调性求函数的极值结合条件即得. 【详解】（1）由题可知在上恒成立，所以． 因为，所以， 则，所以的取值范围为． （2）由有解，可得有解． 令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，故的取值范围为． （25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知函数小试牛刀2 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. (2) 【分析】（1）求得，分类讨论和时导数的符号，进而判断函数单调性； （2）由参变分离法可得，设，通过导数求最大值，从而可得的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2）因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 故. （2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中．小试牛刀3 (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）转化为，令，求导得到单调性和最小值，即可得出结果. 【详解】（1）当时，，则 所以，又， 则所求切线方程为． （2），其中， 所以问题转化为（）恒成立， 记，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为，所以． 【题型11：指对同构不等式恒成立问题】 【练方法】 方法技巧 1变形统一结构构造同型辅助函数 2利用辅助函数单调性脱去外层函数符号转化不等式 公式结论 1常见同构模型 2若单调递增 （25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数 恒成立，则实数 的取值范围为_______________．经典例题1例题 【答案】 【分析】令，利用导数求出的取值范围，原不等式恒成立可化为恒成立，分类讨论后分离参数，构造函数，利用导数求其最值即可得解. 【详解】因为 ， 所以恒成立， 设 ，则 为增函数， 由 可得， 所以时， ，时， ， 函数 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，且时， ， 所以，令 ，则， 即恒成立， 当时， ，对任意 成立， 当 时，令， 则，当时， ，函数在上单调递减，， 当时，由原不等式可得恒成立，所以； 当时，令 ，解得 ， 所以时，，时，，所以在单调递减，在上单调递增，故， 当 时，由原不等式可得恒成立，所以， 综上，不等式恒成立需满足，即. （25-26高二下·山东青岛·期末）若对任意，恒成立，则的取值范围是______.经典例题2例题 【答案】 【分析】将不等式变形为，构造函数，得到在上单调递增，从而将问题转化为恒成立，令，，利用导数求出的最大值即可求解. 【详解】因为 所以等价于， 两边同加得 则原不等式等价于 记，则等价于， 因为恒成立，在上单调递增， 所以等价于， 记，，则恒成立等价于， 又， 所以当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 所以， 因为，所以，解得， 所以的取值范围为. （25-26高二下·湖北·阶段检测）时对恒有，则实数的取值范围为________．小试牛刀1 【答案】 【详解】若，不等式恒成立， 若时，两边同乘以，可得， 两边同构，令，则， 由，所以在单调递增，所以， 所以，所以 令，求导得， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以＝1，所以，解得， 所以实数的取值范围为. （25-26高二下·山东济南·期中）已知对于，都有，则的取值范围__________．小试牛刀2 【答案】 【分析】原不等式等价于，然后通过研究，，，单调性可得答案. 【详解】因为，此时，即， 令，设，函数定义域为， 可得，因为函数在上单调递增，又， 所以，即，整理得， 设，函数定义域为，， 当时，，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以当时，取极小值也是最小值，最小值，即. （25-26高二下·重庆·期中）若对任意的，恒有，则实数的取值范围为_____.小试牛刀3 【答案】 【分析】由已知不等式变形得出，令，其中，利用导数分析该函数的单调性，可得出，即可得出，参变分离可得，构造函数，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】对任意的，恒有，则， 即， 令，其中，则， 所以函数在上单调递增，且， 由可得，则， 参变分离可得，构造函数，其中， ， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故，即实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【期末复习讲义03：导数研究函数的极值与最值】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．函数的极值点与极值 在包含的一个邻域区间上，函数在任何不为的一点处的函数值都小于点处的函数值，称点为函数的_极大值点_______，其函数值为函数的__极大值______. 在包含的一个邻域区间上，函数在任何不为的一点处的函数值都大于点处的函数值，称点为函数的_极小值点_______，其函数值为函数的_极小值_______. 函数的极大值点､极小值点统称为_极值点_________，极大值和极小值统称为__极值________. 2．求可导函数的极值的步骤 （1）求导函数． （2）求方程的根． （3）列表，检验在方程的根左右两侧的函数值的符号，如果__左正右负______，那么函数在这个根处取得极大值；如果_左负右正_______，那么函数在这个根处取得极小值；如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点． （4）得极值，由表得极大值与极小值． 3．函数的最大（小）值 （1）函数在区间上有最值的条件：如果在区间上,函数的图象是一条__连续不断________的曲线，那么它必有最大值和最小值． （2）求在区间上的最大（小）值的步骤： ①求函数在区间上的__值____； ②将函数的各个极值与_____端点处的函数值，________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 4．如图所示，设函数在区间内有定义，是区间内的一个点，若点附近的函数值都_大于或等于_____（即______），就说是函数的一个极小值，此时称为的一个极小值点． 5．如图所示，设函数在区间内有定义，是区间内的一个点，若点附近的函数值都_ 小于或等于_____（即______），就说是函数的一个极大值，此时称为的一个极大值点． 6．三次函数的导数的零点与其单调区间和极值 设，，填写下表． 当时， 的零点、 的性质 无 和 的符号 ______0 ______时，；______时， 的单调性 在上__单调递增____ 在上_单调递增_____ 在，上_单调递增_____，在上_单调递减_____ 的极值 __无____ _无____ 在______处取极大值，在______处取极小值 当时， 的零点、 的性质 无 和 的符号 ______0 ______时，；______时， 的单调性 在上单调递减______ 在上__单调递减____ 在，上_单调递减_____，在上_单调递增_____ 的极值 无 无 在______处取极小值，在______处取极大值 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求不含参数的函数的极值与最值】 【练方法】 方法技巧 1确定函数定义域求导 2解方程得到驻点 3分段判断符号区分极大/极小值点 4闭区间最值：极值与区间端点函数值比较取最大最小 公式结论 1极值判定第一充分条件 左侧右侧为极大值点 左侧右侧为极小值点 2闭区间最值 （2026·云南·三模）已知函数在处的切线的斜率为1.经典例题1例题 (1)求的值； (2)当时，求的极值. （25-26高二下·上海黄浦·期末）已知函数经典例题2例题 (1)求函数在处的切线； (2)求函数的单调区间和极值（结果保留e）． （25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）函数在上的最小值为（     ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·河南郑州·阶段检测）已知函数.小试牛刀2 (1)求； (2)求函数的单调区间； (3)求在区间上的最大值与最小值. （25-26高二下·广东广州·期中）已知函数．小试牛刀3 (1)求的极值； (2)求在区间的最值． 【题型2：含参数的函数的极值分析】 【练方法】 方法技巧 1求导因式分解对参数分类讨论驻点个数、驻点与定义域边界位置 2分区间讨论导函数正负判定极值类型 公式结论 1是为极值点必要不充分条件 2二阶导判定： 极大值 极小值 （25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数．经典例题1例题 (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数并求出相应的极大和极小值点． （2025高三·全国·专题练习）已知，．经典例题2例题 (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数. （25-26高三上·山东·阶段检测）已知函数．小试牛刀1 (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数． （2025高三·全国·专题练习）设函数，其中为常数．若函数的有极值点，求：小试牛刀2 (1)实数的取值范围； (2)的极值点． （25-26高三上·河北·期中）已知函数.小试牛刀3 (1)讨论函数的极值点个数； 【题型3：已知函数的极值/极值点求参数的值】 【练方法】 方法技巧 1极值点满足代入建立参数方程 2回代检验驻点两侧导数符号排除非极值驻点 公式结论 1若为极值点则 2检验：驻点左右符号必须发生改变 （24-25高三上·福建厦门·期中）在等比数列中是函数的极值点，则______.经典例题1例题 （25-26高二下·四川南充·期末）若函数在处有极小值，则常数的值为________．经典例题2例题 （25-26高二下·上海闵行·期末）已知，函数在处取得极大值，则的取值范围是________．小试牛刀1 （25-26高二下·山东青岛·期末）已知函数在处有极大值，则的极小值为（    ）小试牛刀2 A．4 B．2 C．1 D．0 （25-26高二下·重庆·期中）函数在处取得极小值，则的值为（    ）小试牛刀3 A．1 B． C．3 D． 【题型4：由函数的极值/极值点限制求参数范围】 【练方法】 方法技巧 1驻点落在指定区间内结合根分布列不等式 2保证驻点两侧导函数符号发生变化 公式结论 1极值点方程在内有变号实根 （25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数有极小值，且极小值小于0，则实数的取值范围为_________．经典例题1例题 （25-26高二下·四川眉山·期中）（）的两个极值点，满足，则的取值范围为___经典例题2例题 （2026·河南开封·模拟预测）已知函数的定义域为，的极小值大于，则的取值范围为________．小试牛刀1 （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若函数有两个极值点，且，，则实数a的取值范围为______.小试牛刀2 （2026·安徽合肥·三模）已知分别是函数的极小值点和极大值点，若，则的取值范围是______．小试牛刀3 【题型5：由函数的极值极值点个数求参数范围】 【练方法】 方法技巧 1转化为导函数方程有变号实根个数问题 2二次导函数用判别式、根分布；超越函数结合单调性判断零点数量 公式结论 1导函数的变号实根个数=函数极值点个数 2一元二次有两不同实根 （25-26高二下·江苏无锡·期末）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是________．经典例题1例题 （2026·广西南宁·模拟预测）已知函数在区间上存在极值点，则的取值范围是____________．经典例题2例题 （25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为___________．小试牛刀1 （2026·甘肃·模拟预测）若函数的两个极值点都为正数，则实数的取值范围是__________．小试牛刀2 【题型6：由已知函数的最值求参数】 【练方法】 方法技巧 1求出区间内极值、端点函数值 2结合最值给定条件建立含参等式/不等式求解 （2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（     ）经典例题1例题 A． B．1 C． D．2 （25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）若函数的最小值为，则正实数的值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二下·重庆·期中）已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·河南新乡·阶段检测）已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二下·福建龙岩·期中）若函数的最小值为，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：三次函数的极值与最值分析】 【练方法】 方法技巧 1三次函数导数为二次函数判别式时存在两个极值点 2函数单调无极值 公式结论 设 1 2有两个极值点充要条件 （25-26高二下·河北衡水·期末）（多选）已知函数（），其中是在处的导数值，，则下列结论正确的有（   ）经典例题1例题 A．若，则是奇函数且在上单调递增 B．若函数在定义域上无极值点，则 C．若，则函数的图象的对称中心是 D．若，有三个不相等的实数根，则当取得最大值时，等于16 （25-26高二下·河南·阶段检测）（多选）已知函数，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有（   ）经典例题2例题 A． B．的单调递减区间为 C．的极小值为1 D．在上的最大值为3 （24-25高二下·福建厦门·阶段检测）（多选）已知函数 的导函数为，，是的两个极值点，则（      ）小试牛刀1 A． B． C．只有一个零点 D．直线与曲线 相切 （25-26高二下·山东临沂·阶段检测）（多选）设函数，则（   ）小试牛刀2 A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， （25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）（多选）已知函数，，则（   ）小试牛刀3 A．曲线过定点 B．有2个极值点 C．在区间上单调递减 D． 【题型8：极值与最值综合题型】 【练方法】 方法技巧 1先求导划分单调区间求出全部极值 2结合区间端点、定义域约束比较得到最值 3综合参数、零点、不等式条件联立求解 公式结论 1极值判定：驻点两侧导数异号 2闭区间最值：极值、端点值对比取最值 （2026·海南三亚·一模）（多选）已知，，则下列结论正确的是（     ）经典例题1例题 A．若在处取得极值，则 B．当时，函数的最小值为2 C．当时，函数有2个零点 D．若对任意，有恒成立，则的取值范围是 （2026·江苏泰州·模拟预测）（多选）已知函数存在极小值点，则（    ）经典例题2例题 A． B．函数有唯一的极小值点 C． D．函数有且只有3条斜率为4的切线 （25-26高二下·山东菏泽·阶段检测）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀1 A．函数的最小值为 B．函数有2个极值点 C．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 D．函数有5个零点 （2026·重庆北碚·模拟预测）（多选）已知函数，其中．则下列说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．的图象为中心对称图形 B．时，函数在上单调递减 C．对任意的实数，，既没有最大值，也没有最小值 D．若有两个不同的极值点，则的取值范围为 （25-26高二下·辽宁鞍山·期中）（多选）已知函数，对，使得 成立．下列结论正确的是（   ）小试牛刀3 A．，使得 B．函数的最小值为0 C．的取值范围为 D．过作的切线，有且只有一条 【题型9：构造函数证明不等式的恒成立问题】 【练方法】 方法技巧 1移项构造辅助函数 2求导分析单调性、最值 3证明或 （2026·海南三亚·一模）已知函数（），．经典例题1例题 (1)讨论函数的单调性； (2)若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； (3)当时，证明：对任意的，恒成立． （25-26高二下·天津武清·期中）已知函数.经典例题2例题 (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：. （25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）已知函数.小试牛刀1 (1)证明：当时，恒成立； (2)证明：当时，恒成立； （25-26高二下·河北唐山·期中）已知函数．小试牛刀2 (1)若函数 是增函数，求实数a的取值范围； (2)求的单调区间； (3)当时，证明：当时，恒成立． （2026·山东日照·模拟预测）已知函数，．小试牛刀3 (1)若曲线与直线相切，求的值． (2)若不等式（）恒成立． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求证：恒成立． 【题型10：参变分离证明不等式恒成立问题】 【练方法】 方法技巧 1将参数与自变量拆分到不等式两侧 2单独构造不含参函数求其最值得到参数边界 公式结论 1恒成立 2恒成立 （25-26高二下·河南濮阳·期末）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________．经典例题1例题 （2026·宁夏吴忠·三模）已知函数.经典例题2例题 (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)若恒成立，求a的取值范围. （25-26高二下·河北张家口·阶段检测）已知函数．小试牛刀1 (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围． （25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知函数小试牛刀2 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. （2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中．小试牛刀3 (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【题型11：指对同构不等式恒成立问题】 【练方法】 方法技巧 1变形统一结构构造同型辅助函数 2利用辅助函数单调性脱去外层函数符号转化不等式 公式结论 1常见同构模型 2若单调递增 （25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数 恒成立，则实数 的取值范围为_______________．经典例题1例题 （25-26高二下·山东青岛·期末）若对任意，恒成立，则的取值范围是______.经典例题2例题 （25-26高二下·湖北·阶段检测）时对恒有，则实数的取值范围为________．小试牛刀1 （25-26高二下·山东济南·期中）已知对于，都有，则的取值范围__________．小试牛刀2 （25-26高二下·重庆·期中）若对任意的，恒有，则实数的取值范围为_____.小试牛刀3 1 学科网（北京）股份有限公司 $