精品解析：2022年5月湖北省黄冈市温德克英中考研究院制中考全真模拟试题

2022年5月湖北省黄冈温德克英中考研究院制中考全真模拟试题 一、单选题(共8题；共24分) 1. 在四个数中，最小的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 2021年12月9日，“天宫课堂”第一课正式开讲，时隔8年之后，中国航天员再次进行太空授课，此时空间站距离地球约370000米，数据370000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的正确结果是（ ） A. B. C. D. 5. 若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小华在屋顶D点时，测得对面图书馆顶部B的仰角为，图书馆底部A的俯角为，若这两幢楼的距离米，则图书馆楼高等于（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 某校操场上学生体育运动情况的统计图如图所示．若该校操场上跳绳的学生有45人，则踢足球的学生有（ ） A. 90人 B. 75人 C. 60人 D. 30人 8. 如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，连结并延长交于点P．若，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题(共8题；共17分) 9. 若，则___________． 10. 小明上学期平时测验，期中考试和期末考试的数学成绩分别是95分、90分、94分．如果这3项成绩分别按30%、30%、40%的比例计算，那么小明上学期的数学平均分是_____． 11. 如图，已知⊙O上有三点A、B、C，半径OC＝2，∠ABC＝30°，切线AP交OC延长线于点P，则△OAP的周长为______________ 12. 如图，在菱形中，，过A，B，C三点的圆交的延长线于点E，连结，则_______度． 13. 如图，位于平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A及的中点D在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，则k的值为_______． 14. 如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以12千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞至村庄C的正上方A处时，测得∠NAD＝60°，该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD＝75°，则村庄C、D间的距离为________千米．（≈1.732，结果保留一位小数） 15. 如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定的规律摆成下列图形：第1幅图中“ ”的个数为，第2幅图中“ ”的个数为，第3幅图中“”的个数为，…，以此类推． （1）按照图中规律，____________； （2）____________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，抛物线y＝ax2－6ax+5a（a是常数，且a＞0）过点C，与x轴交于点A、B，点A在点B的左边．连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D与点O在直线AC两侧，连接BD，则BD的最小值是_________． 三、计算题(共1题；共10分) 17. （1）（x+2y）2﹣y（x+4y）； （2）（﹣1）÷． 四、综合题(共8题；共69分) 18. 小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的四张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将四张邮票背面朝上，洗匀放好 （1）小亮从中随机抽取一张邮票是“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率是 （2）小亮从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，求抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率．（这四张邮票从左到右依次分别用字母A、B、C、D表示） 19. 随着信息技术的迅猛发展，人们购物的支付方式更加多样、便捷，为调查大学生购物支付方式，某大学一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了　 　人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为　 　 （2）将条形统计图补充完整； （3）若该大学有10000名学生，请你估计购物选择用支付宝支付方式的学生约有多少人？ 20. 冰墩墩（如图）是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．某商店第一次用1200元购进冰墩墩手办若干个，第二次又用相同价格购进冰墩墩饰扣若干个，已知每个冰墩墩饰扣的进价是冰墩墩手办进价的，购进冰墩墩手办数量比饰扣少了10个． （1）冰墩墩饰扣的进价是多少元？ （2）若冰墩墩饰扣的售价要比冰墩墩手办的售价少30元，且销售完毕后获利不低于1100元，问每个冰墩墩手办的售价至少是多少元？ 21. 如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B． （1）求m的值； （2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标． 22. 如图1，在中，，AB是的直径，交AC于点D，过点D的直线交BC于点E，交AB的延长线于点P，PD是的切线． （1）求证：； （2）若，，求图中阴影部分的周长和面积； （3）如图2，，连接DM，交AB于点N，若，求的值． 23. 某体育器材专卖店销售A，B两款篮球，已知A款篮球的销售单价比B款篮球多10元，且用4000元购买A款篮球的数量与用3600元购买B款篮球的数量相同． （1）A，B两款篮球的销售单价各是多少元？ （2）由于需求量大，A，B两款篮球很快售完，该专卖店计划再次购进这两款篮球共100个，且A款篮球的数量不少于B款篮球数量的2倍． ①求A款篮球至少有几个； ②老板计划让利顾客，A款篮球8折出售，B款篮球的销售单价不变，且两款篮球的进价每个均为60元，应如何进货才能使这批篮球的销售利润最大，最大利润是多少元？ 24. 定义：四边形 中，，，则称四边形 为半角四边形，边 称为半对边． （1）如图①，若四边形 为半角四边形，且 为半对边，设，用含有α的代数式表示； （2）如图②，等腰 ，，点D为其内部一点，，连接，作的外接圆 ， 的延长线交 于点E，连接，求证：四边形为半角四边形； （3）如图③，在（2）的条件下，延长 交 于点F，连接． ①求证：； ②若，求四边形的面积． 25. 如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）． （1）求抛物线的函数表达式： （2）设抛物线的顶点为D，与y轴相交于点C，连接AC、CD、BC、BD，请你判断∠ACO与∠DBC的数量关系，并说明理由； （3）如图2，连接AD，与BC相交于点E，点G是抛物线上一动点，在对称轴上是否存在点F，使得∠EFG=90°，且tan∠FEG=如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年5月湖北省黄冈温德克英中考研究院制中考全真模拟试题 一、单选题(共8题；共24分) 1. 在四个数中，最小的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数都小于0，负数都小于正数，比较即可． 【详解】解：∵-3＜-1＜0＜， ∴最小的数是-3． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的大小比较法则的应用，实数的大小比较法则是：负数都小于0，负数都小于正数，两个负数，其绝对值大的反而小． 2. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组成，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先从正面看几何体得到的平面图形是几个正方形的组合图形；然后再分别得到的图形的列数和每列小正方形的个数，由此可得出答案. 【详解】解：根据主视图可知有上下两行，上面一行有1个正方形且在最后边，下面一行有3个正方形， 故选B. 【点睛】本题主要考查的是简单组合体的三视图，熟练掌握几何体三视图的画法是解题的关键. 3. 2021年12月9日，“天宫课堂”第一课正式开讲，时隔8年之后，中国航天员再次进行太空授课，此时空间站距离地球约370000米，数据370000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解： 故选：D 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，解题的关键是正确确定a的值以及n的值． 4. 计算的正确结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方运算法则来进行计算，再与选项进行比较求解． 【详解】解：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了积的乘方．积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．理解相关知识是解答关键． 5. 若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接运用初中扇形面积公式代入数值计算即可． 【详解】解：∵ 扇形面积公式为 ，其中圆心角 ，半径 ， ∴ 代入得 ． 6. 如图，小华在屋顶D点时，测得对面图书馆顶部B的仰角为，图书馆底部A的俯角为，若这两幢楼的距离米，则图书馆楼高等于（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】，可得四边形是矩形，进而可得，进而由正切的定义可得，进而求得． 【详解】如图，， 四边形是矩形， ， ， ． 故选B 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中边与角的关系是解题的关键． 7. 某校操场上学生体育运动情况的统计图如图所示．若该校操场上跳绳的学生有45人，则踢足球的学生有（ ） A. 90人 B. 75人 C. 60人 D. 30人 【答案】C 【解析】 【分析】根据跳绳的学生有45人求得总人数，进而根据踢足球所占比例为，即可求得踢足球的学生人数． 【详解】解：跳绳的学生有45人，占，总人数为（人） 则踢足球的学生人数为（人） 故选C 【点睛】本题考查了扇形统计图中某项数据，根据统计图获取信息是解题的关键． 8. 如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，连结并延长交于点P．若，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可先求得正方形的边长，过P作与M，根据角度关系得，利用相似三角形的性质可得GM的长度，CM的长度，在中，利用勾股定理可得线段PC的长度，即可得DP的长度． 【详解】依题意，可得AF=4，即ED=4， 在中，可得， 则正方形ABCD的边长为5， 过P作与M， 为等腰直角三角形，， 为等腰直角三角形，， 设，，， 又， ， ， ，即， 故， 故， 在中，， ， 故答案选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，相关性质定理的熟练应用是解题的关键． 二、填空题(共8题；共17分) 9. 若，则___________． 【答案】110 【解析】 【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出，的值，进而求出即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， ． 故答案为：110． 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质以及偶次方的性质以及有理数的乘方等知识，解题的关键是求出，的值． 10. 小明上学期平时测验，期中考试和期末考试的数学成绩分别是95分、90分、94分．如果这3项成绩分别按30%、30%、40%的比例计算，那么小明上学期的数学平均分是_____． 【答案】93.1分 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：小明上学期的数学平均分是95×30%+90×30%+94×40%=93.1， 故答案为：93.1分． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 11. 如图，已知⊙O上有三点A、B、C，半径OC＝2，∠ABC＝30°，切线AP交OC延长线于点P，则△OAP的周长为______________ 【答案】## 【解析】 【分析】连接OA，根据圆周角定理求出的度数，再利用切线的性质得到，进而得到，然后利用含的直角三角形的性质求出OP的长度，用勾股定理求出AP的长度，即可得到的周长． 【详解】解：连接OA，如下图． ． 为的切线， ， ， ． ， ， ， 的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理．掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解答关键． 12. 如图，在菱形中，，过A，B，C三点的圆交的延长线于点E，连结，则_______度． 【答案】75 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质可得根据可得，再根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ， ， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，同弧所对的圆周角相等，掌握以上性质定理是解题的关键． 13. 如图，位于平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A及的中点D在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，则k的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据平行四边形的性质以及在上，可得，设，则，可得的坐标，进而根据为中点，根据中点坐标公式求得的坐标，根据在上，列出方程，即可求得的值． 【详解】如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 四边形是平行四边形 ， 即 轴，在上， ，即 设，则 是的中点 ，在上， 即 得 故答案为：2 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形结合，的几何意义，平行四边形的性质，设参数法求解是解题的关键． 14. 如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以12千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞至村庄C的正上方A处时，测得∠NAD＝60°，该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD＝75°，则村庄C、D间的距离为________千米．（≈1.732，结果保留一位小数） 【答案】5.5． 【解析】 【分析】过作于，三角形的内角和得到，根据直角三角形的性质得到米．米，求得米，即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， ，， ， （千米）， （千米）．（千米）， （千米）， （千米）， ，， （千米）． 故答案为：5.5． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出米是解答此题的关键． 15. 如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定的规律摆成下列图形：第1幅图中“ ”的个数为，第2幅图中“ ”的个数为，第3幅图中“”的个数为，…，以此类推． （1）按照图中规律，____________； （2）____________． 【答案】 ①. 30； ②. 【解析】 【分析】（1）先根据已知图形得出an＝n（n＋1），进而即可得到的值； （2）利用裂项化简，可得答案． 【详解】（1）解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，…， ∴an＝n（n＋1）， ∴a5=5×6=30， 故答案是：30； （2） = = = =， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出an＝n（n＋1）及． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，抛物线y＝ax2－6ax+5a（a是常数，且a＞0）过点C，与x轴交于点A、B，点A在点B的左边．连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D与点O在直线AC两侧，连接BD，则BD的最小值是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】由抛物线的性质先求三点坐标，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作x轴的垂线于点H，过点E作EF∥x轴交y轴于点F交DH于点G，利用等边三角形与相似三角形的性质求解的坐标，利用两点间距离公式建立与之间的函数关系式，利用函数性质求的最小值． 【详解】解： 令，则或 如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作x轴的垂线于点H，过点E作EF∥x轴交y轴于点F交DH于点G， ∵△ACD为等边三角形，则点E为AC的中点， 则点，AE=CE=ED， ∵∠CEF+∠FCE=90°，∠CEF+∠DEG=90°， ∴∠DEG=∠ECF， ∴△CFE∽△EGD， ∴ 为中点，轴， 解得：GE=，DG= 故点， 故当时，的最小值 的最小值为（负根舍去） 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数的性质，等边三角形的性质与相似三角形的性质与判定，三角形的中位线定理，掌握以上知识点是解题关键． 三、计算题(共1题；共10分) 17. （1）（x+2y）2﹣y（x+4y）； （2）（﹣1）÷． 【答案】（1）x2+3xy；（2）﹣ 【解析】 【分析】（1）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项即可； （2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可． 【详解】解：（1）（x+2y）2﹣y（x+4y） ＝x2+4xy+4y2﹣xy﹣4y2 ＝x2+3xy； （2）（﹣1）÷ ＝• ＝﹣• ＝﹣． 【点睛】本题考查了分式的混合运算和整式的混合运算，能正确根据运算法则进行化简是解此题的关键． 四、综合题(共8题；共69分) 18. 小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的四张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将四张邮票背面朝上，洗匀放好 （1）小亮从中随机抽取一张邮票是“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率是 （2）小亮从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，求抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率．（这四张邮票从左到右依次分别用字母A、B、C、D表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）列树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵有四张邮票，冰墩墩的邮票有一张， ∴小亮从中随机抽取一张邮票是“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列树状图如下所示： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的结果数有2种， ∴抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率． 【点睛】本题主要考查了概率公式和树状图或列表法求解概率，熟知相关知识是解题的关键． 19. 随着信息技术的迅猛发展，人们购物的支付方式更加多样、便捷，为调查大学生购物支付方式，某大学一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了　 　人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为　 　 （2）将条形统计图补充完整； （3）若该大学有10000名学生，请你估计购物选择用支付宝支付方式的学生约有多少人？ 【答案】（1）200，81°；（2）补充完整的条形统计图如图所示；见解析；（3）购物选择用支付宝支付方式的学生约有2250人． 【解析】 【分析】（1）根据支付宝、现金、其他的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，并求出示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数； （2）根据（1）中的结果可以求得使用微信和银行卡的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）根据统计图中的数据可以求得购物选择用支付宝支付方式的学生约有多少人． 【详解】（1）本次调查的人数为：（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）＝200， 表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为：360°×＝81°， 故答案为200，81°； （2）使用微信的人数为：200×30%＝60，使用银行卡的人数为：200×15%＝30， 补充完整的条形统计图如图所示； （3）10000×＝2250（人）， 答：购物选择用支付宝支付方式的学生约有2250人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20. 冰墩墩（如图）是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．某商店第一次用1200元购进冰墩墩手办若干个，第二次又用相同价格购进冰墩墩饰扣若干个，已知每个冰墩墩饰扣的进价是冰墩墩手办进价的，购进冰墩墩手办数量比饰扣少了10个． （1）冰墩墩饰扣的进价是多少元？ （2）若冰墩墩饰扣的售价要比冰墩墩手办的售价少30元，且销售完毕后获利不低于1100元，问每个冰墩墩手办的售价至少是多少元？ 【答案】（1）40 （2）88 【解析】 【分析】（1）设冰墩墩手办的进价是x元，则每个冰墩墩饰扣的进价是元，根据题意列出分式方程求解得到的值，检验后再求得即可； （2）设每个冰墩墩手办的售价是y元，根据题意列不等式即可求解． 【小问1详解】 设冰墩墩手办的进价是x元，则每个冰墩墩饰扣的进价是元， 根据题意列方程得， 解得． 经检验是原分式方程的解，则． 答：冰墩墩饰扣的进价是40元． 【小问2详解】 （2）设每个冰墩墩手办的售价是y元． 根据题意列不等式得， 解得． 答：每个冰墩墩手办的售价至少是88元． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，读懂题意，找出等量关系和不等量关系列出方程和不等式是解题的关键． 21. 如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B． （1）求m的值； （2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）(8，) 【解析】 【分析】（1）将点P的纵坐标代入一次函数解析式可求出其横坐标，即得出点P坐标．再将点P坐标代入反比例函数解析式即可求出m的值； （2）利用分类讨论的思想，根据正切的定义结合图形，建立等式求解即可． 【小问1详解】 ∵点P纵坐标为4，且在一次函数图象上， ∴4=x+1， 解得x=3， ∴P(3，4)． 又∵点P在反比例函数图象上， ∴， 解得； 【小问2详解】 ∵， ∴． 设PD=t(t>0)，则DM=2t， 分类讨论①当M点在P点右侧时，如图， ∴M点的坐标为(3+2t，4−t)， ∴， 解得：(舍) ∴，． ∴此时M点的坐标为(8，)； ②当M点在P点的左侧时， ∴M点的坐标为(3−2t，4+t)， ∴， 解得：(均舍去)． 故此情况不合题意． 综上，M点的坐标为(8，)． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法．熟练掌握函数图象交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键． 22. 如图1，在中，，AB是的直径，交AC于点D，过点D的直线交BC于点E，交AB的延长线于点P，PD是的切线． （1）求证：； （2）若，，求图中阴影部分的周长和面积； （3）如图2，，连接DM，交AB于点N，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）阴影部分的周长为，阴影部分的面积为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，可证明； （2）先求出的周长以及弓形BD的面积，可求阴影部分的周长和面积； （3）连接OM，过点D作于点F，求出，设，则，得再根据等面积法求出，由可求． 【小问1详解】 证明：如图1，连接OD． ∵PD是的切线， ∴． ∴． ∵AB是的直径， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴△OBD为等边三角形． ∴，． ∵AB是的直径， ∴． ∴，． 又∵， ∴，， ． ∴阴影部分的周长为， 阴影部分的面积为 ． ∴阴影部分周长为，面积为． 【小问3详解】 解：如图2，连接OM，过点D作于点F． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 设，则． 由勾股定理得． 由三角形的面积公式得． ∴． ∵，， ∴∠MON=∠DFN=90°，又∠ONM=∠FND， ∴． ∴． 又∵，， ∴． 即． 【点睛】本题考查了圆的相关知识、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解三角函数等知识，熟练掌握切线的判定和性质，相似三角形，解直角三角形等是解题的关键． 23. 某体育器材专卖店销售A，B两款篮球，已知A款篮球的销售单价比B款篮球多10元，且用4000元购买A款篮球的数量与用3600元购买B款篮球的数量相同． （1）A，B两款篮球的销售单价各是多少元？ （2）由于需求量大，A，B两款篮球很快售完，该专卖店计划再次购进这两款篮球共100个，且A款篮球的数量不少于B款篮球数量的2倍． ①求A款篮球至少有几个； ②老板计划让利顾客，A款篮球8折出售，B款篮球的销售单价不变，且两款篮球的进价每个均为60元，应如何进货才能使这批篮球的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）、B两款篮球的销售单价分别是100元、90元 （2）①67个；②当购买A款篮球67个，B款篮球33个时，能使这批篮球的销售利润最大，最大利润是2330元 【解析】 【分析】（1）设B款篮球的单价是a元，根据题意列方程求解即可； （2）①根据A款篮球的数量不少于B款篮球数量的2倍，列不等式求值即可；②根据售价和数量求出利润表达式，结合一次函数的性质计算求值即可； 【小问1详解】 解：设B款篮球的单价是a元，则A款篮球的单价是（a+10）元， 根据题意得， 解得，a＝90， 经检验，a＝90是原分式方程的解， 则a+10＝100， 答：A、B两款篮球的销售单价分别是100元、90元． 【小问2详解】 解：①设购买A款篮球x个，则购买B款篮球（100﹣x）个， ∵A款篮球的数量不少于B款篮球数量的2倍， ∴x≥2（100﹣x）， 解得，x≥， 故A款篮球至少有67个； ②设销售利润为w元， 则w＝（100×0.8﹣60）x+（90﹣60）（100﹣x）＝﹣10x+3000， ∵﹣10＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝67时，w取得最大值，此时w＝2330，100﹣x＝33， 答：当购买A款篮球67个，B款篮球33个时，能使这批篮球的销售利润最大，最大利润是2330元． 【点睛】本题考查了分式方程，一元一次不等式和一次函数的实际应用；掌握一次函数的性质是解题关键． 24. 定义：四边形 中，，，则称四边形 为半角四边形，边 称为半对边． （1）如图①，若四边形 为半角四边形，且 为半对边，设，用含有α的代数式表示； （2）如图②，等腰 ，，点D为其内部一点，，连接，作的外接圆 ， 的延长线交 于点E，连接，求证：四边形为半角四边形； （3）如图③，在（2）的条件下，延长 交 于点F，连接． ①求证：； ②若，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为半角四边形； （3）①证明：如下图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）首先根据“半角四边形”的定义可知，，进而可得，易知，结合，即可获得答案； （2）证明，由全等三角形的性质可得，再证明，，易得，即可证明结论； （3）①连接，首先证明，，进而证明，再证明，进而证明，结合，可得，进一步证明，即可证明结论； ②延长 交的延长线于点 ，延长交 于点 ，过点作于点，由（2）可知，，可证明四边形为矩形，易得；证明，结合相似三角形的性质可得，结合题意解得，结合三角函数可得；在取一点，使得，进一步解得，，可得，即可求得，，的值，证明，，结合相似三角形的性质解得，的值，然后由求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为半角四边形，且为半对边， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①略； ②延长 交的延长线于点 ，延长交 于点 ，过点作于点，如下图， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴，解得（负值舍去）， ∴， ∴， 在取一点，使得，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴ ． 25. 如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）． （1）求抛物线的函数表达式： （2）设抛物线的顶点为D，与y轴相交于点C，连接AC、CD、BC、BD，请你判断∠ACO与∠DBC的数量关系，并说明理由； （3）如图2，连接AD，与BC相交于点E，点G是抛物线上一动点，在对称轴上是否存在点F，使得∠EFG=90°，且tan∠FEG=如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）；理由如下： ， ， 令，则， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ； （3）或或 【解析】 【分析】（1）将点、代入，即可求解； （2）判定是直角三角形，分别求出，，可得； （3）利用直线AD与直线BC的解析式求出点E的坐标，设，分三种情况讨论：①当G点在对称轴的右侧，F点在E点下方时，过点F作轴，过E点作 轴交MN于点M，过点G作交于N点，证明，求出，再将G点代入抛物线解析式即可求t的值；②当G点对称轴的左侧，F点在E点下方时，过E点作EK垂直对称轴交于点K，过点F作FH⊥y轴，过点G作GH⊥HF交于H，证明，可得，再将G点代入抛物线解析式即可求t的值；③当F点在E点上方时，此时G点在对称轴的右侧，过点F作轴，过点E作交于点P，过点G作交于点Q，证明，求出，再将G点代入抛物线解析式即可求t的值． 【小问1详解】 解：将点代入得： ， 解得：， 所以抛物线解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在点，使得，且，理由如下： 抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为，得， ， 解得：， 设直线AD的解析式为，可得， ， 解得：， ， 联立方程组， 解得：， ， 设， 如图1，当G点在对称轴的右侧，F点在E点下方时， 过点F作MN⊥y轴，过E点作EM⊥x轴交MN于点M，过点G作GN⊥MN交于N点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （舍去），， ； 如图2，当G点对称轴的左侧，F点在E点下方时， 过E点作EK垂直对称轴交于点K，过点F作FH⊥y轴，过点G作GH⊥HF交于H， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（舍去）， ； 如图3，当F点在E点上方时，此时G点在对称轴的右侧， 过点F作轴，过点E作EP⊥PQ交于点P，过点G作GQ⊥PQ交于点Q， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 综上可得：点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及知识点：待定系数法求函数解析式、勾股定理逆定理、三角函数值、三角形相似的性质及判断、解一元二次方程；熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $