14.2 三角形全等的判定(第2课时 ASA和AAS)课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）判定三角形全等，通过复习SSS、SAS引入，以“画图游戏”让学生动手画两角夹边三角形，直观感知ASA唯一性，构建从已知到未知的学习支架。 其亮点是以“操作-归纳-应用”为主线，通过画图发展几何直观，典例与中考题培养推理能力和应用意识。如“打碎玻璃选哪块”练习联系生活，助学生理解ASA应用，提升学生逻辑思维，也为教师提供分层教学资源。

14.2 三角形全等的判定 第2课时 ASA和AAS 第十四章 全等三角形 人教版八年级上册 1.7.2013 ‹#› 学习目标 一 知识与技能：理解并掌握“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）判定两个三角形全等的方法，能运用这两种判定方法解决简单的几何证明和相关计算问题，夯实全等三角形的认知基础。 二 过程与方法：通过动手画图、观察比较与分析归纳，亲身体验从具体操作到抽象归纳的数学思想方法，在自主探究与合作交流中，感受探索几何图形规律的乐趣，提升逻辑思维能力。 三 情感态度与价值观：在小组合作学习的过程中，主动参与讨论、乐于表达见解，养成善于思考、勇于交流的良好学习习惯，在解决问题的过程中不断增强学好数学的自信心与成就感。 1.7.2013 通过这节课的学习，我们希望大家能达成三个小目标。首先，在知识上，大家要学会并掌握ASA和AAS这两种新方法。其次，在过程中，希望大家能通过动手操作，体验数学探索的乐趣。最后，在情感上，希望大家能更自信、更乐于交流。相信通过努力，大家都能成为数学小能手！ ‹#› 目录 1 复习引入 2 合作探究 3 典例分析 4 巩固练习 5 感受中考 6 小结梳理 7 布置作业 8 拓展提升 1.7.2013 这是我们今天课程的主要内容。我们会先复习旧知识，然后通过合作探究发现新方法，接着通过例题和练习来巩固，还会看看这些知识在中考中的应用，最后进行总结和布置作业。大家可以对今天的学习路径有一个清晰的了解。 ‹#› 角边角(ASA) 角角边(AAS) 复习引入 全等三角形 定义 性质 判定 对应边相等 对应角相等 边边边（SSS） 边角边（SAS） 三边 两边一角 两角一边 三角 √ 全等三角形是能够完全重合的两个三角形，其核心特征是形状、大小完全一致。我们不仅要掌握对应边、对应角相等的性质，更要熟练运用SSS和SAS这两种基本判定方法，为后续复杂几何证明奠定基础。 思考：若已知两角一边或三角，能否判定三角形全等？这将是我们接下来探究的重点。 1.7.2013 在开始新知识的学习之前，我们先来快速回顾一下。大家还记得什么是全等三角形吗？对，就是能完全重合的三角形。它们的对应边和对应角都相等。我们已经学过两种判定方法：SSS，三条边对应相等；SAS，两条边和它们的夹角对应相等。大家掌握得都很好！ ‹#› 合作探究 动手试一试：画图游戏 —— 探索“角边角”（ASA）判定定理 请尝试在纸上画一个三角形，使其满足以下三个核心条件：① 有一个内角为 60°；② 有另一个内角为 45°；③ 这两个角的夹边长度恰好为 6 厘米。画完后观察，这样的三角形形状和大小是否唯一确定？ 01. 明确作图条件 已知两角及其夹边作三角形，是“角边角”判定的直观实践。核心要素为：两个确定的角度（60°与45°），以及它们共同的邻边（6cm）。这三个条件直接锁定了三角形的框架。 02. 标准作图步骤 ① 先画线段 BC = 6cm，确定夹边；② 在点 B 作 60° 角，在点 C 作 45° 角；③ 两角的另一边延长后会唯一相交于点 A，连接即得△ABC。无论谁来画，最终得到的三角形都能完全重合。 结论：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。 1.7.2013 现在，请大家拿出纸和笔，我们一起来做一个画图游戏。请大家按照屏幕上的指令来画一个三角形。先画一条6厘米的边，然后在这条边的两个端点分别画出60度和45度的角，延长线相交得到第三个顶点。看看你画的是什么样子。 ‹#› 合作探究 判定两个三角形全等的基本事实——角边角（ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 简写成“角边角”或“ASA” 几何语言表述： 在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ∠A = ∠A'，AB = A'B'，∠B = ∠B' ∴ △ABC ≌ △A'B'C' (ASA) 核心要点：这里的边必须是两个角的“夹边”，位置关系是判定的关键。若边不是夹边，则不能直接用ASA判定全等。 1.7.2013 大家画好后，和同桌比较一下，是不是都一样？这就引出了我们今天的第一个新方法：角边角，简称ASA。也就是说，只要两个三角形有两个角和这两个角之间的夹边对应相等，那么这两个三角形就一定全等。这个边的位置很关键，必须是两个角的“中间”。 ‹#› 典例分析 例1如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C。求证：AD=AE。 分析：要证AD=AE，需证△ADC ≌ △AEB。已知∠B=∠C，AB=AC，且∠A为公共角，恰好满足“角边角”的条件。 证明：在△ADC和△AEB中， ∠A = ∠A（公共角），AC = AB（已知），∠C = ∠B（已知）， ∴ △ADC ≌ △AEB（ASA）。 ∴ AD = AE（全等三角形的对应边相等）。 关键：∠A是公共角 （核心条件：ASA） 1.7.2013 理论学完了，我们来看个例子。这道题要证明AD等于AE。我们的思路是证明它们所在的三角形ADC和AEB全等。大家找找条件，题目给了两个，一个角相等，一个边相等。再仔细看看图，它们有一个公共角∠A！这样，角、边、角，正好构成了ASA，证明全等后，对应边AD和AE自然就相等了。 ‹#› 合作探究 思考：如果边不是夹边呢？ 如果两个三角形的两角和其中一组等角的对边分别相等，那么这两个三角形全等吗？ 已知：在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，BC=B'C'。 求证：△ABC ≌ △A'B'C'。 1.7.2013 刚才我们研究的是边在两个角中间的情况。那如果边不在中间，而是在其中一个角的对边呢？比如，知道两个角和其中一个角的对边，能不能判定全等？我们来思考一下这个问题。 ‹#› 合作探究 证明思路：利用三角形内角和为180°，将已知两角转化为第三角相等，进而用ASA证明。 证明过程： ∵ ∠A = ∠A', ∠B = ∠B' (已知) ∴ 180° - ∠A - ∠B = 180° - ∠A' - ∠B' (等式性质) ∴ ∠C = ∠C' (三角形内角和定理) 在△ABC和△A'B'C'中，满足∠B=∠B'，BC=B'C'，∠C=∠C'，符合ASA判定，故△ABC ≌ △A'B'C'。 已知：在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，BC=B'C'。 求证：△ABC ≌ △A'B'C'。 1.7.2013 我们来证明一下。一个三角形的内角和是180度，所以知道了两个角，第三个角也就确定了。看，我们把已知的∠A和∠B转化成了它们的补角∠C。这样一来，原来的条件“∠A, ∠B, BC”就变成了“∠B, BC, ∠C”，这不就是我们刚刚学的ASA吗？所以，这种情况也是成立的！ ‹#› 合作探究 判定两个三角形全等的方法3 —— 角角边（AAS） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 （简写成“角角边”或“AAS”） 在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，BC = B'C' ∴ △ABC ≌ △A'B'C' (AAS) 1.7.2013 这就引出了我们今天的第二个新方法：角角边，简称AAS。也就是说，两个角和其中一个角的对边对应相等，两个三角形也全等。大家要记住ASA和AAS的区别：ASA的边是夹边，在中间；AAS的边是对边，在对面。 ‹#› 分析：要证AC=AE，需证△ACD ≌ △AED。由题意得：∠C = ∠AED = 90°（垂直定义）；∠CAD = ∠EAD（角平分线定义）；AD为公共边，满足AAS判定条件。 典例分析 例2如图，AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，交DE于点D。求证：AC = AE。 证明：在△ACD和△AED中， ∵ ∠C = ∠AED（垂直定义），∠CAD = ∠EAD（角平分线定义），AD = AD（公共边）， ∴ △ACD ≌ △AED（AAS）。 ∴ AC = AE（全等三角形的对应边相等）。 关键：AAS判定全等 （公共边） 1.7.2013 我们再来看一个应用AAS的例子。要证明AC=AE，就要证明△ACD和△AED全等。题目给了垂直，我们得到两个直角相等；给了角平分线，我们得到两个角相等；再加上公共边AD。这样，两个角和一条对边，完美符合AAS的条件，证明全等后，AC=AE就得证了。 ‹#› 巩固练习：小试牛刀 1.如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去玻璃店。 A. ①B. ② C. ③D. ①和② 解析：根据三角形全等判定，带③去可以利用“ASA”（角边角）配出完全一样的玻璃，因为③保留了原三角形的两个角和它们的夹边。 答案 1.7.2013 好了，理论和例子都看完了，现在轮到大家大显身手了！请看第一题，这是一个生活中的问题。想一想，带哪一块碎片去，就能配到一模一样的玻璃？给大家一点时间思考。这道题的关键在于三角形全等的判定定理，第三块玻璃保留了原三角形的两个角以及这两个角的夹边，根据角边角（ASA）定理，我们可以确定唯一的三角形，所以应该选择C。 ‹#› 巩固练习：小试牛刀 2.如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D。则甲、乙、丙三个三角形中与△ABC全等的是（ ） A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙 B 1.7.2013 第二题，看图填空。已知一个三角形的两个角和一条边，判断下面三个三角形中，哪几个和它全等。请大家仔细观察角度和边长的对应关系。 ‹#› 解：∵AB⊥BC，AD⊥DC ∴ ∠B = ∠D = 90° 在△ABC和△ADC中， { ∠B = ∠D ，∠1 = ∠2 ，AC = AC（公共边） } ∴ △ABC ≌ △ADC (AAS) ∴ AB = AD 巩固练习：小试牛刀 3.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，且∠1=∠2。 求证：AB = AD。 1.7.2013 第三题是一道证明题。要证明AB=AD。大家看看图，找找已知条件，垂直能得到什么？角平分线又能得到什么？有没有公共边？相信大家很快就能找到AAS的条件。 ‹#› 解：由题意可知：∠B = ∠CDE = 90° 在△ABC 和 △EDC 中： ∠B = ∠CDE（已知，均为直角） BC = CD（构造的相等线段） ∠ACB = ∠ECD（对顶角相等） ∴ △ABC ≌ △EDC (ASA)，故 DE = AB。 即测得 DE 的长就是 AB 的长。 巩固练习：小试牛刀 4.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使点E与点A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，试说明其中的道理。 1.7.2013 第四题是一个实际应用问题，如何测量池塘对岸的距离。图中给出了一种方法，大家能用我们今天学的知识解释一下为什么这样做是正确的吗？找找图中的直角、相等的边和对顶角。利用ASA判定三角形全等，从而得到对应边相等，将不可直接测量的AB转化为可测量的DE。 ‹#› 解：∵AB∥DE，AC∥DF ∴ ∠B = ∠E，∠ACB = ∠DFE ∵ FB = CE ∴ FB + FC = CE + FC，即 BC = EF 在△ABC 和 △DEF 中， ∠B = ∠E，BC = EF，∠ACB = ∠DFE ∴ △ABC ≌ △DEF (ASA) ∴ AB = DE，AC = DF 巩固练习 5.如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥DE，AC∥DF。求证：AB=DE，AC=DF。 1.7.2013 最后一道练习题，稍微复杂一点。题目给了平行线和线段相等的条件。大家要思考如何利用平行线的性质得到角相等，如何利用线段相等推导出另一条线段相等。找到ASA的三个条件是解题的关键。 ‹#› 实战演练 1. (2024·牡丹江)如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件，使得AE = CE。(只添一种情况即可) 参考答案：可添加条件为 AD = CF（或 DE = FE，或 ∠ADE = ∠CFE，或 ∠DAE = ∠FCE 等）。核心思路是利用平行线性质，通过ASA/AAS证明△ADE≌△CFE，从而得AE=CE。 思考：从全等三角形判定切入 1.7.2013 我们学的这些知识，可是中考的常客哦！让我们来看几道中考真题，感受一下它在实战中的应用。这道题是条件开放题，需要我们自己添加一个条件来证明结论。大家可以从ASA或AAS的角度去思考。 ‹#› 感受中考：实战演练 2.（2022·湖北）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，请你添加一个合适的条件，使得△ABC≌ △DEF。 核心思路：由AB∥DE可得∠B=∠DEF，结合已知AB=DE，可添加角（ASA/AAS）或边（SAS）。 答案一 (ASA/AAS) 添加 ∠A = ∠D，可利用ASA判定全等；或添加∠ACB=∠DFE，利用AAS判定。 答案二 (SAS) / 其他 添加 BE = CF (即BC=EF)，利用SAS判定；或添加BC∥EF (推导出∠ACB=∠DFE)，利用AAS判定全等。 1.7.2013 第二道中考题，同样是条件开放题。已知一组边和一组角（由平行线得到），要证明全等，还缺一个条件。你可以添加另一个角，构成ASA或AAS；也可以添加另一条边，构成SAS。思路很灵活。 ‹#› 感受中考 3.（2023·凉山州）如图，点E、点F在BC上，BE=CF，∠B=∠C，添加一个条件，不能证明△ABF ≌ △DCE的是（ ） A．∠A = ∠D B．∠AFB = ∠DEC C．AB = DC D．AF = DE 思路解析：由BE=CF可得BF=CE，结合已知∠B=∠C，分析各选项：A选项用AAS可证，B选项用ASA可证，C选项用SAS可证；D选项为SSA，无法判定全等。 答案：D 1.7.2013 这道题是选择题，而且是“不能”证明的，需要我们仔细审题。已知BE=CF可以推导出BF=CE，又已知∠B=∠C。我们来分析每个选项，看哪个选项无法与已知条件构成SSS, SAS, ASA, AAS中的任何一种。 ‹#› 感受中考 4.（2025·云南）如图，AB与CD相交于点O，AC=BD，∠C=∠D。 求证：△AOC ≌ △BOD。 证明：在△AOC和△BOD中， ∠C = ∠D（已知） ∠AOC = ∠BOD（对顶角相等） AC = BD（已知） ∴ △AOC ≌ △BOD（AAS） 💡 解题思路点拨 本题核心考查全等三角形的判定（AAS）。关键在于挖掘图形中的隐含条件“对顶角相等”，结合已知的一组角和一组边，凑齐AAS的三个条件即可完成证明。 1.7.2013 这道证明题非常经典。已知一组边和一组角，图中还有一个隐藏条件——对顶角相等。这样，两个角和一条对边，正好是AAS的完美应用。 ‹#› 感受中考 5.（2023·吉林）如图，点C在线段BD上，△ABC和△DEC中，∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E。求证：AC=DC。 证明：在△ABC和△DEC中， ∠A = ∠D（已知）， AB = DE（已知）， ∠B = ∠E（已知）， ∴ △ABC ≌ △DEC（ASA）， ∴ AC = DC（全等三角形的对应边相等）。 1.7.2013 这道题直接给出了三个条件，两个角和一条边。我们需要判断这条边是不是两个角的夹边。AB是∠A和∠B的夹边，DE是∠D和∠E的夹边。所以，这是标准的ASA判定。 ‹#› 感受中考 6. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE=AB。求证：△CED ≌ △ABC。 证明：∵ DE⊥AC，∠B=90°（已知）， ∴ ∠DEC = ∠B = 90°（垂直的定义）。 ∵ CD∥AB（已知）， ∴ ∠A = ∠DCE（两直线平行，同位角相等）。 在△CED和△ABC中： ∠DCE = ∠A（已证），CE = AB（已知），∠DEC = ∠B（已证）， ∴ △CED ≌ △ABC（ASA，角边角判定定理）。 1.7.2013 这道题需要我们自己从图形和已知条件中挖掘信息。垂直关系给了我们直角，平行线给了我们相等的角，再加上已知的一条边。注意角和边的对应关系，CE是∠DCE和∠DEC的夹边，AB是∠A和∠B的夹边，所以用ASA证明。 ‹#› 感受中考 7.（2024•南充）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E。求证：△BDE ≌ △CDA。 证明：∵ 点D为BC的中点，根据中点定义可得： ∴ BD = CD（中点的性质） ∵ BE∥AC（已知），根据平行线的性质可得： ∴ ∠EBD = ∠C（内错角相等），∠E = ∠CAD（内错角相等） 在△BDE和△CDA中，列出条件： { ∠E = ∠CAD（已证），∠EBD = ∠C（已证），BD = CD（已证） } ∴ △BDE ≌ △CDA（AAS，角角边判定定理） 1.7.2013 最后一道中考题，综合了中点、平行线等知识点。中点给了我们相等的边，平行线给了我们两组相等的角。这样，两个角和一条对边，就可以用AAS来证明这两个三角形全等了。 ‹#› 小结梳理 全等三角形判定方法 三边判定 边角判定 角边判定 SSS（边边边）：三组对应边分别相等的两个三角形全等。这是最基础的判定方法，无需考虑角的位置。 SAS（边角边）：两组对应边及其夹角分别相等的两个三角形全等。关键是“角必须是两边的夹角”。 ASA（角边角）：两组对应角及其夹边分别相等的两个三角形全等。核心是“边必须是两角的夹边”。 AAS（角角边）：两组对应角和其中一组角的对边相等的两个三角形全等。注意边是对应角的对边而非夹边。 1.7.2013 一节课的时间很快就过去了，让我们一起来梳理一下今天的收获吧！我们一共学习了四种判定三角形全等的方法：SSS, SAS, 以及今天新学的ASA和AAS。大家一定要记住它们各自的关键点，特别是角和边的位置关系。 ‹#› 布置作业 必做题：教材 PXX 页，练习题 1、2、3 1 提升题：全等证明探究 如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4。请结合全等三角形判定定理，求证：AB=AC。尝试梳理推理步骤，规范书写证明过程。 思考题：SSA 能否判定全等？ “有两边和其中一边的对角对应相等”的两个三角形一定全等吗？请动手画图构造反例，结合图形说明你的结论与理由。 2 1.7.2013 为了巩固今天所学的知识，老师给大家布置几个作业题。有基础题，也有需要动脑筋的提升题和思考题。请大家认真完成，我们下节课来讲解。特别是思考题，大家可以动手画一画，探索一下SSA为什么不能作为判定方法。 ‹#› 谢谢观看！ 人教版八年级上册 1.7.2013 好了，同学们，今天的数学课就到这里。大家表现得都非常棒！希望大家课后能好好复习，我们下节课再见！ ‹#› $