第6章 变量之间的关系 单元复习讲义 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

该初中数学单元复习讲义通过知识框架与对比表格系统梳理变量关系的核心内容，涵盖常量与变量、三种表示方法（表格法、关系式法、图象法）、关系式建立与求值、图象识别等知识点，用表格对比三种方法的优缺点，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础必考题型（如常量变量识别）到培优高频题型（如容器注水图象判断）再到压轴素养题型（如三种表示方法互相转化），结合蟋蟀鸣叫与气温关系等实例，培养学生用数学眼光观察现实情境、用数学思维分析变化规律的能力，支持不同层次学生自主复习，帮助教师实施精准分层教学。

第6章 变量之间的关系 知识点1：常量与变量、自变量与因变量 1.常量与变量：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量。 2.自变量与因变量 自变量：变化过程中主动发生变化的量； 因变量：随着自变量的变化而发生变化的量，其取值依赖于自变量。 3.判断技巧：描述中“随的变化而变化”，则是自变量，是因变量。 知识点2：变量之间关系的三种表示方法 表示方法 说明 优点 缺点 表格法 将自变量的取值与对应的因变量值列成表格 能直接读取对应数值，清晰直观 只能呈现有限组数据，不易看出整体变化规律 关系式法 用含有自变量的代数式表示因变量的等式 能准确表示变量间的数量关系，可计算任意对应值 部分复杂的实际关系无法用关系式表达 图象法 在平面直角坐标系中，用图形表示变量间的关系 能直观展现变化趋势、最值和增减性 读取的数值为近似值，存在一定误差 知识点3：关系式的建立与求值 1.列关系式的一般步骤 分析题意，找出数量间的等量关系； 用字母分别表示自变量和因变量； 将等量关系转化为用自变量表示因变量的等式。 2.求值方法 已知自变量的值，代入关系式直接计算，得到因变量的值； 已知因变量的值，将其代入关系式，通过解方程求出自变量的值。 知识点4：图象的识别与信息解读 1.坐标轴含义：横轴表示自变量，纵轴表示因变量，分析图象前先明确坐标轴的实际意义。 2.线段的意义 上升线段：因变量随自变量的增大而增大； 水平线段：因变量不随自变量的变化而变化（如停留、恒温、饱和状态）； 下降线段：因变量随自变量的增大而减小。 3.倾斜程度的意义：倾斜程度越大（图象越陡），说明因变量随自变量变化的速度越快。例如匀速注水时，容器越细，水面高度上升越快，图象越陡。 【基础必考题型】 【题型1】常量、变量与自变量、因变量的识别 1.核心知识点: 常量与变量的定义 自变量与因变量的判断方法 2.解题方法技巧: 固定不变的单价、初始量等为常量，变化的数量、总费用等为变量 遵循“主动变化为自变量，随之变化为因变量”的原则，结合“随…变化”的表述判断 【例题1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）某款汽车紧急刹车后滑行的距离s（单位：）大致满足，其中v（单位：）表示刹车前汽车的速度，这个关系式中的自变量和因变量分别是（    ） A．300；s B．s；300 C．s；v D．v；s 【变式题1-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．在这个变化过程中，变量为______，常量为______． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么下列各量中：①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量，变量的个数是_______． 【变式题1-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【题型2】表格法表示变量关系的数据分析 1.核心知识点: 表格中自变量与因变量的对应关系 变化趋势判断与平均变化量计算 2.解题方法技巧: 先确定表头对应的自变量和因变量，明确研究对象 计算相邻两组数据的差值，判断变化的快慢与方向 利用均匀变化的规律，推测表格中未给出的对应值 【例题2】.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切、项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温（） … 11 13 15 17 19 … 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … 56 70 84 98 112 … 根据表格规律，若该地当时的气温为，则这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为（     ） A．98次 B．112次 C．126次 D．140次 【变式题2-1】.（25-26七年级下·全国·单元复习）通常婴儿在1~6个月生长发育得非常快，他们的体重y（单位：g）和月龄x（单位：月）之间的关系可以用来表示，其中a是婴儿出生时的体重．已知某婴儿出生时的体重为3500g，请完成下表． x/月 1 2 3 4 5 6 y/g 【变式题2-2】.（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）在某地，人们发现某种蟋蟀在一定温度下叫的次数与温度之间有如下的近似关系： 当地温度x（℃） 5 6 7 8 9 … 蟋蟀1min叫的次数y（次） 14 21 28 35 42 … 根据表格，回答下列问题： (1)自变量是____________，因变量是___________； (2)当地的温度x每增加，这种蟋蟀叫的次数y增加____________． (3)当这种蟋蟀叫的次数时，求此时当地的温度． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·单元复习）某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计）： 质量 1 2 3 4 5 费用/元 6.5 8.5 10.5 12.5 14.5 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量，哪个是因变量？ (2)随着交寄物品质量的增加，快递的费用是怎样变化的？ 【题型3】均匀变化型关系式的建立 1.核心知识点: 实际问题中的等量关系提取 形如的关系式书写 2.解题方法技巧: 找准初始值（自变量为0时的因变量值，即）和单位变化量（即） 常见模型：总长度=原长+伸长量、剩余量=总量-消耗量、总费用=基础费用+增量费用 【例题3】.（25-26七年级下·河南开封·期末）2026年春节档电影《飞驰人生3》《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》分列档期票房前三名．根据以往统计数据显示，一线城市在春节档电影票房中占比约为，若春节档总票房为a元，一线城市的春节档电影票房为b元，则b与a的关系式为______． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·广东广州·期中）油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升／分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数解析式是______．（不用写自变量的取值范围） 【变式题3-2】.（25-26八年级下·北京西城·期中）某班同学在探究弹簧的长度随外力的变化关系时，使用50克的砝码进行实验，记录得到的相应数据如表，则弹簧的长度（厘米）与砝码的个数（个）之间的函数关系式是_____________（，且为整数） 砝码的个数 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧长度（厘米） 5 6 7 8 9 10 11 12 【变式题3-3】.（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）父亲和儿子在400米的标准跑道上进行赛跑，已知儿子跑5步的时间父亲恰好跑6步，儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等．现在儿子站在跑道200米的起点处，父亲站在400米的起点处，同时同向起跑． (1)设父亲每步的长为米，儿子每步的长为米，求与的关系式，并求父亲与儿子的速度之比． (2)父亲能否在第一次到达400米的终点处前追上儿子？请通过计算，说明理由． 【题型4】关系式的代入求值计算 1.核心知识点: 已知自变量求对应因变量的值 已知因变量求对应自变量的值 2.解题方法技巧: 求因变量：将自变量的值直接代入关系式，按运算顺序计算 求自变量：将因变量的值代入关系式，转化为一元一次方程求解 【例题4】.（25-26七年级下·全国·单元复习）下图是某自行车行驶路程与时间之间的关系，分别计算自出发起内、内、内该自行车的平均速度． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·全国·单元复习）学校组织郊外活动，两个课外兴趣小组匀速步行前进，第一组比第二组早出发，第一组经过抵达目的地．两组之间的距离y（单位：m）和第一组出发后的时间x（单位：）之间的关系如图所示． (1)请大致描述两组之间的距离的变化情况． (2)第二组从出发到抵达目的地共用了多长时间？ 【变式题4-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐被遗忘．德国心理学家艾宾浩斯（Hermann Ebbinghaus，1850-1909）最早研究了记忆遗忘规律．他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是艾宾浩斯遗忘曲线． 观察图象，回答下列问题： (1)经过，记忆保持了多少？ (2)图中A点表示什么？在哪个时间段内遗忘的速度最快？ (3)有研究表明，如及时复习，经过一天记忆能保持．根据遗忘曲线，如不复习，结果又怎样？由此，你有什么感悟？ 【变式题4-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）在地球某地，气温T（单位：）与海拔d（单位：）之间的关系可以近似用表示．根据这个关系式，计算d分别是0，200，400，600，800，1000时相应的T值，并用表格表示所得结果． 海拔 0 200 400 600 800 1000 气温 【培优高频题型】 【题型5】根据容器形状判断注水高度-时间图象 1.核心知识点: 图象倾斜程度的实际意义 容器粗细与高度变化速度的关系 2.解题方法技巧: 匀速注水时，容器横截面积越小（越细），水面高度上升越快，图象越陡 分段粗细的容器对应分段图象，从底部到顶部依次分析每一段的倾斜程度 【例题5】.（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，容器的容积、水面的高度h、水面的面积S及注水量．其中为常量的是______． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）有一个容积为的水池，现用10台抽水机从蓄满水的水池中同时抽水，已知每台抽水机每小时可抽水． (1)抽水后，水池中还有水________． (2)在这一变化过程中，哪些是变量？哪些是常量？ (3)几小时后才能把满池水抽干？ 【变式题5-2】.（25-26八年级上·福建宁德·期中）水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置． 小明依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具，通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/min 1 2 3 4 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 6 7.5 9 下列说法中，不正确的是（   ） A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B．当经过的时间为3min时，容器中水的高度是6cm C．当容器中水的高度为6cm时，对应的时间为4min D．时间每增加1min，容器中水的高度增加1.5cm 【变式题5-3】.（24-25七年级下·陕西西安·期末）某海港某日时到时的水深随时间的变化如图所示，下列从图象中得到的信息正确的是（   ）    A．时水深最高 B．时到时之间水深持续上升 C．时的水深为 D．两次最高水深的时间间隔为小时 【题型6】行程图象的基础信息读取 1.核心知识点: 路程-时间图象的物理意义 停留、匀速行驶的图象特征 2.解题方法技巧: 水平线段表示停留状态（路程不变，时间增加） 倾斜线段表示匀速运动，速度=路程变化量÷对应时间变化量 【例题6】.（25-26七年级下·全国·课后作业）小明与家人在一次户外骑行途中骑车速度与时间之间的关系如图所示，请你想象并描述他们骑行途中的情境． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）小华站在离家不远的公共汽车站等车．下面哪一幅图能较好地刻画等车这段时间内他离家的距离与时间之间的关系？ 【变式题6-2】.（25-26七年级上·河北唐山·期中）一艘轮船从甲地驶往乙地，轮船的速度与航行时间之间的关系如下表： 速度 20 50 75 … 航行时间 7.5 3 2 … (1)甲、乙两地相距______km？ (2)航行时间是怎样随轮船的速度的变化而变化的？ (3)轮船的速度与航行时间之间成什么比例关系？ 【变式题6-3】.（25-26七年级上·河南安阳·期中）小慧要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录入的时间t（分）与录入文字的速度v（字/分）之间的关系如下表： 完成录入的时间t（分） 100 90 75 60 … 录入文字的速度v（字/分） 45 50 60 75 … (1)这篇社会调查报告共有多少字？ (2)完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的？ (3)用代数式表示t与v之间的关系，t与v成什么比例关系？ 【压轴素养题型】 【题型7】表格、关系式、图象的互相转化 1.核心知识点: 三种表示方法的内在一致性 变化规律的迁移应用 2.解题方法技巧: 表格转关系式：先计算单位变化量确定，再代入一组数据求初始值 关系式转图象：确定起点、终点与变化趋势，画出对应线段 图象转表格：读取图象上关键点的坐标，按自变量顺序整理成表格 【例题7】.（25-26八年级下·全国·期末）跨学科试题·物理  在烧开水时，水温达到就会沸腾，如表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的两个变量时间和温度的数据： 0 2 4 6 8 10 12 14 … 30 44 58 72 86 100 100 100 … 在水烧开之前（即），温度T与时间t的关系式及自变量分别为（     ） A．，t B．，t C．，t D．，T 【变式题7-1】.（25-26六年级下·山东济南·期中）小张准备乘出租车到距家超过的图书馆参观，出租车的收费标准如下： 里程数/km 收费/元 以内（含） 7.00 以外每增加1km 2.00 则小张应付车费y（元）与行驶里程数之间的关系式为______． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）某次茶艺比赛中指定使用的饮水机工作流程为：先将的饮用水加热到，然后马上停止加热，水温开始下降．已知整个过程中水温与通电时间的关系如下表所示： 0 1 2 3 4 8 10 20 … 20 40 60 m 100 50 40 20 … (1)在水温下降过程中，x与y满足某种比例关系，这种比例关系是 比例关系；用式子表示x与y之间的这种关系为 ． (2)比赛组织方要求，参赛选手必须把组织方提供的的饮用水用该款饮水机加热到，然后降温到方可使用．求从饮水机加热开始到可以使用需要等待多长时间？ 【变式题7-3】.（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）数学兴趣小组探究如图所示的整齐叠放成一摞相同规格的碗的总高度y（单位：）随碗的数量x（单位：个）的变化规律．如表是该小组成员经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 … 10 12 14 16 … (1)当时，______； (2)由题意可以得到______；（用含x的代数式表示） (3)y的值可能是35厘米吗？为什么？（请用方程的知识解释） 易错点 1.自变量与因变量混淆：误将被动变化的因变量当作自变量，如“剩余页数随阅读天数变化”中，错把剩余页数当作自变量。 2.分段关系式分界点错误：阶梯收费问题中，分界处的数值重复计算或遗漏，导致关系式与实际不符。 3.图象坐标轴误判：将速度-时间图象误认为路程-时间图象，或忽略坐标轴的单位、刻度，造成计算错误。 4.忽略自变量的实际范围：计算时不考虑现实意义，得出负数时间、负质量等不符合实际的结果。 5.注水图象斜率判断颠倒：误认为容器越粗，水面高度上升越快、图象越陡，实际恰好相反。 重点 1.常量、变量、自变量、因变量的概念识别，以及三种表示方法的特点与适用场景。 2.根据实际问题建立变量关系式，掌握代入求值的基本方法。 3.路程、注水、收费等典型情境的图象识别，能从图象中提取关键数据并完成计算。 4.分段关系式与分段图象的对应分析，掌握阶梯收费、往返行程等高频模型。 难点 1.跨学科情境下的变量关系分析，需结合学科常识理解变化趋势与特殊节点的含义。 2.复杂分段图象的深度解读，涉及多段速度计算、多阶段状态分析的综合问题。 3.变量规律探究与定值问题，需要通过代数式变形分析不变量，对代数推理能力要求较高。 4.多方案比较与最优决策问题，需要结合方程与分类讨论思想确定最优范围。 【对应练习题】 一、单选题 1．某日李师傅加油时，加油机屏幕上显示的量如图所示，则加油机显示的量中为常量的是（  ）． A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和单价 2．圆的周长公式中（     ） A．是常量，2是常数，与是变量 B．是变量，2是常量，与是常量 C．，，是变量，2是常量 D．与是变量，2与是常量 3．某车油箱中存油25升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．一个蓄水池有的水，以每分钟的速度向池中注水，蓄水池中的水量与注水时间之间的关系式为______________． 5．小明同学用20元钱去买单价是3元的圆珠笔，则他剩余的钱（元）与他买这种圆珠笔的支数之间的关系是__________（不需要写出自变量的取值范围）． 6．如图①，一种圆环的外圆直径是，环宽．如图②，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，如图③，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则与之间的关系式是___________． 三、解答题 7．我国私人轿车保有量，2012年为5308万辆，2013年为6410万辆，2014年为7590万辆，2015年为8793万辆，2016年为10152万辆，2017年为11416万辆，2018年为12589万辆，2019年为13701万辆，2020年为14674万辆，2021年为15732万辆，2022年为16685万辆．用表格表示上述数据，并说一说我国私人轿车保有量是怎样随时间推移而变化的． 年份 私人轿车保有量（万辆） 2012 5308 2013 6410 2014 7590 2015 8793 2016 10152 2017 11416 2018 12589 2019 13701 2020 14674 2021 15732 2022 16685 8．下图表示某港口某日从到水深变化的情况． (1)图中反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因变量？ (2)请描述水深随时间的变化而变化的情况． 9．碳排放计算公式： 家居用电的二氧化碳排放量（）=耗电量（）， 开私家车的二氧化碳排放量（）=耗油量（）， 如下表： 用电量（） 耗油量（） 小明家 200 150 我家 160 100 计算你家本月的二氧化碳排放量，并与“尝试·交流”中小明家相应的项目进行比较，谁家的生活更“低碳”些？你对家人有什么建议？ 10．下图呈现了大气压强与海拔之间的关系． (1)根据图中的数据填写下表． 海拔 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 大气压强 (2)随着海拔的变化，大气压强的变化趋势是怎样的？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 变量之间的关系 知识点1：常量与变量、自变量与因变量 1.常量与变量：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量。 2.自变量与因变量 自变量：变化过程中主动发生变化的量； 因变量：随着自变量的变化而发生变化的量，其取值依赖于自变量。 3.判断技巧：描述中“随的变化而变化”，则是自变量，是因变量。 知识点2：变量之间关系的三种表示方法 表示方法 说明 优点 缺点 表格法 将自变量的取值与对应的因变量值列成表格 能直接读取对应数值，清晰直观 只能呈现有限组数据，不易看出整体变化规律 关系式法 用含有自变量的代数式表示因变量的等式 能准确表示变量间的数量关系，可计算任意对应值 部分复杂的实际关系无法用关系式表达 图象法 在平面直角坐标系中，用图形表示变量间的关系 能直观展现变化趋势、最值和增减性 读取的数值为近似值，存在一定误差 知识点3：关系式的建立与求值 1.列关系式的一般步骤 分析题意，找出数量间的等量关系； 用字母分别表示自变量和因变量； 将等量关系转化为用自变量表示因变量的等式。 2.求值方法 已知自变量的值，代入关系式直接计算，得到因变量的值； 已知因变量的值，将其代入关系式，通过解方程求出自变量的值。 知识点4：图象的识别与信息解读 1.坐标轴含义：横轴表示自变量，纵轴表示因变量，分析图象前先明确坐标轴的实际意义。 2.线段的意义 上升线段：因变量随自变量的增大而增大； 水平线段：因变量不随自变量的变化而变化（如停留、恒温、饱和状态）； 下降线段：因变量随自变量的增大而减小。 3.倾斜程度的意义：倾斜程度越大（图象越陡），说明因变量随自变量变化的速度越快。例如匀速注水时，容器越细，水面高度上升越快，图象越陡。 【基础必考题型】 【题型1】常量、变量与自变量、因变量的识别 1.核心知识点: 常量与变量的定义 自变量与因变量的判断方法 2.解题方法技巧: 固定不变的单价、初始量等为常量，变化的数量、总费用等为变量 遵循“主动变化为自变量，随之变化为因变量”的原则，结合“随…变化”的表述判断 【例题1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）某款汽车紧急刹车后滑行的距离s（单位：）大致满足，其中v（单位：）表示刹车前汽车的速度，这个关系式中的自变量和因变量分别是（    ） A．300；s B．s；300 C．s；v D．v；s 【答案】D 【分析】自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化而变化的量，据此判断即可． 【详解】解：∵在关系式中，刹车前汽车的速度是主动变化的量，滑行距离随的变化而变化， ∴自变量是，因变量是． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．在这个变化过程中，变量为______，常量为______． 【答案】 x，y 10 【分析】根据变量与常量的定义，判断在放置书籍的过程中数值发生变化的量和保持不变的量，即可求解． 【详解】解：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量， 由题意可知，书的总数是固定不变的，所以常量为， 第一个抽屉放入的本数和第二个抽屉放入的本数会随着放置情况的不同而变化，所以变量为，． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么下列各量中：①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量，变量的个数是_______． 【答案】3 【分析】本题考查了常量与变量的概念，掌握常量是固定不变的量，变量是随过程变化的量是解题的关键．依据变量的概念，判断汽车匀速行驶过程中各量是否发生变化，进而确定变量的个数． 【详解】解：由于汽车匀速行驶，所以①行驶速度是常量，数值保持不变． ②行驶时间会随行驶过程持续变化，是变量． ③行驶路程随行驶时间的变化而变化，是变量． ④汽车油箱中的剩余油量随行驶时间的增加而减少，是变量． 综上，变量共有3个， 故答案为3个． 【变式题1-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【答案】B 【分析】本题考查常量和变量，正确理解常量与变量的定义是解题的关键．常量是固定不变的量，变量是变化的量． 【详解】解：∵常量是固定不变的量，变量是变化的量， ∴单价是不变的量，而金额随着数量的变化而变化， ∴常量是单价． 故选B． 【题型2】表格法表示变量关系的数据分析 1.核心知识点: 表格中自变量与因变量的对应关系 变化趋势判断与平均变化量计算 2.解题方法技巧: 先确定表头对应的自变量和因变量，明确研究对象 计算相邻两组数据的差值，判断变化的快慢与方向 利用均匀变化的规律，推测表格中未给出的对应值 【例题2】.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切、项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温（） … 11 13 15 17 19 … 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … 56 70 84 98 112 … 根据表格规律，若该地当时的气温为，则这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为（     ） A．98次 B．112次 C．126次 D．140次 【答案】C 【分析】由表格中的数据可知，气温每上升，蟋蟀每分钟的鸣叫次数增加14次，据此列式计算即可． 【详解】解：由表格中的数据可知，气温每上升，蟋蟀每分钟的鸣叫次数增加14次， ∴若该地当时的气温为，则这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为次． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·全国·单元复习）通常婴儿在1~6个月生长发育得非常快，他们的体重y（单位：g）和月龄x（单位：月）之间的关系可以用来表示，其中a是婴儿出生时的体重．已知某婴儿出生时的体重为3500g，请完成下表． x/月 1 2 3 4 5 6 y/g 【答案】 x/月 1 2 3 4 5 6 y/g 【分析】由函数关系式代入计算即可． 【详解】解：由题意可得，，其中， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）在某地，人们发现某种蟋蟀在一定温度下叫的次数与温度之间有如下的近似关系： 当地温度x（℃） 5 6 7 8 9 … 蟋蟀1min叫的次数y（次） 14 21 28 35 42 … 根据表格，回答下列问题： (1)自变量是____________，因变量是___________； (2)当地的温度x每增加，这种蟋蟀叫的次数y增加____________． (3)当这种蟋蟀叫的次数时，求此时当地的温度． 【答案】(1)当地温度，蟋蟀叫的次数 (2)次 (3)此时当地的温度为 【分析】（1）根据自变量和因变量的定义，可得答案； （2）根据表格数据可得答案； （3）根据因变量的值，可得相应的自变量的值． 【详解】（1）略 （2）由表格数据可知：当地温度x每增加，这种蟋蟀叫的次数y增加7次； （3）解：当这种蟋蟀叫的次数时，设此时当地的温度， 由题意得 解得， 答：当这种蟋蟀叫的次数时，此时当地的温度为． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·单元复习）某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计）： 质量 1 2 3 4 5 费用/元 6.5 8.5 10.5 12.5 14.5 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量，哪个是因变量？ (2)随着交寄物品质量的增加，快递的费用是怎样变化的？ 【答案】(1)费用与质量两个变量之间的关系，质量是自变量，费用是因变量. (2)费用随着质量的增加而增加，质量为时，费用为元，质量每增加，费用增加元． 【分析】（1）由自变量和因变量的定义，结合表格解答即可． （2）观察表格中数据的变化即可解答． 【详解】（1）略． （2）略． 【题型3】均匀变化型关系式的建立 1.核心知识点: 实际问题中的等量关系提取 形如的关系式书写 2.解题方法技巧: 找准初始值（自变量为0时的因变量值，即）和单位变化量（即） 常见模型：总长度=原长+伸长量、剩余量=总量-消耗量、总费用=基础费用+增量费用 【例题3】.（25-26七年级下·河南开封·期末）2026年春节档电影《飞驰人生3》《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》分列档期票房前三名．根据以往统计数据显示，一线城市在春节档电影票房中占比约为，若春节档总票房为a元，一线城市的春节档电影票房为b元，则b与a的关系式为______． 【答案】 【分析】利用一线城市票房等于总票房乘以一线城市票房占比，即可得到与的关系式． 【详解】解∶根据题意可知，一线城市票房占总票房的，总票房为元，一线城市票房为元，因此可得 【变式题3-1】.（25-26八年级下·广东广州·期中）油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升／分钟，则油箱中剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数解析式是______．（不用写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】根据剩余油量等于原有存油量减去流出油量解答即可求解． 【详解】解：由题意得，原有存油量为升，分钟流出的油量为升， ∴剩余油量与流出时间的函数解析式是． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·北京西城·期中）某班同学在探究弹簧的长度随外力的变化关系时，使用50克的砝码进行实验，记录得到的相应数据如表，则弹簧的长度（厘米）与砝码的个数（个）之间的函数关系式是_____________（，且为整数） 砝码的个数 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧长度（厘米） 5 6 7 8 9 10 11 12 【答案】 【分析】观察表格中两个变量的变化规律，砝码个数每增加1，弹簧长度增加1厘米，时，据此可推导得到函数关系式． 【详解】解：根据表格数据，当时，，当砝码个数每增加1，弹簧长度增加1厘米， 因此弹簧长度与砝码个数之间的函数关系式为：． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）父亲和儿子在400米的标准跑道上进行赛跑，已知儿子跑5步的时间父亲恰好跑6步，儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等．现在儿子站在跑道200米的起点处，父亲站在400米的起点处，同时同向起跑． (1)设父亲每步的长为米，儿子每步的长为米，求与的关系式，并求父亲与儿子的速度之比． (2)父亲能否在第一次到达400米的终点处前追上儿子？请通过计算，说明理由． 【答案】(1)， (2)父亲能在第一次到达400米终点前追上儿子，理由如下： 因为父亲与儿子的速度之比为 所以父亲的速度为，则儿子的速度为， 设经过分钟后，父亲追上儿子， 由题意可得：， 解得， 因为父亲第一次到达终点的时间是，． 所以能在第一次到达400米终点前追上儿子． 【分析】（1）设父亲每步的长为米，儿子每步的长为米，根据题意得到，，然后根据“儿子跑5步的时间父亲能跑6步”列式求解即可； （2）首先得到父亲的速度为，则儿子的速度为，设经过分钟后，父亲追上儿子，根据题意列方程求出，然后求解即可． 【详解】（1）解：设父亲每步的长为米，儿子每步的长为米， 因为儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等． 所以， 所以． 因为儿子跑5步的时间父亲能跑6步， 所以， 所以父亲与儿子的速度之比为； （2）略 【题型4】关系式的代入求值计算 1.核心知识点: 已知自变量求对应因变量的值 已知因变量求对应自变量的值 2.解题方法技巧: 求因变量：将自变量的值直接代入关系式，按运算顺序计算 求自变量：将因变量的值代入关系式，转化为一元一次方程求解 【例题4】.（25-26七年级下·全国·单元复习）下图是某自行车行驶路程与时间之间的关系，分别计算自出发起内、内、内该自行车的平均速度． 【答案】，， 【分析】从图象中读取各时间段终点对应的路程，分别计算、、内的平均速度即可． 【详解】解：由图象可知， 内的平均速度为， 内的平均速度为， 内的平均速度为． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·全国·单元复习）学校组织郊外活动，两个课外兴趣小组匀速步行前进，第一组比第二组早出发，第一组经过抵达目的地．两组之间的距离y（单位：m）和第一组出发后的时间x（单位：）之间的关系如图所示． (1)请大致描述两组之间的距离的变化情况． (2)第二组从出发到抵达目的地共用了多长时间？ 【答案】(1)先增加后减少，其中减少分为两段，先减少的慢，后减少的快 (2) 【分析】（1）通过分析图象中两组之间的距离随第一组出发时间的变化趋势，即可解答； （2）通过分析图象得出第二组的出发时间和抵达时间，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知， 在时，第一组出发，第二组没出发，两组之间的距离增加， 在时，两组同时匀速前进，两组之间的距离减少， 在时，第一组已抵达目的地，两组之间的距离减少的更快． （2）解：由题意可知，第二组在时出发，在时抵达目的地， 故第二组从出发到抵达目的地共用了． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐被遗忘．德国心理学家艾宾浩斯（Hermann Ebbinghaus，1850-1909）最早研究了记忆遗忘规律．他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是艾宾浩斯遗忘曲线． 观察图象，回答下列问题： (1)经过，记忆保持了多少？ (2)图中A点表示什么？在哪个时间段内遗忘的速度最快？ (3)有研究表明，如及时复习，经过一天记忆能保持．根据遗忘曲线，如不复习，结果又怎样？由此，你有什么感悟？ 【答案】(1)经过，记忆保持量约为 (2)A点表示学习小时后记忆保持量低于；前两个小时遗忘的最快 (3)解：如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐被遗忘．如果一天不复习，记忆量只能保持大约，感悟：每天学习知识后要及时复习 【分析】（1）根据函数图象，即可求解． （2）根据点的横坐标和纵坐标结合题意，得出A点的意义；观察函数图象，即可得出遗忘的速度最快的时间段； （3）根据遗忘曲线，如果一天不复习，记忆量只能保持大约，要及时复习，言之有理，即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式题4-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）在地球某地，气温T（单位：）与海拔d（单位：）之间的关系可以近似用表示．根据这个关系式，计算d分别是0，200，400，600，800，1000时相应的T值，并用表格表示所得结果． 【答案】 海拔 0 200 400 600 800 1000 气温 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，. 表格略 【培优高频题型】 【题型5】根据容器形状判断注水高度-时间图象 1.核心知识点: 图象倾斜程度的实际意义 容器粗细与高度变化速度的关系 2.解题方法技巧: 匀速注水时，容器横截面积越小（越细），水面高度上升越快，图象越陡 分段粗细的容器对应分段图象，从底部到顶部依次分析每一段的倾斜程度 【例题5】.（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，容器的容积、水面的高度h、水面的面积S及注水量．其中为常量的是______． 【答案】容器的容积 【分析】根据常量的定义进行判断即可．变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． 【详解】解：∵容器的容积固定不变， ∴容器的容积是常量． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）有一个容积为的水池，现用10台抽水机从蓄满水的水池中同时抽水，已知每台抽水机每小时可抽水． (1)抽水后，水池中还有水________． (2)在这一变化过程中，哪些是变量？哪些是常量？ (3)几小时后才能把满池水抽干？ 【答案】(1)250 (2)时间、抽水机抽水总量是变量，水池的容积、每台抽水机每小时的抽水量是常量 (3)后才能把满池水抽干 【分析】本题考查了常量与变量：用关系式表示变量间的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合有一个容积为的水池，现用10台抽水机从蓄满水的水池中同时抽水，已知每台抽水机每小时可抽水，且抽水，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，得出时间、抽水机抽水总量是变量，水池的容积、每台抽水机每小时的抽水量是常量，即可作答． （3）结合有一个容积为的水池，现用10台抽水机从蓄满水的水池中同时抽水，已知每台抽水机每小时可抽水，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， 故答案为：250． （2）解：在这一变化过程中，时间、抽水机抽水总量是变量，水池的容积、每台抽水机每小时的抽水量是常量． （3）解：根据题意，得． 故后才能把满池水抽干 【变式题5-2】.（25-26八年级上·福建宁德·期中）水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置． 小明依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具，通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/min 1 2 3 4 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 6 7.5 9 下列说法中，不正确的是（   ） A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B．当经过的时间为3min时，容器中水的高度是6cm C．当容器中水的高度为6cm时，对应的时间为4min D．时间每增加1min，容器中水的高度增加1.5cm 【答案】B 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系， 根据表格数据，时间与水的高度成正比例关系，时间每增加，水的高度增加，，再逐项判断即可． 【详解】解：∵由表格数据，可知上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，时间时，水的高度； 当时，； 且时间每增加，h增加， ∴选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·陕西西安·期末）某海港某日时到时的水深随时间的变化如图所示，下列从图象中得到的信息正确的是（   ）    A．时水深最高 B．时到时之间水深持续上升 C．时的水深为 D．两次最高水深的时间间隔为小时 【答案】D 【分析】本题主要考查函数图象，由图象得出有用信息是解题的关键． 根据图象得出关键信息，逐一判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，时和时水深最高，故本选项不符合题意； B、由图象可知，时到时之间的水深先上升再下降，最后又上升，故本选项不符合题意； C、由图象可知，时的水深，故本选项不符合题意； D、两次最高水深的时间间隔为小时，故本选项符合题意． 故选：． 【题型6】行程图象的基础信息读取 1.核心知识点: 路程-时间图象的物理意义 停留、匀速行驶的图象特征 2.解题方法技巧: 水平线段表示停留状态（路程不变，时间增加） 倾斜线段表示匀速运动，速度=路程变化量÷对应时间变化量 【例题6】.（25-26七年级下·全国·课后作业）小明与家人在一次户外骑行途中骑车速度与时间之间的关系如图所示，请你想象并描述他们骑行途中的情境． 【答案】先加速行驶，然后匀速行驶一段后，开始减速，并最后停下（合理即可） 【详解】解：由图象可得，开始一段时间内，速度随着时间的增大而增大，然后速度不变，然后速度又随着时间的增大而减小，最后变为0， 故骑行途中的情境可以是：先加速行驶，然后匀速行驶一段后，开始减速，并最后停下（合理即可）． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）小华站在离家不远的公共汽车站等车．下面哪一幅图能较好地刻画等车这段时间内他离家的距离与时间之间的关系？ 【答案】图（3） 【详解】解：因为在等车这段时间内，小华离家的距离随时间的变化保持不变， 所以图象是一条平行于横轴（时间轴）的线段，即为图（3）． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·河北唐山·期中）一艘轮船从甲地驶往乙地，轮船的速度与航行时间之间的关系如下表： 速度 20 50 75 … 航行时间 7.5 3 2 … (1)甲、乙两地相距______km？ (2)航行时间是怎样随轮船的速度的变化而变化的？ (3)轮船的速度与航行时间之间成什么比例关系？ 【答案】(1)150 (2)航行时间t随速度v的增加而减小，随速度v的减小而增大 (3)反比例关系 【分析】本题考查变量之间的关系，掌握反比例关系的特点是解题的关键． （1）用任意一组数据中的速度乘以时间即可； （2）根据所给数据变化趋势可得答案； （3）根据可得答案． 【详解】（1）解：甲、乙两地相距， 故答案为：150； （2）解：由所给数据可得：航行时间t随速度v的增加而减小，随速度v的减小而增大． （3）解：∵甲、乙两地距离固定为， ∴v与t满足， ∴轮船的速度v与航行时间t之间成反比例关系． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·河南安阳·期中）小慧要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录入的时间t（分）与录入文字的速度v（字/分）之间的关系如下表： 完成录入的时间t（分） 100 90 75 60 … 录入文字的速度v（字/分） 45 50 60 75 … (1)这篇社会调查报告共有多少字？ (2)完成录入的时间是怎样随着录入文字的速度的变化而变化的？ (3)用代数式表示t与v之间的关系，t与v成什么比例关系？ 【答案】(1)4500字 (2)完成录入的时间随着录入文字的速度的增加而减少 (3)，反比例关系 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，反比例关系的应用． （1）根据完成录入的时间t乘以录入文字的速度v即可得出答案． （2）根据表格数据即可得出答案． （3）根据反比例关系的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：（字）． 答：这篇社会调查报告共有4500字． （2）解：由表可知，完成录入的时间随着录入文字的速度的增加而减少． （3）解：因为总字数一定，为4500， 所以，t与v成反比例关系． 【压轴素养题型】 【题型7】表格、关系式、图象的互相转化 1.核心知识点: 三种表示方法的内在一致性 变化规律的迁移应用 2.解题方法技巧: 表格转关系式：先计算单位变化量确定，再代入一组数据求初始值 关系式转图象：确定起点、终点与变化趋势，画出对应线段 图象转表格：读取图象上关键点的坐标，按自变量顺序整理成表格 【例题7】.（25-26八年级下·全国·期末）跨学科试题·物理  在烧开水时，水温达到就会沸腾，如表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的两个变量时间和温度的数据： 0 2 4 6 8 10 12 14 … 30 44 58 72 86 100 100 100 … 在水烧开之前（即），温度T与时间t的关系式及自变量分别为（     ） A．，t B．，t C．，t D．，T 【答案】A 【分析】根据表格信息即可求解． 【详解】解：由表格可得，开始时温度为，每增加1分钟，温度增加， ∴温度T与时间t的关系式为：，此时自变量为t． 【变式题7-1】.（25-26六年级下·山东济南·期中）小张准备乘出租车到距家超过的图书馆参观，出租车的收费标准如下： 里程数/km 收费/元 以内（含） 7.00 以外每增加1km 2.00 则小张应付车费y（元）与行驶里程数之间的关系式为______． 【答案】 【分析】根据出租车收费标准，总车费为以内的收费与以外超出部分收费的和，据此列代数式即可得到函数关系式． 【详解】解：由题意得，当时，超出的里程为， 因此应付车费， 故小张应付车费y（元）与行驶里程数之间的关系式为． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）某次茶艺比赛中指定使用的饮水机工作流程为：先将的饮用水加热到，然后马上停止加热，水温开始下降．已知整个过程中水温与通电时间的关系如下表所示： 0 1 2 3 4 8 10 20 … 20 40 60 m 100 50 40 20 … (1)在水温下降过程中，x与y满足某种比例关系，这种比例关系是 比例关系；用式子表示x与y之间的这种关系为 ． (2)比赛组织方要求，参赛选手必须把组织方提供的的饮用水用该款饮水机加热到，然后降温到方可使用．求从饮水机加热开始到可以使用需要等待多长时间？ 【答案】(1)反比例， (2) 【分析】（1）观察表格可知，在水温下降过程中，x与y的乘积等于400，据此可得答案； （2）根据（1）所求求出当时，，据此可得答案． 【详解】（1）解：观察表格可知，在水温下降过程中，x与y的乘积等于400， ∴x与y满足反比例关系，且， 故答案为：反比例，； （2）解：在中，当时，， ∴从饮水机加热开始到可以使用需要等待． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）数学兴趣小组探究如图所示的整齐叠放成一摞相同规格的碗的总高度y（单位：）随碗的数量x（单位：个）的变化规律．如表是该小组成员经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 … 10 12 14 16 … (1)当时，______； (2)由题意可以得到______；（用含x的代数式表示） (3)y的值可能是35厘米吗？为什么？（请用方程的知识解释） 【答案】(1)18 (2) (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）由表中的数据知：每增加一个碗，高度增加厘米，据此求解； （2）由（1）求出一个碗的高度，然后表示出y即可； （3）将代入列方程求解判断即可． 【详解】（1）解：由表中的数据知：每增加一个碗，高度增加厘米， ∴当时，； （2）解：由（1）得，增加一个碗的高度为 ∴； （3）解：不可能，理由如下： 当时，得：， 解得：，不是整数 ∴y的值不可能是35厘米． 易错点 1.自变量与因变量混淆：误将被动变化的因变量当作自变量，如“剩余页数随阅读天数变化”中，错把剩余页数当作自变量。 2.分段关系式分界点错误：阶梯收费问题中，分界处的数值重复计算或遗漏，导致关系式与实际不符。 3.图象坐标轴误判：将速度-时间图象误认为路程-时间图象，或忽略坐标轴的单位、刻度，造成计算错误。 4.忽略自变量的实际范围：计算时不考虑现实意义，得出负数时间、负质量等不符合实际的结果。 5.注水图象斜率判断颠倒：误认为容器越粗，水面高度上升越快、图象越陡，实际恰好相反。 重点 1.常量、变量、自变量、因变量的概念识别，以及三种表示方法的特点与适用场景。 2.根据实际问题建立变量关系式，掌握代入求值的基本方法。 3.路程、注水、收费等典型情境的图象识别，能从图象中提取关键数据并完成计算。 4.分段关系式与分段图象的对应分析，掌握阶梯收费、往返行程等高频模型。 难点 1.跨学科情境下的变量关系分析，需结合学科常识理解变化趋势与特殊节点的含义。 2.复杂分段图象的深度解读，涉及多段速度计算、多阶段状态分析的综合问题。 3.变量规律探究与定值问题，需要通过代数式变形分析不变量，对代数推理能力要求较高。 4.多方案比较与最优决策问题，需要结合方程与分类讨论思想确定最优范围。 【对应练习题】 一、单选题 1．某日李师傅加油时，加油机屏幕上显示的量如图所示，则加油机显示的量中为常量的是（  ）． A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和单价 【答案】C 【详解】解：在本次加油过程中： 单价（9.5元/升）全程固定不变，是常量； 随着加油进行，油量不断增加，总金额跟着油量变大，因此油量、金额是变量， 综上，常量为单价，故选C． 2．圆的周长公式中（     ） A．是常量，2是常数，与是变量 B．是变量，2是常量，与是常量 C．，，是变量，2是常量 D．与是变量，2与是常量 【答案】D 【分析】本题考查常量与变量的定义，常量是变化过程中数值保持不变的量，变量是数值发生变化的量，根据定义判断各量即可． 【详解】解：在圆的周长公式中，是固定数字，是圆周率，是固定不变的常数， 与是常量， 圆的周长随半径的变化而变化， 和是变量． 3．某车油箱中存油25升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余油量等于总存油量减去流出的油量，列出函数关系式即可求解． 【详解】解：∵流速为升/分钟，流出时间为分钟， ∴分钟流出的油量为升， 又∵剩余油量总存油量流出油量，总存油量为升， ∴． 二、填空题 4．一个蓄水池有的水，以每分钟的速度向池中注水，蓄水池中的水量与注水时间之间的关系式为______________． 【答案】 【分析】蓄水池总水量等于原有水量加上时间内注入的水量，据此即可列出关系式． 【详解】解：由题意得，． 5．小明同学用20元钱去买单价是3元的圆珠笔，则他剩余的钱（元）与他买这种圆珠笔的支数之间的关系是__________（不需要写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】根据剩余钱数等于总钱数减去购买圆珠笔的总花费，找出等量关系列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意可得，购买支单价为元的圆珠笔，总花费为元， 根据剩余钱数总钱数总花费，可得 ． 6．如图①，一种圆环的外圆直径是，环宽．如图②，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，如图③，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则与之间的关系式是___________． 【答案】 【分析】先分析单个圆环、两个圆环扣在一起时的长度，找出每增加一个圆环长度的变化规律，再据此列出个圆环扣紧时总长度与的关系式． 【详解】解：∵单个圆环的外圆直径为，环宽为， ∴每增加一个圆环，长度增加， ∵个圆环扣在一起时，第一个圆环长度为，后面还有个圆环， ∴总长度， ∵， ∴． 三、解答题 7．我国私人轿车保有量，2012年为5308万辆，2013年为6410万辆，2014年为7590万辆，2015年为8793万辆，2016年为10152万辆，2017年为11416万辆，2018年为12589万辆，2019年为13701万辆，2020年为14674万辆，2021年为15732万辆，2022年为16685万辆．用表格表示上述数据，并说一说我国私人轿车保有量是怎样随时间推移而变化的． 【答案】整理后的统计表如下： 年份 私人轿车保有量（万辆） 2012 5308 2013 6410 2014 7590 2015 8793 2016 10152 2017 11416 2018 12589 2019 13701 2020 14674 2021 15732 2022 16685 从表格中可以看出，从2012年到2022年，我国私人轿车保有量随时间推移逐年增加． 【分析】根据表格分析具体数据即可． 【详解】略 8．下图表示某港口某日从到水深变化的情况． (1)图中反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因变量？ (2)请描述水深随时间的变化而变化的情况． 【答案】(1)解：图象反映的是水深和时间两个变量之间的关系，时间是自变量，水深是因变量； (2)解：在时，水深不断上升；在时，水深不断下降． 【详解】（1）略 （2）略 9．碳排放计算公式： 家居用电的二氧化碳排放量（）=耗电量（）， 开私家车的二氧化碳排放量（）=耗油量（）， 如下表： 用电量（） 耗油量（） 小明家 200 150 我家 160 100 计算你家本月的二氧化碳排放量，并与“尝试·交流”中小明家相应的项目进行比较，谁家的生活更“低碳”些？你对家人有什么建议？ 【答案】解： 小明家：家居用电的二氧化碳排放量：， 开私家车的二氧化碳排放量：， 则小明家该月这两项二氧化碳的排放量为． 我家：家居用电的二氧化碳排放量：， 开私家车的二氧化碳排放量：， 则我家该月这两项二氧化碳的排放量为． 而； 我家生活更低碳， 建议：日常出行多选择公共交通，随手关灯节约用电. 【分析】分别计算两家的二氧化碳的排放量，再进一步求解即可. 【详解】略 10．下图呈现了大气压强与海拔之间的关系． (1)根据图中的数据填写下表． 海拔 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 大气压强 (2)随着海拔的变化，大气压强的变化趋势是怎样的？ 【答案】(1)，，，，，，，，． (2)随着海拔高度的增高，大气压强越来越低． 【分析】由图中海拔与大气压强的对应关系直接读取数据填表，观察可知海拔越高大气压强越低． 【详解】（1）略． （2）略． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $