1.1集合的概念导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合的概念，涵盖集合三要素、常用数集符号及列举法、描述法等核心知识点。通过学习目标明确方向，知识点从定义解析到三要素深度探究再到表示方法应用，层层递进构建学习支架，为后续常用逻辑用语学习奠定基础。 资料特色在于以实例辨析培养数学眼光中的抽象能力，通过含参数集合问题强化数学思维中的推理意识，区分描述法中数集与点集提升数学语言的符号意识。习题分层设计且易错点总结精准，助力学生构建知识体系，提升学习效率。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 一、学习目标 1. 理解集合本质（确定性、互异性、无序性），能辨析 “确定对象”； 1. 熟练掌握常用数集符号及表示； 1. 灵活运用列举法、描述法表示集合，理解描述法中 “代表元素” 的意义。 二、知识点精讲 1. 集合的定义与表示 定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集。 元素：一般用小写字母表示；集合：一般用大写字母表示；集合符号：{ } 例：A={0，1} 1. 集合与元素之间的关系 集合与元素之间我们通常用来表示，例如集合A={ 1、2、3}，则1A，4A 1. 集合三要素深度解析： 确定性：标准唯一（例：“班级里长得帅的” 不构成集合，“班上的男生”可以构成集合）； 互异性：集合中的元素要互不相同（例：{a, a²} 中 a≠a² ⇒ a≠0 且 a≠1）； 无序性：仅与元素构成有关，与顺序无关（{1,2} 与 {2,1} 是同一集合）。 常用数集 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N+/N* Z Q R 1. 集合表示方法： 列举法：适用于元素有限且较少 例：{x | x 是小于 5 的正奇数}={1,3}； 描述法：{x A|P（x)},{代表元素 | 约束条件} 例：A={x | x²-3x+2=0}={1,2}，代表集合A中元素为 x（数）；B={(x,y) | y=x+1}（代表集合B元素为点）； 1. 特殊的集合： 如果一个集合里面没有任何元素，我们把它称为空集，记作：∅ 三、例题解析 例 1：下列各组对象能构成集合的是（ ） A. 美丽的花朵 B. 身高超过 180cm 的同学 C. 接近 0 的数 D. 善良的人 答案：B 例 2：用适当方法表示下列集合 （1）方程 x²-4=0 的解构成的集合； （2）所有被 3 整除的整数构成的集合； （3）平面直角坐标系中第一象限的点构成的集合。 答案： （1）列举法：{2, -2}；描述法：{x | x²-4=0}； （2）描述法：{x | x=3k, k∈Z}； （3）描述法：{(x,y) | x>0 且 y>0}（注意代表元素是点） 例 3：请用填空 1 R 2.5 Z Q 2.718 N 例 4：已知集合 A={2, a+1, a²-2a}，若 3∈A，求实数 a 的值 答案： ① 若 a+1=3 ⇒ a=2，此时 A={2,3,0}（元素互不相等，符合互异性）； ② 若 a²-2a=3 ⇒ a²-2a-3=0 ⇒ a=3 或 a=-1： a=3 时，A={2,4,3}（符合互异性）； a=-1 时，A={2,0,3}（符合互异性）； 综上，a=2 或 3 或 - 1 四、课堂练习 1. 用列举法表示 “小于等于 5 且大于 - 3 的整数”：________ 答案：{-2,-1，0,1，2，3，4，5} 1. 集合 A={x | ax²-2x+1=0} 只有一个元素，求 a 的值 解：集合只有一个元素，说明方程ax²-2x+1=0有且只有一个实数解，分两种情况讨论： 当a=0时 原式变为一元一次方程：-2x+1=0 解得x= 此时集合A={}，只含有一个元素，满足题意。 当a≠0时 方程是一元二次方程，一元二次方程只有一个实数根的条件是判别式Δ=0 Δ=(-2)² - 4×a×1 = 4 - 4a 令4-4a=0，解得a=1 把a=1代入方程得x²-2x+1=0，变形为(x-1)²=0，方程仅有解x=1 此时集合A={1}，只含有一个元素，满足题意。 综上可得，a的取值为0或1。 1. 已知集合 M={x | x=2k+1, k∈Z}，N={x | x=2k-1, k∈Z}，判断 M 与 N 的关系 解： 分析集合M： M中元素x=2k+1，k取所有整数。 当k=0时，x=1；k=1时，x=3；k=-1时，x=-1； 集合M代表全体奇数。 分析集合N： N中元素x=2k-1，k取所有整数。 当k=1时，x=1；k=2时，x=3；k=0时，x=-1； 集合N也代表全体奇数。 换元证明： 设集合M内任意元素m=2k+1，令t=k+1，t∈Z， 则m=2(t-1)+1=2t-1，说明m符合集合N的形式，因此M⊆N。 设集合N内任意元素n=2k-1，令t=k-1，t∈Z， 则n=2(t+1)-1=2t+1，说明n符合集合M的形式，因此N⊆M。 因为M⊆N且N⊆M，所以M=N。 课后作业答案 1.【答案】  【解答】 解：对于，“某高中高一年级聪明的学生”，其中聪明没有明确的定义，故不能构成集合； 对于，“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”，符合集合的定义，能构成集合； 对于，“不小于的正整数”，符合集合的定义，能构成集合； 对于，“的近似值”，对近似的精确度没有明确定义，故不能构成集合． 综上所述，只有能构成集合，不能构成集合． 故选：． 2.【答案】  3.【答案】  【解答】 解：若，则， ， ； 若，则或， 时，， ； 时，舍，不符合互异性， 则或． 故选C． 4.【答案】  【解答】 解：当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，则，符合题意， 当时，有或，已知当时不符合题意， 当时，则，符合题意， 故的取值集合为． 故选：． 5.【答案】  【解答】 解：对于，为实数，而表示实数集，所以，即正确 对于，为整数，而表示整数集合，所以，即正确 对于，为正自然数，而表示正自然数集，所以，所以错误 对于，因为为无理数，表示有理数集，所以，即错误． 故选B． 6.【答案】  【解答】 解：对于，集合中的元素具有确定性，著名的作家不确定，故A错； 对于，是元素，是集合，故B错； 对于，集合 是无限集，故C错； 对于，方程的解集只有一个元素，故D正确． 故选D． 7.【答案】  【解析】解：表示自然数， 故集合 故选：． 8.【答案】解：集合， 由于，所以是的实数根，故，故； 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，，即，此时原方程的解为，符合题意． 故若中只有一个元素，的取值范围为或； 若中最多有一个元素，则中可能无任何元素或只有一个元素， 由知当时，中只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 故若中最多有一个元素，则的取值范围为或．  学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 一、学习目标 1. 理解集合本质（确定性、互异性、无序性），能辨析 “确定对象”； 1. 熟练掌握常用数集符号及表示； 1. 灵活运用列举法、描述法表示集合，理解描述法中 “代表元素” 的意义。 二、知识点精讲 1. 集合的定义与表示 定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集。 元素：一般用小写字母表示；集合：一般用大写字母表示；集合符号：{ } 例：A={0，1} 1. 集合与元素之间的关系 集合与元素之间我们通常用来表示，例如集合A={ 1、2、3}，则1A，4A 1. 集合三要素深度解析： 确定性：标准唯一（例：“班级里长得帅的” 不构成集合，“班上的男生”可以构成集合）； 互异性：集合中的元素要互不相同（例：{a, a²} 中 a≠a² ⇒ a≠0 且 a≠1）； 无序性：仅与元素构成有关，与顺序无关（{1,2} 与 {2,1} 是同一集合）。 常用数集 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N+/N* Z Q R 1. 集合表示方法： 列举法：适用于元素有限且较少 例：{x | x 是小于 5 的正奇数}={1,3}； 描述法：{x A|P（x)},{代表元素 | 约束条件} 例：A={x | x²-3x+2=0}={1,2}，代表集合A中元素为 x（数）；B={(x,y) | y=x+1}（代表集合B元素为点）； 1. 特殊的集合： 如果一个集合里面没有任何元素，我们把它称为空集，记作：∅ 三、例题解析 例 1：下列各组对象能构成集合的是（ ） A. 美丽的花朵 B. 身高超过 180cm 的同学 C. 接近 0 的数 D. 善良的人 例 2：用适当方法表示下列集合 （1）方程 x²-4=0 的解构成的集合； （2）所有被 3 整除的整数构成的集合； （3）平面直角坐标系中第一象限的点构成的集合。 例 3：请用填空 1 R 2.5 Z Q 2.718 N 例4：已知集合 A={2, a+1, a²-2a}，若 3∈A，求实数 a 的值 四、课堂练习 1. ：用列举法表示 “小于等于 5 且大于 - 3 的整数”：________ 1. ：集合 A={x | ax²-2x+1=0} 只有一个元素，求 a 的值 1. ：已知集合 M={x | x=2k+1, k∈Z}，N={x | x=2k-1, k∈Z}，判断 M 与 N 的关系 五、易错点总结 1. 描述法代表元素混淆：{x | y=x+1}（数集）与 {(x,y) | y=x+1}（点集）不同； 1. 含参数集合：漏检验互异性，导致参数取值错误。 6、 课后作业 一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.考察下列每组对象，能组成一个集合的是(    ) 某高中高一年级聪明的学生      直角坐标系中横、纵坐标相等的点 不小于的正整数            的近似值． A. B. C. D. 2.下列集合中，不同于另外三个集合的是(    ) A. B. C. D. 3.设集合，若，则(    ) A. 或或 B. 或 C. 或 D. 或 4.若，则的取值集合为(    ) A. B. C. D. 5.给出下列关系：；；；，其中正确的个数为(    ) A. B. C. D. 6.下列说法正确的是(    ) A. 所有著名的作家可以形成一个集合 B. 与的意义相同 C. 集合是有限集 D. 方程的解集只有一个元素 7.把集合用列举法表示，正确的是(    ) A. B. C. D. 二、解答题：本题共1小题，共12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 8.本小题分 已知集合． 若，求的值； 若中只有一个元素，求的取值范围； 若中至多有一个元素，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $