1.2 集合间的基本关系 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案围绕集合间的基本关系展开，引导学生辨析子集、真子集、相等的定义，用Venn图表示集合关系，掌握子集个数公式推导与应用，理解空集的特殊性。通过承接集合基本概念，结合定义辨析、举例归纳性质，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于通俗理解与严谨定义结合，通过对比辨析培养学生抽象能力，例题递进设计发展推理能力，易错点提醒和分层作业帮助规范数学语言表达，助力学生高效掌握知识，提升数学核心素养。

1.2 集合间的基本关系 学习目标 1. 辨析子集、真子集、相等的定义，能用 Venn 图表示集合关系； 1. 掌握子集个数公式的推导与应用； 1. 理解空集的特殊性，能解决含空集的集合关系问题。 知识点精讲 一、子集 1. 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集。 记作：A⊆B（读作“A包含于B”），或B⊇A（读作“B包含A”）。 2. 通俗理解 A里面所有东西，在B里面全都能找到，允许A和B完全一样。 3. 举例 集合A={1,2}，集合B={1,2,3} A中1、2都在B中，所以A⊆B。 集合C={1,2}，集合A={1,2} C中所有元素都在A里，A中所有元素也都在C里，所以C⊆A，同时A⊆C。 4. 重要性质 ①任何一个集合是它本身的子集：A⊆A ②空集是任何集合的子集：∅⊆A（A为任意集合） 二、集合相等 1.定义 如果集合A是集合B的子集（A⊆B），且集合B是集合A的子集（B⊆A），此时集合A与集合B中的元素完全相同，称集合A与集合B相等，记作A=B。 2. 举例 M={x|x=2k+1，k∈Z}，N={x|x=2k-1，k∈Z} M⊆N，N⊆M，所以M=N。 三、真子集 1.定义 如果集合A⊆B，但存在元素属于B，且不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 记作：A⫋B（读作“A真包含于B”）。 2.通俗理解 A全部在B里面，但是B里面有A没有的元素，A、B不能完全相同。 3. 举例 A={1,2}，B={1,2,3} A⊆B，且3∈B，3∉A，所以A⫋B。 A={1,2}，C={1,2} A⊆C，但C中不存在不属于A的元素，因此A不是C的真子集。 4.重要性质 空集是任何非空集合的真子集： 若集合A不是空集，则∅⫋A。 四、子集与真子集核心区别总结 1. 子集：允许两个集合完全相等； 2. 真子集：两个集合一定不能相等，大集合必须多出至少一个元素； 3. 关系推导：A⫋B 可以推出 A⊆B；但A⊆B 不能推出A⫋B。 五、Venn 图 A 1、2 3 4、5 B A={1、2、3} B={3、4、5} 六、例题 例1：写出集合{1,2}所有子集、所有真子集 填写下表，并回答问题． 原集合 子集 子集的个数                                                                                         由此猜想，含个元素的集合的所有子集的个数是多少真子集的个数及非空真子集的个数呢 总结： 子集个数公式推导： 含 n 个元素的集合，每个元素有 “属于子集” 和 “不属于子集” 2 种选择；故子集个数 = 2×2×…×2（n 个 2）=2ⁿ； 真子集个数 = 2ⁿ-1（去掉自身）； 非空真子集个数 = 2ⁿ-2（去掉自身和空集）。 例2：若集合，则的真子集的个数为(    ) A. B. C. D. 例3： 吗 吗 与是什么关系 例4.下列各选项中，表示的是(    ) A. B. C. D. 例5：指出下列各组集合之间的关系： ， 是矩形，是两条对角线相等的平行四边形 ， ，． 七、易错点提醒 1. 很多同学会漏掉空集，任何集合的子集、真子集都包含空集； 2. 一个集合永远不是自己的真子集； 3. 空集只有子集（自身），没有真子集。 4.空集遗漏：讨论 A⊆B 时，未先考虑 A=∅的情况； 八、课后作业 一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列元素与集合或集合与集合的关系中正确的是(    ) A. B. C. D. 2.已知集合，若集合有且仅有个子集，则的取值是(    ) A. B. C. ， D. ，， 3.已知，则集合的子集个数是(    ) A. B. C. D. 4.已知集合，则集合的真子集的个数为(    ) A. B. C. D. 5.已知，，若集合，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.已知集合，，若，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.下列五个写法：其中错误写法的个数为(    ) A. B. C. D. 8.已知集合，，若，则的值为(    ) A. B. C. D. 或 二、解答题：本题共1小题，共12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.设集合，． 若，试判定集合与的关系 若，求实数组成的集合． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 集合间的基本关系 学习目标 1. 辨析子集、真子集、相等的定义，能用 Venn 图表示集合关系； 1. 掌握子集个数公式的推导与应用； 1. 理解空集的特殊性，能解决含空集的集合关系问题。 知识点精讲 一、子集 1. 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集。 记作：A⊆B（读作“A包含于B”），或B⊇A（读作“B包含A”）。 2. 通俗理解 A里面所有东西，在B里面全都能找到，允许A和B完全一样。 3. 举例 集合A={1,2}，集合B={1,2,3} A中1、2都在B中，所以A⊆B。 集合C={1,2}，集合A={1,2} C中所有元素都在A里，A中所有元素也都在C里，所以C⊆A，同时A⊆C。 4. 重要性质 ①任何一个集合是它本身的子集：A⊆A ②空集是任何集合的子集：∅⊆A（A为任意集合） 二、集合相等 1.定义 如果集合A是集合B的子集（A⊆B），且集合B是集合A的子集（B⊆A），此时集合A与集合B中的元素完全相同，称集合A与集合B相等，记作A=B。 2. 举例 M={x|x=2k+1，k∈Z}，N={x|x=2k-1，k∈Z} M⊆N，N⊆M，所以M=N。 三、真子集 1.定义 如果集合A⊆B，但存在元素属于B，且不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 记作：A⫋B（读作“A真包含于B”）。 2.通俗理解 A全部在B里面，但是B里面有A没有的元素，A、B不能完全相同。 3. 举例 A={1,2}，B={1,2,3} A⊆B，且3∈B，3∉A，所以A⫋B。 A={1,2}，C={1,2} A⊆C，但C中不存在不属于A的元素，因此A不是C的真子集。 4.重要性质 空集是任何非空集合的真子集： 若集合A不是空集，则∅⫋A。 四、子集与真子集核心区别总结 1. 子集：允许两个集合完全相等； 2. 真子集：两个集合一定不能相等，大集合必须多出至少一个元素； 3. 关系推导：A⫋B 可以推出 A⊆B；但A⊆B 不能推出A⫋B。 五、Venn 图 A 1、2 3 4、5 B A={1、2、3} B={3、4、5} 六、例题 例1：写出集合{1,2}所有子集、所有真子集 【答案】 全部子集：空集，{1}，{2}，{1,2} 全部真子集：空集，{1}，{2} 分析：{1,2}是自身的子集，但不是自身的真子集。 填写下表，并回答问题． 原集合 子集 子集的个数                                                                                         由此猜想，含个元素的集合的所有子集的个数是多少真子集的个数及非空真子集的个数呢 【答案】 原集合 子集 子集的个数 ， ，，， ，，，，，，， 猜想：含个元素的集合的子集共有个，真子集有个，非空真子集有个． 总结： 子集个数公式推导： 含 n 个元素的集合，每个元素有 “属于子集” 和 “不属于子集” 2 种选择；故子集个数 = 2×2×…×2（n 个 2）=2ⁿ； 真子集个数 = 2ⁿ-1（去掉自身）； 非空真子集个数 = 2ⁿ-2（去掉自身和空集）。 例2：若集合，则的真子集的个数为(    ) A. B. C. D. 例3： 吗 吗 与是什么关系 【答案】提示：，是数，是集合． ，不含任何元素．． 例4.下列各选项中，表示的是(    ) A. B. C. D. 【答案】   例5：指出下列各组集合之间的关系： ， 是矩形，是两条对角线相等的平行四边形 ， ，． 【答案】解，B. ，两个集合都表示矩形构成的集合，故A． 集合与集合都表示正奇数组成的集合，但由于，所以，且，故 ，用数轴表示集合，，如图所示，由图可知B. 七、易错点提醒 1. 很多同学会漏掉空集，任何集合的子集、真子集都包含空集； 2. 一个集合永远不是自己的真子集； 3. 空集只有子集（自身），没有真子集。 4.空集遗漏：讨论 A⊆B 时，未先考虑 A=∅的情况； 八、课后作业答案 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查元素与集合的关系，集合包含关系的判断，属于基础题． 根据元素与集合的关系以及子集关系理解判断． 【解答】 解：不含任何元素的集合，则，A错误； 为全体自然数组成的集合，是自然数，则，B错误； 为全体实数组成的集合，为全体有理数组成的集合， 有理数属于实数，则，C错误； 为任何集合的子集，则，D正确． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查子集的概念，解题时要认真审题，属于中档题． 若有且仅有两个子集，则为单元素集，所以关于的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数的取值范围． 【解答】 解：由题意可得，集合为单元素集， 当时，，此时集合的两个子集是，，满足题意； 当时  则解得， 当时，集合的两个子集是，， 当时，集合的两个子集是，， 均满足题意． 综上所述，的取值为，，． 故选D． 3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  【解析】解：若集合，则，即，， 所以， 所以且， 所以，， ． 故选：． 6.【答案】  【解析】当，即，  故时，满足当，要使，  则满足解之得  综上可知，． 7.【答案】  【解析】解：对于，“”是用于元素与集合，故错； 对于，是任意集合的子集，故对； 对于，集合中的元素有确定性、互异性、无序性，两个集合是同一集合，故对； 对于，因为是不含任何元素的集合，故错； 故错误的有，共个， 故选B． 8.【答案】  【解析】解：因为，所以或， 当时，，则，不符合题意， 当时，，则，即，，符合题意， 综上所述，的值为． 故选：． 9.【答案】解若， 此时，， 故BA. ， 时，，符合； 时，， 若，则或，即或． 综上，实数组成的集合为 【解析】本题考查含参数的集合关系的应用，以及集合关系的判断，属中档题． 化简集合、，即可判断、关系； 对分情况讨论，根据求得的值即可得解． 学科网（北京）股份有限公司 $