20.2 二次根式的乘除 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次根式的乘除运算，涵盖乘法法则、积与商的算术平方根性质及最简二次根式，通过名画面积问题、复习旧知等导入方式，衔接前后知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以合作探究引导学生从计算实例中发现规律，培养推理意识，典例精析结合长方形面积等实际问题强化应用意识，新知小结严谨推导法则条件。帮助学生提升运算能力和数学思维，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

20.2 二次根式的乘除 20.2 二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法 　　1.理解二次根式的乘法法则:·＝(a≥0，b≥0).（重点） 2.掌握二次根式的乘法运算，并能应用二次根式的乘法法则， 进行二次根式的乘法计算.（难点） 学 习 目 标 新 课 导 入 下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作的世界名画，请根据不同的已知条件，分别表示出它的面积. (1)当长为3m，宽为2n,则面积S = ; (2)当长为 ,宽为 时，则S = . 6mn 你知道这是什么运算？又如何进行计算呢？ 合 作 探 究 1.计算下列各式: 10 10 12 12 观察计算结果,你发现什么规律？ 合 作 探 究 💡二次根式的乘法法则 （积的乘方法则） （算术平方根的意义） 另一方面，≥0. 根据算术平方根的意义，可得是的算术平方根，即. 新 知 小 结 例1 计算： (1) (2) 解： 典 例 精 析 试回顾如何计算3a2·2a3= . 还记得单项式乘以单项式的法则吗？ 想一想： 如何计算呢？ 6a5 解： 思 考 二次根式的乘法扩充法则 第一步：根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数； 第二步：根式和根式按公式相乘. 利用它可以进行二次根式的化简. 新 知 小 结 例2 计算: （1）2×3； 解：（1）原式＝(2×3)(×)＝6 . (2) （2）原式＝6×(-2)× ＝-12× ＝-12× 典 例 精 析 1.下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2.填空： D 2 随 堂 练 习 3.计算： （2）由题意可得，a＞0，b＞0. 随 堂 练 习 4.设长方形的面积为S，相邻两边分别为a,b. （1）已知a=,b= ,求S； 解：由题意得： S = a·b= · = = . （2）已知a=,b=3，求S. 解：由题意得： S =a·b= 3= =240. 随 堂 练 习 法则： 二次根式的乘法法则 扩充法则： 课 堂 总 结 20.2 二次根式的乘除 第2课时 积的算术平方根 1. 利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算；(重点) 2. 会进行简单的二次根式的乘法运算. (重点、难点) 学 习 目 标 复 习 导 入 计算： （1）· （≥0）； （2）3·2. 解：（1）∵a≥0， ∴原式= =︱4a︱=4a. （2）原式= 6= 30. 合 作 探 究 填空： ＝ ＝ ＝ 思考　你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？ 合 作 探 究 反过来： （≥0，b≥0） （≥0，b≥0） 一般的： 在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数． 新 知 小 结 例1 化简 ，使被开方数不含完全平方的因数. 解： = = × = 这里，被开方数12=22×3，含有完全平方的因数22，通常可根据积的算数平方根的性质，并利用=a(a≥0)，将这个因数“开方”出来. 典 例 精 析 例2 判断下列计算是否正确，若不正确，请予以改正． 思 考 1.（中考·海南）计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3.下列各等式成立的是（ ） D 2.等式成立的条件是（ ） A. x ≥ 1 B. x ≥ –1 C. –1 ≤ x ≤ 1 D. x ≥ 1 或 x ≤ –1 A D 随 堂 练 习 4.计算： 解： 随 堂 练 习 5.设正方形的面积为S，边长为a. (1)已知S=50，求a； 解：由题意得： a= = = = ×= 5. (2)已知S=242，求a. 解：由题意得： a= = = = ×= 11 . 随 堂 练 习 积的算术平方根 （a≥0，b≥0） 课 堂 总 结 20.2 二次根式乘除 第3课时 二次根式的除法 1.掌握二次根式除法法则和商的算术平方根的性质.（重点） 2.会利用除法法则进行二次根式的运算.（难点） 3.理解最简二次根式的概念.（重点） 学 习 目 标 复 习 导 入                                                                                     二次根式的乘法法则： 积的算术平方根： =（a≥0，b≥0） = （a≥0，b≥0） 合 作 探 究 1.计算下列各式: 观察计算结果,你发现什么规律？(请用式子表示这一规律). （≥0，b＞0） 合 作 探 究 一般地，有 分母不能为0. 这里为什么要求 a ≥ 0，b > 0？ 新 知 小 结 例1 计算 解: 小提醒： 运算结果要最简. 小提醒： 除式是分数（或分式）的先要转化为乘法再进行运算. 典 例 精 析 请计算：= . 二次根式的乘法扩充法则: = 二次根式的除法扩充法则: = (m ) 想一想：如何计算 解：原式 思 考 （ （2）原式= = 典 例 精 析 类似的，把二次根式的除法法则反过来，就得到 我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质. 小提醒： 记住成立的条件！ 合 作 探 究 例3 化简，使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含字母. 二次根式的被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母“配”成完全平方，再“开方”出来。 通常将这种化简过程称为分母有理化。 解：. 典 例 精 析 化简/计算/带根号的分式/分母有理化 结果满足条件 最简二次根式 被开方数中不含分母 根号中无分母 分母中无根号 被开方数中不含 开的尽方的因数或因式 根号中的数无法再拆下去 新 知 小 结 例4 化简：（1） ；（2）（要求分母不带根号） 解：（1） 寻找分母的有理化因式，应找最简单的有理化因式，也可灵活运用我们学过的性质和法则，简化、优化解答过程. （2）. 典 例 精 析 2.若使等式 成立，则实数k的取值范围是（ ） A. k≥1 B.k≥2 C.1＜k≤2 D.1≤k≤2 B 1.计算（ ） A. B.5 C. D. A 随 堂 练 习 3.若a＞0，把化为最简二次根式为 . 4.已知，则n的取值范围是 . 5.若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 . ≤n＜0 随 堂 练 习 随 堂 练 习 法则 二次根式除法 扩充法则： 商的算术平方根： 最简二次根式 课 堂 总 结 (1)6×(－3)； (2)· . 解：(1)原式＝－18＝－18＝－18×9＝－162. 原式＝·＝＝ . 1.________×. 2.________×. 3.________×. ＝·(a≥0，b≥0)． (1)＝×； (2)×＝4××＝4×＝8. 解：不正确，＝＝6. 解：不正确，×＝＝＝4. 例2 (1)2÷5； 解:(1)原式＝ ＝ ＝. 6．计算：÷(3)×(－5)． 解：原式＝×× ＝× ＝× ＝－. $