精品解析：2026年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区中考前模拟数学试题

初三下学期三模测试数学试卷 （考试时间120分钟 总分120分） 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列数学符号既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 6. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的分式方程无解，则m的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 或 8. 我校开展以“迎2026年黑龙江省第十六届运动会”为主题的体育活动，计划拿出1800元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的班级，已知甲种奖品每件150元，乙种奖品每件100元，则购买方案中甲种奖品比乙种奖品少的有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 9. 如图1，在矩形中，点从点出发，沿折线向点匀速运动，过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为的长为，其中y关于的函数图象大致如图2所示，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 10. 已知二次函数（a，b，c为常数，）图象的顶点坐标是，且经过点，．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不相等的实数根；③；④对于任意实数t，总有．⑤当，时，y的最小值是1，则或6．其中正确的结论有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 据统计，今年国庆节期间累计全社会跨区域人员流动量约次，将数据用科学记数法表示为_____． 12. 若一个圆锥的侧面展开图是半径为18，圆心角是的扇形，则这个圆锥的全面积是________ 13. 如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为__________． 14. 如图，四个边长均为1的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，其中一个顶点在反比例函数的图像上，则k的值为______． 15. 在中，，，，点D在上，且，连接．将沿直角边翻折，得到线段，连接，点P在射线上，且，则的长是________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．四边形都是矩形，顶点都在轴上，顶点都在直线上，对角线都与直线垂直，设矩形的面积分别为，，依此规律，则_____． 三、解答题（本题共8道大题，共72分） 17. 完成下列各题： （1）计算：； （2）分解因式：． 18. 解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 19. 解方程：． 20. 某市教育局为了解学生完成课后作业时间，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图： 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）在调查活动中，教育局采取的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）； （2）教育局抽取的初中生有________人，扇形统计图中的值是________； （3）补全频数分布直方图； （4）若该市共有初中生10000名，估计平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生人数． 21. 如图，为的直径，、为上的两点，，过点作直线，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 甲，乙两人相约从大庆市去昂昂溪水师温泉（假设大庆市，昂昂溪水师温泉，昂昂溪动车车站顺次在同一条直线上）．甲乘私家车出发1小时后，乙乘坐动车出发，图中平行于轴的线段表示乙正在等待出租车，之后乘出租车去水师温泉（乙下了动车后走到出租车站点所用时间忽略不计），出租车的平均速度是每小时48千米，两人恰好同时到达水师温泉，两人距水师温泉的路程千米与乘车时间（小时）的关系如图所示．请结合图象解决下面问题： （1）图中动车所行的总路程为________千米，图中点的纵坐标为________；乙下了动车后，等了________分钟后上了出租车； （2）求出线段所在直线的解析式； （3）直接写出乙出发后经过多少小时，两人相距70千米？ 23. 综合与实践 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】 （1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的点，连接，，若，则线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，，点，分别是边，上的点，点是边上一点，连接，，若，求的值； 【知识迁移】 （3）如图3，在四边形中，，点，分别在线段，上，且，连接，若，，，则的值为________； 【拓展应用】 （4）如图4，在矩形中，，，点，分别在边，上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为________． 24. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴交线段于点G，点H在对称轴上，且在点G的上方，若以H，C，G为顶点的三角形与相似，则点H的坐标为________； （3）点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D．点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （4）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三下学期三模测试数学试卷 （考试时间120分钟 总分120分） 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的倒数是． 2. 下列数学符号既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形是沿一条直线折叠后，直线两旁部分能完全重合的图形，中心对称图形是绕某点旋转后能与原图形重合的图形，依据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断各选项即可求解． 【详解】A选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． B选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． C选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． D选项是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法、合并同类项、单项式乘单项式、积的乘方运算法则，逐一验证各选项即可． 【详解】A、根据同底数幂除法法则，同底数幂相除底数不变，指数相减，，故A运算正确； B、与不是同类项，不能合并，故B运算错误； C、根据单项式乘法法则，同底数幂相乘底数不变指数相加，，故C运算错误； D、根据积的乘方法则，积的乘方等于积中每个因式分别乘方，，故D运算错误． 4. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 5. 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案． 根据三视图的知识，主视图是由4个小正方形组成，而左视图是由4个小正方形组成，故这个几何体的底层最少有3个小正方体，第2层最少有1个小正方体． 【详解】解：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有个小正方体， 第二层最少有1个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体最少有个． 故选：A． 6. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：转盘被分成4个面积相等的扇形， ∴共有4种等可能的结果，分别为2，3，4，5． ∵其中奇数有3，5，共2个， ∴指针指向的数字为奇数的概率． 7. 关于x的分式方程无解，则m的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程无解分两种情况，一是去分母得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，结合增根定义分类讨论即可求出的值． 【详解】解：给原方程两边同乘去分母得， 整理化简得， 移项整理得， 分两种情况讨论： 情况1：整式方程无解： ∵一次项系数为0，常数项不为0时整式方程无解， ∴且， 解得，符合要求； 情况2：整式方程有解，但解为原分式方程的增根， 原分式方程公分母为，增根满足，即或， 将代入，得，即，等式不成立，舍去； 将代入，得，解得，符合要求； 综上，或． 8. 我校开展以“迎2026年黑龙江省第十六届运动会”为主题的体育活动，计划拿出1800元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的班级，已知甲种奖品每件150元，乙种奖品每件100元，则购买方案中甲种奖品比乙种奖品少的有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】A 【解析】 【分析】先设出甲、乙两种奖品的购买数量，根据总费用列出二元一次方程，结合，为正整数和甲比乙少的条件，统计符合要求的方案数量即可． 【详解】解：设购买甲种奖品件，乙种奖品件，，均为正整数， ∵总费用为1800元，甲单价150元，乙单价100元， ∴， 化简得， 整理得， ∵是正整数， ∴为正偶数， ∴为正偶数，且， ∴， ∵要求甲种奖品比乙种少，即， ∴代入得， 解得， 结合为正偶数且，可得的取值为，共3种符合要求的方案． 9. 如图1，在矩形中，点从点出发，沿折线向点匀速运动，过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为的长为，其中y关于的函数图象大致如图2所示，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】点Q运动到点B处时，为4，即为4，当点P运动到点D处时，路程为8，即为8，证明，求出、，在中利用勾股定理求出即可． 【详解】解：由图2得，当点Q运动到点B处时，为4，即为4， 如图，当点P运动到点D处时，路程为8，即为8， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：D． 10. 已知二次函数（a，b，c为常数，）图象的顶点坐标是，且经过点，．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不相等的实数根；③；④对于任意实数t，总有．⑤当，时，y的最小值是1，则或6．其中正确的结论有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】先根据顶点坐标和已知点得到参数关系，再由 的范围得到 的取值范围，最后逐一判断各结论即可． 【详解】解：∵二次函数顶点坐标为， ∴对称轴为直线，即，得， 设顶点式为， 将代入得， 即，得， 当时，，代入得， ∵， ∴， 解得， ∴ ，，， ∴，故①错误； ②原方程整理得，左边为非负数， 当时，，方程无解，故②错误； ③， ∵， ∴， ∴，即，故③正确； ④代入得：， ∵ ， ∴，不满足对任意 都有，故④错误； ⑤当时，得，开口向上，对称轴， ∴， ∴， 区间中 最小值为， 若，即，最小值在处， ∴， 解得或（舍）； 若，即时，当时，取最小值，无解； 若，最小值在处， ∴， 解得或（舍）， 故或，结论⑤错误； 综上，只有1个结论正确． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 据统计，今年国庆节期间累计全社会跨区域人员流动量约次，将数据用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若一个圆锥的侧面展开图是半径为18，圆心角是的扇形，则这个圆锥的全面积是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长求出底面半径，再分别计算侧面积与底面积，求和得到全面积． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，侧面展开扇形的半径，圆心角为， 由圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，得 解得， 圆锥侧面积为：， 圆锥底面积为：， 因此圆锥的全面积为：． 13. 如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，， 由作图知平分，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，尺规作图—作角平分线，等边三角形的判定和性质，正切函数的定义，求得是解题的关键． 14. 如图，四个边长均为1的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，其中一个顶点在反比例函数的图像上，则k的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键． 过点P作轴于点E，依题意得：，，，，进而根据勾股定理求得，证明，得到，求出，， 同理可得，得到，求得，，进而，因此点P的坐标为，将点P坐标代入函数中即可求出k的值． 【详解】解：过点P作轴于点E， 如图所示： 依题意得：，，，， 在中 ，， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， 同理可证：， ∴，即 ∴，， ∴， ∴点P的坐标为， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：6． 15. 在中，，，，点D在上，且，连接．将沿直角边翻折，得到线段，连接，点P在射线上，且，则的长是________． 【答案】或##20或4 【解析】 【分析】分沿两条直角边翻折两种情况讨论，利用直角三角形的三角函数性质求解线段长度． 【详解】解：如图，沿翻折得，则 ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，沿翻折得，连接，交于点，设交于点， ∵折叠， ∴，， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 综上，的长为或． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．四边形都是矩形，顶点都在轴上，顶点都在直线上，对角线都与直线垂直，设矩形的面积分别为，，依此规律，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数与坐标轴交点的特点求得和，利用勾股定理求得，从而利用等面积法求得，根据矩形的性质易证，从而根据相似三角形对应边成比例求得，，进而求得；然后通过证明，求得，同理可证，得到，，进而求得；同理得到、，进而探究出规律，即可解答． 【详解】解：∵直线交轴于点，交轴于点， 令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴ ∴，， ∴， 同理，，， ， ∴． 三、解答题（本题共8道大题，共72分） 17. 完成下列各题： （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 18. 解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 【答案】，非负整数解为0 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再求出其非负整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解为， ∴不等式组的非负整数解为0． 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． 用求根公式法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 20. 某市教育局为了解学生完成课后作业时间，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图： 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）在调查活动中，教育局采取的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）； （2）教育局抽取的初中生有________人，扇形统计图中的值是________； （3）补全频数分布直方图； （4）若该市共有初中生10000名，估计平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生人数． 【答案】（1）抽样调查 （2）； （3） （4）人 【解析】 【分析】（1）选择正确的调查方式即可； （2）根据A组人数和占比，即可求得抽取的人数；再计算的值即可； （3）用总人数减去其他组别人数即可； （4）根据样本估计总体即可解答． 【小问1详解】 解：在调查活动中，教育局采取的调查方式是抽样调查； 【小问2详解】 解：（人）， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：（人）， 条形统计图略 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生人数为人． 21. 如图，为的直径，、为上的两点，，过点作直线，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）16 【解析】 【分析】（1）连接，等边对等角结合等量代换得到，进而得到，得到，即可得证； （2）连接，易得四边形为矩形，进而得到，垂径定理得到，勾股定理求出的长即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵，交的延长线于点，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 甲，乙两人相约从大庆市去昂昂溪水师温泉（假设大庆市，昂昂溪水师温泉，昂昂溪动车车站顺次在同一条直线上）．甲乘私家车出发1小时后，乙乘坐动车出发，图中平行于轴的线段表示乙正在等待出租车，之后乘出租车去水师温泉（乙下了动车后走到出租车站点所用时间忽略不计），出租车的平均速度是每小时48千米，两人恰好同时到达水师温泉，两人距水师温泉的路程千米与乘车时间（小时）的关系如图所示．请结合图象解决下面问题： （1）图中动车所行的总路程为________千米，图中点的纵坐标为________；乙下了动车后，等了________分钟后上了出租车； （2）求出线段所在直线的解析式； （3）直接写出乙出发后经过多少小时，两人相距70千米？ 【答案】（1）240，96，12 （2） （3）当乙出发小时或小时或小时，两人相距70千米. 【解析】 【分析】（1）从图象中获取信息，求出动车行驶的总路程，进而求出动车的速度，求出动车到达点时行驶的路程，进而求出点的纵坐标，再求出私家车的速度，进而求出私家车到达温泉所用时间，求出乙乘坐出租车的时间，进而得到点的横坐标，求出乙等车的时间即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）分3种情况，进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：由图象可知，图中动车所行的总路程为（千米）； ∴动车的速度为（千米/小时）， ∴点的纵坐标为， ∴私家车的速度为（千米/小时）， ∴甲到达温泉的时间为小时， ∵出租车的平均速度是每小时48千米， ∴乙乘坐出租车的时间为小时， ∴点的横坐标为， ∴乙下了动车后，等了（分钟）； 【小问2详解】 解：由图象和（1）可知：， 设线段所在直线的解析式为， ∴，解得， ∴； 【小问3详解】 解：设乙出发后经过小时，两人相距70千米， 由图象可知：动车经过温泉时，所用时间为 当甲乙相遇前，，解得， 当甲乙相遇后，动车未到站之前，，解得， 当乙刚坐上出租车时，即时，甲乙之间的距离为， ∴在乙等车期间，甲乙两人相距70千米时，，解得； 综上：当乙出发小时或小时或小时，两人相距70千米. 23. 综合与实践 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】 （1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的点，连接，，若，则线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，，点，分别是边，上的点，点是边上一点，连接，，若，求的值； 【知识迁移】 （3）如图3，在四边形中，，点，分别在线段，上，且，连接，若，，，则的值为________； 【拓展应用】 （4）如图4，在矩形中，，，点，分别在边，上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为________． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）设与的交点为，根据正方形的性质证明，即可求解． （2）过点作于点，与的交点为，先证明四边形是矩形，得到，，再证明，即可求出的值． （3）由勾股定理，得出，再根据三角形的面积，得出，然后证明，即可求出的值． （4）连接，利用折叠的性质，证明，得到，再结合（2）得出，然后作点关于的对称点，连接，当三点共线时，有最小值为的长，最后结合勾股定理求出的最小值． 【小问1详解】 解：如图，设与的交点为， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图，过点作，与的交点为， 四边形是矩形， ，， ， ， 所以四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ． 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，与的交点为， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问4详解】 解：如图，连接， 由折叠的性质可知，，，，， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（2），同理可得，即， ， 作点关于的对称点，连接， ，，则， ， 当三点共线时，有最小值为的长，即有最小值为的长， ， 有最小值， 有最小值． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理等知识点，作出对应的辅助线是解题的关键． 24. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴交线段于点G，点H在对称轴上，且在点G的上方，若以H，C，G为顶点的三角形与相似，则点H的坐标为________； （3）点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D．点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （4）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标________． 【答案】（1） （2）或 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）画出图形，根据相似三角形的性质即可解答； （3）将点向右平移2个单位得到点，连接交轴于点，过点作，连接，则此时最小，即可求解； （4），则，则直线的表达式为：，即可求解；当点在上方时，同理可解． 【小问1详解】 解：在中，令，则， ， ， ， ， 即点， 由题意得， 解得， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：令， 解得，， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ， 解得， 所以直线的表达式为， ， ∴抛物线的对称轴为直线， ， ， 若以H，C，G为顶点的三角形与相似， 当时，如图，可得， 当时，如图， , ， , ， 综上，点H的坐标为或； 【小问3详解】 解：设点，则点， 则， 当时，取得最大值，则点、，则， 将点向右平移2个单位得到点，连接交轴于点，过点作，连接， 则四边形为平行四边形，则， 则此时为最小； 【小问4详解】 解：将该抛物线沿射线方向平移，， 抛物线左右和上下平移的距离相同， 设向左平移个单位，则向下平移了个单位， 则新抛物线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则新抛物线的表达式为：， 设直线的表达式为， 把代入可得，， 解得， 所以直线的表达式为：， 当点在下方时， ，则， 则直线和表达式中的值相同， 而过点， 则直线的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点； 当点在上方时， 设交于点， 可得和关于直线对称， ， ， 设，解得， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ， 解得 所以直线的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点，； 综上，点的坐标为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $