高二暑假收心卷01（暑假测试）新高二数学人教B版

**基本信息** 暑假收心卷聚焦人教B版选择性必修第一册，通过空间向量、解析几何等核心知识，以翻折问题、双曲线定义应用等情境，考查空间观念、推理能力与模型意识，实现基础巩固与能力衔接。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|空间向量坐标、抛物线焦点、圆与圆位置关系|基础概念辨析，如点关于平面对称考查空间直观| |多选|3/18|基底性质、直线方程、四面体动点轨迹|多维度能力考查，如基底命题辨析逻辑推理| |填空|3/15|抛物线焦半径、点到直线距离、曼哈顿距离创新题|结合新定义，如正方体中曼哈顿距离考查创新思维| |解答|5/77|立体几何翻折（18题）、双曲线第二定义（19题）|综合应用，如翻折问题证明面面垂直考查空间观念，双曲线定义应用考查数学语言表达|

暑假收心卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 训练范围：人教B版选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 3．抛物线（）的焦点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 4．若圆与圆交于M，N两点，则直线MN的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的一个焦点为，且的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点），则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 6．在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 7．已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 8．若向量是平面的一个法向量，且平面经过点，则平面的方程为．已知球经过点，且与平面相切，则球的表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．向量、、一定共面 C．向量在基底下的坐标是 D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 10．已知直线，直线，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过点 B．对于任意的，直线的斜率都存在 C．若，则 D．若，则 11．如图，四面体中，，，，，为该四面体表面上一点（包含边界），则（     ） A．若，，则点存在且唯一 B．若，则点在内的轨迹长度为 C．若，则的最小值为1 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则点到轴的距离为______． 13．在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 14．对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，点P是底面内（含边界）的动点，且，则的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知的三个顶点分别是，，，为中点. (1)求中线和线段分别所在的直线方程； (2)求ABC的面积. 16．（15分） 在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分） 已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当为何值时，直线与圆相切； (3)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 18．（17分） 如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 19．（17分） 我们把下面的定义称为双曲线的第二定义：平面内到定点的距离与到定直线：的距离之比为常数的点的轨迹叫做双曲线，其方程为，其中，此时叫做该双曲线的右准线.已知双曲线的左､右焦点分别为，直线是的右准线. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线交E的右支于两点，过点作直线的垂线，垂足为.证明：直线过定点； (3)过点作直线交曲线于异支两点记为.设直线分别与直线轴相交于点.问：在实轴上是否存在定点使恒成立，若存在，则求出对应定直线，若不存在，则说明理由. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假收心卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 训练范围：人教B版选择性必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ 空间直角坐标系中，点关于平面对称时，纵坐标与竖坐标保持不变，横坐标变为原横坐标的相反数. ∴ 点关于平面的对称点坐标为 2．已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，即. 3．抛物线（）的焦点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，解得，故焦点坐标为，焦点的纵坐标为. 4．若圆与圆交于M，N两点，则直线MN的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，直线的斜率为， 而，因此直线的斜率为，其倾斜角为. 5．已知双曲线的一个焦点为，且的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点），则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【解析】由的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点）， 则渐近线的斜率为， 所以双曲线的离心率为. 6．在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取的中点为， 则，， 因为，所以， 故点在以为球心，为半径的球面上， 所以点的轨迹在正方体的每个面上均是半径为的圆， 则6个圆的总周长为. 7．已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【解析】由椭圆定义可知，焦距， 则，离心率， 联立，解得， ， ， 椭圆上，，当时，的面积最大， 最大值为． 8．若向量是平面的一个法向量，且平面经过点，则平面的方程为．已知球经过点，且与平面相切，则球的表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由平面的方程可化为， 则平面的一个法向量为，且过点， 又球经过点，则， 所以点到平面的距离为， 所以球半径最小值为，故球表面积的最小值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．向量、、一定共面 C．向量在基底下的坐标是 D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 【答案】ACD 【解析】对于A，因为是空间的一个基底，若， 假设、、不全为零，不妨设，则， 所以、、共面，矛盾，故，同理可得，，即，A对； 对于B，假设、、共面， 则存在、，使得， 即， 根据A可知，该方程组无解，假设不成立， 故向量、、不共面，B错； 对于C，向量在基底下的坐标是，C对； 对于D，由B可知，向量、、一定不共面， 则可作为空间向量的一组基底， 故空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组， 使得，D对. 10．已知直线，直线，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过点 B．对于任意的，直线的斜率都存在 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【解析】对于A，由题意得，即， 若直线过定点，则有，解得，定点为，故A正确； 对于B，直线的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，故B正确； 对于C，因为，所以有，解得或，故C错误； 对于D，因为，所以，解得，故D错误. 故选：AB. 11．如图，四面体中，，，，，为该四面体表面上一点（包含边界），则（     ） A．若，，则点存在且唯一 B．若，则点在内的轨迹长度为 C．若，则的最小值为1 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】对于A：若，，则为线段的中垂面与线段的中垂面的交线与表面的交点，如图，有两个点，故A错误； 对于B：由题意知是边长为的等边三角形，记的中心为，则平面， ， 又因为，所以要使，只需， 即在内是以为圆心，为半径的圆在内的部分， 如图，取的中点，因为，， 所以，所以， 所以点在内形成的轨迹所对应的圆心角为， 由弧长公式知轨迹长度为，故B正确； 对于C：若点在平面内，则， 故点在以为焦点，为长轴的椭圆上，即. 而，故点在椭圆内， 在空间中将该椭圆绕旋转一周得到椭球面，则椭球面上任一点， 都有，而，故点在椭球面外， 因此与椭球面必有交点，根据两点之间线段距离最短，故的最小值为1，故C正确； 对于D：如图建立空间直角坐标系，则， 设，则， 则， ① 若点在坐标平面上，由对称性，不妨设平面， 则， 此时， 当且仅当时取等号； ② 若点平面，因为， 设平面的法向量为，则， 取，则可得， 由得，且，消去整理得， 因为， 则， 当且仅当时取等号. 综上，，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则点到轴的距离为______． 【答案】 【解析】对于抛物线，由标准形式得，即，其准线方程为，焦点. 设点的坐标为，由抛物线的定义得，解得. 将代入抛物线方程，得，故. 因此点到轴的距离为. 13．在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 【答案】 【解析】由题意得，， ， ， 向量在直线上的投影长度为， 故点到直线的距离为 14．对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，点P是底面内（含边界）的动点，且，则的最大值是______. 【答案】/ 【解析】如图，以D为原点建立空间直角坐标系设，， ，，， ，， 由可知，，整理为， ， 因为，得， 且，所以， 所以的最大值为，当时等号成立， 所以的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知的三个顶点分别是，，，为中点. (1)求中线和线段分别所在的直线方程； (2)求ABC的面积. 【解析】（1）由，，为中点，可得， 由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； 由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； （2）由点到直线的距离公式可得点到直线的距离为：. 由两点间的距离公式可得，两点间距离： . 所以的面积. 16．（15分） 在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）在矩形中，分别为的中点，连接，则， 在与中，易得，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，，因为平面，平面，所以平面， 又因平面，故平面平面. （2）以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点 和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因，， 则，即令，则， 设平面的法向量为， 则，即令，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17．（15分） 已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当为何值时，直线与圆相切； (3)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 【解析】（1）由直线，整理成， 由，解得，则直线恒过定点 （2）根据题意，圆. 则圆的标准方程，圆心为，半径. 若直线与圆相切，则有，解得， 即当时，直线与圆相切． （3）设圆心到直线的距离为， 依题意，有，即，解得， 又由，解得或. 直线的方程为或. 18．（17分） 如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）为等腰梯形，，， 又平面平面，平面平面， 平面， 又平面，平面平面. （2），， 平面平面，平面平面，，平面， 平面，又平面， ，故两两互相垂直， 以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系， 在等腰梯形，，，，， ，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则， 设直线与平面所成角为，则. （3）设，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则， 由题（2）可知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 整理得，解得或（舍去）， 故棱（不包括端点）上存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，此时. 19．（17分） 我们把下面的定义称为双曲线的第二定义：平面内到定点的距离与到定直线：的距离之比为常数的点的轨迹叫做双曲线，其方程为，其中，此时叫做该双曲线的右准线.已知双曲线的左､右焦点分别为，直线是的右准线. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线交E的右支于两点，过点作直线的垂线，垂足为.证明：直线过定点； (3)过点作直线交曲线于异支两点记为.设直线分别与直线轴相交于点.问：在实轴上是否存在定点使恒成立，若存在，则求出对应定直线，若不存在，则说明理由. 【解析】（1）设的半焦距为，易知， 因为为的右准线，所以， 解得，所以， 所以的方程为. （2）证明：设，则， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则， 所以 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得 因为，所以， 而，所以，则， 所以过定点 （3）由过点作直线交曲线于异支两点，得直线的斜率存在，且斜率不为0， 设直线的方程为，其中或 因为恒成立，即，得为的角平分线， 设，假设存在， 联立，整理可得：， ， 因为，所以， 整理可得， ， 即， 因为，整理可得，即， 综上所述，在实轴上存在定点使恒成立，对应定直线是. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $