第二章 平面解析几何（暑假单元自测）新高二数学人教B版

**基本信息** 聚焦平面解析几何单元核心内容，通过基础题型与综合探究题的梯度设计，适配暑假单元复习，强化数学思维与应用能力，贴合高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直线倾斜角、椭圆定义、抛物线焦点弦|结合充要条件考查概念辨析，如第1题椭圆定义与参数关系| |多选|3/18|椭圆离心率、抛物线中点轨迹|多维度考查性质，如第11题综合焦点弦与中点轨迹| |填空|3/15|点到直线距离、圆的参数方程|创新设计曲线对称性判断，如第14题多结论辨析| |解答|5/77|直线方程、双曲线离心率、抛物线最值|分层设计，如第18题三问递进考查抛物线定义与探究，第19题轨迹问题培养创新意识|

第二章 平面解析几何 单元自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 2．直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 3．若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线的倾斜角为， 由向量是直线的一个方向向量，故直线斜率， 则，故. 4．双曲线： （， ）过点和，则其渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知点和在双曲线上，则，解得， 故其渐近线方程为． 5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线过焦点， 所以， 所以，所以抛物线方程为． 6．过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 7．已知点、，动点在曲线：上，则的面积（     ） A．有最大值，没有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，也有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【解析】因为，， 则，直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 双曲线的渐近线方程为， 则直线与渐近线平行，两平行线间距离， 曲线：过点， 过点与直线平行的直线方程为， 两平行线间距离， 结合图形可知点到直线的距离， 则的面积， 所以的面积有最大值，但没有最小值. 8．已知点，，若直线：（）上存在点，使得，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵ 点，，， ∴ 由圆周角定理可知，点的轨迹是以为弦，所对圆周角为的两段圆弧，对应弧的圆心角为. 设轨迹圆的半径为，由弦长公式，代入，得，解得. 两段圆弧的圆心均在的垂直平分线上，由勾股定理可得坐标分别为和，对应圆的方程为、. 直线上存在点满足条件，等价于直线与上述两个轨迹圆中符合的圆弧有公共点. 计算圆心到直线的距离： 对圆，圆心到直线的距离. 令，得，结合解得. 对圆，圆心到直线的距离. 令，结合，解得. 综上，当时，直线上存在满足条件的点，即正实数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线： ，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．直线的两个截距相等 D．若直线：，则 【答案】BD 【解析】由，得，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角是，故A错误； 过与直线平行的直线方程是，即，故B正确； 直线，令，得；令，得， 即直线在轴上的截距为，在轴上的截距为1，故C错误； 由，得，所以直线的斜率为，直线的斜率为， ，所以，故D正确. 10．已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（     ） A．的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【解析】由椭圆，可得， 所以，故离心率为，故A错误； 根据椭圆的定义可知的周长为，故B正确； 根据椭圆焦半径的取值范围可知，故C错误； 根据基本不等式可得， 取等号条件是，故D正确. 11．已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，其中为的中点，为坐标原点，则下列说法正确的为（    ） A．若直线的方程为，则 B． C．点的轨迹方程为 D． 【答案】ACD 【解析】已知抛物线为，其焦点为，直线的方程为， 联立抛物线与直线方程可得：，化简可得：， 由题意可得直线与抛物线交于两点，所以， 设，则由韦达定理可得：， 代入直线的方程可得：，所以利用中点公式可得：， 在A选项中，若直线的方程为：，则，所以，A选项正确， 在B选项中，，B选项错误， 在C选项中，，所以，C选项正确， 在D选项中，， D选项正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点在直线l上的投影是，则直线l的方程为__________________． 【答案】 【解析】因为直线的斜率为，又点在直线l上的投影是, 则直线l的斜率，故直线l的方程为，即． 13．已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____. 【答案】 【解析】圆心，半径为， 直线过定点， 圆心到直线的最大距离， 所以到直线的最大距离为. 14．关于曲线，则以下结论正确的为 ______（填序号）. ①曲线关于原点对称； ②曲线中； ③曲线与曲线有4个交点，这4点构成正方形； ④曲线是不封闭图形，且它与圆无公共点. 【答案】①④ 【解析】以替换，以替换，得，即， 所以曲线关于原点对称，故①正确； 由，得， 所以，解得，. 故②不正确. 当时，可化为. 由，得，. 所以当且仅当时，. 此时，所以方程组无解， 即曲线与曲线在第一象限无交点， 又曲线与坐标轴无交点，且曲线与曲线均关于轴和轴对称， 所以曲线与曲线无交点，故③不正确. 由，得，. 所以曲线是不封闭图形. 由，得，即， 显然方程无解，所以曲线与圆无公共点. 故④正确. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 根据下列条件分别写出直线和的方程，并化为一般式方程． (1)的斜率是，且经过点，的斜率为，在轴上的截距为； (2)经过两点、，在轴、轴上的截距分别是、． 【解析】（1）由题意可知直线的方程为，即， 直线的方程为，即. （2）直线的方程为，即， 直线的方程为，即. 16．（15分） 已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当时，求直线被圆截得的弦长． 【解析】（1）直线，即， 令，解得， 所以直线恒过定点. （2）当时直线， 又圆，即，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 17．（15分） 双曲线经过点，不垂直x轴的直线与交于不同于P的A、B两点，直线、分别与轴交于点、． (1)求的离心率； (2)设直线与x轴交于点Q，且，求点A的横坐标； 【解析】（1）将代入双曲线方程，可得， 因为双曲线中 ，所以， 即离心率为 . （2）如图，作出符合题意的图形， 设 ，直线 方程为， 令 ，得，即可知， 令，得，即可知， 由，可得， 则由纵坐标对应相等可得 ， 由（1）知双曲线化简为，代入得， 解得或 （因为此时与点 重合,舍去），即. 18．（17分） 已知抛物线（）的焦点为 ，抛物线上的任意一点到焦点 的距离比到直线 的距离少． (1)求抛物线的方程． (2)若 ， 为抛物线上异于点的两点，直线的斜率为．求证：的重心在定直线上运动． (3)过焦点的直线与抛物线交于 ， 两点,为坐标原点，直线，与直线分别相交于，两点，求的最小值． 【解析】（1）因为抛物线上的任意一点到焦点 的距离比到直线的距离少， 所以抛物线的准线为直线． 由抛物线的定义知，所以， 所以抛物线的方程是． （2）设，则的重心． 由于直线 的斜率， 则，所以， 故 的重心在直线上运动． （3）由（1）知焦点．不妨设点 在 轴上方． ①当直线的斜率不存在时，，则 ． 联立方程组，解得，所以． 同理，由，得． 所以． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，消去并整理， 得，则， 所以 ．而直线 的方程是， 联立方程组，解得，所以． 因为，所以，同理，． 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立．所以． 因为，故的最小值是． 19．（17分） 平面内有一点和直线，动点满足：T到点F的距离与T到直线l的距离的比值是．记点T的运动轨迹是曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)过F且斜率存在的动直线m与曲线E交于A、B两点，P是x轴上的动点，满足． (i)求面积的取值范围； (ii)是否存在定点Q，使得对于任意的动直线m，都有A、B、Q、P四点共圆． 【解析】（1）由，，可得： ； T到直线l的距离； 由题意得：， 两边平方去分母可得：， 整理得：， 化简可得：，即； 故曲线E的方程为． （2） (i)设直线m方程为：，，联立与曲线E的方程可得： ，代入得：； 恒成立； 设，由韦达定理可得： ，； 设AB的中点为, 则， ； 因为，则，故为直线m的中垂线，斜率为， 故方程为：， 令可得点的横坐标为：，故， 则， 故； 令，则，可得：； 则 ， 故在时单调递减；故， 故△PAB面积的取值范围为； (ii) 设Q点坐标，Q点在F右侧 则AB与PQ交于点F，根据圆的相交弦定理可得：， ， 故，解得：，故； 综上，存在定点Q，使得对于任意的动直线m，都有A、B、Q、P四点共圆． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章平面解析几何单元自测卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.己知m∈R,则“2<m<6是“曲线m-2+6-m =1表示椭圆”的() A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.直线3x+4y-5=0与直线6x+8y+7=0之间的距离为() 48 B 17 17 C.2 17 D.20 3.若向量=（山，5）是直线的一个方向向量，则l的倾斜角为() c号 D, 5π 6 4.双曲线C:y a2-1 a>0'b> 0）过点，0)和23 则其渐近线方程为() A.y=±32x B.y=±2W3x C.y= 3 D.少=t吃 5.过抛物线y2=2x(p>0)的焦点作直线交抛物线于A(:,乃)，B(:,)两点，如果x+x,=6,且 AB=8,那么抛物线方程为() A.y2=2x B.y2=4x C.y2-=8x D.y2=6x 6.过点P(3,6)作圆C:(x-)+(y-3=5的两条切线，切点分别为A,B,则四边形PACB的面积为() A.10 B.210 C.√65 D.2V65 1/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.已知点40,2 BL,1) 动点C在曲线r:4y=1(x之2，y20)上，则△ABC的面积（) A.有最大值，没有最小值 B.没有最大值，有最小值 C.有最大值，也有最小值 D.没有最大值，也没有最小值 8.已知点0(0,0)，A2,0),若直线：x+5-m=0（m>0)上存在点卫，使得∠0PA 6,则正实数 m的取值范围为() A.(0,6] B.(0,8] c.[2,6 D.[2,8] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知直线l:x-y+1=0,则下列结论正确的是() A,直线的顿斜角是君 B.过(2，-2)与直线平行的直线方程是x-y-4=0 C.直线的两个截距相等 D.若直线m:x+y-1=0,则1⊥m 10.已知椭圆C:3x2+4y2=48的两个焦点分别为F,,P是C上任意一点，则() A.C的离心率为5 2 B.△PFE的周长为12 C.PF的最小值为3 D.PFPF的最大值为16 11.己知抛物线C:y=2x的焦点为F,直线过点F且与抛物线C交于P,Q两点，其中M为P的中点， O为坐标原点，则下列说法正确的为() A若直线的方程为)=x分，则M侵） PF+OF 1 B.PFOF2 C.点M的轨迹方程为2y2=2x-1 D.IPOP=41OM2+3 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知点ML,2)在直线1上的投影是H(-1,4),则直线1的方程为 2/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.己知圆C:(c-2)2+0y+1)2=9,直线I:c-y+3-2k=0.设P为圆C上的一动点，则P到直线的最大距 离为一 14,关于曲线C: 子+亨-1，测以下后检的为 (填序号)· ①曲线C关于原点对称： ②曲线C中x∈[-2,2]y[-2,2]: ③曲线C与曲线D:+川=4有4个交点，这4点构成正方形： ④曲线C是不封闭图形，且它与圆x+y=8无公共点， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 根据下列条件分别写出直线和2的方程，并化为一般式方程 (1)4的斜率是3，且经过点(2,1)，42的斜率为4，在x轴上的截距为-2： (2②)4经过两点A(-山，5)、B(2,-),12在x轴、y轴上的截距分别是-3、-1. 16.(15分) 已知圆C:x2+y2-6x-6y+9=0,直线：x+my-1-m=0. (1)求证：直线l恒过定点： (2)当m=1时，求直线被圆C截得的弦长. 17.(15分) 双曲线「：父-片1b>0)经过点P2,不垂直x轴的直线与一交于不同于P的A、B两点，直 PA、PB分别与y轴交于点M、N. (1)求「的离心率： (2)设直线PA与x轴交于点Q,且MQ=2QP,求点A的横坐标： 314 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(17分) 己知抛物线y2=2x(p>0)的焦点为F,抛物线上的任意一点到焦点F的距离比到直线x=-2 的p类少号 (1)求抛物线的方程， (②)若A，B为抛物线上异于点P(2,2)的两点，直线AB的斜率为4：求证：APAB的重心在定直线 上运动， 3)过焦点F的直线马与抛物线交于C,D两点，O为坐标原点，直线OC,OD与直线，：y=x-3分别 相交于M,N两点，求MN的最小值， 19.(17分) 平面内有一点F(1,0)和直线1：x=4,动点T(,y)满足：T到点F的距离与T到直线1的距离的比值是 2·记点T的运动轨迹是曲线E。· (1)求曲线E的方程： (②)过F且斜率存在的动直线m与曲线E交于A、B两点，P是x轴上的动点，满足PA=PB. (①)求△PAB面积的取值范围： (是否存在定点O,使得对于任意的动直线m,都有A、B、O、P四点共圆. 4/4