4.2 线段的垂直平分线 课件 2026-2027学年青岛版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质、判定及应用，通过市政府建购物中心的生活问题导入，结合折纸操作、测量探究引出定义与性质，再经推理证明和实例应用，构建性质与判定的知识脉络，形成学习支架。 其亮点是以生活情境和动手操作为载体，发展数学眼光中的几何直观与创新意识，通过猜想证明和尺规作图培养数学思维的推理意识，结合抽水站选址等问题强化数学语言的模型意识。学生能提升探究能力，教师可获得层次分明的教学流程和丰富实例。

4.2 线段的垂直平分线 第4章 图形的轴对称 22005 4.2.1 线段垂直平分线及其性质 第4章 图形的轴对称 22005 1.认识线段垂直平分线，并掌握其性质. 2.能运用轴对称变换解决最短路径问题. 学习目标 22005 市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处才能使得它到三个小区的距离相等? 新课导入 22005 任务一：认识线段垂直平分线，并掌握其性质. 活动1：完成下列操作，并回答问题. 操作：在纸上作一条线段AB，对折使点A、B重合，将纸展开，记折痕为直线MN. 问题：(1)形成的折痕直线MN与线段AB有什么关系？ MN⊥AB，AO=BO 垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 活动探究 22005 活动2：用刻度尺和三角板画出线段AB的垂直平分线l，在直线l上任取一些点P1，P2，P3，…分别量一量点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离，你有什么发现？ A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 22005 证明猜想： 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB． 　证明：∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 　又 AC =CB，PC =PC， 　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． 　∴ PA =PB． P A B l C 22005 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 应用格式：∵AC=BC，PC⊥AB， P是l上任意一点，∴PA=PB． P A B l C 活动小结 22005 例1 如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，交AC于E，交BC于D，连接AD， 若AE＝6cm，求△ABC的周长与△ABD的周长的差。 解：因为DE垂直平分AC，所以AD＝CD，CE＝AE＝6cm， 所以AC＝12cm， 又△ABC的周长＝AB＋AC＋BC ＝AB＋AC＋BD＋CD ＝AB＋AC＋BD＋AD △ABD的周长＝AB＋BD＋AD 所以△ABC的周长－△ABD的周长＝AC＝12cm。 22005 练一练 1.下列说法正确的有( ) ①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线； ②直线l经过线段AB的中点P，则l是线段AB的垂直平分线； ③经过线段AB的中点P且垂直于线段AB的直线l是线段AB的垂直平分线. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 B 线段的垂直平分线必须满足两个条件： 1.经过线段的中点； 2.垂直于这条线段. 22005 2.已知:如图，在ΔABC中，边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：PA=PB=PC. 证明：连接PA，PB，PC. ∵点P在AB，AC的垂直平分线上， ∴PA=PB，PA=PC， ∴PA=PB = PC. B C A P 22005 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 现在你能回答讲课前提出的问题吗？ 你知道购物中心应该建在何处了吗？ 22005 任务二：运用轴对称变换解决最短路径问题. 活动：我们知道“两点之间，线段最短”，请同学们利用所学的轴对称知识解决下列情景问题. 情景：有A，B两个蓄水池，为了方便灌溉作物，要在河边l建一个抽水站，江河水送 到A、B两池，该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短？ 问题1：如图，假设两蓄水池A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，可使所修的渠道最短？ l B C 连接AB，与l相交于点C，根据两点之间，线段最短，可知点C即为所求. A 22005 问题2：如图，若A，B两个蓄水池都在河流a的同侧，如何在l上找到一个点，可使所修的渠道最短？说出你的作法，在图中作出最近的路线，并说明作图的道理. 作法： (1)过点B作直线l的垂线BC，垂足为C； (2)延长CB至B'，使CB'=CB； (3)连接AB'，与直线l交于点P. 点P就是所求作的直线l上使AP+BP的值最小的点. A B l B ′ P 理由：l是BB'的垂直平分线，所以 PB=PB'，根据“两点之间线段最短”，可知当A，P，B'在一条直线上时，AP+PB'的值最小，也就是AP+PB的值最小. C 22005 练一练 在OA，OB上求作点M，N，使PM＋MN最小． 解：先作出点P关于OA的对称点P′， 过点P′作垂线垂直于OB， 垂线交OA、OB的交点分别为M、N． O A B ·P P′ M N 22005 1. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为( ) A．6 B．5 C．4 D．3 B 当堂检测 22005 2. 如图，△ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线交AC于E，连接BE， AB + BC = 16cm，则△BCE的周长是 cm. 16 A B C D E 22005 3.如图，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接AD，若∠CAD=20°，则∠B=(  ) A.20° B.30° C.35° D.40° C 22005 针对本节课的关键词“垂直平分线”，你能说说学到了哪些知识吗？ 课堂总结 22005 4.2.2 线段垂直平分线的判定 第4章 图形的轴对称 22005 1.掌握线段垂直平分线的判定方法. 2.能用尺规作线段的垂直平分线. 学习目标 22005 任务一：掌握线段的垂直平分线的判定方法. 活动1：在纸上取一点P，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线MN上？为什么？小组交流探讨. A B M N O · P 当点P在线段AB上时，由PA=PB，可知点P与点O重合. 当点P在线段AB外时，连接PO、PA、PB， 由SSS得△POA ≌△POB. 所以∠AOP = ∠BOP =90°，即PO⊥AB. 综上所述，点P在线段AB的垂直平分线上. 线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 活动探究 22005 活动2：应用所学知识，解决下列问题. 1.如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，问：BE和CE会相等吗？为什么？ 因为AB＝AC，DB＝DC， 由到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上可知 AD是线段BC的垂直平分线， 因为点E在AD上， 由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知 BE=CE. 22005 2.如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B。求证：OP垂直平分AB. 一定要证明直线上有两点到线段两个端点的距离相等 判定线段垂直平分线的方法有两种：一是判定方法，二是定义法。 22005 证(判定法)：∵P为∠MON平分线上一点，∴∠AOP=∠BOP. ∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠PAO=∠PBO=90°. 又∵OP=OP，∴△AOP≌△BOP（AAS）， ∴PA=PB，OA=OB， ∴点P，点O均在AB的垂直平分线上， ∴OP垂直平分AB. 2.如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B。求证：OP垂直平分AB. 22005 证(定义法)：∵P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM，PB⊥ON， ∴∠AOP=∠BOP，∠PAO=∠PBO=90°， 在△PAO和△PBO中， ∴△PAO≌△PBO（AAS），∴OA=OB. 设OP与AB相交于点C，在△AOC和△BOC中， 所以△AOC≌△BOC（SAS）， 所以∠ACO=∠BCO=90°，AC=BC， 所以OP⊥AB，所以OP垂直平分AB. C 22005 1.如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.求证：点F在AB的垂直平分线上. 证明：连接AF，CF，BF， 因为DM垂直平分边AC，所以AF＝CF， 因为EN垂直平分边BC，所以BF＝CF， 所以AF＝BF， 所以点F在AB的垂直平分线上. 练一练 22005 任务二：学会尺规作线段的垂直平分线. 活动1：如图，阅读如下用尺规作已知线段AB的垂直平分线的作法，回答问题. ①分别以点A，B为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点； ②过M，N两点作直线MN. 直线MN就是线段AB的垂直平分线. 作法 A B 问题1：为什么必须以大于AB的长为半径作弧？上述作法作线段垂直平分线的依据是什么？组内交流探讨. 使两弧有交点 线段垂直平分线的判定方法 22005 A B M N 用尺规作线段垂直平分线的方法 作出到这条线段的两个端点距离相等的两个点, 这两点所确定的直线就是此线段的垂直平分线. 问题2：用尺规作出线段AB的垂直平分线，并用折纸的方法检验你作出的直线MN是不是线段AB的垂直平分线. 归纳总结 22005 活动2：利用基本作图“作一条线段的垂直平分线”可以作出过已知线段的中点的垂线，如图，已知直线l，要过一点P作直线l的垂线，点P与直线l的位置关系可能是什么？ 小组讨论，解决如下作图问题，并说说你的作图思路： 1.如图①已知直线l和l上一点P，怎样过点P作直线l的垂线？ 2.如图②已知直线l和l外一点P，怎样过点P作直线l的垂线？ l · P l l · P 图① 图② 22005 作法: ①以点P为圆心，任意长为半径作弧，与直线l相交于点A、B； ②作线段AB的垂直平分线CD，直线CD就是过点P的直线l的垂线. P l · A B C D 作法: ①以点P为圆心，以大于点P到直线l的距离的线段长为半径画弧，交直线l于点A、B； ②作线段AB的垂直平分线CD，直线CD就是过P点的直线l的垂线. · P A B l C D 22005 活动小结 基本作图“过一点P作一条直线的垂线”的方法 无论点P是在直线上还是直线外，都是先设法在直线l上作出一条线段AB，并且使点P到线段AB两端的距离相等.再利用基本作图“作线段AB的垂直平分线”，那么这条直线既经过点P，又与直线l垂直. 22005 练一练 1.某通讯工程队准备在一段笔直的公路l上修建一个5G信号基站，以服务公路旁的A，B两个工业园区（如图），要求该基站到A，B两个工业园区的距离相等，通过作图，确定该基站修建的位置.(不写作法，但要保留作图痕迹) 解：如图，点P即为所求. 22005 1. 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD． 若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为(  ) A. 90° B. 95° C. 100° D. 105° D 当堂检测 22005 2.如图，AC=BC，AD=BD，这个图形叫作“筝形”，数学兴趣小组的几名同学探究出关于它的如下结论： ①△ACD≌△BCD；②AO=BO；③AB⊥CD；④∠CAB=∠ABD. 其中正确结论的序号是(  ) A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ B 22005 本课关键词： 1.垂直平分线的判定； 2.尺规作图 用自己的话，说一说今天我们学习了哪些知识？ 课堂总结 22005 $