4.3角的平分线（教学课件）数学青岛版2024八年级上册

青岛版2024·八年级上册 4.3角的平分线 第4章 图形的轴对称 导入新课 角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. O B C A 1 2 符号语言： ∵射线OC是∠AOB的角平分线， ∴∠1= ∠2， 或∠1=∠2= ∠AOB ， 或∠AOB = 2∠1= 2∠2 . 学 习 目 标 1 2 3 通过操作，体会角的轴对称性 会用尺规作图作出一个角的平分线（重点） 掌握角平分线的性质定理，能够利用它们解决一些实际问题.（难点） 新知探究 (1)操作：在一张纸上任意画一个角，将纸折叠，使角的两边重合，将纸展开后铺平，你有什么发现? C B A D 由此，我们可以得到如下结论： 角是 图形， 它的对称轴是 . 轴对称 AD 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. O D C P A B 已知∠AOB， 求作：∠AOB的平分线. 作法：1.以点O为圆心，任意长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C、D两点； 2.分别以C、D为圆心，大于 的长为半径作弧， 两条圆弧交于∠AOB内一点P； 3.作射线OP，OP就是所求作的射线. 新知探究 (2)已知∠AOB(图4.3-1)，你能用尺规作出它的平分线吗? “作一个角的平分线”也是基本作图。 为什么说OP是∠AOB的平分线？ 新知探究 (1)如图4.3-3,在∠AOB 的平分线OC 上取一点P,过点P 作PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别是点M, N。线段PM 和PN 有什么关系? 猜想：PM =PN 你能证明它吗？ 新知探究 证明：因为OC平分∠AOB，所以 ∠AOC= ∠BOC 因为PM⊥OA，PN⊥OB， 所以 ∠ OMP=∠ONP=90°. 在△OMP与△ONP中， 因为 所以△OMP ≌ △ONP（AAS）. 所以PM=PN. ∠AOC=∠BOC， ∠ OMP=∠ONP， OP=OP， 改变点P的位置,结论还成立吗?请说明理由。 点P在OC上移动时,总有PM=PN。 角平分线上的点到角两边的距离相等; 新知探究 总结归纳 角平分线的性质定理(1): 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 P A O B C E D 1 2 符号语言 ∵∠1= ∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE. 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。 新知探究 角平分线上的点到角的两边的距离相等。反过来，在角的内部，到角两边距离相等的点是否在角的平分线上? 点在角的平分线上 已知:如图4.3-4，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是点M，N，PM=PN。 求证:点P在∠AOB的平分线上。 新知探究 证明:如图4.3-5，连接OP。 因为PM⊥OA，PN⊥OB， 所以∠PMO=∠PNO=90° 在 Rt△PMO 和 Rt△PNO中， PO=PO,PM=PN， 所以 Rt△PMO≌Rt△PN0(HL)。 所以∠POA=∠POB。 所以点P在∠AOB的平分线上。 你能得到什么结论？ 总结归纳 角平分线的性质定理(2)： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 符号语言 P A O B C E D 1 2 ∵PD=PE，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴∠1= ∠2. 即点P∠AOB的平分线OC上。 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。 新知探究 典例分析 例 如图4.3-6，P是∠AOB内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别是点E，F，且PE=PF。Q是射线OP上的任意一点，QM⊥OA，QN⊥OB，垂足分别是点M，N。QM与QN相等吗?为什么? PE⊥OA，PF⊥OB，PE=PF 分析： OP是∠AOB的平分线 Q是射线OP上的任意一点，QM⊥OA，QN⊥OB QM与QN相等 典例分析 解:QM=QN。理由如下: 因为PE⊥OA，PF⊥OB，PE=PF， 所以 OP 是∠AOB的平分线(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)。 因为点Q在射线OP上，QM⊥OA，QN⊥OB， 所以QM=QN(角平分线的性质定理)。 新知应用 基础巩固题 1.尺规作图，作 ∠AOB 平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于 EF的 长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得的根据是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS O P E A B D F 新知应用 基础巩固题 2.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5㎝，则 M到OB的距离为　　　㎝. 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，那么 BE是∠ABC的　　 ， 若EC=3cm，则ED= , 1.5 角平分线 B C E D A 1 2 3cm 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 新知应用 基础巩固题 4.如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON， 垂足为A，PA=2cm. Q是边OM上的一个动点，则线段PQ 的最小值（ ） A．1cm B.2cm C.3cm D.4cm B A N P M O Q 5.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(　　) A．PC＝PD          B．∠CPO＝∠DOP  C．∠CPO＝∠DPO   D．OC＝OD B 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 新知应用 基础巩固题 7.如图，O是△ABC内一点，且点O到边AB， BC，CA的距离OF＝OD＝OE.若 ∠BAC＝70°，则∠BOC＝________． 125° 6.已知△ABC内一点M，如果点M到两边AB，BC的距离相等，那么点M(　　)    A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上    C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上 C 新知应用 基础巩固题 8.如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为点D，PD=2。求点 P到直线OA的距离。 解：作PC⊥OA交OA于点C， 由题意知，PD⊥OB，PD=2， 因为P在∠AOB的平分线上，且PC⊥OA，PD⊥OB， 所以PC=PD=2. 所以P到OA的距离为2. C 新知应用 基础巩固题 9.如图，利用尺规在△ABC的边BC上求作一点P，使点P到边AB，AC所在直线的距离相等。 点P到边AB，AC所在直线的距离相等。 点P在∠BAC的角平分线上。 作∠BAC的角平分线。 新知应用 能力提升题 10.已知:如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为边BC的中点，DE⊥ AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证:点D在∠A的平分线上. 证明:∵D为边BC的中点，∴BD=DC. 又∵DE⊥AB,DFLAC, ∴∠BED= ∠CFD=90°. 又∠B=∠C， ∴△BDE≌△CDF( AAS) ∴DE=DF(全等三角形的对应边相等). 又∵DE ⊥AB,DF⊥AC, ∴点D在∠A的平分线上(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上). 新知应用 能力提升题 11.感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.易知：DB＝DC． 探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°.求证： DB＝DC． 新知应用 能力提升题 课堂小结 角的平分线 会用尺规作图法作出一个已知角的平分线(依据：SSS) 性质1 作图 角平分线上的点到角的两边的距离相等 利用角的平分线的性质解决实际问题 性质2 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线 应用 感谢聆听! 【点拨】本题根据∠ACD与∠FCD是邻补角及 ∠ABD＋∠ACD＝180°得出∠B＝∠FCD，再根据全等三角形的判定与性质得出结论． 证明：如图，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°， ∴∠B＝∠FCD. 在△DFC和△DEB中， ∴△DFC≌△DEB(AAS)．∴DB＝DC. $