10.3.4 三垂线定理（题型专练）数学沪教版2020必修第三册

**基本信息** 聚焦三垂线定理，通过基础概念辨析、中档定理应用到提高综合证明的三级分层，构建“概念理解-技能形成-思维提升”的巩固路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定理条件判断、射影定义、简单线面关系|选择/填空题（如第1题充要条件判断、第4题定义填空），夯实空间观念| |中档|正方体/三角形中定理直接应用|解答题（如第6题正方体线线垂直证明），训练几何直观| |提高|复杂几何体综合证明、多条件关联|综合题（如第8题三棱锥射影与垂直关系证明），发展推理能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.3.4三垂线定理 基础达标题 三垂线定理 能力提升题 拓展培优题 基础达标题 1.已知直线是平面的斜线，直线是直线1在平面α内的射影，给出直线，则。m11,是m上人。 的() A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 2如图.ABCD-AB,CD1为正方体，则以下结论：DBD/平面CBD:@4C1BAC,@4C1 ；② ;③ 平面 CBD ,其中正确结论的个数是(，)· D B A.0 B.1 C.2 D.3 3.如图.在正方体ABCD-A,BC,D,中，五为4C的中点，则下列与直线CE垂直的是() 1/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A BD A.直线AC B.直线 C.直线40 D.直线《A 4.如图，如果一条直线和一个平面相交，但不垂直，那么这条直线叫做这个平面的 斜线和平面 的交点叫做 斜线上一点与斜足间的线段叫做 5.如图，在△ABC中，点P在△ABC所在平面外，点O是P在平面ABC上的射影且点O在△ABC的内 部. 3 (1)若PA=PB=PC,那么O是三角形的 (2)若P到△ABC三边的距离相等，那么O是三角形的一 6.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中， D A B D B 2/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD⊥CD (1)求证： BD⊥ ACD (2)求证： 平面 7.如图，己知PA⊥平面PBC,PB=PC,M是BC的中点，求证：BC⊥AM. 8.如图，己知三棱锥S-ABC中，∠ABC=90°，侧棱SA⊥底面ABC,点A在棱SB和SC上的射影分别 是点E、F,求证：EF⊥SC. B 9.如图，∠EAF在平面C内，ATc平面C,PE平面C,∠PAE=∠PAF,∠EAT=∠FAT,PD⊥平面C, D∈平面a.求证：D∈AT. F B 能力提升题 3/6 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线的位置关系是() A.异面垂直 B.异面不垂直 C.可能相交可能异面D.可能相交、平行或异面 2.如图，BC是RIAABC的斜边，过A作△ABC所在平面C的垂线AP,连接PB、PC,过A作AD⊥BC于 D,连接PD,则图中直角三角形的个数是() A.4 B.6 C.7 D.8 3.已知P11正方形ABCD所在的平面，且PC=24,PB=PD=6而，则PC和平面ABCD所成角的大 小为 4.已知如图边长为a的正方形ABCD外有一点P且PA⊥平面ABCD,PA=a,二面角P-BD-A的大小为 D 5.己知：PA是平面a的斜线，斜足为点A,P01a,垂足为点O,直线OA是PA在平面a上的投影. ①若空间任一直线a⊥OA,则a⊥PA;②若空间任一直线a1PA,则a⊥OA;③若平面a上的任一直线a, a⊥OA,则a⊥PA;④若平面a上的任一直线a,aLPA,则a⊥OA. 其中正确的命题序号为 6.己知直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，P是三角形ABC所在平面外一点，PA⊥平面 ABC,PB与平面ABC所成角为45°，则∠BPC的大小为 AC⊥BCAC⊥B,D 7.如图，在正方体ABCD-A1BC1D1中，求证： 416 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 9 Bi D月 C B 8.如图，已知H是锐角三角形ABC的垂心，PH⊥平面ABC,∠BPC=90°.求证：∠APB=90°， ∠APC=90° B 拓展培优题 1.若平面c的斜线I在a内的射影为1'，直线b11a,且b11',则b与I() A.必相交 B.必为异面直线 C.垂直 D.平行 2.如图，在△ABC中，点P在△ABC所在平面外，点O是P在平面ABC上的射影，且点O在△ABC 的内部.若PA,PB,PC两两垂直，那么点O是△ABC的() B A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 3.过三角形ABC所在平面C外一点P,作PO⊥a,垂足为O,若∠ACB=90°，且PA=PB=PC,则点O 是边AB的 点 516 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.菱形ABCD平面Q,PA⊥a,则PC与BD的位置关系是 5,如图，己知∠AOB在平面M上，P为平面外一点，满足∠POA=∠POB=0(0为锐角)，点P在平面 上的射影为Q. A Q M B (1)求证：点Q在∠AOB的平分线OT上： (2)讨论∠POA、∠PO0、∠Q0A之间的关系. 6.如图所示，∠BAC=90°.在平面C内，PA是的斜线，∠PAB=∠PAC=60°.求PA与平面C所成的角. 7.己知PO是平面a的垂线，垂足为O,PA是平面@的斜线，斜足为A,直线lC.求证： (1)若I1OA,则I⊥PA: (2)若1⊥PA,则I⊥OA 6/6 10.3.4三垂线定理 1．已知直线l是平面的斜线，直线是直线l在平面内的射影，给出直线m，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】根据三垂线定理及其逆定理判断即可. 【详解】三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直， 那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影， 因为直线m不确定在平面内，所以不满足充分性； 三垂线定理，指的是平面内的一条直线， 如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直， 那么它也和这条斜线垂直. 因为直线m不确定在平面内，所以不满足必要性. 故选：D 2．如图，为正方体，则以下结论：①平面；②；③平面，其中正确结论的个数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，利用线面平行的判定可知①正确；利用线面垂直的性质和判定可证得平面，平面，由此可得，，由线面垂直的判定和性质可知②③正确 【详解】对于①，，，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面，①正确； 对于②③，连接，， 四边形为正方形，； 平面，平面，； 又，平面，平面， 平面，； 同理可得：平面，又平面，； ，平面，平面， 又平面，，②正确，③正确. 故选：D. 3．如图，在正方体中，E为的中点，则下列与直线CE垂直的是（　　） A．直线AC B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正方体的结构特征结合线面垂直的性质推理作答. 【详解】在正方体中，连AC，如图，点E是矩形边的中点，直线AC与直线CE不垂直，A不是； 连接，由平面，平面，则，而， 又，平面，于是得平面，而平面，则，B是； 因，若，而，，平面， 则有平面，又平面，则与矛盾， 因此，直线与直线CE不垂直，直线与直线CE不垂直，C不是； 由选项A知，直线与直线CE不垂直，D不是. 故选：B 4．如图，如果一条直线和一个平面相交，但不垂直，那么这条直线叫做这个平面的______，斜线和平面的交点叫做______，斜线上一点与斜足间的线段叫做______． 【答案】 斜线 斜足 斜线段 【分析】根据线面位置关系，结合图象可得答案. 【详解】由题意，结合图象， 故答案为：斜线；斜足；斜线段. 5．如图，在中，点在所在平面外，点是在平面上的射影且点在的内部． （1）若，那么是三角形的______； （2）若到三边的距离相等，那么是三角形的______． 【答案】 外心 内心 【分析】（1）由可知，由此可得结论； （2）由到三边的距离相等可知到三边的距离相等，由此可得结论. 【详解】（1），平面，， 为的外心； （2）到三边的距离相等，平面， 到三边的距离相等，为的内心. 故答案为：外心；内心. 6．如图，在棱长为a的正方体中， (1)求证：； (2)求证：平面． 【详解】（1） 连接,则在平面上的投影为，而， 由三垂线定理得：． （2）由（1）知：，同理． 又，面，所以面． 7．如图，已知平面PBC，，M是BC的中点，求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】由等腰三角形、线面垂直性质有、，根据线面垂直的判定可得面，最后由线面垂直的性质即可证结论. 【详解】∵，M是BC的中点， ∴． 又平面PBC，平面PBC，则， ∵，面， ∴面，而面， ∴． 8．如图，已知三棱锥中，，侧棱底面，点在棱和上的射影分别是点、，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的性质与判定，证明平面即可， 【详解】由题意，平面，平面，故. 又，，平面，则平面 又平面，故，又，，平面，故平面. 又平面，故，又，，平面，故平面. 因为平面，故，即得证. 9．如图，在平面内，平面，平面，，，平面，平面．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作，交AE于B，作，交AF于C．连接DB、DC，由题意可证得，所以，，再根据三垂线定理可得，同理可得，所以. 【详解】证明：如图，作，交AE于B，作，交AF于C．连接DB、DC．由 ， ∴，∴． 又∵PA在平面上的射影为AD，，根据三垂线定理可得． 同理，． 根据平面几何知识（到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上）知． 1．正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线的位置关系是（    ） A．异面垂直 B．异面不垂直 C．可能相交可能异面 D．可能相交、平行或异面 【答案】A 【分析】作出辅助线，证明线面垂直，从而证明线线垂直，得到正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线的位置关系. 【详解】如图，正方体的对角线，与其不共端点的面对角线， 连接，则， 又因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以，且两直线异面， 同理可证明正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线垂直且异面， 综上：正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线的位置关系为异面垂直. 故选：A 2．如图，BC是的斜边，过A作所在平面的垂线AP，连接PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连接PD，则图中直角三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，证明平面，再利用线面垂直的性质即可判断作答. 【详解】依题意，，，则，即都是直角三角形， 又，则，而，，平面，因此，平面， 平面，即，又AD是的斜边上的高，点D与B，C都不重合， 于是得都是直角三角形， 所以给定图中共有8个直角三角形. 故选：D 3．已知正方形所在的平面，且，，则和平面所成角的大小为________． 【答案】30°/ 【分析】根据勾股定理可得，即可由三角形边角关系求解. 【详解】由于平面，平面， 所以,, 设正方形的边长为， 则,即， 解得，， 所以，， 由于为和平面所成角， 故,故， 故答案为：30° 4．已知如图边长为a的正方形ABCD外有一点P且PA⊥平面ABCD，，二面角的大小为______． 【答案】 【分析】由三垂线定理得，从而得是二面角的平面角，在直角三角形中求得此角即可． 【详解】设，连接， PA⊥平面ABCD，则是在平面内的射影，， 平面内，，所以， 所以是二面角的平面角， 由，， ， 所以． 故答案为：． 5．已知：是平面的斜线，斜足为点，，垂足为点，直线是在平面上的投影． ①若空间任一直线，则；②若空间任一直线，则；③若平面上的任一直线，，则；④若平面上的任一直线，，则． 其中正确的命题序号为________． 【答案】③④ 【分析】根据线面垂直的性质定理与判定定理可判断. 【详解】 ①当为直线时，，此时与不垂直，①错误； ②在平面上，过点作直线，使，则与不垂直，②错误； ③若，，则，又，，，平面， 则平面，又平面，则，③正确； ④若，，则，又，，，平面， 则平面，又平面，则，④正确； 故答案为：③④. 6．已知直角三角形ABC中，，，P是三角形ABC所在平面外一点，平面ABC，PB与平面ABC所成角为45°，则∠BPC的大小为______． 【答案】 【分析】由三垂线定理得，由线面垂直得是与平面所成的角，所以，设，求得，在直角三角形中求得∠BPC的正切值，可得角的大小． 【详解】平面，则是在平面上的射影，， 在平面内，，由三垂线定理得， 是与平面所成的角，所以， 设，则由，，得，， ，所以． 故答案为：． 7．如图，在正方体中，求证：，． 【答案】证明见解析 【分析】结合正方体的几何特性，通过线线垂直证线面垂直及线面垂直证线线垂直即可 【详解】如图，在正方体中，平面，平面，∴， 又，，平面，∴平面， ∵平面，∴； 同理，平面，平面，∴， 又，，平面，∴平面， ∵平面，∴. 8．如图，已知H是锐角三角形ABC的垂心，平面ABC，．求证：，． 【答案】证明见解析 【分析】通过线线垂直证线面垂直以及线面垂直证线线垂直，依次可证，平面PBH，，平面PAC，；同理可证. 【详解】证明：H是锐角三角形ABC的垂心，则，，， 由题意，平面ABC，平面ABC，∴， ∵平面PBH，，∴平面PBH， ∵平面PBH，∴， ∵，∴，又平面PAC，，∴平面PAC， ∵平面PAC，∴，∴. 同理可证，∴. 1．若平面的斜线l在内的射影为，直线，且，则b与l（　　） A．必相交 B．必为异面直线 C．垂直 D．平行 【答案】C 【分析】画出图形，利用线面平行的性质、线面垂直的判定、性质推理作答. 【详解】如图，直线l在平面内的射影为，点B是l上除斜足A外的任意一点，点B在平面内的射影为C，点C在上， 因直线，过直线b的平面，则有，而，即有， 又，，于是得，而，平面，因此平面， 又平面，则有，所以，C正确； 取点P(点P不在平面内)，过P作直线，显然，且，即直线n可为直线b， 显然点P可以在直线l上，也可以不在l上，即A，B都不正确； 如果，则，而，，有与l为的斜线矛盾，D不正确. 故选：C 2．如图，在中，点Р在所在平面外，点O是P在平面ABC上的射影，且点O在的内部．若PA，PB，PC两两垂直，那么点О是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】C 【分析】通过线线垂直证线面垂直以及线面垂直证线线垂直，依次可证平面PBC，，，平面PAO，；同理可证，，即得点O是的垂心 【详解】连接OA、OB、OC， ∵，，平面PBC，，∴平面PBC， ∵平面PBC，∴． 由题意，平面ABC，平面ABC，∴， 又平面PAO，，∴平面PAO， 平面PAO，∴， 同理可证，，∴点O是的垂心． 故选：C 3．过三角形所在平面外一点，作，垂足为，若，且，则点是边的______点． 【答案】中 【分析】分析出，，，利用勾股定理可得出，可得出为的外心，再由可得出结论. 【详解】因为，、、，则，，， 因为，，，， 所以，，所以，为的外心， 因为，则的外心为的中点. 故答案为：中. 4．菱形平面，，则与的位置关系是______． 【答案】异面垂直 【分析】根据线面垂直的性质结合异面直线的概念，即可判断与的位置关系. 【详解】如图示：连接AC,则, 菱形平面，， 因为平面 ，故平面，所以, 平面PAC,故平面PAC, 平面PAC,故， 又因为BD不过点C,,故 PC和BD异面， 故答案为：异面垂直 5．如图，已知在平面上，为平面外一点，满足（为锐角），点在平面上的射影为． (1)求证：点在的平分线上； (2)讨论、、之间的关系． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）过分别作、的垂线，垂足分别为、，由线面垂直的判断及性质可得、，进而由及角平分线的性质即可证结论； （2）根据角余弦值的定义写出、、余弦值的线段比，即可得关系. 【详解】（1）过分别作、的垂线，垂足分别为、． 由平面，平面，则， 又，，面， 所以面，面，则，同理， 在和中，，，， 则，则． 又，，则在的平分线上． （2）在直角三角形中，． 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 综上，． 6．如图所示，．在平面内，是的斜线，．求与平面所成的角． 【答案】45° 【分析】由三垂线定理可知，，进而可得，由此可得边角关系，根据锐角锐角三角函数即可求解. 【详解】如图所示，过作于．连接， 则为在平面上的射影，为与平面所成的角． 作，，由三垂线定理可得，． 由，，， 可得，则． 由于、分别为、在内的射影，则． 所以点在的平分线上． 设，又，则，，则． 在中，， 则，即与平面所成角为45°． 7．已知是平面的垂线，垂足为，是平面的斜线，斜足为，直线．求证： (1)若，则； (2)若，则． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）由已知及线面垂直的判定得平面，再由线面垂直的性质证明结论. 【详解】（1）由，，则，而， 由，平面，则平面， 由平面，则； （2）由，，则，而， 由，平面，则平面， 由平面，则. 14 / 28 14 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $