精品解析：2022年辽宁省沈阳市第七中学九年级中考数学模拟试卷（八）　

2022年辽宁省沈阳七中中考数学模拟试卷（八） 一、选择题（本大题共10小题，共20分） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. 3 C. D. 9 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 平行四边形的邻边相等 C. 平行四边形的对角线互相垂直 D. 平行四边形的对角线互相平分 5. 小红连续 天的体温数据如下（单位：）：，，，．关于这组数据，众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，分别与 相切于两点，，则 (　　　) A. B. C. D. 8. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（　　） A. B. 6 C. 4 D. 5 9. 如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（ ） A. 4 B. 2 C. 2 D. 4 10. 如图，已知抛物线和直线．我们规定：若，取和中较大者为M；若，记．有下列结论： ①当时，M为4； ②当时，使的x的取值范围是； ③当时，使的x的值是，； ④当时，M随x的增大而增大． 其中结论正确的是（ ） A. ②③ B. ①④ C. ②④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 北斗三号卫星上配备的新一代国产原子钟，使北斗导航系统授时精度达到了十亿分之一秒．十亿分之一用科学记数法可以表示为__________． 12. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 13. 小明记录课间在教室的学生人数，其中一组数据为1，3，a，10，它们平均数为5，则 _____． 14. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是_____． 15. 如图，在 和中，，，，将绕点 旋转，连接 ，若点 为 中点，绕点 旋转，则点 的运动轨迹的长为______． 16. 如图，在中，，，，点 为边上的一个动点，连接并延长至点 ，使得，连接 ，以 ，为邻边构造，连接，则的最小值为__________． 三、解答题（本大题共9小题，共82分） 17. 先化简，再求值：，其中a＝． 18. 如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ，，对角线 所在的直线绕点 顺时针旋转角，所得的直线分别交 ， 于点． （1）求证：； （2）当旋转角 为多少度时，四边形为菱形？试说明理由． 19. “快闪”作为新时代人们抒发情怀的一种娱乐活动，被大众所喜爱．某中学想收集歌曲名称为“快闪”的编排做准备，从四首入围的歌曲：《大海啊，我的故乡》《生僻字》《我和我的祖国》《红旗飘飘》中选取，现随机抽取一部分学生对四首歌曲的喜爱情况进行调查（单项选择）．随后将调查结果绘制成如下的不完整统计图表． 喜爱四首歌曲的学生人数统计表： 歌曲 人数 所占百分比 合计 根据统计图表的信息，解答下列问题： （1） ______， ______． （2）求出 的值并补全条形统计图； （3）若该校共有名学生，请你估计喜爱歌曲 ．《我和我的祖国》的学生有多少名？ （4）八班有两位文艺委员，一位班长，学校想从这三人中任选两人担任此次活动的组织者，请用列表或画树状图的方法求出选中班长的概率． 20. 如图，AB是一个垂直于水平面的建筑物，一位同学从建筑物底端B出发，沿水平方向向左行走11.6米到达点D，再经过一段坡路米， 坡面的坡度为（即），然后再沿水平方向向左行走4米到达点E，在点E处测得建筑物顶端A的仰角为 （1）求点E到建筑物的水平距离； （2）求建筑物的高度．（参考数据：）（A， B， C， D， E， F均在同一平面内，结果精确到1米） 21. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若一次函数图象与 轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求的面积． 22. 如图，在钝角三角形ABC中，，点A，B，C在 上，过点A作交CB的延长线于点D，且，过点B作交 于点E，过点E作，交 于点M，交DA的延长线于点F． （1）求证：DF是 的切线． （2）若点C是的中点，，劣弧的长_________． 23. 某工厂设计了一批零件，零件的成本是10元/个，为了合理定价，先投放市场进行试销，要求售价不得低于成本，且不能高出成本的2倍，据市场调查，零件每天的试销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的函数关系． （1）请写出y与之间x的函数关系式，并求出当售价为14元时，每天的销量是多少？ （2）设试售零件每天所获的利润为w（元），那么销售单价为多少元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 24. 如图，四边形 是菱形，，点 是对角线 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转得到线段，连接， ． （1）如图，求的度数． （2）如图 ，当时，连接 ，求证：四边形是矩形． （3）如图 ，当是等边三角形，求此时点 运动的位置，请直接写出结果： 若取 的中点，连接，当线段 与 满足什么样的数量关系时，四边形是菱形？请说明你的理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，，与 轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）若点 是抛物线上 ， 之间的一个动点，线段绕点 逆时针旋转得到 ，当点恰好落在 轴上时，求点 ，点的坐标． （3）如图 ，若点 坐标为，轴交直线 于点 ，将沿直线 平移得到，在移动过程中，是否存在使为直角三角形的情况？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年辽宁省沈阳七中中考数学模拟试卷（八） 一、选择题（本大题共10小题，共20分） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先求出=9，再根据算术平方根的定义求出即可． 【详解】解：∵=9， ∴的算术平方根是=3， 故选：B． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，能熟记算术平方根的定义的内容是解此题的关键． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、它不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、它不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、它不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、它是中心对称图形，故此选项符合题意． 3. 一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从正面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置的小立方体的个数判断出主视图图形即可． 【详解】解：从正面看所得到的图形为 选项中的图形． 故选： ． 【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 平行四边形的邻边相等 C. 平行四边形的对角线互相垂直 D. 平行四边形的对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案． 【详解】解：A. 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误， B. 平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误， C. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误， D. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键． 5. 小红连续 天的体温数据如下（单位：）：，，，．关于这组数据，众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】先将数据排序，再依据众数（一组数据中出现次数最多的数据）和中位数（将一组数据从小到大或从大到小排序后，位于中间位置的数，若数据个数为奇数，中间的数就是中位数；若为偶数，是中间两个数的平均数）的定义，分别确定众数和中位数． 本题主要考查了众数和中位数的定义，熟练掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据、中位数是排序后位于中间位置的数（数据个数为奇数时）是解题的关键． 【详解】解：将这组数据排序为：，，，，， 故中位数为：，这组数据中出现了 次，次数最多，故众数为， 故选：A． 6. 如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用“Ⅱ”所示区域所占圆周角除以360，进而得出答案． 【详解】解：由扇形统计图可得，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确理解概率的求法是解题关键． 7. 如图，分别与 相切于 两点，，则 (　　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接OA、OB，根据切线的性质定理，结合四边形AOBP的内角和为360°，即可推出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠C的度数． 【详解】解：连接OA、OB， ∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∵∠P=72°， ∴∠AOB=108°， ∵C是⊙O上一点， ∴∠ACB=54°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，关键在于熟练运用切线的性质，通过作辅助线构建四边形，最后通过圆周角定理即可推出结果． 8. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（　　） A. B. 6 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到AF=AB，∠AFE=∠B=90°，根据等腰三角形的性质得到AF=CF，于是得到结论． 【详解】∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处， ∴AF=AB，∠AFE=∠B=90°， ∴EF⊥AC， ∵∠EAC=∠ECA， ∴AE=CE， ∴AF=CF， ∴AC=2AB=6， 故选B． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 9. 如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（ ） A. 4 B. 2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2，CD=2，于是求出△DBC的面积． 【详解】解：过点B作BH⊥CD于点H． ∵点D为△ABC的内心，∠A=60°， ∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°， 则∠BDH=60°， ∵BD=4，BD：CD=2：1 ∴DH=2，BH=2，CD=2， ∴△DBC的面积为CD•BH=×2×2=2. 故选B. 【点睛】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 10. 如图，已知抛物线和直线．我们规定：若，取和中较大者为M；若，记．有下列结论： ①当时，M为4； ②当时，使的x的取值范围是； ③当时，使的x的值是，； ④当时，M随x的增大而增大． 其中结论正确的是（ ） A. ②③ B. ①④ C. ②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①求出y1，y2，求出m的值即可． ②求出直线与抛物线的交点坐标，利用图象法解决问题即可． ③画出图象，推出M=3时，y1=3，y2=3转化为方程求出x的值即可． ④当b=1时，由，消去y得到，x2-2x+1=0，因为Δ=0，推出此时直线y=2x+1与抛物线只有一个交点，推出b＞1时，直线y=2x+b与抛物线没有交点，由此即可判断． 【详解】解：①当x=2时，y1=4，y2=4+b， 无法判断4与4+b的大小，故①不符合题意． ②如图1中，b=-3时， 由 ，解得 或， ∴两个函数图象的交点坐标为（-1，-5）和（3，3）， 观察图象可知，使的x的取值范围是，故②符合题意， ③如图2中，b=-5时，图象如图所示， 当M=3，y1=3时， ∴-x2+4x=3， 解得x=1或3， 当y2=3时，3=2x-5，解得x=4，也符合条件， 故③不符合题意， ④当b=1时，由，消去y得到，x2-2x+1=0， ∵Δ=0， ∴此时直线y=2x+1与抛物线只有一个交点， ∴b＞1时，直线y=2x+b与抛物线没有交点， ∴M=y2随x的增大而增大，故④符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 北斗三号卫星上配备的新一代国产原子钟，使北斗导航系统授时精度达到了十亿分之一秒．十亿分之一用科学记数法可以表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义表示即可． 【详解】解：科学记数法将一个数表示成的形式，其中， 为整数， 十亿分之一． 12. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 13. 小明记录课间在教室的学生人数，其中一组数据为1，3，a，10，它们平均数为5，则 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式求解即可． 【详解】解：∵一组数据为1，3，a，10，它们平均数为5，， ∴， 解得， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了根据平均数求未知数据的值，熟知平均数的计算公式是解题的关键． 14. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与x轴有两个交点，可知判别式△﹥0，列出不等式并解之即可求出k的取值范围． 【详解】∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴△=﹥0， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的判别式、解一元一次不等式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键． 15. 如图，在 和中，，，，将绕点 旋转，连接 ，若点 为 中点，绕点 旋转，则点 的运动轨迹的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】取 的中点O，连接 ，得 是的中位线，则，可知点 的运动轨迹为以点O为圆心，长为半径的半圆，由此可解． 【详解】解：如图，取 的中点O，连接 ， 点 为 中点， 是的中位线， ， 绕点 旋转， 点 的运动轨迹为以点O为圆心，长为半径的半圆， 点 的运动轨迹的长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形中位线定理，点的运动轨迹，弧长公式等，解题的关键是构造中位线，得出点 的运动轨迹． 16. 如图，在中，，，，点 为边 上的一个动点，连接并延长至点 ，使得，连接 ，以 ，为邻边构造，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作于 ，由、，得平行四边形的高；由得，可证，结合得相似比为，则．根据垂线段最短，当时最小为，代入得的最小值为． 【详解】解：作于点 ， 在中，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 当取得最小值时，即可取得最小值， 当时，取得最小值， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共82分） 17. 先化简，再求值：，其中a＝． 【答案】， 【解析】 【分析】先因式分解，再利用分式的除法性质：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，约分、化简，最后代入特殊值解题即可． 【详解】原式= = = = = 当时， 原式= 【点睛】本题考查分式的化简求值，其中涉及因式分解：十字相乘法、平方差公式、完全平方公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 18. 如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ，，对角线 所在的直线绕点 顺时针旋转角，所得的直线分别交 ， 于点． （1）求证：； （2）当旋转角 为多少度时，四边形为菱形？试说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）90°，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，两直线相交，对顶角相等，且，可以证明两三角形全等； （2）根据平行四边形对角线垂直即可说明． 【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）当时四边形为菱形， 理由：∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查了三角形全等的判断定理，菱形的判定定理，解题的关键是：根据两直线平行的性质得出角之间的关系，利用来证明；证明四边形是菱形，只要求证明平行四边形对角线垂直即可． 19. “快闪”作为新时代人们抒发情怀的一种娱乐活动，被大众所喜爱．某中学想收集歌曲名称为“快闪”的编排做准备，从四首入围的歌曲：《大海啊，我的故乡》《生僻字》《我和我的祖国》《红旗飘飘》中选取，现随机抽取一部分学生对四首歌曲的喜爱情况进行调查（单项选择）．随后将调查结果绘制成如下的不完整统计图表． 喜爱四首歌曲的学生人数统计表： 歌曲 人数 所占百分比 合计 根据统计图表的信息，解答下列问题： （1） ______， ______． （2）求出 的值并补全条形统计图； （3）若该校共有名学生，请你估计喜爱歌曲 ．《我和我的祖国》的学生有多少名？ （4）八班有两位文艺委员，一位班长，学校想从这三人中任选两人担任此次活动的组织者，请用列表或画树状图的方法求出选中班长的概率． 【答案】（1） ， （2），补全条形统计图如下： （3）估计喜爱歌曲 ．《我和我的祖国》的学生有人 （4）选中班长的概率为 【解析】 【分析】（1）由喜爱歌曲 的人数除以所占的百分比，即可求得，根据喜爱歌曲 的人数即可求得所占百分比； （2）用抽取的总人数乘以喜爱歌曲 所占的百分比即可求得 ，再补全条形统计图即可； （3）用该校学生总人数乘以喜爱歌曲 所占的百分比，即可求解； （4）用列表的方式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知， ，即． 【小问2详解】 解：，补全条形统计图略． 【小问3详解】 解：估计喜爱歌曲 ．《我和我的祖国》的学生有（人）． 【小问4详解】 解：列表如下： 文 文 班 文 （文，文 （文，班） 文 （文，文） （文，班） 班 （班，文 （班，文） 由表知，共有6种等可能结果，其中选中班长的有种结果， 所以选中班长的概率为． 20. 如图，AB是一个垂直于水平面的建筑物，一位同学从建筑物底端B出发，沿水平方向向左行走11.6米到达点D，再经过一段坡路米， 坡面的坡度为（即），然后再沿水平方向向左行走4米到达点E，在点E处测得建筑物顶端A的仰角为 （1）求点E到建筑物 的水平距离； （2）求建筑物 的高度．（参考数据：）（A， B， C， D， E， F均在同一平面内，结果精确到1米） 【答案】（1）18米 （2）15米 【解析】 【分析】（1）延长 交直线 于M，则，过C作于N，先解求出米，米，再由求解即可； （2）先解求出 ，再由即可求解． 【小问1详解】 解∶ 延长 交直线 于M，则，过C作于N，如图所示： 由题意得， 则四边形是矩形， ∴， 在中， ∴设，则， ， 解得， ∴米，米， ∴(米)， 答：点E 到建筑物 的水平距离是 18米； 【小问2详解】 解：由题意得，， 在中，(米)， ∴ (米)． 答：建筑物 的高度约为15米． 21. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若一次函数图象与 轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求的面积． 【答案】（1）；（2）18 【解析】 【分析】（1）根据点A、B都在反比例函数图象上，得到关于a的方程，求出a，即可求出反比例函数解析式； （2）根据点A、B都在一次函数的图象上，运用待定系数法求出直线解析式，进而求出点C坐标，求出CD长，即可求出的面积． 【详解】解：（1）∵点，点在反比例函数的图象上， ∴． 解得． ∴． ∴反比例函数的表达式是． （2）∵， ∴点A，点B的坐标分别是． ∵点A，点B在一次函数的图象上， ∴ 解得 ∴一次函数的表达式是． 当时，． ∴点C的坐标是． ∴． ∵点D是点C关于原点O的对称点， ∴． 作轴于点E， ∴． 【点睛】本题为一次函数与反比例函数综合题，难度不大，解题关键是根据点A、B都在反比例函数图象上，得到关键a的方程，求出a，得到点A、B坐标． 22. 如图，在钝角三角形ABC中，，点A，B，C在 上，过点A作交CB的延长线于点D，且，过点B作交 于点E，过点E作，交 于点M，交DA的延长线于点F． （1）求证：DF是 的切线． （2）若点C是的中点，，劣弧的长_________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接AE，根据圆周角定理得出AE为 的直径，根据直角三角形的两锐角互余及等量代换可推出，即可得解； （2）连接OM，OB，先根据切线的性质易得，再根据弧、圆心角的关系得到，进而得到，得到 ，求出，再根据等腰三角形的性质及三角形外角性质得出，在中，解直角三角形得到，即得圆的半径为2，再根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：连接AE，如下图． ∵， ∴， ∴AE是 的直径，． ∵，， ∴， ∴，即：． 又∵点A在 上，OA为 的半径， ∴FD是 的切线； 【小问2详解】 解：∵FD是 的切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴在中，， ∴． ∵， ∴， ∴， 连接OB，OM，则， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、弧长计算公式，解直角三角形，熟记切线的判定与性质、弧长计算公式并作出合理的辅助线是解题的关键． 23. 某工厂设计了一批零件，零件的成本是10元/个，为了合理定价，先投放市场进行试销，要求售价不得低于成本，且不能高出成本的2倍，据市场调查，零件每天的试销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的函数关系． （1）请写出y与之间x的函数关系式，并求出当售价为14元时，每天的销量是多少？ （2）设试售零件每天所获的利润为w（元），那么销售单价为多少元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1），当售价为14元时，每天的销量是300个； （2）当销售单价为20元/个时，每天的销售利润最大，最大利润是2400元． 【解析】 【分析】（1）根据图象，用待定系数法求分段函数解析式即可； （2）根据利润＝（单价﹣进价）×销售量分两种情况列出函数解析式，再根据函数的性质求最值． 【小问1详解】 由题意得：10≤x≤20， 当10≤x≤12时，y＝320； 当12＜x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b， 则， 解得：， ∴y＝﹣10x+440， ∴y与之间x的函数关系式为 当x＝14时，y＝﹣10×14+440＝300， ∴当售价为14元时，每天的销量是300个； 【小问2详解】 当10≤x≤12时，w＝320×（x﹣10）＝320x﹣320， ∴当x＝12时，w最大，最大值为640； 当12＜x≤20时，w＝（﹣10x+440）（x﹣10）＝﹣10x2+540x﹣4400， ∵﹣10＜0，对称轴为， ∴当x＝20时，w最大，最大值为﹣10×202+540×20﹣4400＝2400， ∵2400＞640， ∴当销售单价为20元/个时，每天的销售利润最大，最大利润是2400元． 【点睛】本题考查二次函数的应用以及用待定系数法求分段函数的解析式，根据等量关系列出关系式是解题关键． 24. 如图，四边形 是菱形，，点 是对角线 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转得到线段，连接， ． （1）如图，求的度数． （2）如图 ，当时，连接 ，求证：四边形是矩形． （3）如图 ，当是等边三角形，求此时点 运动的位置，请直接写出结果： 若取 的中点，连接，当线段 与 满足什么样的数量关系时，四边形是菱形？请说明你的理由． 【答案】（1） （2）证明：取的中点，连接， 由（1）可知，， ， ， ， ∵点是的中点， ， ， 由（1）可知，，，，， ， ， 是等边三角形， ，， ∴， ， ∴， ， ，， ， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （3）①当是等边三角形时，点 运动到 的中点； 解：当时，四边形是菱形，理由如下： 如图：当时，连接， 由（1）可知，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是 的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ，， ∴，， 由旋转可得，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴当时，四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）由四边形 是菱形，可得，，， ，证明，即可得结论； （2）取 的中点，连接，由，可得，证明是等边三角形，可得，再证明四边形是平行四边形，可得，则四边形是平行四边形，再由，即可证明结论； （3）①由是等边三角形，可得，则，再由，可得点 是 的中点； 当时，连接，由（1）可知，，可得，，由是 的中点，可得是等边三角形，可得，再证明四边形是平行四边形，再由，即可得四边形是菱形． 【小问1详解】 解：∵四边形 是菱形， ，，， ， ， ， ∵将线段 绕点 逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①解：是等边三角形， ， ， ， ， ， 当点 运动到 的中点时，是等边三角形． 略 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，，与 轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）若点 是抛物线上 ， 之间的一个动点，线段绕点 逆时针旋转得到 ，当点恰好落在 轴上时，求点 ，点的坐标． （3）如图 ，若点 坐标为，轴交直线 于点 ，将沿直线 平移得到，在移动过程中，是否存在使为直角三角形的情况？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）已知抛物线与轴的两个交点、与 轴的交点，代入三点坐标列三元一次方程组，解出 、 、 得到解析式； （2）过点 作轴，交轴于点 ，过点作交于点，构造全等三角形得到，，设抛物线上点 横坐标为，根据抛物线解析式得到点 的坐标，再根据等量关系列方程求解点坐标； （3）设沿轴方向平移个单位长，表示出，分三种情况讨论点的位置，作辅助线构造相似三角形列比例式求出，最后写出全部坐标． 【小问1详解】 解：将，，代入， ， ， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：过点 作轴，交轴于点 ，过点作交于点， ， ， ， 根据旋转的性质可知， 在和中， ， ，， 设， ，， ， ， 点 是抛物线上 ， 之间， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：存在点使为直角三角形，理由如下： ， ， 设沿轴方向平移个单位长，则沿 轴方向平移个单位长， ， ， 如图，当时，过点作轴交于点 ， ， ， ， ， ， ， ，，，， ， 解得， ； 如图，当时，过点 作轴，过点 作交于点，过点作交于 点， ， ， ， ， ， ， ，，，， ， 解得， ； 如图，当时，过点作轴交于点，过点 作交于点， ， ， ， ， ， ， ，，，， ， 解得， ， 综上所述：的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $