暑假作业07 导数的概念及计算（巩固培优,2知识9题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高二数学人教A版

**基本信息** 以导数概念为起点，通过定义-公式-法则-应用的逻辑链条，结合12类题型与常用结论，系统构建导数计算的方法体系，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|5个核心知识点|导数定义极限思想、切线问题分类、公式法则记忆技巧|从概念生成到几何意义，再到公式法则推导，形成完整知识链| |题型突破|12类典型题型|定义计算转化法、复合函数分层求导、实际问题建模|覆盖基础计算到综合应用（数列、二项式），实现从理解到迁移|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业07 导数的概念及计算 【知识点1 导数的概念】 1.定义：对于函数y＝f(x)，我们把比值，即_____________________叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的_______________． 注：Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0. 2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率____________________叫做函数y＝f(x)在x＝x0处的_________，记作f′(x0)或. 3.导函数：当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即______________________________. 【知识点2 导数的几何意义】 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的____斜率____，相应的切线方程为______________________________________________________． 注：(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线是指P为切点，斜率为f′(x0)的切线，具有唯一性． (2)曲线y＝f(x)过点P(x0，f(x0))的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条． 【知识点3 基本初等函数的导数公式】 基本初等函数 导数 y＝c(c是常数) y'＝_______________ y＝xα(α是实数) y'＝_______________ y＝ax(a＞0，a≠1) y'＝_______________，特别地(ex)'＝ex y＝logax(a＞0，a≠1) y'＝_______________，特别地(ln x)'＝ y＝sin x y'＝_______________ y＝cos x y'＝_______________ y＝tan x y'＝_______________ 【知识点4 导数的运算法则】 若f'(x)，g'(x)存在，则有： (1)[f(x)＋g(x)]'＝_______________，(2)[f(x)－g(x)]'＝_______________， (3)[f(x)g(x)]'＝_______________，特别地：[kf(x)]'＝kf'(x)(k∈R).(4)＝_______________(g(x)≠0)， 【知识点5 复合函数的定义及其导数】 1.定义：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数_______________和_______________的复合函数，记作_______________，其中u为中间变量. 2.复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为y'x＝_______________＝_______________，其中u＝φ(x). 注：(1)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆. (2)对于含有参数的函数，要分清哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量，其导数为零. 【常用结论】 (1)区分在某点处的切线与过某点的切线 ①在某点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条. ②过某点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. (2)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． (3)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. (4)可导函数y＝f(x)的导数为f'(x)，若f'(x)为增函数，则f(x)的图象是下凹的；反之，若f'(x)为减函数，则f(x)的图象是上凸的. 【题型1 导数定义中的简单计算】 1．（25-26高二下·广东惠州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知是函数的导函数，且，则为（    ） A．2 B．1 C． D． 【题型2 瞬时变化率的概念及辨析】 1．（2026天津河西期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．0.21 B．0.21 C．2.1 D．2.1 2．（25-26高二上·山西阳泉·期末）用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径的增大而增大.当半径时，气球的体积相对于的瞬时变化率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·上海黄浦·期末）若物体在上抛运动过程中的位移d（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系，则下列说法错误的是（    ） A．在时间段内的平均速度为5m/s B．时的瞬时速度为5m/s C．经过了2s物体的位移最大 D．物体初速度为10m/s 4．（多选）（25-26高二下·山东青岛·阶段检测）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个选项： 其中正确的选项有（   ） A．汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； B．汽车在时间段内不断加速行驶； C．汽车在时间段内不断减速行驶； D．汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 【题型3 基本初等函数的导数公式】 1．（25-26高二下·青海西宁·期中）已知，则（    ） A． B．0 C． D． 2．（25-26高二下·北京西城·期中）已知函数，那么等于（   ） A． B． C． D． 3．（2026重庆沙坪坝期末）设函数的导函数为，已知，则（   ） A．2 B．1 C． D．0 4．（25-26高二下·北京·期中）设，则（   ） A． B． C． D． ，. 5．（25-26高二下·辽宁铁岭·期中）设函数，则（   ） A． B．3 C． D．6 6．（2026安徽芜湖期末）下列说法中正确的有（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·重庆·阶段检测）曲线在处的切线的斜率为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数，则的值为（    ） A．B．C．D． 9．（2026浙江宁波期末）已知，求（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·全国·课后作业） 求下列函数的导函数． （1）；（2）；（3）． 【题型4 导数的加减乘除法】 1．（2026重庆北碚期末）若函数，则（   ） A． B． C．1 D．0 2．（2026陕西西安期中）已知，且，则（   ） A．3 B． C．2 D． 3．（2026安徽芜湖期末）已知函数的定义域为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026辽宁辽阳一模）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏·期中）记，，，，…，，，则（    ） A．0 B．2 C．16 D．32 6．求下列函数的导数： (1)(2)(3)(4) 【题型5 导数的运算法则】 1．（25-26高二下·四川眉山·期中）函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河北张家口·阶段检测）已知函数的导数为，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 3．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知，则（    ） A．0 B． C．1 D． 5．（2026河北沧州期末）设函数，则 ． 6．（25-26高二下·四川眉山·期中）函数，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 函数与导数图象之间的关系】 1．（2026·云南昆明·模拟预测）函数的图象如图所示，为的导函数，下列排序正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型7 导数中极限的简单计算】 1．（福建莆田二中、仙游一中2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷）已知函数的导数为，则（    ） A．1 B．2 C．-3 D．4 2．（山东青岛国科高级中学2025-2026学年高二下学期数学学科综合素养评价（一））已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B．－2 C．4 D．－4 3．（广东云浮市罗定市2025-2026学年普通高中教学期中质量检测高二数学学科）若函数（     ） A． B． C． D． 4．（多选）（四川西充中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题）下列命题正确的有（   ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 【题型8 求某点处的导数值】 1．（25-26高二下·山东青岛·期末）一个物体从高处做自由落体运动，时该物体距离地面的高度（单位：m）为，则该物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·山东济南·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．0 D． 3．（25-26高二下·广西河池·阶段检测）若函数，满足，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（多选）（25-26高二下·陕西咸阳·阶段检测）已知，是的导函数，即，，…，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型9 简单复合函数的导数】 1．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）下列求导数的运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山西太原·期末）求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)；(4)． 3．（2025高二·全国·专题练习）求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)；(4). 【题型10 导数计算在数列中的应用】 1．（25-26高二下·山东德州·期中）已知等比数列中，，函数，则（    ） A．256 B．512 C．1024 D．2048 2．（2025高三·全国·专题练习）在等比数列中，，若函数，则（   ） A． B． C． D． 【题型11 导数计算在二项展开式中的应用】 1．（2026·河南开封·模拟预测）若，则（    ） A．1 B．-1 C．6078 D．-6078 2．（多选）（25-26高二下·河北邢台·期中）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知，则_____，______ 4．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）已知． (1)求的值（数据：）； (2)求的值； (3)证明：能被1000整除． 【题型12 导数在抽象函数中的应用】 1．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数，其导函数记为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2025高三·全国·专题练习）若是函数的导函数，，则（ ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知函数与的定义域均为，且与均为奇函数，，则下列结论正确的是（ ） A． B．的图象关于直线对称 C． D． 4．（24-25高三上·湖北武汉·期中）设函数，，的导数为，则（   ） A． B．当时， C．曲线在点处的切线方程为 D．当时， 1．（2026江西吉安期中）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 2．（25-26高二下·安徽·期中）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 3.（2026广东深圳期末）记函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 4．（2026安徽安庆期末）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（    ） A．B．C．D． 5．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）梯度下降法是一种常用的优化算法，在AI领域经常用于神经网络、深度学习模型参数更新，其迭代公式为（其中称为学习率）．设函数，若初始值，经过一次梯度下降迭代得到，且曲线在点处的切线经过点，则学习率（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）设函数的导数为，且函数，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 7．（25-26高二下·河南洛阳·期中）在数列中，，若函数，的导数为，则（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 8．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知定义在实数集R上的函数，其导函数为，且满足，，则（ ） A．的图像关于点成中心对称 B． C． D． 9．（2026·西藏林芝·二模）已知，则______． 10．（2026·广西河池·模拟预测）已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是，满足，则__________． 11．（2026·山东·模拟预测）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，当时，臭氧含量的瞬时变化率为____________． 12．（25-26高二下·广东肇庆·期中）定义域为的二次函数满足：①为奇函数；②对任意的，，若，都有．写出一个满足条件的函数__________． 13．求下列函数的导数． (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 14．（25-26高二下·江西·期中）一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，该汽车的速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系式为. (1)求该汽车在这段时间里的平均速度； (2)求该汽车在第时的瞬时加速度，并说明它的意义. 15．（25-26高二下·广东佛山·阶段检测）已知曲线，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)求的值； (3)求曲线在点处的切线方程. 16．（24-25高二下·江苏苏州·阶段检测）已知函数，. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 1．（25-26高二下·江西·期中）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若函数，则曲线在点处的曲率是（    ） A． B． C． D． 2．（2026安徽宣城期末）记上的可导函数的导函数为，满足（）的数列称为函数的“牛顿数列”．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的所有n的和为（） A．7 B．8 C．9 D．12 3．（2026·上海·三模）对于函数，将求导次之后所得到的函数记为，并规定.若对任意以及任意自然数k，恒成立，就称是一个“全面压缩”函数.对于所有满足的“全面压缩”函数，若恒成立，则正整数的最大值为_____________. 4．（25-26高二下·河南南阳·期中）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，______． 5．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数，其图像的两条互相垂直的切线的交点记为点，并称点是函数的“优点”. (1)已知，，求的“优点”坐标； (2)已知，求证：函数的所有“优点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； (3)已知，若函数存在“优点”，求实数的取值范围． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业07 导数的概念及计算 【知识点1 导数的概念】 1.定义：对于函数y＝f(x)，我们把比值，即叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 注：Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0. 2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率叫做函数y＝f(x)在x＝x0处的 导数 ，记作f′(x0)或. 3.导函数：当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即. 【知识点2 导数的几何意义】 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的____斜率____，相应的切线方程为． 注：(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线是指P为切点，斜率为f′(x0)的切线，具有唯一性． (2)曲线y＝f(x)过点P(x0，f(x0))的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条． 【知识点3 基本初等函数的导数公式】 基本初等函数 导数 y＝c(c是常数) y'＝ 0 y＝xα(α是实数) y'＝ α y＝ax(a＞0，a≠1) y'＝ axln a ，特别地(ex)'＝ex y＝logax(a＞0，a≠1) y'＝，特别地(ln x)'＝ y＝sin x y'＝ cos x y＝cos x y'＝ －sin x y＝tan x y'＝ 【知识点4 导数的运算法则】 若f'(x)，g'(x)存在，则有： (1)[f(x)＋g(x)]'＝ f'(x)＋g'(x) ，(2)[f(x)－g(x)]'＝ f'(x)－g'(x) ， (3)[f(x)g(x)]'＝ f'(x)g(x)＋f(x)g'(x) ，特别地：[kf(x)]'＝kf'(x)(k∈R).(4)＝(g(x)≠0)， 【知识点5 复合函数的定义及其导数】 1.定义：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数 y＝f(u) 和 u＝φ(x) 的复合函数，记作 y＝f(φ(x)) ，其中u为中间变量. 2.复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为y'x＝ [f(φ(x))]' ＝ f'(u)φ'(x) ，其中u＝φ(x). 注：(1)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆. (2)对于含有参数的函数，要分清哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量，其导数为零. 【常用结论】 (1)区分在某点处的切线与过某点的切线 ①在某点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条. ②过某点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. (2)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． (3)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. (4)可导函数y＝f(x)的导数为f'(x)，若f'(x)为增函数，则f(x)的图象是下凹的；反之，若f'(x)为减函数，则f(x)的图象是上凸的. 【题型1 导数定义中的简单计算】 1．（25-26高二下·广东惠州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数，所以，则. 2．（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知是函数的导函数，且，则为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】导数的定义：，由题意知， 令，则当时，，且. 极限可写为，即. 由导数定义，，所以. 【题型2 瞬时变化率的概念及辨析】 1．（2026天津河西期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．0.21 B．0.21 C．2.1 D．2.1 【答案】D 【详解】平均变化率.故选D. 2．（25-26高二上·山西阳泉·期末）用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径的增大而增大.当半径时，气球的体积相对于的瞬时变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】球的体积公式为，对其求导并代入计算即可 【详解】由球的体积公式可得，得， 所以时，气球的体积关于半径的瞬时变化率为. 故选：C. 3．（25-26高二下·上海黄浦·期末）若物体在上抛运动过程中的位移d（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系，则下列说法错误的是（    ） A．在时间段内的平均速度为5m/s B．时的瞬时速度为5m/s C．经过了2s物体的位移最大 D．物体初速度为10m/s 【答案】C 【分析】结合平均速度、瞬时速度的定义及二次函数的性质，逐一判断各选项的正误即可. 【详解】对于选项A，平均速度计算公式为，当时，；当时，，因此，A说法正确，不符合题意. 对于选项B，瞬时速度为位移函数对时间的导数，可得，代入得，B说法正确，不符合题意. 对于选项C，位移函数的图象是开口向下的抛物线，其顶点横坐标为，即时位移最大，时，，位移为0，故C说法错误，符合题意. 对于选项D，初速度为时的瞬时速度，代入导数公式得，D说法正确，不符合题意. 4．（多选）（25-26高二下·山东青岛·阶段检测）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个选项： 其中正确的选项有（   ） A．汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； B．汽车在时间段内不断加速行驶； C．汽车在时间段内不断减速行驶； D．汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 【答案】ABC 【详解】时间段内是直线，斜率不变，故汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同， 故A正确； 时间段内，切线斜率逐渐增大，故汽车在时间段内不断加速行驶， 故B正确； 时间段内，切线斜率逐渐减小，故汽车在时间段内不断减速行驶， 故C正确； 汽车在时刻的瞬时速度大于，在内，位移不变，故时刻的瞬时速度为， 故D错误. 【题型3 基本初等函数的导数公式】 1．（25-26高二下·青海西宁·期中）已知，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以. 2．（25-26高二下·北京西城·期中）已知函数，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则. 3．（2026重庆沙坪坝期末）设函数的导函数为，已知，则（   ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】B 【详解】，求导得，，故B正确．故选B． 4．（25-26高二下·北京·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数公式求解. 【详解】，，，，，，，. 5．（25-26高二下·辽宁铁岭·期中）设函数，则（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【详解】此时，． 于是． 6．（2026安徽芜湖期末）下列说法中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选B 7．（25-26高二下·重庆·阶段检测）曲线在处的切线的斜率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， 所以， 所以曲线在处的切线的斜率为. 8．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数，则的值为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】先根据导数求得，再根据导数的定义求解即可. 【详解】由题意知，所以， 所以. 9．（2026浙江宁波期末）已知，求（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数，所以， 根据导数的定义可得：.故选B. 9．（25-26高二下·全国·课后作业） 求下列函数的导函数． （1）；（2）；（3）． 【答案】（1）．（2）．（3）． 【详解】（1）． （2）∵，∴． （3）∵，∴． 【题型4 导数的加减乘除法】 1．（2026重庆北碚期末）若函数，则（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【详解】函数，求导得，所以.故选C. 2．（2026陕西西安期中）已知，且，则（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得，故选B. 3．（2026安徽芜湖期末）已知函数的定义域为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以，，故D正确.故选D. 4．（2026辽宁辽阳一模）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 所以，即所求切线的斜率为4， 由点斜式可得所求切线方程为，即.故选B. 5．（25-26高二下·江苏·期中）记，，，，…，，，则（    ） A．0 B．2 C．16 D．32 【答案】D 【分析】根据初等函数导数公式及导数运算法则求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以. 6．求下列函数的导数： (1)(2)(3)(4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，所以. （3）因为，所以. （4）因为，所以，则. 【题型5 导数的运算法则】 1．（25-26高二下·四川眉山·期中）函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，故. 2．（25-26高二下·河北张家口·阶段检测）已知函数的导数为，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由，得 所以，解得． 3．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由于是常数，对求导，得， 将代入导函数得，整理得. 4．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由题意得，，则，得. 5．（2026河北沧州期末）设函数，则 ． 【答案】 【详解】由题意得， 令，得，解得. 6．（25-26高二下·四川眉山·期中）函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，故. 【题型6 函数与导数图象之间的关系】 1．（2026·云南昆明·模拟预测）函数的图象如图所示，为的导函数，下列排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的图象判断的符号以及单调性，由此确定正确答案. 【详解】根据的图象可知，在区间上单调递增， 且函数增长的速度逐渐减慢，切线斜率递减. 所以，且单调递减， 所以. 2．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在某点处的导数即过该点处的切线的斜率， 由图知，. 【题型7 导数中极限的简单计算】 1．（福建莆田二中、仙游一中2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷）已知函数的导数为，则（    ） A．1 B．2 C．-3 D．4 【答案】D 【分析】对函数求导，然后根据导数的定义计算即可. 【详解】，所以. 则. 故选:D. 2．（山东青岛国科高级中学2025-2026学年高二下学期数学学科综合素养评价（一））已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B．－2 C．4 D．－4 【答案】D 【详解】， 所以. 3．（广东云浮市罗定市2025-2026学年普通高中教学期中质量检测高二数学学科）若函数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的运算法则求出，再利用导数的定义即可求出. 【详解】由题意得, . 4．（多选）（四川西充中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题）下列命题正确的有（   ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【分析】借助导数定义可得A；借助复合函数的导数运算法则计算即可得B；借助导数的除法运算法则计算即可得C；利用导数运算法则计算即可得D. 【详解】对A：，则，故A错误； 对B：，则，解得，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，则， 则，故D正确. 【题型8 求某点处的导数值】 1．（25-26高二下·山东青岛·期末）一个物体从高处做自由落体运动，时该物体距离地面的高度（单位：m）为，则该物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】对求导，得. 将代入导函数，得. 2．（25-26高二下·山东济南·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】由函数，求导得 所以. 3．（25-26高二下·广西河池·阶段检测）若函数，满足，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先求出，再对两边同时求导，即可得解. 【详解】因为，且， 所以，所以， 对两边同时求导得， 所以， 所以. 4．（多选）（25-26高二下·陕西咸阳·阶段检测）已知，是的导函数，即，，…，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数求导后的规律，即可求解. 【详解】由， ， ， ， ， 发现，中的求导后的规律是：对应的第一部分为，其中求导后对应的第二部分的周期为4，所以，， 所以，， ，，故AC正确. 故选：AC 【题型9 简单复合函数的导数】 1．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）下列求导数的运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数公式及简单复合函数求导逐项判断即可． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 2．（25-26高二上·山西太原·期末）求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2) (3)(4) 【分析】利用基本初等函数的求导公式，导数的运算法则，复合函数的求导法则即可一一求解. 【详解】（1） （2） （3） （4） 3．（2025高二·全国·专题练习）求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)；(4). 【答案】(1)(2) (3)(4) 【分析】（1）由导数的加减法公式结合复合函数的求导法则运算可得解； （2）由导数的乘法公式结合复合函数的导数运算可得解； （3）由导数的除法公式结合复合函数的求导法则运算可得解； （4）由导数的乘法公式结合复合函数的导数运算可得解. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. 【题型10 导数计算在数列中的应用】 1．（25-26高二下·山东德州·期中）已知等比数列中，，函数，则（    ） A．256 B．512 C．1024 D．2048 【答案】A 【详解】根据积的求导法则， ， 则， 等比数列中，，则， 所以. 2．（2025高三·全国·专题练习）在等比数列中，，若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设,则，可得，而，利用等比数列的项的性质即可求得. 【详解】设， 则，， 所以，. 因为是等比数列，且，， 于是， 故， 所以，. 故选：A. 【题型11 导数计算在二项展开式中的应用】 1．（2026·河南开封·模拟预测）若，则（    ） A．1 B．-1 C．6078 D．-6078 【答案】D 【分析】先求导，再令即可求解. 【详解】由， 两边同时求导得， 令，则. 2．（多选）（25-26高二下·河北邢台·期中）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用求导法和赋值法来求系数和. 【详解】对于A，因为，所以，， 即， 再令，得， 令，得， 所以，解得，故A错误. 对于B，令，得，故B正确. 对于C，令，得， 令，得， 则 ,故C正确. 对于D，设， 则， 再令，得， 所以，故D错误. 3．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知，则_____，______ 【答案】 【分析】利用赋值法，令得到所有系数绝对值之和相关的式子，再通过求出，再结合的结果计算；对原等式两边关于求导，然后利用赋值法，令代入求导后的式子，即可得. 【详解】展开后，系数的符号由的幂次决定，等于展开式中的系数， 令，得，即； 令原展开式，得，且； 因此： ； 对原式两边关于求导： 左边导数： 右边导数：， 令代入，右边即为所求式子，左边得： ， 因此. 4．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）已知． (1)求的值（数据：）； (2)求的值； (3)证明：能被1000整除． 【答案】(1)59049(2)20(3)略 【分析】（1）利用赋值法和平方差公式计算求解即可； （2）利用导数与赋值法即可求解； （3）利用 ，结合二项式定理计算即可证明结论. 【详解】（1）由 ， 有 ． 又由， 有． 可得 =59 049． （2）由， 有，可得=20． （3）由 ． 即． 因为是整数， 所以能被1000整除． 【题型12 导数在抽象函数中的应用】 1．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数，其导函数记为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】化简，令，判断该函数的奇偶性，结合奇偶性以及，求得，根据复合函数求导法则得，进而得，即，即可得解. 【详解】因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 所以，所以； 因为，所以，即， 又，所以，所以， 所以． 故选：D 2．（2025高三·全国·专题练习）若是函数的导函数，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等式两侧同时求导，令，结合原等式得到关于与的方程组，解方程组求出与的值.把的值代回原等式，可确定的表达式，进而得到结果. 【详解】对求导，得， 令，得，所以． 在中，令，得， 联立，解得， 所以，得，故， 所以． 故选：C． 3．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知函数与的定义域均为，且与均为奇函数，，则下列结论正确的是（ ） A． B．的图象关于直线对称 C． D． 【答案】ABC 【分析】由题意有，得，令得，即可求解，对求导有即可判断B，由为偶函数，即可得的周期为2即可判断CD. 【详解】因为与均为奇函数，所以， ，即， 令有：， 由， 所以，故A正确； 对求导有， 即的图象关于直线对称，故B正确； 由， 对求导有，即为偶函数， 即得， 所以的周期为2，所以，故C正确； 因为的周期为2，所以， 所以，故D错误. 故选：ABC 4．（24-25高三上·湖北武汉·期中）设函数，，的导数为，则（   ） A． B．当时， C．曲线在点处的切线方程为 D．当时， 【答案】ACD 【分析】求出的导数即可判断A、B，表示出，利用导数的几何意义求出切线方程，即可判断C，利用作差法判断D. 【详解】对于A：因为，所以，则，故A正确； 对于B：因为，即，解得，故B错误； 因为， 则，所以， 则在点处的切线方程为，即，故C正确； 当时，， 令，因为与均在上单调递增， 则在上单调递增，且，， 所以存在使得，所以当时，当时， 所以， 所以当时， 所以， 当时， 所以， 综上可得当时，，故D正确. 1．（2026江西吉安期中）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 【答案】B 【详解】由题意， ，故．故选B. 2．（25-26高二下·安徽·期中）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据导数的运算法则求出，再将代入，进而即可求出． 【详解】因为，则， 所以，解得． 3.（2026广东深圳期末）记函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由函数得导函数， 所以.故选A. 4．（2026安徽安庆期末）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】由，得， ∵，∴，当且仅当，即时等号成立， 则，即，又， ∴的取值范围是．故选D． 5．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）梯度下降法是一种常用的优化算法，在AI领域经常用于神经网络、深度学习模型参数更新，其迭代公式为（其中称为学习率）．设函数，若初始值，经过一次梯度下降迭代得到，且曲线在点处的切线经过点，则学习率（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设可得，，再结合导数的几何意义求得，进而求解即可. 【详解】由，得， 即，， 则，，即， 由于曲线在点处的切线经过点，且， 则，解得或（舍去）， 则，即. 6．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）设函数的导数为，且函数，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【详解】由，得， 取，得，则， 所以. 7．（25-26高二下·河南洛阳·期中）在数列中，，若函数，的导数为，则（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】根据题意求得，令，进而得，再代入计算即可得答案. 【详解】因为， 所以，当时，； 当时，，， 所以，满足时，， 所以， 令，则， 所以， 所以 8．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知定义在实数集R上的函数，其导函数为，且满足，，则（ ） A．的图像关于点成中心对称 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对A、B，利用赋值法进行计算即可得；对C、D，利用赋值法后结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和即可得. 【详解】对A：令，则有，即， 令，则有，又，故，不关于对称，故A错误； 对于B，令，则有， 两边同时求导，得， 令，则有，故B正确； 对C：令，则有，即， 则 ，故C正确； 对D：令，则有，即， 则，即， 又，故， 则，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题C、D选项关键在于利用赋值法，结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和. 9．（2026·西藏林芝·二模）已知，则______． 【答案】 【分析】对函数求导，再将自变量代入导函数整理求值即可. 【详解】对求导， 可得， 所以，解得. 10．（2026·广西河池·模拟预测）已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是，满足，则__________． 【答案】4050 【分析】根据给定条件，利用复合函数求导法则求导，进而求出函数值的和. 【详解】由，求导得， 则，即当时，， 所以. 11．（2026·山东·模拟预测）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，当时，臭氧含量的瞬时变化率为____________． 【答案】 【详解】由，则， 所以当时，臭氧含量的瞬时变化率为． 12．（25-26高二下·广东肇庆·期中）定义域为的二次函数满足：①为奇函数；②对任意的，，若，都有．写出一个满足条件的函数__________． 【答案】（满足即可） 【分析】先求得，由已知得出，取任意满足要求的即可． 【详解】，因为为奇函数，所以，即， 又对任意的，，，都有， 所以在上单调递减，则， 所以可以取． 13．求下列函数的导数． (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) 【详解】（1），； （2），； （3），； （4），； （5），． 14．（25-26高二下·江西·期中）一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，该汽车的速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系式为. (1)求该汽车在这段时间里的平均速度； (2)求该汽车在第时的瞬时加速度，并说明它的意义. 【答案】(1) (2)，说明在第附近，汽车的速度每秒大约减少. 【分析】（1）借助定积分计算即可得； （2）借助速度函数求导计算即可得，结合瞬时加速度定义可说明其意义. 【详解】（1） ， 即该汽车在这段时间里的平均速度为； （2），则， 即该汽车在第时的瞬时加速度为， 说明在第附近，汽车的速度每秒大约减少. 15．（25-26高二下·广东佛山·阶段检测）已知曲线，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)求的值； (3)求曲线在点处的切线方程. 【答案】(1)1 (2) (3) 【详解】（1）由，得， 则，即. （2）由，得，则， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 且直线的斜率为， 则. （3）由（1）知，，则， 而，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 16．（24-25高二下·江苏苏州·阶段检测）已知函数，. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 【答案】(1)或；； (2), 【分析】（1）利用导数的几何意义求过一点的切线方程； （2）利用导数的几何意义，由切线平行，列方程求参数的值即可. 【详解】（1）因为， 所以， 设过点直线与函数相切于点， 切线方程为， 代入点， 得， 整理得， 即， ， 解得或， 当时，切点为, 则切线方程为：； 当时， 求得切线方程为； 所以切线方程为：或； （2）由（1）可得曲线在点处的切线， 即， 由，可得， 所以曲线在处的切线的斜率为， 所以，解得, 此时切点为， 所以曲线在处的切线方程为， 即，与平行，满足题意， 所以. 1．（25-26高二下·江西·期中）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若函数，则曲线在点处的曲率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据曲率定义，代入求解即可. 【详解】已知，， . 则，，.得. 所以曲率. 2．（2026安徽宣城期末）记上的可导函数的导函数为，满足（）的数列称为函数的“牛顿数列”．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的所有n的和为（） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【详解】由可得，根据牛顿数列的定义，， 将和代入上式，得， 则数列组成首项为，公比为2的等比数列，故，于是， 则，，则等价于，即， 因为递增数列，且，故满足条件的有4，5两个，它们的和为.故选C. 3．（2026·上海·三模）对于函数，将求导次之后所得到的函数记为，并规定.若对任意以及任意自然数k，恒成立，就称是一个“全面压缩”函数.对于所有满足的“全面压缩”函数，若恒成立，则正整数的最大值为_____________. 【答案】15 【分析】根据定义计算得到，，，，，的性质，通过代入比较大小即可求解. 【详解】对于，， 而，所以， ，所以， ，所以， ，所以， ，所以， 而当且时， 因为函数是“全面压缩”函数，所以， 即， 则，，，，，， 而当时，， 设， ， ， 故最大值为. 4．（25-26高二下·河南南阳·期中）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，______． 【答案】2025 【分析】由新定义确定的对称中心，即可求解. 【详解】解：因为，所以，， 令，得，又， 所以的对称中心是，所以， 所以． 5．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数，其图像的两条互相垂直的切线的交点记为点，并称点是函数的“优点”. (1)已知，，求的“优点”坐标； (2)已知，求证：函数的所有“优点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； (3)已知，若函数存在“优点”，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，由两直线垂直得到，从而得到， 利用点斜式求出切线方程，两条切线方程联立方程组求解，即为“优点”. （2）利用导数的几何意义求出斜率，利用两条直线垂直条件得到的值， 利用点斜式求出两条切线的方程，这两个切线方程通过联立方程组，求出，将其代入得到的值，由的值得到，从而得到所有“优点”所在的直线方程. （3）利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，令交点为，通过联立两切线方程得到，令，则上式变为 ，由得到，即，要存在“优点”，即存在实数 满足上述方程，将其视为关于的二次方程，则有，通过讨论得到实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以 ， 设两条互相垂直的切线的切点横坐标为， 则它们的斜率分别为， 由两直线垂直得，即， 因为，，故或， 即或， 当时，，，则两切点为，， 则切点处的切线方程：， 切点处的切线方程： ，即， 当时，结果同上， 联立方程：，解得，即“优点”为 . （2）因为，所以， 设两切点横坐标为，斜率， 由垂直条件得到，解得， 两个切点分别为， 过的切线方程为，即， 过的切线方程为 ，即， 联立， 两式相减：， 因为，所以， 将代入得到， 由，故，因此所有“优点”都在直线上. 故函数的所有“优点”在一条定直线上，且这条直线的方程为. （3）因为，所以， 设两切点横坐标为，则斜率， 两个切点分别为，， 则过的切线方程为 ， 过的切线方程为 ， 联立两切线方程，令交点为，两式相减， 得到， 左边因式分解： ， 右边因式分解： ， 因为，所以 ， 令，则上式变为， 且满足， 由得到 ， 得到 ， 即， 要存在“优点”，即存在实数 满足上述方程， 将其视为关于的二次方程， 则有， 即，即，即， 这说明存在实数使得 ， 即或有解， 当时，可取任意实数，故只要，总能找到满足不等式； 当时，， ，两条切线斜率均非负， 无法满足乘积为，故不成立， 故实数的取值范围是：. 7 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $