第1章 章末复习（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材 宁夏专版）

能力提升 5.C6.22.5°7.(1)证明：四边形ABCD是正方形，∴.∠BAD=90°，AC是∠BAD 的平分线.PM⊥AD,PN⊥AB,∴.PM=PN,∠PMA=∠PNA=90°.∴.∠PMA= ∠PNA=∠BAD=90°.∴.四边形PMAN是矩形.又：PM=PN,.四边形PMAN是 正方形.(2)解：：四边形PMAN是正方形，.∠APM=∠APN=45°.∠EPA=15°， ∠EPM=∠APM-∠EPA=30.∴EM=2ED=1.PM=√E-EM-E. .SE方形PMAN=(W5)2=3. 教材拓展角 (1)C(2)正方形(3)106(4)AC=BD(5)证明：连接AC,BD交于点O.,E,F 分别是AB,BC的中点EF是△ABC的中位线.EF∥AC,EF=2AC同理，得 HG∥AC,HG=号AC.∴EF∥HG,EF=HG.·四边形EFGH是平行四边形.：AB= AD,BC=CD,AC是线段BD的垂直平分线.∴.AC⊥BD.E,H分别为AB,AD的 中点，∴EH是△ABD的中位线.∴.EH∥BD.:EF∥AC,∴EF⊥EH,即∠HEF= 90°..四边形EFGH是矩形. 大单元整合练特殊四边形的折叠问题【落实课标】 1.D2.75°3.44.证明：(1)四边形ABCD是矩形，.AB=CD,∠B=∠D=90° 由折叠的性质，得∠F=∠D=∠B=90°，CF=CD=AB.:∠AEB=∠CEF,∴.△ABE ≌△CFE(AAS).(2),△ABE≌△CFE,∴.AE=CE.∴.△AEC是等腰三角形.(3)解： 设CE=AE=x.四边形ABCD是矩形，.BC=AD=8..BE=BC-CE=8-x.在 Rt△ABE中，BE十AB=AE,即(8-x)2十4=x2,解得x=5..AE=5.5.(1)证 明：由折叠的性质知∠EAB=∠PAB,∠FAD=∠PAD,.2(∠PAB十∠PAD)= 180°，即∠BAD=∠PAB十∠PAD=90°，同理可得∠ADC=∠ABC=90°，∴四边形 ABCD是矩形.(2)解：连接AC.由折叠的性质知AE=AP=AF,“AF=之ER,同理 可得CG=2GH,“四边形EFGH是菱形，∴.EF=GH,EF∥GH.AF=CG,AF∥ CG..四边形ACGF是平行四边形.∴.FG=AC.:四边形ABCD是矩形，∴.BC=AD= √6，∠ABC=90°..AC=√AB+BC=3.∴.FG=3,即菱形纸片EFGH的边长为3. 专题一特殊平行四边形中的作图问题【宁夏热点】 1.(1)解：如图，菱形ABEF即为所求. FD(2)证明：：四边形ABCD是 平行四边形，.AD∥BC.AF=AB,BE=AB,.AF=BE..四边形ABEF是平行四 边形.AB=AF,∴.四边形ABEF是菱形.2.解：(1)如图①，点F即为所求.(2)如 图②，点G即为所求. 图① 图② 3.解：(1)如图①，平行四边形ABCD即为所求（答案不唯一）.(2)如图②，正方形AB- CD即为所求.(3)如图③，菱形ABCD即为所求.8 图① 图② 图③ 4.解：(1)(2)(3)如图. 图① 图② 图③ 专题二与正方形有关的三种常考模型 1.解：两条路等长，它们的位置关系是互相垂直，理由如下：，四边形ABCD是正方形 ,.BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°.AE=DF,,.△BAE2△ADF(SAS)..BE= AF,∠ABE=∠DAF.,∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°，.∠BAO十∠ABE=90. ∠AOB=180°-（∠BAO十∠ABE)=90°..AF⊥BE..AF与BE等长，且互相垂 直.【变式题1】4【变式题2】3√22.(1)证明：在AB上截取BM=BE,连接ME, 58 四边形ABCD是正方形，.AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°..∠BAE十∠AEB= 90.BM=BE,∴.△BEM是等腰直角三角形，AM=EC.∴.∠BME=45°.∠AME= 180°-∠BME=135.EF⊥AE,∴.∠AEF=90°..∠AEB+∠CEF=90°..∠BAE ∠CEF.∠DCG=180°-∠BCD=90°，CF平分∠DCG,.∠DCF=∠GCF=45. ∴.∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°.∴.∠AME=∠ECF=135°.∴.△AME≌△ECF (ASA).∴AE=EF.(2)解：仍然成立.理由如下：延长BA至点H,使AH=CE,连接 HE.,四边形ABCD是正方形，.∠B=90°，AB=BC,AD∥BC..BH=BE,∠HAD= 90°，∠DAE=∠AEB.∴△BEH是等腰直角三角形.∴.∠H=45°.：CF平分∠DCE, ∴∠ECF=号∠DCE=45.∠H=∠ECRF.:∠AEF=90,.∠HAD+∠DAE= ∠AEF+∠AEB..∠HAE=∠CEF..△AEH≌2△EFC(ASA)..AE=EF.3. 解：(1).四边形ABCD为正方形，.∠B=∠ADF=90°，AB=AD.,.∠ADG=90°= ∠B.:DG=BE,∴△ADG≌△ABE(SAS).∴.∠DAG=∠BAE,AE=AG.∴∠FAG= ∠FAD+∠GAD=∠FAD十∠BAE=90°-∠EAF=45°，即∠EAF=∠FAG..'AF= AF,.△AFG≌△AFE(SAS)..EF=FG..EF=DF+DG=DF+BE,即EF= BE+DF.(2)DF=EF+BE.证明如下：在CD上截取GD=BE,连接AG.同(1)可证 △AEB≌△AGD,.AE=AG,∠EAB=∠GAD.又.'∠BAG+∠GAD=90°，∴.∠EAG= ∠EAB+∠BAG=∠GAD+∠BAG=90°.∴·∠FAG=∠EAG-∠EAF=45°. ∴∠EAF=∠GAF.AF=AF,∴△EAF≌△GAF(SAS).∴.EF=FG.:FD=FG+ DG..'.DF-EFBE. 专题三特殊平行四边形中的定值、最值问题【宁夏热点】 1.B【变式题1】g【变式题2】解：1)：四边形ABCD是菱形，∴A0=C0,AC1 BD,B0=合BD=8.在R△AB0中，A0=VAB-B0=6.AC=2A0=12. ∴Sm=分AC·BD=96.(2)GE十GF的值不发生变化.理由如下：连接AG.由题 意，得S4D=2SD=S4x十Sa,即号×96=号X10GE+X10GF,GE 1 GF=9.6..GE十GF的值不发生变化.2.B3.(1)证明：：四边形ABCD是菱形， 六AD∥BC,∠BAC=Z∠BAD=60.·∠B=180°-∠BAD=60.△ABC为等边 三角形..AB=BC=AC.:△AEF为等边三角形，.AE=AF,∠EAF=60°. ∴.∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,即∠BAE=∠CAF.·△ABE≌△ACF(SAS). BE=CF.(2)解：四边形AECF的面积不发生变化.：△ABE≌△ACF,.SAAE S△AF,.S四边形AECF=S△Ax十S△AKF=S△AEc十S△ABE=S△AC·由(1)知△ABC为等边三 角形，过点A作AH.LBC于点H.易得AH=2,∴Sc=号X4X25=45 Saa5m=Sa=44395.3万6.107.后84 【变式题6√ 9.√2110.2十2/1311.2√5 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 【观察判断】①③【回顾反思】48【解决问题】解：菱形ABCD的内接矩形EFGH 的三种草图如图所示， A(E) D(H) C(G) 【拓展探究】解：(1)(2)如图所示. 图① 图② 第一章章末复习 思维导图 相等垂直平分相等互相垂直相等一半直角相等且互相平分一半 直角相等直角直角相等相等且互相垂直平分相等互相垂直直角 相等 考点整合 1.C2.C3.C4.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC.△EAC 59 是等边三角形，∴.EA=EC.∴.EO⊥AC.∴.四边形ABCD是菱形.(2)解：由(1)知四边 形ABCD是菱形，OA=OC=子AC=4,OB=OD.在R1△AOB中，OB √AB-OA=3.,.OD=OB=3.△EAC是等边三角形，..AE=AC=8.在 R△A0E中，OE=V/AE-0A=4EDE=0E-OD=4E-3.5.C6号 7.解：(1)如图，线段BE即为所求。 (2)如图，截取线段BF,连接DF. 四边形ABCD是菱形，.AB∥CD..BF∥DE.BF=DE,.四边形DFBE是平行 四边形.由(1)作法知：BE⊥CD,∴.∠BED=90°，.四边形DFBE是矩形..∠DFB= 90°.∠DFA=90°.：四边形ABCD是菱形，AB=8,∴.AD=AB=8.在R△AFD中， :∠A=60,∴∠ADF=30.∴AF=号AD=4.·DF=VAD-AF=V8-平= 4√3，BF=AB-AF=8-4=4..矩形DFBE的周长为(43十4)×2=8W3十8. 8.AB=AC(答案不唯一)9.510.(1)证明：：四边形ABCD是正方形，∴.AD=BC, AD∥BC.∴∠ADE=∠CBF.又：DE=BF,∴.△ADE≌△CBF(SAS).(2)解：连接 AC,交BD于点O.:四边形ABCD是正方形，.BD⊥AC,OA=OC=OB=OD= 号BD=5.:DE=BR,∴OD-DE=OB-BF,即OE=OF.四边形AECF是平行四 边形.又BD⊥AC,.四边形AECF是菱形，EF=2OF.四边形AECF的周长为 4AF=4√34，∴AF=√34.在Rt△AOF中，OF=√AF-OA=3.∴.EF=2OF=6. 聚焦课标 11.【概念理解】解：菱形，正方形【性质探究】解：AD十BC BDXAC【问题解决】 2 (1)解：1340(2)解：5a(3)证明：设CE与AB交于点M,BG与CE交于点V. :四边形ACFG是正方形，∴.AC=AG,∠GAC=90°.：四边形ABDE是正方形，∴.AE= AB,∠BAE=90°.∴.∠GAC十∠BAC=∠BAE十∠BAC,即∠GAB=∠CAE.在 AG=AC, △GAB和△CAE中，∠GAB=∠CAE,.△GAB≌△CAE(SAS)..∠GBA= AB=AE, ∠CEA..∠BAE=90°，∴.∠CEA十∠AME=90°..∠GBA+∠AME=90°. ∠AME=∠BMN,∴∠GBA十∠BMN=90.∴.∠BNM=90°..BGLCE..四边形 BCGE为“垂美四边形” 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 基础过关 1.C2.C3.3x2-7=02x2-4x十5=0x2-3x-4=03210-4-3 -75-44.B5.x(12-x)=32x2-12x十32=0 能力提升 6.B7.(65十2x)(30十2x)=24508.解：(1)设较短一段的长为xm.根据题意，得 2x=(2-x).化成一般形式为x2一6x十4=0.(2)设中间的奇数为x.根据题意，得 (x-2)2十x2十（x十2)2=251.化成一般形式为3x2-243=0. 第2课时一元二次方程的解及其估算 基础过关 1.B2.C3.一94.B5.解：假设能围成，设矩形花圃的长为xm,则宽为(20一x)m. 根据题意，得x(20-x)=75.整理，得x2-20x十75=0.用列表法估算方程的解，可得 x1=5,x2=15.当x=5时，20-x=15;15>5,.不合理，舍去.当x=15时，20-x= 5.答：能围成一个面积为75m2的矩形花圃，矩形花圃的长为15m,宽为5m. 能力提升 6.B7.20348x=1x=-19.解：根据题意可列方程为251一号×10r=15.用 列表法估算方程的解，可得t1≈0.7，t2≈4.3.答：约0.7s或4.3s后它在离抛出点 15m高的地方. 2一元二次方程的解法 第1课时用配方法求解简单的一元二次方程 基础过关 1.C2.D3.解：(1)整理，得x2=- “-写<0∴方程没有实数根.(2)移项，得 9· 60第一章 章末复习 思维导图 ··构建知识体系 性质一四条边 ,对角线互相 一有一组邻边 或对角线 的平行四边形是菱形 菱形 判定 一四边 的四边形是菱形 面积 底×高或两条对角线长的乘积的 殊平行 -四个角都是 ,对角线 性质 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 边形 矩形 有一个角是 或对角线 的平行四边形是矩形 判定 有三个角是 的四边形是矩形 性质一四个角都是 四条边 ,对角线 正方形 有一组邻边 或对角线 的矩形是正方形 判定 有一个角是 或对角线 的菱形是正方形 ■考点整合 ◆>直击核心要点 考点1菱形的性质与判定 4.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相 点O,点E在BD的延长线上，且△EAC是 交于点O.下列结论错误的是 等边三角形 A.AB-AD (1)求证：四边形ABCD是菱形； B.AC⊥BD (2)若AC=8,AB=5,求DE的长. C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC 2.(湖南中考)如图，在四边形ABCD中，对角 线AC与BD互相垂直平分，AB=3,则四边 形ABCD的周长为 A.6 B.9 C.12 D.18 (第2题图) (第3题图) 3.(陕西中考)如图，在矩形ABCD中，AB=3, BC=2,延长CB至点E,延长AD至点F,连 接AE,CF.若四边形AECF为菱形，则这个 菱形的面积为 A.9 c.型 数学九年级上册配BSD版22 考点2矩形的性质与判定 考点3正方形的性质与判定 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD 8.半开放性题新趋势如图，在Rt△ABC中， 相交于点O.已知∠ACB=25°，则∠AOB的 ∠A=90°，D,E,F分别是边BC,AC,AB的 度数是 ( ) 中点，要使四边形AEDF为正方形，不添加 A.130° B.65° C.50° D.25 辅助线，可以添加的条件是 (写出一个即可) （第5题图) (第6题图) 6.(吴忠五中期中)如图，在矩形ABCD中， B G (第8题图) (第9题图) AB=3,BC=5,点E在AD上，且BE平分 9.如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上， ∠AEC,则△ABE的面积为 连接AG,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F. 7.(银川景博学校模拟)如图，在菱形ABCD 若BF=4,DE=9,则EF的长为 中，∠A=60°，AB=8. 10.(广安中考)如图，E,F是正方形ABCD的 (1)实践操作：用尺规作图法过点B作CD 对角线BD上的两点，BD=10,DE=BF, 边上的高BE;(保留作图痕迹，不要求写 连接AE,AF,CE,CF 作法) (1)求证：△ADE≌△CBF: (2)应用与证明：在(1)的条件下，在线段BA 上截取线段BF,使BF=DE,连接DF, (2)若四边形AECF的周长是4√34，求EF 证明四边形DFBE是矩形，并求出它的 的长 周长 23第一章特殊平行四边形 【聚焦课标 ···强化情境任务 11.新定义新趋势（银川灵武市期未）小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边 形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图①，已知四边形ABCD,AC⊥BD,像这 样两条对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形” 【概念理解】 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 【性质探究】 通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空 性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系 如图①，AC⊥BD,由勾股定理可知， Rt△ABO中，AB2=AO+BOY,Rt△CDO中，CD=OC+OD, 同理AD=AO+OD,BC=BOY+CO, AB2+CD2=AO+BO+OC2+OD2=(AO+OD2)+(BO+OC2), 即AB2+CD2= 性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系 S8 AXD=S6AD十SaD-号BD·A0十号BD·C0 【问题解决】 (1)如图①，若AB=3,CD=2,则BC十AD2 若AC=8,BD=10,则四边形 ABCD的面积= (2)如图②，BD,CE是△ABC的中线，BD⊥CE,垂足为O,BC=2DE,设BC=a,用含a的代 数式表示AB+AC= (3)如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和ABDE, 连接CG,BE,GE,BG,CE.求证：四边形BCGE为“垂美四边形” 图① 图② 图③ 提示 请完成阶段微测试（二）汇第一章] 数学九年级上册配BSD版24