精品解析：2026年福建省南平建瓯市6月中考模拟数学试题

建瓯市2025-2026学年初中毕业年级质量检测 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题卡上!请不要错位、越界答题!! 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 2026的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 如下所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 国家统计局5月22日发布的2025年国民经济和社会发展统计公报显示，2025年年末全国人口140545万人，比上年末减少283万人，数据140545万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 图1所示的正五棱柱，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 5. 下列为某班级研究性学习小组学员出勤次数如表所示，则小组学员出勤次数的众数和中位数分别是（　　） 出勤次数 4 5 6 7 8 学员人数 2 6 5 4 3 A. 5，6 B. 5，5 C. 6，5 D. 8，6 6. 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则一元一次不等式kx+b>0的解集为（ ） A. >–2 B. <–2 C. D. 7. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图， 是直径，点C、D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且，则点Q所在的弧是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知点 是正方形 内的一点，连接、、，且，，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 计算________． 12. 一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的内角和是______． 13. 若实数、满足，则______． 14. 在一个不透明的袋子中装有4个红球、2个白球和1个黑球，每个球除颜色外完全相同．从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，再摸出一个球，则两次摸出的球颜色不同的概率为__________． 15. 用《九章算术》中记载的“更相减损术”求168和72的最大公约数，运算步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：． 如果继续操作，可得，因此，经过上述四步运算，求得的结果24是168和72的最大公约数．若两个正整数经过“更相减损术”的三步运算，所求得的最大公约数为a，且这两个数中的一个大于另一个的2倍，则这两个正整数分别为__________．（用含a的代数式表示） 16. 如图，直线与双曲线 交于，两点，且，连接，， 轴于点 ， 轴于点 ，则________． 三、解答题（本大题共7小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 解不等式组： 18. 已知，如图，，，， 求证：． 19. 解分式方程： 20. 下表是某连锁奶茶店所有员工月收入的资料： 岗位类别 店长A 副店长 B 资深店员C 店员D 学徒 E 兼职F 保洁G 实习生 H 人数 1 1 1 4 8 1 13 1 月收入 /元 49250 16000 9000 5200 4800 4250 3500 2800 （1）由上表可知，该奶茶店所有员工月收入的平均数约为6200 元，中位数是 ，众数是 ； （2）若要反映该奶茶店员工月收入水平的情况，（1）中的三个统计量（平均数，中位数，众数）中，不合适的是 ； （3）该奶茶店因业务调整，将一名员工由原岗位调整至另一岗位，该员工的月收入也随岗位发生相应变化，其他员工的月收入保持不变．调整完成后，奶茶店所有员工的平均月收入比原来减少了 25 元．请判断该员工是从哪个岗位调整至哪个岗位，并说明理由． 21. 抛物线与轴交于点，其对称轴与轴交于点． （1）求的值； （2）如图，为原点，矩形与矩形关于点成中心对称．若抛物线与边相交，矩形与抛物线的交点所连线段将该矩形分为面积比为的两部分，求抛物线的解析式． 22. 已知关于的方程，其中 （1）当方程有两个相等的实数根时，求与的数量关系； （2）在平行四边形中， 是边上一点，连接交于点的长是该方程的一个根，且．当时，确定点在线段上的位置并说明理由． 23. 已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点 ，与 交于点 ，点为的延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 24. 探究活动：巧拼地砖外边． 装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料中，小条形边角料中），如图1拼接到直角地砖的外边上，发现点与点不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图2—图9的操作解决了问题，完成了拼接． 图1 图2 图3 图4 图5 【操作说明】 将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边． 【操作说明】 画出的延长线，交于点． 【操作说明】 连接OC． 【操作说明】 沿着射线方向，平移小条形边角料，使点与点重合，得到四边形． 【操作说明】 画出的延长线，交小条形边角料的边于D． 图6 图7 图8 图9 【操作说明】 连接BD． 【操作说明】 沿着切割． 【操作说明】 拼接切割后的两根条形边角料． （1）请根据图2-图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母； （2）如果大条形边角料为的宽度为，小条形边角料为的宽度为，大条形边角料裁剪后的锐角是，那么___________； （3）请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由． 25. 如图，在正方形 中，点 、是正方形内两点，，，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程： （1）在图1中，连接，且 ①求证：与互相平分； ②求证：； （2）在图2中，当，其它条件不变时，是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由. （3）在图3中，当，，时，求之长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建瓯市2025-2026学年初中毕业年级质量检测 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题卡上!请不要错位、越界答题!! 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 2026的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：2026的相反数是． 2. 如下所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析即可． 【详解】A选项的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； B选项的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C选项的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D选项的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 3. 国家统计局5月22日发布的2025年国民经济和社会发展统计公报显示，2025年年末全国人口140545万人，比上年末减少283万人，数据140545万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，解题关键是正确确定a和n的值． 【详解】解：∵万， 将原数表示为时，符合的，小数点向左移动了9位， ∴，即万． 4. 图1所示的正五棱柱，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示． 【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，两条纵向的虚线． 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 5. 下列为某班级研究性学习小组学员出勤次数如表所示，则小组学员出勤次数的众数和中位数分别是（　　） 出勤次数 4 5 6 7 8 学员人数 2 6 5 4 3 A. 5，6 B. 5，5 C. 6，5 D. 8，6 【答案】A 【解析】 【详解】根据众数和中位数的定义求解即可． 【解答】解：这组数据出现次数最多的是5， 所以众数为5， 这组数据共20个，其中第10、11个数据分别为6、6， 所以这组数据的中位数为， 故选：A． 【点睛】本题考查众数和中位数的定义，掌握众数和中位数的定义是解题的关键． 6. 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则一元一次不等式kx+b>0的解集为（ ） A. >–2 B. <–2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】观察图象可得不等式的解集为>–2．故选A． 7. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长． 【详解】解：作AD⊥BC于点D， 则BD＝＋0.3＝， ∵cosα＝， ∴cosα＝， 解得，AB＝米， 故选B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“套数总价单价”，结合“第二批购买的套数比第一批少4套”的等量关系列出方程，即可选出正确选项． 【详解】解：∵设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，第二批八折销售， ∴第二批每套的价格为元， ∴第一批购买的套数为，第二批购买的套数为， 又∵第二批购买的套数比第一批少4套， ∴， 因此正确选项为B． 9. 如图，是直径，点C、D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且，则点Q所在的弧是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理和弧角关系求解． 【详解】解：如图， ∵AB为⊙O的直径，P在上， ∴∠APB=90°， ∵∠APQ=115°，∠APQ=∠APB+∠BPQ， ∴∠BPQ=25°， ∴∠BOQ=2∠BPQ=50°， ∵点C、D将分成相等的三段弧， ∴， ∴∠BOD=， ∵∠BOQ<∠BOD， ∴Q在上， 故选D． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理、弧角关系及直径所对圆周角大小是解题关键． 10. 如图，已知点是正方形内的一点，连接、、，且，，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，将绕点逆时针旋转，得，连接，过点作垂直于 延长线于点 ，可求出的值，根据勾股定理的逆定理可求出是直角三角形，可求出的值，在中根据勾股定理可求出 的值，可求出正方形的面积，根据，，即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转，得，连接，过点作垂直于 延长线于点 ， ∴，，， ∴等腰直角三角形， ∴，， ∵，，，，则，，， ∴，即， ∴是直角三角形，则， ∵点三点共线，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，则， 根据旋转可得，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 计算________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用（，p为正整数）计算即可． 【详解】解：． 12. 一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的内角和是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角与外角，求解多边形的边数是解题的关键．由多边形外角的性质可求解多边形的边数，再利用多边形的内角和定理可求解． 【详解】解：， ． 即这个多边形的内角和是， 故答案为：． 13. 若实数、满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，求出与的值，再代入计算即可得到结果 【详解】解：任意实数的绝对值为非负数，任意非负数的算术平方根为非负数，若两个非负数的和为 ，则每个非负数都为 ， ，， 解得，， 将，代入得：． 14. 在一个不透明的袋子中装有4个红球、2个白球和1个黑球，每个球除颜色外完全相同．从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，再摸出一个球，则两次摸出的球颜色不同的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先列表确定所有等可能的结果总数，再找出两次摸出的球颜色不同的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：列表如下： 第一次 第二次 红 红 红 红 白 白 黑 红 红，红 红，红 红，红 红，红 白，红 白，红 黑，红 红 红，红 红，红 红，红 红，红 白，红 白，红 黑，红 红 红，红 红，红 红，红 红，红 白，红 白，红 黑，红 红 红，红 红，红 红，红 红，红 白，红 白，红 黑，红 白 红，白 红，白 红，白 红，白 白，白 白，白 黑，白 白 红，白 红，白 红，白 红，白 白，白 白，白 黑，白 黑 红，黑 红，黑 红，黑 红，黑 白，黑 白，黑 黑，黑 共有49种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色不同的结果数为28种， ∴两次摸出的球颜色不同的概率为． 15. 用《九章算术》中记载的“更相减损术”求168和72的最大公约数，运算步骤如下： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：． 如果继续操作，可得，因此，经过上述四步运算，求得的结果24是168和72的最大公约数．若两个正整数经过“更相减损术”的三步运算，所求得的最大公约数为a，且这两个数中的一个大于另一个的2倍，则这两个正整数分别为__________．（用含a的代数式表示） 【答案】，a或， 【解析】 【分析】令较大的数为x，较小的数为y，则x＞2y，然后分三步进行解答即可得到答案． 【详解】解：令较大的数为x，较小的数为y，则x＞2y， ∴x−y＞y， 第一步，x−y＝x−y， 第二步，（x−y）−y＝x−2y， 第三步： ①当x−2y＞y时，x−2y−y＝a，此时y＝a， 解得，x＝4a，y＝a， ②当x−2y＜y时，y−（x−2y）＝a，此时x−2y＝a， 即 解得，x＝5a，y＝2a， 综上得，这两个正整数分别为4a，a或5a，2a． 故答案为：4a，a或5a，2a． 【点睛】此题考查的是列代数式，掌握其数量关系是解决此题关键． 16. 如图，直线与双曲线 交于，两点，且，连接，， 轴于点 ， 轴于点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设点，，由反比例函数性质得，将代入双曲线解析式整理得，由一元二次方程根与系数的关系得，进而得出， ，即可得、，延长、交于，先证四边形为矩形再证其为正方形，得到，进而得，在中借助的长度利用勾股定理求出的长，最后通过线段等量代换得到即可求解． 【详解】解：设点，， ∵点、在双曲线上， ∴， ∵将代入双曲线解析式整理得， ∴由根与系数的关系得， .∵且， ∴，同理可得， ∴，， 如图，延长、交于点， ∵轴，轴，坐标轴互相垂直， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴，即， 在中，， ∴，解得， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 解不等式组： 【答案】． 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再找到其公共解集即可求解． 【详解】解：由①得， ， ． 由②得， ， ． ∴原不等式组的解集是． 【点睛】本小题考查一元一次不等式组的解法等基础知识，解题的关键是熟知不等式的性质． 18. 已知，如图，，，， 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在 和中， ∴ ∴． 【解析】 【分析】先由“”判定，即可证明． 【详解】略 19. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】先去分母把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解：方程两边同乘 ，得：， 展开并整理：， 解得：， 检验：当 时，， 所以是原分式方程的解． 20. 下表是某连锁奶茶店所有员工月收入的资料： 岗位类别 店长A 副店长 B 资深店员C 店员D 学徒 E 兼职F 保洁G 实习生 H 人数 1 1 1 4 8 1 13 1 月收入 /元 49250 16000 9000 5200 4800 4250 3500 2800 （1）由上表可知，该奶茶店所有员工月收入的平均数约为6200 元，中位数是 ，众数是 ； （2）若要反映该奶茶店员工月收入水平的情况，（1）中的三个统计量（平均数，中位数，众数）中，不合适的是 ； （3）该奶茶店因业务调整，将一名员工由原岗位调整至另一岗位，该员工的月收入也随岗位发生相应变化，其他员工的月收入保持不变．调整完成后，奶茶店所有员工的平均月收入比原来减少了 25 元．请判断该员工是从哪个岗位调整至哪个岗位，并说明理由． 【答案】（1）4525元，3500 元 （2）平均数 （3）该员工是从兼职F调整至保洁G， 理由如下：全体员工总收入一共减少元，说明该员工收入减少750元，只有兼职F与保洁G的月收入差值为750元， 只有从兼职F调整到保洁G，收入差值为：元， 故该员工是从兼职F调整至保洁G 【解析】 【分析】（1）根据员工总人数，找到排序后中间位置的数即为中位数；出现次数最多的数即为众数； （2）平均数受极端值影响大，无法反映大多数员工的实际收入水平，因此不合适； （3）根据平均收入减少25元，可算出总收入减少了元，因此该员工收入需减少750元，据此判断岗位调整情况． 【小问1详解】 解：员工总人数：（人）， 将30 名员工的月收入从小到大排列，第 15、16个数的平均数为中位数， 岗位H、G、F，累计人， ∴第15个数是岗位F收入4250，第16个数是岗位E收入4800， 故中位数为元； 月收入为3500的员工人数最多（13人），故众数为3500． 【小问2详解】 解：平均数受岗位 A 的高收入（49250元）极端值影响，被拉高至6200元，远高于大多数员工的实际收入水平，因此平均数不适合反映该公司员工月收入水平的情况． 【小问3详解】 略 21. 抛物线与轴交于点，其对称轴与轴交于点． （1）求的值； （2）如图，为原点，矩形与矩形关于点成中心对称．若抛物线与边相交，矩形与抛物线的交点所连线段将该矩形分为面积比为的两部分，求抛物线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴得出方程求解即可； （2）根据题意得出，，，，矩形的面积为，确定抛物线经过点D，抛物线与边相交，设交点为点G，得出，确定，再由题意得出相应方程求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线对称轴为， ∵对称轴为， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴当 时，， ∴， ∵矩形与矩形关于点成中心对称， ∴，， ∴，矩形的面积为， ∵抛物线与轴交于点，且对称轴为：， ∴抛物线经过点D， ∵抛物线与边相交，设交点为点G，如图所示： ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形与抛物线的交点所连线段将该矩形分为面积比为的两部分， ∴两部分面积为和， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：． 22. 已知关于的方程，其中 （1）当方程有两个相等的实数根时，求与的数量关系； （2）在平行四边形中，是边上一点，连接交于点的长是该方程的一个根，且．当时，确定点在线段上的位置并说明理由． 【答案】（1） （2）点在线段上，且 理由：解方程， 因式分解得：， 解得：或， ∵是上的线段，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 验证条件，此时成立， 在平行四边形中，，如图所示： ∴， ∴ ∴，即点分为 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）先解方程得出或，确定，，然后利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵有两个相等的实数根， ∴， 整理得：， ∴； 【小问2详解】 略． 23. 已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与 交于点 ，点为的延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1）证明：，， ， ， ， ， ， 即， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出，再证出，即，即可得出是的切线； （2）连接，根据题意，设，，得出，，再由相似三角形的判定和性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 是的直径， ， 的半径为，， 设，， 由勾股定理得：， ， 解得（舍去负根） ∴，， ∵，过圆心， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 代入，， 得：， 解得， ∴的长为． 24. 探究活动：巧拼地砖外边． 装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料中，小条形边角料中），如图1拼接到直角地砖的外边上，发现点与点不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图2—图9的操作解决了问题，完成了拼接． 图1 图2 图3 图4 图5 【操作说明】 将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边． 【操作说明】 画出的延长线，交于点． 【操作说明】 连接OC． 【操作说明】 沿着射线方向，平移小条形边角料，使点与点重合，得到四边形． 【操作说明】 画出的延长线，交小条形边角料的边于D． 图6 图7 图8 图9 【操作说明】 连接BD． 【操作说明】 沿着切割． 【操作说明】 拼接切割后的两根条形边角料． （1）请根据图2-图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母； （2）如果大条形边角料为的宽度为，小条形边角料为的宽度为，大条形边角料裁剪后的锐角是，那么___________； （3）请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由． 【答案】（1） 画图即为所求 （2） （3） 解：延长，交于点E，连接， 过点A作，交于点F， 故沿着切割，然后拼接到位置上即可符合要求，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故沿着切割，然后拼接到位置上，此时，符合要求． 【解析】 【分析】（1）根据提示的基本操作，按照顺序依次作图，标注好字母即可； （2）延长，交于点T，根据题意，得到，结合，得到，且，同理可证，再证明四边形是矩形，得到，根据，解答即可． （3）延长，交于点E，连接，过点A作，交于点F，利用平行四边形的判定和性质，三角形外角性质证明即可． 本题考查了基本作图，平移，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正切函数的应用，三角形外角性质的应用，熟练掌握判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长，交于点T， 根据题意，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵大条形边角料为的宽度为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵小条形边角料为的宽度为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 略 25. 如图，在正方形中，点、是正方形内两点，，，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程： （1）在图1中，连接，且 ①求证：与互相平分； ②求证：； （2）在图2中，当，其它条件不变时，是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由. （3）在图3中，当，，时，求之长. 【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，理由详见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）①连接ED、BF，证明四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；②根据正方形的性质、勾股定理证明； （2）过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD，证明四边形EFDM是矩形，得到EM=DF，DM=EF，∠BMD=90°，根据勾股定理计算； （3）过P作PE⊥PD，过B作BELPE于E，根据（2）的结论求出PE，结合图形解答. 【详解】（1）证明：①连接ED、BF， ∵BE∥DF，BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴BD、EF互相平分； ②设BD交EF于点O，则OB＝OD＝BD，OE＝OF＝EF． ∵EF⊥BE， ∴∠BEF＝90°． 在Rt△BEO中，BE2+OE2＝OB2． ∴（BE+DF）2+EF2＝（2BE）2+（2OE）2＝4（BE2+OE2）＝4OB2＝（2OB）2＝BD2． 在正方形ABCD中，AB＝AD，BD2＝AB2+AD2＝2AB2． ∴（BE+DF）2+EF2＝2AB2； （2）解：当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立， 理由如下：如图2，过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD． ∵BE∥DF，EF⊥BE， ∴EF⊥DF， ∴四边形EFDM是矩形， ∴EM＝DF，DM＝EF，∠BMD＝90°， 在Rt△BDM中，BM2+DM2＝BD2， ∴（BE+EM）2+DM2＝BD2． 即（BE+DF）2+EF2＝2AB2； （3）解：过P作PE⊥PD，过B作BE⊥PE于E， 则由上述结论知，（BE+PD）2+PE2＝2AB2． ∵∠DPB＝135°， ∴∠BPE＝45°， ∴∠PBE＝45°， ∴BE＝PE． ∴△PBE是等腰直角三角形， ∴BP＝BE， ∵BP+2PD＝4 ， ∴2BE+2PD＝4，即BE+PD＝2， ∵AB＝4， ∴（2）2+PE2＝2×42， 解得，PE＝2， ∴BE＝2， ∴PD＝2﹣2． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，正确作出辅助性、掌握正方形的性质是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $