暑假作业15 重难专题05：几何法破解空间角问题（巩固培优,5知识10题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高一数学人教A版

**基本信息** 以几何法破解空间角为核心，系统构建异面直线所成角、线面角、二面角的定义-求法-拓展知识体系，提炼平移、补形等8类解题方法，适配高考高频考点，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|5个核心知识点|平移法、补形法、定义法等8类解题策略|从定义到求法，结合三垂线定理等拓展，形成概念-方法-应用链条| |题型|10类典型题型|针对不同角类型匹配专属解法，覆盖取值范围等综合考法|以题载法，通过长方体、正三棱柱等模型呈现知识应用逻辑|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业15 重难专题05：几何法破解空间角问题 【知识点1 异面直线所成的角（夹角）】 1．定义：已知两条异面直线经过空间任意一点作直线 ,我们把所成的______叫作异面直线所成的角，也叫作异面直线的夹角. 2．范围： . 3．求法： (1)直接平移法:①平移：选择适当的点（如线段的中点或端点），平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． ②证明：证明所作的角是异面直线所成的角． ③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． (2)找等分点平移法: 当异面直线依附于某几何体，且直接过异面直线上的点平移直线有困难时，利用该几何体中的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点. (3)补形法: 即通过补形构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.若平移后所得直线落在几何体的外部，则常沿着这条新直线将几何体补出适当的部分，以便构造三角形求角，此策略即为补形. 【知识点02 直线与平面所成角（或夹角）】 1．定义：平面的一条斜线和 所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角，也叫作直线与平面的夹角； 当直线与平面平行或在平面内时，规定此时直线与平面所成的角为 2范围： 3．找线面角的方法 （1）定义法：能直接找到点在平面的射影点，能计算出或者，则线面角的正弦或余弦可求. (2)体积法：如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出点到平面的高度，则线面角的正弦可求. (3)三角余弦公式法：（见知识点05） 【知识点03 二面角与两平面的夹角】 1．二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，分别在两个半平面内作 射线，则两射线所成的角为二面角的平面角. 2．两平面的夹角的定义：两个平面相交所成的 叫作两平面的夹角，当两平面 时，规定它们的夹角为0. 3．范围：二面角的范围为 ，两平面的夹角范围为 . 4．求法： （1）定义法：如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角.目标：找与棱垂直的两条线 （2）三垂线法（详见知识点04）：当无法直接找到与棱垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角.首先从平面找一点点，过点作平面的垂线（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面垂直的平面，在平面上作垂线），然后过或者作棱的垂线交于点，连接成直角三角形，即可求二面角的平面角. （3）垂面法: 若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可.若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角. （4）射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角大小为，则 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形. （5）补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线. 【知识点04 三垂线定理及逆定理（拓展）】 1.三垂线定理及逆定理： ⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. (2)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直. 【知识点05 最小角定理和三角余弦公式（拓展）】 1．三角余弦公式： 如图所示，其中=∠OAC，=∠OAB，=∠BAC， 则有. 由于、、∈[0，]，因此cos、cos、cos均属于[0，1]，所以cos＜cos，由余弦函数在[0，]上是单调递减，得＜.由此我们得到下面的最小角定理.. 2.最小角定理 斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成的角中最小的角.如图中的∠OAB为斜线OA与平面所成的角，∠OAC为斜线OA与平面内的任意一条直线AC所成的角，∠OAB＜∠OAC. 【题型1 定义法、等分点平移法求异面直线所成的角】 1．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，在长方体中，，，则异面直线和所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，是平面外的一点，，，，分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）如图，在直二面角中，，两点都在直线上，，两点分别在两个半平面内，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【题型2 补形法求异面直线所成的角】 1．（25-26高一下·湖南益阳·期中）在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．平面过直三棱柱的顶点，平面平面，平面平面，，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．正方体中，M是的中点，则与所成角的余弦值为 ． 【题型3 定义法求线面角】 1．（25-26高三下·辽宁葫芦岛·期中）在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·四川泸州·期中）在棱长为2的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西渭南·三模）在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（    ） A． B．112 C． D． 5．（2026·上海嘉定·一模）如图，在四面体中，，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上. (1)如果，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的大小； (2)证明：平面平面 【题型4 等体积法、三角余弦公式法求线面角】 1．如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·天津南开·期中）如图，在正方体中，、分别为，的中点，则直线与平面所成角的正切值为______． 3．如图所示，在三棱锥中，，，是的中点，且底面，则直线与平面所成角的正弦值为 . 4．已知四面体，若，，则直线与平面所成角为 ． 5．如图，在正方体中，与平面所成的角为 . 【题型5 求线面角的取值范围】 1．（25-26高一下·浙江宁波·期中）正方体的棱长为1，若在内（包括边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽·阶段检测）在棱长均为 2 的正三棱柱 中， 是棱 的中点， 是侧面 内任意一点 (包含边界)，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3.（2026高一·全国·专题练习）在四棱锥中，底面为正方形，且，记直线与底面所成的角为，则的最大值为_____. 【答案】 【题型6 定义法求面面角】 1．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，在三中，，二面角的余弦值为，则的长为（   ）    A．1 B．2 C． D． 2．（2026·广东广州·三模）正四面体中，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·云南玉溪·期中）如图，直三棱柱，平面平面，，，直三棱柱的体积为，则平面与平面所成的角为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·山东菏泽·阶段检测）如图所示，等边三角形的边长为4，为的中点，沿把折叠到处，使二面角为，则折叠后二面角的正切值为__________． 【题型7 三垂线法、垂面法求面面角】 1．（25-26高一下·北京·期中）正三棱柱的底面边长为3，侧棱，是延长线上一点，且，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某圆台的轴截面是一个上底为，下底为，腰长为的等腰梯形，为圆台下底面圆周上一点，且，则二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，则二面角的正切值为 . 4．如果二面角的平面角是锐角,点到的距离分别为,则二面角的大小为 5．（25-26高一下·浙江·期中）已知四棱锥，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的正切值； (3)作出过三点的平面截四棱锥得到的截面，并求此截面的周长． 【题型8 射影面积法、补形法求面面角】 1.（多选）（2025·浙江温州·一模）如图，圆台的上下底面半径分别为1和2，P，Q分别为上下底面圆周上的点，为圆台的轴截面且，则（   ） A．为母线 B． C． D．平面与平面的夹角等于30° 2．如图，△ABC是正三角形，AA1、BB1、CC1互相平行且相等，且AA1⊥平面ABC，AB=AA1，E为BB1的中点，则平面A1EC和平面A1B1C1所成的锐二面角的大小为 . C A B C1 B1 A1 E G 3．（25-26高一下·天津河西·阶段检测）如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面所成的二面角的大小为________． 4.（2026·上海黄浦·一模）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，平面BEC，，，G，F分别是线段BE，DC的中点． (1)求证：平面ADE； (2)设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角的余弦值． 【题型9 求面面角的取值范围】 1.（2025高三·全国·竞赛）设为正方体棱AB上的动点，则平面与平面夹角的正切值的最小值为______． 2.（2026·陕西咸阳·二模）已知四面体中，，，为中点，．作，垂足为． (1)证明：； (2)若，，四面体的体积大于，求二面角的正切值的取值范围． 3．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图，三棱锥满足面，点为棱中点，点在直线上的投影分别为. (1)证明：面； (2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积； (3)是否存在点使得点到的距离均相等，若存在，求二面角余弦值的取值范围；若不存在，请说明理由. 【题型10 线线角、线面角、面面角的综合】 1．（25-26高一下·河北唐山·阶段检测）在空间中，为两个定点，且 ，动点到直线 的距离为，动点到直线 的距离为，若二面角为，当，时，异面直线 和所成角正切值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为，则该四棱锥侧面与底面的二面角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）正四棱锥中，侧面与底面所成二面角的余弦值为，则侧棱与底面所成角大小为（   ） A． B． C． D．以上都不对 4.（2026高一·全国·专题练习）图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（   ） A． B． C． D． 5．(多选)（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）    A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 6．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则直线与直线的夹角余弦值为__________：二面角的平面角的正切值为__________. 1．（25-26高一下·天津河东·阶段检测）在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）在长方体中，，，，面对角线BD与截面所成的角为45°，则（   ）. A． B． C． D． 3．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知正三棱台中，，，且与平面所成的角为，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）已知在中，斜边平面，，，分别与平面成和的角，已知，则到平面的距离为（     ） A．4 B． C． D． 5．（25-26高一下·陕西·期中）如图，二面角的大小为，，，，，，，且，，则（   ） A． B． C．4 D． 6．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，，现将沿折起，使二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）正三棱柱中，各棱长均相等，为棱的中点．则二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知二面角的大小为，，，且，B为β内异于O的任意一点，且的最大值是，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知三棱锥的底面是一个边长为的正三角形，且三棱锥的外接球球心为的中点，则下列结论正确的是（     ） A．、与平面所成的角相等 B．二面角的大小可能为 C．若二面角的正切值为，则三棱锥的高为 D．若，则球的表面积为 10．（2026·北京·三模）如图，在棱台中，底面ABCD和为正方形，，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面ABCD的夹角均为45°，则该棱台的表面积为________． 11．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知二面角的大小为，二面角内一点到平面，的距离分别为3和6，则到直线的距离为__________． 12．（25-26高一下·天津蓟州·期中）如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 ________ ；二面角的正弦值为 __________ ． 13．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在三棱锥中，，，平面平面．若为线段上的动点（不含端点），记与平面所成角为，锐二面角的平面角为，则的最大值为______． 14．（25-26高一下·河北邯郸·期中）如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 15．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 1．（24-25高一下·辽宁·期末）如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时，两点之间的距离为，则=（     ） A． B． C． D． 2．(多选)（2026·安徽·模拟预测）已知正四棱台侧面与底面夹角为，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．与是异面直线 B．侧棱与底面的夹角正弦值为 C．平面平面 D．若存在球与该正四棱台每个面都相切，则 3．（多选）（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）在棱长为2的正方体中，点在线段上运动（包括端点），点在正方形及其内部运动，且，则下列正确的选项有（     ） A． B．点的轨迹的长度为 C．的最小值为 D．直线与平面所成角的最小值为 4．（多选）（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点，，到的距离分别为，，，则（    ） A．平面 B．平面平面 C．直线与所成角比直线与所成角大 D．正方体的棱长为 5．（24-25高一下·河南信阳·阶段检测）在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 6．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，.若，则二面角的余弦值为__________. 7．（24-25高一下·贵州·阶段检测）刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为．若正四棱锥的侧面与底面所成二面角的正切值为，则四棱锥在顶点S处的曲率为______． 8．（25-26高二上·重庆·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且．    (1)求证：； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当时，求二面角的正切值的取值范围． 9．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在长方形中，，设，将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长； (3)设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，证明： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业15 重难专题05：几何法破解空间角问题 【知识点1 异面直线所成的角（夹角）】 1．定义：已知两条异面直线经过空间任意一点作直线,我们把所成的锐角（或直角）叫作异面直线所成的角，也叫作异面直线的夹角. 2．范围：. 3．求法： (1)直接平移法:①平移：选择适当的点（如线段的中点或端点），平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． ②证明：证明所作的角是异面直线所成的角． ③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． (2)找等分点平移法: 当异面直线依附于某几何体，且直接过异面直线上的点平移直线有困难时，利用该几何体中的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点. (3)补形法: 即通过补形构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.若平移后所得直线落在几何体的外部，则常沿着这条新直线将几何体补出适当的部分，以便构造三角形求角，此策略即为补形. 【知识点02 直线与平面所成角（或夹角）】 1．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角，也叫作直线与平面的夹角； 当直线与平面平行或在平面内时，规定此时直线与平面所成的角为0. 2范围： 3．找线面角的方法 （1）定义法：能直接找到点在平面的射影点，能计算出或者，则线面角的正弦或余弦可求. (2)体积法：如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出点到平面的高度，则线面角的正弦可求. (3)三角余弦公式法：（见知识点05） 【知识点03 二面角与两平面的夹角】 1．二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角. 2．两平面的夹角的定义：两个平面相交所成的锐二面角或直二面角叫作两平面的夹角，当两平面平行或重合时，规定它们的夹角为0. 3．范围：二面角的范围为，两平面的夹角范围为. 4．求法： （1）定义法：如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角.目标：找与棱垂直的两条线 （2）三垂线法（详见知识点04）：当无法直接找到与棱垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角.首先从平面找一点点，过点作平面的垂线（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面垂直的平面，在平面上作垂线），然后过或者作棱的垂线交于点，连接成直角三角形，即可求二面角的平面角. （3）垂面法: 若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可.若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角. （4）射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角大小为，则 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形. （5）补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线. 【知识点04 三垂线定理及逆定理（拓展）】 1.三垂线定理及逆定理： ⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. (2)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直. 【知识点05 最小角定理和三角余弦公式（拓展）】 1．三角余弦公式： 如图所示，其中=∠OAC，=∠OAB，=∠BAC， 则有. 由于、、∈[0，]，因此cos、cos、cos均属于[0，1]，所以cos＜cos，由余弦函数在[0，]上是单调递减，得＜.由此我们得到下面的最小角定理.. 2.最小角定理 斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成的角中最小的角.如图中的∠OAB为斜线OA与平面所成的角，∠OAC为斜线OA与平面内的任意一条直线AC所成的角，∠OAB＜∠OAC. 【题型1 定义法、等分点平移法求异面直线所成的角】 1．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，在长方体中，，，则异面直线和所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以是异面直线和所成角或其补角， 所以在中，，所以， 即异面直线和所成角的大小是. 2．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，取的中点，连接，，， 在长方体中，，因为，分别是，，所以，所以，所以直线和所成角是锐角， 因为，所以，所以， 因为为的中点，所以，所以，所以，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 3．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，是平面外的一点，，，，分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点F，连接，， 在中，是的中点，F是的中点，． 同理可得． 为异面直线与所成的角（或其补角）． 在中，，又，， ， ，即异面直线与所成的角为． 4．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）如图，在直二面角中，，两点都在直线上，，两点分别在两个半平面内，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如下图，若取，作且， 所以异面直线与所成角的平面角为， 过作于点，连接， 因,,易得≌，则， 故的平面角为， 其中，则， 在中，由余弦定理，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【题型2 补形法求异面直线所成的角】 1．（25-26高一下·湖南益阳·期中）在正三棱柱中，，设和所成的角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将正三棱柱补成直四棱柱， 使正三棱柱与正三棱柱全等， 则由直棱柱性质可知，与所成角为（或其补角）； 因为，， 所以， 所以. 2．平面过直三棱柱的顶点，平面平面，平面平面，，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，将直三棱柱向上补一个全等的直三棱柱， 则，， 因为平面，平面，且平面，平面， 所以平面，且平面， 又因为，且平面， 所以平面平面，且平面，故平面即为平面， 所以交线即为直线， 因为，则与所成角为， 设，则，，可得， 所以为等边三角形，所以，所以 即与所成角的正弦值为. 故选：A.    3．正方体中，M是的中点，则与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】在正方体右侧作出一个全等的正方体， 连接，如图， 易知，所以四边形是平行四边形，则， 所以是与所成角的平面角或补角， 不妨设正方体的棱长为， 则在正方体中，， 在中，， 在中，， 所以在中，， 所以与所成角的余弦值为. 【题型3 定义法求线面角】 1．（25-26高三下·辽宁葫芦岛·期中）在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在长方体中，平面，则直线与平面所成的角为，且， 因为，，所以，则． 2．（25-26高二下·四川泸州·期中）在棱长为2的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，连接，交于点，连接. 因为正方体底面是正方形，所以； 又平面，平面，故， 又因平面,故平面. 就是直线与平面所成的角. 正方体棱长为，则，. 在中：. 因此直线与平面所成角的正弦值为. 3．（2026·陕西渭南·三模）在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在棱长为2的正方体中，连接， 由，得四边形为平行四边形，则， 由分别是的中点，得， 则四边形是平行四边形，，而平面，平面， 因此平面，所以直线与平面所成的角为. 4．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（    ） A． B．112 C． D． 【答案】A 【解析】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接， 则底面，过点作于点，则底面， 则即侧棱与底面的夹角,即， 因为，所以， 故，所以， 故该正四棱台的体积为. 5．（2026·上海嘉定·一模）如图，在四面体中，，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上. (1)如果，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的大小； (2)证明：平面平面 【答案】(1)；(2)证明详见解析 【解析】（1）连接，如图. 由题可知，平面，平面,则， 且即为直线与平面所成角， 即.由，为边的中线， 可得.而，可得，. 而即为直线与平面所成角，且, 则，可得直线与平面所成角为. （2）由，，，平面,故平面， 而平面，则平面平面 【题型4 等体积法、三角余弦公式法求线面角】 1．如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，且到平面的距离为. 又，，故到上高为，所以. 设到平面的距离为，由得：，解得， 故直线与平面所成角的正弦值为. 2.（25-26高一下·天津南开·期中）如图，在正方体中，、分别为，的中点，则直线与平面所成角的正切值为______． 【答案】 【解析】设正方体的棱长为， 所以，所以， ， 设的中点为，连接， 所以， 所以， 所以， 设点到平面的距离为， 所以， 所以，所以， 解得， 设直线与平面所成角为， 所以，又，所以， 所以. 3．如图所示，在三棱锥中，，，是的中点，且底面，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【解析】解法一：如图所示，设是的中点，连接， 则，故与平面所成的角相等， 设为的中点，连接，则， 因为，所以， 因为平面，平面， 所以， 又，，平面，且， 所以平面，又平面 所以平面平面， 因为平面平面， 所以点在平面上的射影， 过点作于点， 因为，平面平面，平面， 所以平面，则即为与平面所成的角． 设，则，由此可得，，则， 由平面，平面，所以， 在中，， 则由等面积法得，， 故，即直线与平面所成角的正弦值为． 解法二：如图所示，过点作平面，垂足为，连接， 则为与平面所成的角． 设，则，则， ，，， 因为，所以， 由解法一得，， 由可得，代入数据得， 故． 4．已知四面体，若，，则直线与平面所成角为 ． 【答案】 【解析】由得直线在平面上的投影为的角平分线且为直线与平面所成的角，因为平面平面，所以由三余弦定理得，故直线与平面所成角为． 5．如图，在正方体中，与平面所成的角为 . 【答案】。 【解析】方法一:连结与交于，连结， ∵，，∴平面， ∴是与平面所成的角， 在中，，∴． 即与平面所成的角为。 方法二：由法一得是与平面所成的角， 又∵，， ∴，∴． 即与平面所成的角为。 【题型5 求线面角的取值范围】 1．（25-26高一下·浙江宁波·期中）正方体的棱长为1，若在内（包括边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接， 在正方体中，平面， 对于平面，为垂线，为斜线，为射影， 所以即为直线与平面ABCD所成角， 设，则， 因为P是内（包括边界）的动点， , 当P与O重合时，最小， 此时最大， 当P与B重合时，最大， 此时最小， 所以.    2．（25-26高三上·安徽·阶段检测）在棱长均为 2 的正三棱柱 中， 是棱 的中点， 是侧面 内任意一点 (包含边界)，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，正三棱柱 棱长均为 2，取 的中点为 ， 则 平面 ， 当点 是靠近点 的四等分点时， ，则 平面 ， 此时直线 与平面 所成角的正弦值最大为 1； 当点 与 重合时，此时 最长， 即 ， 因为正三棱柱 中， 是棱 的中点， 所以点 到平面 的距离为 ，    此时直线 (即 ) 与平面 所成角的正弦值最小，为 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值取值范围是 . 故选：  D. 3．（2026高一·全国·专题练习）在四棱锥中，底面为正方形，且，记直线与底面所成的角为，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】分别取、中点、，因为，则， 在正方形中，且， 因为、分别为、的中点，所以且， 故四边形为平行四边形，故， 因为，所以， 因为，、平面，所以平面， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， 设，， 因为，所以，故， 又因为为的中点，所以， 则，， ， 所以， 令，所以， 当且仅当，即时，的最大值为. 【题型6 定义法求面面角】 1．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，在三中，，二面角的余弦值为，则的长为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，取的中点，连接，．   ，， 为二面角的平面角， 根据已知条件可得，，． 在中，由余弦定理， ， ． 2．（2026·广东广州·三模）正四面体中，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点，连接， 因为四面体是正四面体，所以和都是等边三角形， 所以，， 因为平面，平面，平面平面， 所以即为二面角的平面角， 设，则在中，，， 由余弦定理可得 所以二面角的余弦值是. 3．（25-26高二下·云南玉溪·期中）如图，直三棱柱，平面平面，，，直三棱柱的体积为，则平面与平面所成的角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直三棱柱，平面平面，平面平面，，平面，得平面， 平面，平面，所以， 由，，得， 直三棱柱的体积为，所以 又，可知平面与平面所成的角为， 因为，所以平面与平面所成的角为. 4．（25-26高一下·山东菏泽·阶段检测）如图所示，等边三角形的边长为4，为的中点，沿把折叠到处，使二面角为，则折叠后二面角的正切值为__________． 【答案】2 【解析】取线段的中点，连接， 因为是边长为的等边三角形，且为的中点， 所以， 所以， 所以为二面角的平面角， 因为二面角为，所以， 则是边长为的等边三角形，则， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中， 所以二面角的正切值为. 【题型7 三垂线法、垂面法求面面角】 1．（25-26高一下·北京·期中）正三棱柱的底面边长为3，侧棱，是延长线上一点，且，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，设的中点，连接， 因为三棱柱为正三棱柱，所以平面， 又因为平面，所以； 因为，， 所以，所以为等腰三角形， 又因为为的中点，所以， 又因为，所以平面， 平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 又，所以. 2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某圆台的轴截面是一个上底为，下底为，腰长为的等腰梯形，为圆台下底面圆周上一点，且，则二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知轴截面等腰梯形中，上底，下底，腰长为， 因此圆台的高（即等腰梯形的高） 为下底圆的直径，故下底圆半径， 因为在下底圆周上，是直径，所以， ，在中，， 过作下底面的垂线，垂足为（在轴截面上，故在直径上）， 得，且下底面， 过作，垂足为，连接， 则就是二面角的平面角， 因为的面积， 其中（为下底圆心），是到的距离， 又， 所以，解得， 在中，， 因此二面角的余弦值. 3．如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，则二面角的正切值为 . 【答案】 【解析】过作于 ∵二面角为直二面角 ∴面 取中点，为中点，连接,则HF//BE。 ∵是正三角形，∴。 ∴.由三垂线定理,得. ∴为二面角的平面角 令，则. ∴, ∴在中, 即二面角的正切值为 4．如果二面角的平面角是锐角,点到的距离分别为,则二面角的大小为 【答案】或 【解析】 如图图1是点在二面角的内部时，图2是点在二面角外部时. ∵，∴.作，则面.同理，面. 而面面,∴面与面应重合 即在同一平面内，则是二面角的平面角 在中，, ∴. 在中，, ∴. 故（图1）或（图2） 即二面角的大小为或 5．（25-26高一下·浙江·期中）已知四棱锥，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的正切值； (3)作出过三点的平面截四棱锥得到的截面，并求此截面的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)四边形即为截面， 【解析】（1） 取中点，连接， 在中，且， 因为，且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2） 取中点，连交于，连接， 因为，且，则四边形为平行四边形， 所以，为中点， 在中，，因为平面，所以平面， 作交于，连接， 因为平面，所以， 因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 又，，所以， （3） 延长于，连接于，则四边形即为截面 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 中，，，，点为中点，所以， 因为，所以点为的中点，所以中，为其重心， 所以，所以，， 中，，即， 又，故截面的周长为． 【题型8 射影面积法、补形法求面面角】 1.（多选）（2025·浙江温州·一模）如图，圆台的上下底面半径分别为1和2，P，Q分别为上下底面圆周上的点，为圆台的轴截面且，则（   ） A．为母线 B． C． D．平面与平面的夹角等于30° 【答案】BCD 【解析】由母线的概念可知，不是母线，所以A错误； 如图所示，作上底面圆心，下底面圆心，线段中点， 连接， 可知，因为，所以， 因为为中点，为中点，所以，， 所以四边形为平行四边形， 因为平面，所以平面，所以， 因为为中点，所以，所以B正确； 因为平面，所以，因为， 又因为面，面，， 所以平面，所以，所以C正确； 因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以面， 所以平行于平面与平面的交线， 因为平面，， 所以是平面与平面的夹角的平面角， 可知，所以D正确； 故选：BCD. 2．如图，△ABC是正三角形，AA1、BB1、CC1互相平行且相等，且AA1⊥平面ABC，AB=AA1，E为BB1的中点，则平面A1EC和平面A1B1C1所成的锐二面角的大小为 . C A B C1 B1 A1 E G 【答案】45º 【解析】解法1（射影面积法）：∵AA1⊥平面A1B1C1，BB1⊥平面A1B1C1，CC1⊥平面A1B1C1， ∴△A1B1C1是△A1EC在平面A1B1C1内射影.设二面角大小为，则，设A1B1=，则，∵A1C=，A1E=EC=，∴A1C边上的高EG= ∴，∴=，∴=45º. ∴平面A1EC和平面A1B1C1所成的锐二面角的大小45º. ∵A1C=，A1E=EC=，∴A1C边上的高EG= ∴，∴=，∴=45º.C A B C1 B1 A1 E F ∴平面A1EC和平面A1B1C1所成的锐二面角的大小45º. 解法二（补棱）：如图,延长CE、C1 B1相交于点F，连结A1F, ∵E为BB1的中点， ∴EB1是△FCC1.的中位线.∴B1C1= FB1. 又△A1B1 C1是正三角形，∴A1B1= B1C1 =FB1= C1F. ∴C1 A1⊥A1F（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角）. 又C C1⊥平面A1B1C1,由三垂定理可知, C A1⊥A1F. ∴∠CA1 C1是所求二面角的平面角. 又A1B1=C C1，故∠CA1 C1=,即平面A1EC和平面A1B1C1所成的锐二面角的大小为. 3．（25-26高一下·天津河西·阶段检测）如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面所成的二面角的大小为________． 【答案】 【解析】根据题意，可将直三棱柱补成正方体， 因为平面平面，所以， 所以即为平面与平面所成的二面角， 又因为等腰直角三角形， 所以平面与平面所成的二面角的大小为. 4.（2026·上海黄浦·一模）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，平面BEC，，，G，F分别是线段BE，DC的中点． (1)求证：平面ADE； (2)设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解析】（1）取的中点，连接，，即， ，G，F分别是线段BE，DC的中点, ，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面； （2）设平面与平面所成的锐二面角的大小为， 平面，平面， 在平面上的射影为， ，，, 分别是线段BE，DC的中点，，， ，， ，， 又，， 二面角A-l-B的余弦值为. 【题型9 求面面角的取值范围】 1.（2025高三·全国·竞赛）设为正方体棱AB上的动点，则平面与平面夹角的正切值的最小值为______． 【答案】 【解析】延长和交于点，则为平面与平面的公共点， 从而为平面与平面的交线； 在平面内作于点，连接， 由正方体性质易知平面，平面，则， 又平面，故平面，又平面， 故，故为二面角的平面角， 设正方体棱长为，易知，故， 即，则， 由的面积得： 故， 当点为中点时等号成立， 故二面角正切值最小值为， 则平面与平面夹角的正切值的最小值为． 故答案为：. 2．（2026·陕西咸阳·二模）已知四面体中，，，为中点，．作，垂足为． (1)证明：； (2)若，，四面体的体积大于，求二面角的正切值的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】(1)通过线面垂直证明线线垂直；(2) 求出二面角的正切值的表达式，再求解其取值范围. 【解析】（1）因为， 为 中点，所以， 在 和 中，，，， 故 （SAS），得 ，又 为 中点，所以 , 且 ， 平面 ，所以 平面 ，因为平面 ，所以，又，且 ， 平面 ， 所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ； 又 ，且 ， 平面 ，故 平面 ， 又 平面 ，所以 ； （2）由 ，，，得为等边三角形，故 ，， 由（1）知 平面 ，所以，所以即为二面角的平面角. 设，在中，可得 则四面体的体积为， 根据题意有，解得，即， . 3.（25-26高一下·浙江温州·期中）如图，三棱锥满足面，点为棱中点，点在直线上的投影分别为. (1)证明：面； (2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积； (3)是否存在点使得点到的距离均相等，若存在，求二面角余弦值的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在点，余弦值的取值范围为 【解析】（1）连接，因是等腰三角形底边上的中线，所以 因为平面，所以 因为平面，平面，且与相交于点，所以平面 所以 因点在直线上的投影是点，所以 因为平面，平面，且与相交于点，所以平面 所以 因点在直线上的投影是点，所以 因为平面，平面，且与相交于点，所以平面 （2）同（1），可证得平面，则 由（1）的过程可知，平面，所以， 所以是二面角的平面角，则 在四边形中，，所以 所以，解得 因为平面，所以， 因为，所以 所以，可得，故 所以是等边三角形，其面积为 所以三棱锥的体积为 （3） 因为是直角三角形，所以其外心在其斜边的中点，设线段中点为 过作直线使得平面，则直线上的任意点到，，的距离相等； 同理，是直角三角形，设斜边的中点为 过作直线使得平面，则直线上的任一点到，，的距离相等； 因此，与的交点距离，，，，的距离相等 因为平面，所以，故在的中位线上 所以与相交于点，即与重合 即 设线段中点为，线段中点为，连接，， 中，，因此 过作，与延长线交于，因为，所以 又因为（中位线），所以 因此，是二面角的平面角 设， 则，，，，（中位线） 由射影定理得，，则 由（1）可知，，由勾股定理得，，则，由垂径定理得， 在中，由余弦定理得，，代入化简得， 设，，函数在上单调递减 ，，而 故，即二面角余弦值的取值范围为 【题型10 线线角、线面角、面面角的综合】 1．（25-26高一下·河北唐山·阶段检测）在空间中，为两个定点，且 ，动点到直线 的距离为，动点到直线 的距离为，若二面角为，当，时，异面直线 和所成角正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图， 过，分别作，的平行线，使之交于点， 因为，所以，而，二面角为， 则，而，， ， 即，又平面，所以平面， 由，可得平面，又平面， 则，又为异面直线 和所成角或其补角， 所以. 2．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为，则该四棱锥侧面与底面的二面角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】正四棱锥为，底面为正方形，侧面为等腰三角形，记为底面中心， 则底面，底面，故， 则为侧棱与底面所成角， ，设，则底边长， 侧棱长， 取中点，连接，由为等腰三角形可得， 故即为该四棱锥侧面与底面的二面角的平面角， ， 又底面，底面， ，是直角三角形， ． 3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）正四棱锥中，侧面与底面所成二面角的余弦值为，则侧棱与底面所成角大小为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【解析】设与的交点为，连接，则平面. 因为平面，所以，. 则即为侧棱与底面所成角. 过点作，交于，连接. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以， 所以即为侧面与底面所成二面角的平面角，故. 设正四棱锥底面正方形边长为，则，. 在中，，所以，， 在中，， 又，所以. 4.（2026高一·全国·专题练习）图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：正三棱柱中，， 正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1， 如图，过作，垂足点为，连接，则， 与所成的角为，且， 又，， 与平面所成的角为，且， ，①， 再过点作，垂足点为，连接， 又易知底面，底面， ，又，平面， 平面， 二面角的平面角为，且，又， ，，②， 又，，③， 由①②③得，又，，，在单调递增， ． 5．(多选)（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）    A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 【答案】ACD 【解析】因为，故异面直线和所成角即为与所成角， 而为等边三角形，故，故A正确；    因为面，面，故，又， 由，面，故面， 而面，故直线与平面所成的角，故B错误； 而到平面的距离为，故C正确； 过作于，再过作于， 面面，面面，面，故面， 而面，则，又，面， 所以面，易知即为异面直线，上两点的距离， 令，则，， 所以， 当时，，故D正确. 6．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则直线与直线的夹角余弦值为__________：二面角的平面角的正切值为__________. 【答案】 /0.5 【解析】 如图，连接. 由于，则为直线与直线所成的夹角. 因为平面，平面，故. 底面是边长为的正方形，因此，. 因为平面，在底面的投影为，所以与平面所成角. 在中，，得，则. 在中，，直线与直线的夹角余弦值为. 取中点，连接、. 等腰中，；等腰中，， 因此是二面角的平面角. ，，且平面，故. 在中，， 即二面角的平面角的正切值为. 1．（25-26高一下·天津河东·阶段检测）在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，连接，设，    因为正方体，所以，， 所以就是平面与平面所成二面角， 设正方体的边长为，则，，， 所以，故C正确. 2．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）在长方体中，，，，面对角线BD与截面所成的角为45°，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，过点B作于点P，连接， 在长方体中，，，， 所以平面，因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，即就是与截面所成的角， ，因为， ， 所以，整理得，得． 3．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知正三棱台中，，，且与平面所成的角为，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为三棱台为正三棱台，且，， 则，， 如图，设和的中心分别为，连接，，， 则平面，，， 作平面交平面于点， 则即为直线与平面所成的角， 由几何体为正三棱台可知，点在上，且四边形为矩形， 所以，又，所以， 则棱台的体积为. 4．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）已知在中，斜边平面，，，分别与平面成和的角，已知，则到平面的距离为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】作于点，于点，则由，得， 且就是BC到平面α的距离，设， 连接、，则，，∴，， 在中，，， ∴，∴，即到平面的距离为. 5．（25-26高一下·陕西·期中）如图，二面角的大小为，，，，，，，且，，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【解析】过，分别作，的平行线，使之交于点， 因为，所以，而，二面角的大小为， 则，而，， ， 又平面，所以平面， 由，可得平面，又平面， 则，则. 6．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，，现将沿折起，使二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以和均是腰长为的等腰直角三角形， 将其补充为如图1所示的长方形，将沿折起，则是二面角的平面角， 折起后得到如图2所示的上下底面是边长为的等边三角形的直三棱柱， 且该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球， 设外接圆的半径为，则，所以， 又三棱柱的高为，所以三棱柱外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 7．（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）正三棱柱中，各棱长均相等，为棱的中点．则二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】平面，平面， ， 是的中点， ，又，平面， 平面，平面， 平面平面，且平面平面， 正方形中，若为棱的中点，易知， 设与交于点，则平面， 过作垂直，连接，则， 为二面角的平面角， 令，则，， ， 因为，， 为的中点， ， 在直角三角形中，， 由图知，为锐角， ， 由图知二面角的平面角与二面角的平面角互补， 故二面角的平面角的余弦值为. 8．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知二面角的大小为，，，且，B为β内异于O的任意一点，且的最大值是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图所示，过作，垂足为，作交于点，连接. ，，. ，，平面. 平面，， 就是二面角的平面角，. ，为垂足， 为在平面β内的射影， 就是与平面β所成的线面角. 由最小角定理可知是与平面β内的任意一条直线所成角中的最小角， B为β内异于O的任意一点， 当且仅当与重合时，取到最小值， 此时取到最大值. 在中，，. 由勾股定理可得. 又，，. 在中，. 9．（多选）（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知三棱锥的底面是一个边长为的正三角形，且三棱锥的外接球球心为的中点，则下列结论正确的是（     ） A．、与平面所成的角相等 B．二面角的大小可能为 C．若二面角的正切值为，则三棱锥的高为 D．若，则球的表面积为 【答案】ACD 【解析】设等边的中心为点，连接、， A，因为为等边的中心，则， 因为三棱锥的外接球球心为线段的中点，所以平面， 所以直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为， 因为，易知、均为锐角，故， 所以、与平面所成的角相等，A对； B，连接，过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为，，，所以，则， 因为，，，所以， 所以，所以二面角的平面角为， 设，则， 显然、、三点不共线，则，即，可得， 易知为球的一条直径，则， 因为，则，则，所以， 由余弦定理可得， 由图可知，所以， 故二面角的大小不可能是，B错； C，取的中点，连接、、，则、、三点共线， 因为，，，所以， 所以， 因为为的中点，所以， 因为，为的中点，所以， 所以二面角的平面角为，由题意可得， 设点在平面内的射影点为，连接，则为外接圆的一条直径， 因为平面，平面，所以， 因为为的中点，所以， 因为是边长为的等边三角形，所以， 因为为的中心，所以， ，则 ，， ， 整理可得，解得或（舍去）， 故三棱锥的高为，C对； D，因为，若，则，故， 所以， 又因为，，所以， 故球的表面积为，D对. 10．（2026·北京·三模）如图，在棱台中，底面ABCD和为正方形，，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面ABCD的夹角均为45°，则该棱台的表面积为________． 【答案】 【分析】取上下底面对应边的中点，构造侧面与底面所成二面角的平面角，求出侧面等腰梯形的高，结合面积公式求解. 【解析】设棱台上下底面的中心分别为， 取的中点，的中点， 连接. 由正棱台的性质可知， 平面，，， 且四点共面. 过作于点， 则平面，且. 因为，，，所以平面， 又平面， 所以. 同理. 所以即为侧面与底面所成二面角的平面角， 由题意可知. 因为， 所以，， 又四边形为矩形， 所以. 所以， 在中，， 即侧面等腰梯形的高为. 上底面面积为，下底面面积为， 侧面积为， 所以该棱台的表面积. 11．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知二面角的大小为，二面角内一点到平面，的距离分别为3和6，则到直线的距离为__________． 【答案】 【解析】如图所示，过点作于点，作于点，由题意可得， 设平面与直线交于点，连接. ，，，同理. 又，且平面，平面. 又平面，，为点到直线的距离. 即为二面角的平面角，. 在四边形中，，，. 在中，由余弦定理， 得. ，四点共圆，且为该圆的直径. 在中，由正弦定理可得，外接圆直径. 即点到直线的距离为. 12．（25-26高一下·天津蓟州·期中）如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 ________ ；二面角的正弦值为 __________ ． 【答案】 【分析】①异面直线与所成角等价于直线与所成角，在中利用余弦定理即可求解；②找到二面角的平面角为，算出的正弦值即可. 【解析】①在正四棱柱中，平行于底面的对角线， 因此异面直线与所成角就等价于直线与所成角， 由于，，所以， 在中，由勾股定理得，，， 因此由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值为. ②在正四棱柱中，有平面，因此， 又因为，平面，平面， 因此二面角的平面角为， 由于是直角三角形，，，，斜边， 则， 故二面角的正弦值为. 13．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在三棱锥中，，，平面平面．若为线段上的动点（不含端点），记与平面所成角为，锐二面角的平面角为，则的最大值为______． 【答案】 【解析】因为，所以为等腰直角三角形，取中点， 则，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以， 故是直角三角形，为直角，又，可得， 作，垂足为，因为平面平面，平面平面， 所以平面， 则即为与平面所成角，再作，因为平面， 所以，又，故平面，于是有， 从而即为锐二面角的平面角，而由及 可得，所以，即， 得，因为为线段上的动点且不含端点， 可知，所以， 等号在即时取得，所以的最大值为. 14．（25-26高一下·河北邯郸·期中）如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见详解. (2)存在， 【解析】（1）设点到平面的距离为， 因为，，所以，   因为，所以，   因为，所以平面，因为平面， 所以平面平面． （2）取的中点为，连接，，作交于，连接， 因为为中点，则，所以， 因为平面，所以平面，平面， 所以为与平面所成的角   因为为等腰三角形，，， 所以，，所以， 又，平面，所以为等腰直角三角形   设，则，，， ，   ，即，解得，（舍）   所以，当时，与平面所成的角的正弦值为   15．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，、分别是、的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，证明，原题即得证； （2）作交的延长线于点，连接，则，所以即为二面角的平面角，再解三角形得解． 【解析】（1）证明：取的中点，连接，， 则，且， 又为的中点，在矩形中，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； （2）解：作交的延长线于点，连接， 则， 所以即为二面角的平面角， 由，则， 所以，故二面角的正切值为． 1．（24-25高一下·辽宁·期末）如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时，两点之间的距离为，则=（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴、轴的垂线相交于点， 则是钝二面角的平面角，即，连接，则， 由余弦定理得， 由上可知，轴垂直于，又平面， 所以轴垂直于平面，又轴，所以平面， 因为平面，所以， 因为的最小正周期，所以， 由勾股定理得，解得． 2．(多选)（2026·安徽·模拟预测）已知正四棱台侧面与底面夹角为，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．与是异面直线 B．侧棱与底面的夹角正弦值为 C．平面平面 D．若存在球与该正四棱台每个面都相切，则 【答案】ABD 【解析】对于A，因为平面， 平面，故与是异面直线，A正确， 对于B，由正四棱台，可知在底面的投影在对角线上， 如图，作于上的点，则平面， 再作于点， 因为平面，平面， 则，由平面，， 则平面，又平面， 则，则即为正四棱台侧面与底面夹角， 不妨设，则， 侧面与底面所成夹角的平面角， 故，， 所以，B正确； 对于C，若平面平面， 由面面平行的性质定理可得：， 又， 则四边形为平行四边形， 则，又为的中点， 所以，从已知条件中无法得到这个信息，故平面平面不成立，故C错误， 对于D，先将问题转化为平面几何问题： 记上下底面中心分别为， 过且垂直于的平面截该棱台得一等腰梯形，其一半为如图所示直角梯形， 若存在球与该正四棱台每个面都相切，不妨记该内切球球心为，半径为， 因为正四棱台侧面与底面夹角为，即， 由，得， ，又， 即，解得，D正确． 3．（多选）（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）在棱长为2的正方体中，点在线段上运动（包括端点），点在正方形及其内部运动，且，则下列正确的选项有（     ） A． B．点的轨迹的长度为 C．的最小值为 D．直线与平面所成角的最小值为 【答案】AD 【解析】A，由正方体性质，易得，， 因为平面， 所以平面.因为平面，所以，故A正确； B，因为，在正方形中，，. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧. 根据弧长公式，这里，，所以轨迹长度为，故B错误； C，如图，将平面与平面沿翻折到同一个平面内    由题意，， 从而，故为平行四边形. 又，故为矩形. 从而当为与交点时，最小，此时，故C错误. D，如图连接交于，              因为平面，平面，所以. 因为，平面， 所以平面，即平面， 所以为直线与平面所成角，所以. 所以当最大时最小，即P与B重合，时，最大. 可得， 此时，故的最小值为， 直线与平面所成角的最小值是，故D正确. 4．（多选）（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点，，到的距离分别为，，，则（    ） A．平面 B．平面平面 C．直线与所成角比直线与所成角大 D．正方体的棱长为 【答案】ABD 【解析】设，显然是、的中点， 因为平面，到平面的距离为，所以到平面的距离为， 又到平面的距离为，且点在的同侧，则，即，即A正确； 设平面，则，因为是正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面，则平面， 而，所以平面平面，即B正确； 设到平面的距离为， 因为平面，是正方形，点，B到的距离分别为， 所以有，得， 设正方体的棱长为， 设直线与平面所成角为，所以， 设直线与平面所成角为，所以， 因为，则得，因,则得，故C错误； 因为平面平面，平面平面， 所以在平面的射影与共线， 显然，如图所示： 由， ， 由（负值舍去）， 故D正确， 5．（24-25高一下·河南信阳·阶段检测）在中，，，，点为中点，连接，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为____________ ． 【答案】/ 【解析】取中点为，过点作交于，连接，， 在中，，，， 则，所以. 又点为中点，所以，即为等边三角形， 所以，，， 将沿折起，使点到达点的位置， 则为等边三角形，又为中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又平面，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 所以即为二面角的平面角， 在中，，， 所以， 则. 故二面角的余弦值为. 6．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，.若，则二面角的余弦值为__________. 【答案】/ 【解析】连接，由已知在中， 又因为是的中点，所以， 又且都在平面内，所以平面， 所以在底面内的投影在直线上. 在中，根据勾股定理得，易知，又， 在中，由余弦定理可得， 所以，则，设二面角为， 由三面角定理得， 即， 即，所以. 7．（24-25高一下·贵州·阶段检测）刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为．若正四棱锥的侧面与底面所成二面角的正切值为，则四棱锥在顶点S处的曲率为______． 【答案】 【解析】如图，连接，设，连接，则平面， 取的中点，连接， 则由正四棱锥的结构特征可知，， 所以为侧面与底面所成的角，设， 则，在中，， 所以，又，所以， 所以正四棱锥的每个侧面均为正三角形，所以顶点的每个面角均为， 故正四棱锥在顶点处的曲率为. 8．（25-26高二上·重庆·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且．    (1)求证：； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当时，求二面角的正切值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【解析】（1）由，得，则， 而平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，则， 又，则， 又，平面，因此平面， 又平面， 所以. （2）在中，平面，平面，则平面， 于是点到平面的距离等于点到平面的距离， 在平面内过作于， 由（1）知，平面， 在中，， 则，， 所以点到平面的距离为.    （3）在平面内过作于M，作于N，连接， 由（1）得平面平面，平面平面，则平面， 又平面，则， 又平面，则平面， 又平面，因此， 则即为二面角的平面角， 设，，由（1）得， 则， 在中，由，得， 在中，由，得， 在中，， 因此， 由，得，则， 所以二面角的正切值的取值范围为. 9．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在长方形中，，设，将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长； (3)设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)3 (3)证明见解析 【解析】（1）因为四边形为长方形，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面； （2）如图所示，在（ii）图中过点作，垂足为， 交于点，连接．由翻折知 所以二面角的平面角为， 在（ⅱ）图中设，因为中，， 又因为相似，所以，所以， 可得，，， 又平面，所以平面，平面， 所以，又因为平面，平面，所以， 是相交直线，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以， 所以，解得； （3）如图所示，由（2）知， 所以平面平面，所以． 由（1）问，知平面且，所以平面， 又平面，所以，又， 且平面，所以平面， 又平面，所以． 在（ii）图中过点作交于点， 过点作，连接． 由（2）知平面， 又平面，所以平面平面， 因为平面平面，所以平面， 所以在平面的射影为，所以为直线与平面所成角． 注意到，即， 解得． 又， ，所以， 即，所以， 由（2）知，所以 （当且仅当时等号成立）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $