第22章 22.3 相似三角形的性质-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（沪科版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“相似三角形的性质”，涵盖对应线段比、周长比、面积比等核心知识点。通过《墨经》小孔成像等跨学科实例导入，衔接相似三角形判定知识，构建“概念理解—性质应用—综合拓展”的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如用小孔成像抽象几何模型培养抽象能力，通过相似比推导和面积比计算发展推理意识，以分层练习（基础、提升、素养题）规范数学表达。实例中综合题结合平行四边形与相似，助力学生提升解题能力与核心素养，为教师提供系统教学资源与分层设计参考。

数 学 九年级上册 HK 1 2 3 第22章 相似形 4 22.3 相似三角形的性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 相似三角形对应线段的比 1. 跨学科综合 《墨经》是我国最 早述及小孔成像的著作.如图是小孔成像 原理的示意图，根据图中所标注的尺寸， 这支蜡烛在暗盒中所成的像 的长是 ( ) B A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 【解析】如图，过作直线于，交于.依题意得 ， ，，.， , ， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 2.［中］如图，，， 分别 是的高和中线，，分别是 的高和中线，且，， ，则 的长为( ) D A. B. C. D. 【解析】由 可知对应高、中线的比等于相似比， ，即，解得 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.如图，在中，，，为 上一点， 且，，平分，交于点， 平分，交于点，则 的值为__. 【解析】 四边形是平行四边形，，， ， ，，， ， ，平分， 平分 ，.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 知识点2 相似三角形的周长比 （第4题图） 4.【2025安徽滁州期中】如图，在 的正方形网格中， 和的顶点都在网格的格点处，则与 的 周长之比是( ) B A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 【解析】设每个小正方形的边长都为1，则在 中， ，，;在 中， ，， ， ，，， ， ，与的周长之比为 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 5.的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的 ，其最长边长为12， 则 的周长是____. 27 【解析】方法一：设的另外两边长分别为,，2对应的边长是 ，3对应的 边长是与相似，，，， 的周长 是27. 方法二：与相似，，， . 思路分析 方法二：先计算出与的相似比为 ，再利用相似三角形的周长的比 等于相似比求解即可． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 （第6题图） 6.【2025吉林长春绿园区校级质检】如图，， 与的周长之比是，那么点到的距离与点到 的距 离之比是_____. 【解析】，， 与的周长之比是， 点到的距离与点到 的距 离之比是，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 知识点3 相似三角形的面积比 （第7题图） 7.【2026安徽滁州期末】如图，与交于点，且 .若 ，则 的值为( ) C A. B. C. D. 【解析】，， . ， 设，则 ， ，， ，与的相似比为， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 8.【2026安徽亳州期末】如图，点，分别是边， 的中点，下列结论中不 正确的是( ) B （第8题图） A. B. C. D. 【解析】，分别是，的中点，， ， ，，与的相似比为 ， ，， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 提升 （第1题图） 1.【2025安徽安庆期末，中】如图，的边上有， ， 三点，若，，， ， ，，则四边形与 的面积之比为 ( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 【解析】，，，， ， ，，， ， （负值已舍去），， .同理可证 ，， ， .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 （第2题图） 2.［中］如图，在中，，， 的 平分线交于点，交的延长线于点， ，垂足 为，，则 的周长为( ) A A.8 B.9.5 C.10 D.11.5 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 【解析】在中，，，的平分线交于点 ， ,,，， ， ，，.同理可得 ， ,, .在 中，，，，， 的周长 等于,， 相似比为， 的周长为8.故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 （第3题图） 3.［较难］如图所示，已知中，， 边上的高 ，为上一点，，交于点，交于点 ， 设点到边的距离为,则的面积关于 的函数图象大 致为( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 【解析】如图，过点作于点.因为，所以 ，所 以，即，所以 ， 该函数的图象是抛物线的一部分，且开口向下，故选D. 思路分析 过点作于点，证得,根据相似三角形的性质可求出 ， 进而求出关于 的函数表达式，即可得出答案． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 4.［中］如图，点是内一点，过点分别作平行于 各边的直线，所 形成的三个小三角形,, （图中阴影部分）的面积分别是1，4， 9，则 的面积是____． 36 （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【解析】由题可得.因为, , 的面积比为，所以它们对应边边长的比为 .又因为易得四边形 与四边形为平行四边形，所以，.设为 ，则 ， ，所以 ，所以 .由面积比等于相似比的平方得 ，所以 ．故答案为36． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 5.【2026安徽宿州校级质检，中】如图，点为反比例函数 图象上 的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点 ， 则 的值是___. 2 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】如图，作轴，垂足为，作 轴，垂足为 点在函数 的图象 上，. 点在反比例函数 关键点拨 作轴， 轴，构造一线三等角相似模型是解题的关键. 的图象上， , ， ， ， ， .故答案为2. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 6.【2025广西玉林期末，中】如图（1），在 边长为4的正方形中，点为 上一动 点，且，截取，且 交线段于，过作的垂线交 于 . （1）求证： ； 【证明】 四边形是正方形， ， ， , ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 （2）如图（2），若点是的中点，求 的周长； 【解】 点是的中点，正方形的边长为4， .设 ，则.在中， ， ，解得， ， ，即，，， 的周长为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 （3）在动点逐渐向点运动逐渐增大的过程中， 的周长如何变化？ 请说明理由. 【解】 的周长是一个定值，始终为8.理由如下： 设，则.在中， ， ，即， . ,且相似比为 ， , 在动点 逐渐向点运动的过程中， 的周长是一个定值，始终为8. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 刷素养 走向重高 7.核心素养 推理能力［难］如图,在中， ，， ， 点在上，点在上，连接 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 （1）当 时，如图（1）． ①若平分的面积（即把的面积分成相等的两部分），求 的长. 【解】， . 平分的面积， ， ，即，解得 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 ②若平分的周长，求 的长. 【解】在中， ，， ， ，的周长为 . 平分的周长，，即 ， ,，即，解得 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 （2）如图（2），试问：是否存在将 的周长和面积同时平分？若存在， 求出 的长；若不存在，请说明理由． 【解】存在.如图，过点作于.设将 的周长平 分，则 . 设，则 . ，，，即 ，解得 ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 当将的面积平分时， ，解得 ， . ，，即当时，将 的周长 和面积同时平分． 思路分析 过点作于，设,根据相似三角形的性质用含的式子表示出 ， 再根据三角形的面积公式列方程求解即可，注意对求出的 值进行取舍. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 微专题4 三角形内接四边形 1.直角三角形内接四边形 【2025上海静安区期中，中】如图，在 中， ，，，四边形为其内接正方形，那么 ______. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 35 【解析】如图，作，交于点，交于点 .在 中，，， ， ，.， 易得 ，.设正方形的边长为 ，则 ，解得. ， ， ， ，即， .同理可得 刷提升 返回目录 1 2 1 2 36 ,，即， ， ，故答案为 . 刷有所得 三角形内接四边形问题，通常需要利用相似三角形对应高之比等于相似比求线段长. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 2.锐角三角形内接四边形 【2025江苏南京期中，较难】如图， 是一块锐角 三角形材料，边，高 . 图（1） 图（2） 图（3） 刷提升 返回目录 1 2 1 2 38 （1）如图（1），要把它加工成正方形零件，使得正方形的一边在 上， 其余两个顶点分别在， 上，求这个正方形零件的边长. 【解】设正方形零件的边长为，则 ， . 由题可知，，，，解得 , 这个正方形零件的边长是 . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 39 （2）如图（2），要把它加工成矩形零件， ,且矩形的长是宽的2 倍，其他条件不变，求这个矩形零件的长和宽. 【解】设，则, . 由题可知，, ， ，，解得，， 这个矩形 零件的长和宽分别为， . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 40 （3）如图（3）,如果要加工成的矩形零件 的长与宽的倍数不确定，其他条 件不变，那么这个矩形零件的面积有最大值，求这个矩形零件的最大面积. 【解】设，矩形零件的面积为 .同理可得 ，，，解得 , . ， 当时，有最大值，最大值为, 这个矩形零件的最大面 积为 . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 41 $