预习课第11讲 等边三角形及含30°角的直角三角形的性质 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

第11讲 等边三角形及含30°角的直角三角形的性质 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 等边三角形的定义和性质 【题型二】 等边三角形的判定 【题型三】 等边三角形的判定与性质 【题型四】 含的直角三角形的性质 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握等边三角形的定义、性质和判定； 2.掌握含的直角三角形的性质. 1 等边三角形 (1)定义：三条边都相等的三角形； (2)性质：三个内角都是，每条边都存在三线合一. (3)判定： ① 三条边相等的三角形是等边三角形； ② 三个角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个角是的等腰三角形是等边三角形. 2含的直角三角形 在直角三角形中，如果一个角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【题型一】等边三角形的定义和性质 相关知识点讲解 等边三角形的定义和性质 (1)定义：三条边都相等的三角形； (2)性质：三个内角都是，每条边都存在三线合一. 【典题1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是等边三角形，在中，，则（   ） A． B． C． D． 【典题2】（2025·辽宁丹东·一模）如图，在等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则等于（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是（   ） A．10° B．20° C．15° D．5° 2（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 3（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，与都是等边三角形，点，，在同一直线上，连接，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 5（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，是等边三角形，动点从点出发，沿方向运动到终点，以为边向上作等边三角形，连接．在整个运动过程中，阴影部分面积的变化情况是（注：等边三角形三个内角都为）（   ） A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【题型二】等边三角形的判定 相关知识点讲解 等边三角形的判定 ① 三条边相等的三角形是等边三角形； ② 三个角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个角是的等腰三角形是等边三角形. 【典题1】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知：如图，在中，D是边的中点，，点E、F为垂足，且，． (1)求证；； (2)求证：是等边三角形． 变式练习 1（24-25七年级下·吉林·期中）如图，是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形． 2（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，．    (1)求证：； (2)若，平分，求出的形状． 【题型三】等边三角形的判定与性质 【典题1】（2025·安徽·三模）如图，点E是直角三角形斜边上的一点，F是直角边上一点，且，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）在中，若，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 2（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 3（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，点在内，与关于对称，与关于对称，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型四】含的直角三角形的性质 相关知识点讲解 含的直角三角形 在直角三角形中，如果一个角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 如下图，在中，，，则. 证明 在上取点，使得， 又，是等边三角形， ，， 又，， ，即. 【典题1】（2025·陕西榆林·三模）如图，是的平分线，于点，点在上，连接，，．若，则的长度是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式练习 1（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，等腰中，在底边上取点，使得，若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 3如图，在中，，是边上的高，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4如图，的斜边轴，点B的坐标是，，则（   ）．    A．8 B．6 C．4 D．3 5（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【A组---基础题】 1（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过等边三角形的顶点A作直线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2（2025·湖南岳阳·一模）如图，在等边三角形中，，垂足为，点在线段上，连接，若，则等于（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 3（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，等腰中，在底边上取点，使得，若，则等于（   ） A．2 B．3 C．2.5 D．3.5 4（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，是等边三角形，，是的平分线，延长到E，使，则的长为（   ） A．7 B．8 C． D．9 5（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中， ，，，将沿射线的方向平移个单位后，得到，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 6（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，点D是的中点，点E是的中点，，若，则的长为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 7（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接． (1)证明：； (2)若，证明：是等边三角形． 8（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，． (1)求证：； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 9（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知：如图，在中，是边的中点，，，点为垂足， (1)______，______， (2)求证：； (3)是等边三角形吗？如果是，请写出证明过程，如果不是，请说明理由． 【B组---提高题】 1（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，点是内任意一点，，，点和点分别是射线和射线上的动点，则周长的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中一定正确的结论的个数是（    ）   A． B． C． D． 3（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 等边三角形及含30°角的直角三角形的性质 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 等边三角形的定义和性质 【题型二】 等边三角形的判定 【题型三】 等边三角形的判定与性质 【题型四】 含的直角三角形的性质 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握等边三角形的定义、性质和判定； 2.掌握含的直角三角形的性质. 1 等边三角形 (1)定义：三条边都相等的三角形； (2)性质：三个内角都是，每条边都存在三线合一. (3)判定： ① 三条边相等的三角形是等边三角形； ② 三个角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个角是的等腰三角形是等边三角形. 2含的直角三角形 在直角三角形中，如果一个角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【题型一】等边三角形的定义和性质 相关知识点讲解 等边三角形的定义和性质 (1)定义：三条边都相等的三角形； (2)性质：三个内角都是，每条边都存在三线合一. 【典题1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是等边三角形，在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 【典题2】（2025·辽宁丹东·一模）如图，在等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由等边三角形三角形的性质推出垂直平分． 由等边三角形的性质推出，垂直平分，得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：三角形是等边三角形， ， ， 垂直平分， ， ， ． 故选：D． 变式练习 1（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是（   ） A．10° B．20° C．15° D．5° 【答案】A 【分析】根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理求出，最后根据等边三角形的性质即可求解． 本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的应用． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 故选：A． 2（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积额，利用等积法求解是解答本题的关键．连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形，， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 3（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质和证明得到，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，与都是等边三角形，点，，在同一直线上，连接，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 5（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，是等边三角形，动点从点出发，沿方向运动到终点，以为边向上作等边三角形，连接．在整个运动过程中，阴影部分面积的变化情况是（注：等边三角形三个内角都为）（   ） A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质可证，由此可得阴影部分的面积为等边三角形的面积，由此即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， ∴阴影部分面积的变化情况是一直不变， 故选：B ． 【题型二】等边三角形的判定 相关知识点讲解 等边三角形的判定 ① 三条边相等的三角形是等边三角形； ② 三个角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个角是的等腰三角形是等边三角形. 【典题1】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知：如图，在中，D是边的中点，，点E、F为垂足，且，． (1)求证；； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，进而求出的度数，进而求出的度数，进而求出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 变式练习 1（24-25七年级下·吉林·期中）如图，是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，三线合一． 根据等边三角形三线合一推出，进而推出，结合，即可证明结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 2（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，．    (1)求证：； (2)若，平分，求出的形状． 【答案】(1)见解析； (2)是等边三角形 【分析】本题考查平行线的判定与性质，等边三角形的判定，正确理解题意是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再得出，推出，根据平行线的性质即可得出结论； （2）先求出，再根据平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据三角形内角和定理得出，推出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形 【题型三】等边三角形的判定与性质 【典题1】（2025·安徽·三模）如图，点E是直角三角形斜边上的一点，F是直角边上一点，且，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的外角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先求得，然后证得是等边三角形，然后得到，然后根据三角形外角的性质，即可求解； 【详解】解：∵是含直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的外角， ∴； 故选：A； 变式练习 1（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）在中，若，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解答本题的关键． 根据等边三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：在中，若，且， 是等边三角形， ， 故选：D． 2（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的逆定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 因为，，得到是等边三角形，得出， 根据题意得到垂直平分，得到，即可得到答案． 【详解】解； ，， 是等边三角形， ， ，， 垂直平分， ， 故选：A． 3（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，点在内，与关于对称，与关于对称，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，根据题意可得，结合，可得是等边三角形，进而可得的度数，解题的关键是：熟练掌握轴对称的性质． 【详解】解：∵点在内，与关于对称，与关于对称， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 【题型四】含的直角三角形的性质 相关知识点讲解 含的直角三角形 在直角三角形中，如果一个角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 如下图，在中，，，则. 证明 在上取点，使得， 又，是等边三角形， ，， 又，， ，即. 【典题1】（2025·陕西榆林·三模）如图，是的平分线，于点，点在上，连接，，．若，则的长度是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握角平分线的性质，等角对等边，含的直角三角形是解题的关键．如图，证明，可得，作于，根据含30度角的直角三角形的性质即可求的长，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴，而， ∴， 如图，作于， ∵， ∴， ∵点D在的平分线上，，， ∴， 故选：C． 变式练习 1（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质的应用，在直角三角形中，如果有一个角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．根据含30度角的直角三角形性质得出，代入求解即可． 【详解】解： ，，， ∴， 故选：D． 2（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，等腰中，在底边上取点，使得，若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，由垂直的定义得到，则，，所以有，由此即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得，， 故选：A ． 3（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，是边上的高，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查含角的直角三角形，在中，由角的直角三角形的性质推出，在中，由角的直角三角形的性质推出，即可求出的长． 【详解】解：∵是边上的高，，， ∴，， ， ∵， ， ， ． 故选：D． 4（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图，的斜边轴，点B的坐标是，，则（   ）．    A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据平行线的性质得出，求出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进一步得出答案． 【详解】解：    ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∵点B的坐标是， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，由等边三角形性质得到，，根据含角的直角三角形求出，求出，再根据含角的直角三角形求出，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【A组---基础题】 1（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过等边三角形的顶点A作直线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和平角的定义，先根据等边三角形的性质得出，再根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：A 2（2025·湖南岳阳·一模）如图，在等边三角形中，，垂足为，点在线段上，连接，若，则等于（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，，再证明，从而可得答案． 【详解】解：在等边三角形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A 3（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，等腰中，在底边上取点，使得，若，则等于（   ） A．2 B．3 C．2.5 D．3.5 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质得到，由垂直的定义得到，则，，所以有，由此即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：A． 4（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，是等边三角形，，是的平分线，延长到E，使，则的长为（   ） A．7 B．8 C． D．9 【答案】D 【分析】本题主要查了等边三角形的性质．根据等边三角形的性质，可得，，即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中， ，，，将沿射线的方向平移个单位后，得到，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的判定与性质，由平移性质可得，，则可得，则可证明是等边三角形，然后由等边三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由平移性质可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：． 6（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，点D是的中点，点E是的中点，，若，则的长为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定，三线合一，含30度角的直角三角形的性质，先证明是等边三角形，再根据三线合一得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴是等边三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 7（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接． (1)证明：； (2)若，证明：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线定义得到 即可证明，从而证明； （2）根据直角三角形的性质求出，，，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵于点M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形的判定、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题的关键． 8（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，． (1)求证：； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角得，再根据角的和差得，结合得，即可得证； （2）连接，根据线段垂直平分线的性质得到为中点，再结合得，又，即可得解． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， 在中，， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： 连接，如图所示： 是的垂直平分线， 为中点， ， ， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义及性质，等边三角形的判定，含的直角三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 9（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知：如图，在中，是边的中点，，，点为垂足， (1)______，______， (2)求证：； (3)是等边三角形吗？如果是，请写出证明过程，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)是等边三角形，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，解答本题的关键是熟记等腰三角形的性质以及全等三角形的性质． （1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和，即可解答； （2）利用即可证明； （3）由，进而得到，由（1）得，求出，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：， ， 又，， ， 故答案为：，． （2）解：由（1）得， 是边的中点， ， ，， ． 在和中， ∵， ． （3）解：是等边三角形，理由如下： 由（2）得，， ， 由（1）得， ， ， 是等边三角形． 【B组---提高题】 1（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，点是内任意一点，，，点和点分别是射线和射线上的动点，则周长的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】此题考查轴对称－最短路线问题．设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，当点M、N在上时，的周长最小，据此解答即可． 【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接．    ∵点P关于的对称点为C， ∴； ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴． ∴的周长的最小值． 故选：D． 2（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中一定正确的结论的个数是（    ）   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定，证明即可判定①；过点作于，于，由全等三角形的性质得，即得，根据角平分线的判定即可判定③；由全等三角形的性质和三角形内角和定理可得，即得，即可判定②；在线段上截取，连接，证明得，根据②可得为等边三角形，即得，即得，即可判定④；综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； 过点作于，于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，故③正确； ∵，， ∴， ∴，故②错误； 在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由②得， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有个， 故选：． 3（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据角平分线的定义可得，根据题意可推出，证明，即可证明； （2）由，结合题意可推出，，证明，得到，，证明是等边三角形，得到，推出，结合，即可证明． 【详解】（1）证明：平分， ， 在和中，， ； （2）如图，在上截取，连接， ， 在和中， ， ， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$