10-第一章 特殊平行四边形-大招专题2 特殊平行四边形中的最值问题-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（北师大版·新教材）

这是一份初中数学九年级上册的期末复习课件，聚焦特殊平行四边形中的最值问题，包含母题学大招、子题练变式、解析及思路分析等内容，为学生提供从方法学习到变式练习的完整学习支架，助力期末难点突破。 资料特色突出，以“母题引领+大招解读”构建学习路径，如通过矩形中垂线段最短求EF最小值的母题，培养学生几何直观与推理能力，结合子题变式强化模型意识，帮助学生用数学思维解决问题。对教师而言可直接用于专题教学，提升课堂效率，对学生则能夯实中考高频考点，适应升学备考需求。

数 学 九年级上册 BS 1 2 3 第一章 特殊平行四边形 4 大招专 题2 特殊平行四边形中的最值 问题 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招4 根据垂线段最短求最值 1.【2025河北衡水质检，中】如图，在矩形中， ， ，点从点出发，沿着往点移动，若过点 分别作 ，的垂线，垂足分别为，，则 的最小值为( ) A A. B. C.4 D.5 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 【解析】如图，连接， ， 四边形是矩形， ， 四边形为矩形，， 求的最小值就是求 的 最小值. 点从点出发，沿着往点移动， 当 时， 取最小值.在中， ，， ， 当 时， ，，的最小值为 .故 选A. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 大招解读 根据垂线段最短求最值 在直角三角形中求线段长度的最小值时，通常利用矩形的对角线相等这一性质将 所求线段长度的最小值转化成直角顶点与斜边动点连线的长度的最小值，此时根 据垂线段最短即可求解. 思路分析 连接，依据，， ，可得四边形 为矩形，借 助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成求 的最小值，再结合垂线段最短， 将问题转化成求 斜边上的高，利用等面积法即可得解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 母题学大招5 根据三角形三边关系求最值 2.［中］如图， ，矩形的顶点，分别在射线， 上滑 动，，，在滑动过程中，点到点 的最大距离为____. 12 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 【解析】如图，取的中点，连接，， ， ，，， ， .， 当 ， ，三点共线时，点到点的距离最大， 的最大值为 .故答案为12. 大招解读 根据三角形三边关系求最值 利用三角形三边关系解决最值问题时，构造出来的这个三角形要有两条边的长为 定值，另外一边为要求的那条边. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 关键点拨 解决本题的关键是根据三角形的任意两边之和大于第三边，得到当，， 三点 共线时，点到点 的距离最大. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 子题练变式 3.［较难］如图，，分别是正方形的边， 上两个动点，满足 ，连接，交于点，连接，若正方形的边长为4，则线段 长度 的最小值为_________. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 【解析】如图所示，取的中点，连接， 四边形 是正方形，， .在 和 中， ， ， ， ，， 当，，三点在一条直线上时， 长度最小，此时 .故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 母题学大招6 “将军饮马”求最值 4.【2026山东济宁质检，中】如图，矩形中， , ，点，分别为，边上的点，且，点 为 的中点，点为上一动点，则 的最小值是( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 【解析】如图，连接 四边形 是矩形， ，点为的中点， . 作点关于的对称点，连接，交于点，则 , 大招解读 “将军饮马”求最值 求直线同侧两点与直线上一动点所连线段和的最小值时，作其中一 点关于直线的对称点，将两点转化到直线的两侧，利用两点之间线 段最短求最小值. , 当点，，，共线时， 的值最小，最小值 为的长.，，， ， , 的最小值为4.故选B. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 子题练变式 5.【2025河南洛阳质检，中】如图，在菱形中，对角线，相交于点 ， 且，，点，分别是线段，上的动点，连接， ，则 的最小值为____. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 【解析】如图，连接，过点作于 四边形 是菱形， 点与点关于直线对称， ， ，的最小值为 的长. 四边形是菱形，，，， ， ， 由勾股定理，得 ， ，，解得 ，即 的最小值为.故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 思路分析 连接,过点作于.由菱形性质可得,即把 的最小值 转化为的最小值，即为 的长. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 母题学大招7 “费马定理”求最值 6.［较难］如图，矩形中，，，点为矩形内一点，点 为 边上任意一点，则 的最小值为_________. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 【解析】如图（1），将绕点逆时针旋转 得到，连接 , .由旋转的性质可知，，, , ,和均为等边三角形， ， 点为动点， 当,,, 共线，且 时,的值最小，如图（2），设交于 ，此时易求得 ，的最小值为 . 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 大招解读 “费马定理”求最值 “费马点”是指到三角形三个顶点距离之和最小的点.主要分为两种情况： （1）当三角形三个内角都小于 时，通常将其中一个小三角形绕大三角形的 一个顶点旋转 . 例如：将绕点逆时针旋转 ,得到，连接 ,如图（1）,则 为等边三角形，，,即 ,当 ,,,四点共线时取得最小值，为 的长，如图（2）. （2）当三角形有一个内角大于或等于 时，费马点就是此内角的顶点. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 子题练变式 7.【2025新疆乌鲁木齐校级期中，较难】如图，四边形是菱形， ， 且 ，是菱形内任意一点，连接，，，则 的最小值为_____. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 【解析】如图，将绕点逆时针旋转 得到 ，连接，，作交的延长线于点 . 由旋转得,, , , 是等边三角形， ，, 当, ,, 共线时， 的值最小，即的最小值为 的长. ，， 易得 ， .在中，， ,即 的最小值为.故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 思路分析 将绕点逆时针旋转 得到,连接，,作交 的延 长线于.由旋转的性质可得, 是等边三角形，由此将 转化为，即可得出当,,, 共线时， 的值最小，根据勾股定理求解即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 $