2.3 分式的乘法和除法 同步讲义 2026-2027学年湘教版八年级数学上册

本讲义聚焦分式的乘法、除法、乘方及混合运算核心知识点，系统梳理运算法则、混合运算步骤及核心技巧口诀，通过基础运算到混合运算与化简求值的递进式典例，构建完整学习支架，衔接分式概念与后续运算学习。 该资料以结构化知识梳理与分层训练为特色，借助“除变乘，颠倒之；先分解，再约分；最后乘，得最简”口诀培养运算能力与推理意识，典例与跟踪训练结合，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

2.3　分式的乘法和除法 【知识点梳理】 1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 即· ＝ 。 2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 即 ÷ ＝ · ＝ 。 3．分式乘方的法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方。即 ＝（n为正整数）。 4．分式乘除混合运算步骤 （1）将除法转化为乘法（除式分子分母颠倒）； （2）对分子分母分别进行因式分解； （3）约分（分子分母消去公因式）； （4）将剩余因式相乘，得到最简结果。 5．核心技巧口诀：“除变乘，颠倒之；先分解，再约分；最后乘，得最简”。 【典例精讲】 题型1：分式的基础乘法运算 【典例1】计算： · 。 解：原式=。 【典例2】计算： · 。 解：原式=。 【典例3】计算： · 。 解：原式= · xy。 跟踪训练： 1．计算： · 。 解：原式= 。 2．计算： · 。 解：原式= 。 3．计算： · 。 解：原式= · 。 4．计算： · 。 解：原式= · 。 题型2：分式的基础除法运算 【典例1】计算： ÷ 。 解：原式= 。 【典例2】计算： ÷ 。 解：原式=。 【典例3】计算： ÷ 2x。 解：原式=。 跟踪训练： 1．计算： ÷ 。 解：原式=。 2．计算： ÷ 。 解：原式=(x-1)(x-2)。 3．计算： ÷ 。 解：原式==。 4．计算： ÷ 2。 解：原式=。 题型3：分式乘除混合运算与化简求值 【典例1】计算： ÷ · 。 解：原式=。 【典例2】化简：( - ) ÷ 。 解：原式=x+y。 【典例3】先化简，再求值： ÷ ，其中a = 2。 解：原式=,当a = 2时，原式=1。 跟踪训练： 1．计算： · ÷ 。 解：原式= · 。 2．化简： ÷ 。 解：原式=。 3．先化简，再求值： · ，其中x＝3。 解：原式= · , 当x＝3时，原式=。 4．先化简，再求值：(1- ) ÷ ，其中a＝3。 解：原式=， 当a＝3时，原式=3-1＝2。 【随堂演练】 1．计算： · ＝ 。 【答案】 2．计算： ÷ ＝ 。 【答案】 【解析】除变乘： =。 3．计算： ÷ ＝ 。 【答案】 【解析】分解：。 4．分式除法运算的关键是：先把除法转化为 ，再按乘法法则计算。 【答案】乘法 5．下列计算正确的是（ ） 　A. · ＝ 　　B. ÷ ＝ · 　　C. ( )²＝ D.( )²＝ 【答案】B 6．化简： · ＝ 。 【答案】x-2 【课后对点练】 一、选择题 1．计算 · 等于（ ） 　A.　　 B.　　 C.　　 D. 【答案】A 2．计算 ÷ 等于（ ） 　A.a　　 B.ab　　 C. 　　 D. 【答案】B 3．化简 · 的结果是（ ） 　A. x-1　　B. x+1　　C. 1　　D. x+2 【答案】B 【解析】 · = x+1。 4． ÷ 等于（ ） 　A.　　B.　　C.　　D. 【答案】B 5．( )²·( )³化简后为（ ） A.　　B.　　C.xy　　D. 【答案】B 【解析】( )²·( )³=。 6．下列计算正确的是（ ） 　A.÷ ＝ 　　 B.( )²＝ 　　C.· ＝1 D.( )²＝ 【答案】C 7．分式乘除运算中，应先在________后再约分。 A. 相乘后约分　　B. 因式分解后约分　　C. 通分后约分 D.先约分在乘 【答案】B 【解析】先分解，再约分，最后乘——这是分式乘除运算的核心步骤。先因式分解能提前发现公因式，大幅简化后续运算。 8．计算 ÷ (x+1) 的结果是（ ） 　A.　　B.1　　C.(x+1)²　　D.x+1 【答案】A 二、填空题 9．分式乘法法则：分子乘分子， 乘分母。 【答案】分母 10．计算： · ＝ 。 【答案】 11．计算： ÷ ＝ 。 【答案】 12．( )²＝ 。 【答案】 13．分式除法运算步骤：①除变乘；② ；③约分。 【答案】因式分解 14．计算： ÷ ＝ 。 【答案】 【解析】除变乘：。 三、解答大题 15．（6分）计算： （1） · ； （2） · 。 解：（1）原式=。 （2）原式= · 1。 16．（7分）计算： （1） ÷ ；　　 （2） ÷ 。 解：（1）原式=。 （2）原式=。 17．（7分）先化简，再求值：( - ) ÷ ，其中x＝2。 解：原式=(x-1)(x+1)=x²+1。 当x＝2时，原式=4+1＝5。 18．（8分）已知＝ ，求· 的值。 解：原式=。 当＝ 时，原式=。 学科网（北京）股份有限公司 $2.3分式的乘法和除法 【知识点梳理】 1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 AC AC 即BD=BD° 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 即AS=A.D、AD B÷D=B‘C=BC· n A 3.分式乘方的法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方。即 B (n为正整 数)。 4.分式乘除混合运算步骤 (1)将除法转化为乘法（除式分子分母颠倒）； (2)对分子分母分别进行因式分解； (3)约分（分子分母消去公因式）： (4)将剩余因式相乘，得到最简结果。 5.核心技巧口诀：“除变乘，颠倒之；先分解，再约分；最后乘，得最简”。 【典例精讲】 题型1：分式的基础乘法运算 【失例山计年：是罕。 a-1a2-4 【典例2】计算：a+2·a2-1° 【典例3】计算：，y yx 跟踪训练： 3x2 1.计算：x·6 a b2 2.计算：b·a2 3.计算： x+1 x2-1 x-1·(x+1)2 4.计算： m2-n2 n mn m+n 题型2：分式的基础除法运算 【线别】#有宁兰。 a-2 a2-4 【典例2】计算：a+3÷a2-9 4x2 【典例3】计算：3y÷2 跟踪训练： a a2 1.计算：6÷2b x2-1x+1 2.计算：X+2÷x2-4° 3.计：6*g6 2x 4.计算：x+y ÷2。 题型3：分式乘除混合运算与化简求值 x2 x 1 【典例1】计算：X+1÷x2-1x-1° 【典例】化商：（宁为号 a2-1a-1 【典例3】先化简，再求值：a2+2a+1÷a+i,其中a=2。 跟踪训练： a2 b a 1.计算：b2·a÷b 2.化简： X x2 X-1÷x2-1 3先化微用求恤：又子二子共丰3 ←：先化商，博求伯：0”共中a3。 a 【随堂演练】 3a2b2 1.计算：4b·3a =。 2.计算：X+1÷x+12=一 3.计算： a2-b2 a+b ab÷ 4.分式除法运算的关键是：先把除法转化为，再按乘法法则计算。 5.下列计算正确的是() A号台6B吕号=号是c(后产-品 ac (= x2-4x-3 6.化简：X-3·X+2=—。 【课后对点练】 一、选择题 1.计算y· 2x y2 4x等于() A吃 y 1 B2× a 2计算÷b2等于（ 6 A.a B.ab D. a .x2-1 3.化简x+2 X+2 ·x-1的结果是() A.x-1B.x+1C.1D.x+2 4.吕后梦于() C ac ad B.bc bd ab C ac cd 5.(的（化简后为(） y C.xy 、1 y 6.下列计算正确的是() A分台荒 a a2 4.b=1 (2=是 B.（6)2= c.ba 7.分式乘除运算中，应先在 后再约分。 A.相乘后约分B.因式分解后约分C.通分后约分 D.先约分在乘 1 8.计算x十7÷+1)的结果是(） 1 A(x+12 B.1C.(x+1)2 D.x+1 二、填空题 9.分式乘法法则：分子乘分子， 乘分母。 10.计算： 2x 9y 3y 4x a 11.计算： Q2 a+b÷a2-b2= 2a 12.（62= 13.分式除法运算步骤：①除变乘：②；③约分。 14.计算： m2 n2 mn m2 三、解答大题 15.(6分)计算： 5a 3b (1)6b·10a x+y x2-y2 (2)x-y·(x+y2 16.(7分)计算： (1)02b.ab2 c: (2)2-4 X-2 X+3 x2-9° 1 17.（7分)先化简，再求值：（x一了x+)÷x2一，其中x=2。 8分》已号-景g-侣g停的怕：