第23章 23.4 解直角三角形-课时3 坡度（坡比）、坡角问题-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（华东师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“解直角三角形”中坡度（坡比）、坡角的计算及应用，通过山坡种树、大坝横截面等实际问题导入，承接锐角三角函数知识，搭建从理论到实际应用的学习支架，帮助学生梳理前后知识脉络。 其亮点在于结合机器人高度、雨天撑伞等生活场景设计问题，以几何直观和空间观念培养数学眼光，通过推理和运算发展数学思维，用模型观念构建实际问题的数学表达。分层练习（基础、提升、素养）助力学生能力进阶，便捷课件操作（WPS编辑、超链接）提升教师教学效率。

数 学 九年级上册 HS 1 2 3 第23章 解直角三角形 4 23.4 解直角三角形 课时3 坡度（坡比）、坡角问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 坡度（坡比）、坡角的相关计算 （第1题图） 1.【2025山东烟台期中】如图，在平地上种植树木时，要求 株距（相邻两棵树之间的水平距离）为 .如果在坡度为 的山坡上种树，也要求株距为 ，那么相邻两棵树 间的坡面长为( ) B A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 【解析】如图，过作交的延长线于 .由题意得水平距离 , 的坡度为,， 铅直高度 . 在中，由勾股定理得 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 （第2题图） 2.【2025四川自贡期末】如图为一大坝的横截面， ，背水坡的坡度为 ，迎水坡的坡角为 .若米，坝高为米，则坡底 的长为 ( ) D A.17米 B.18米 C.19米 D.20米 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 【解析】如图，分别过点,作于， 于 ，，，， 四边形 是矩形，米，米. 背水 坡的坡度为，，米.在 中， ， ，米， 米， 故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 关键点拨 坡度，也叫坡比，就是坡面的铅垂高度与水平长度的比，也就是坡角的正切值， 即 为坡角 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 3.【2026黑龙江大庆质检】如图，大楼 上悬挂一条 幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为 ， 沿坡面向下走到坡脚 处，然后向大楼方向继续行走10 米来到处，测得条幅的底部的仰角为 ，此时小 颖距大楼底端处20米．已知坡面 米，山坡的 坡度（即）,且，， ， ，，，在同一平面内,，，， 在同一条直线上． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 （1）求点距水平地面 的高度. 【解】如图，过点作于.在中，坡面 米，山坡的坡 度，， ，米, 点距水平地面 的高度为10米． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 （2）求条幅的长度.（结果精确到1米）（参考数据：, ） 【解】如图，过点作于.由（1）知，米，则 米.易 知米. ， 米， 米. ，米， （米）. 答：条幅 的长度约是17米． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 知识点2 解直角三角形解决其他问题 4.【2025山东聊城质检】近年来，随着人工智能技术的发展，智能机器人已经服务于社 会生活的各个方面.图（1）所示是一款智能送货机器人，图（2）是其侧面示意图. 现 测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架 的 长度为， ， ，则该机器人的最高点距地面 的高 度约为（参考数据：，， ） ( ) A A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 【解析】 . 如图，过点，分别作于，于，过点作于 ，则 四边形为矩形，，.在中， ， ,, ， . ， , ， 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 ， ， 点距地面 的高度约为 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5.如图是某种货车自动卸货时的示意图，是水平汽车底盘， 是液压举升杠杆， 货车卸货时车厢与底盘的夹角为 ，举升杠杆与底盘的夹角为 . 已知举升杠杆的上顶点离货车支撑点的距离为 米.试求货车卸货时举 升杠杆 的长. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 【解】如图，作于.设米. ， ， ，， ， ，解得，.在 中，由勾股定理 可得， 货车卸货时举升杠杆的长为 米. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 提升 （第1题图） 1.【2025山东淄博质检，中】如图，小明在距离地面30米的 处测得处的俯角为 ，处的俯角为 .若斜面 的 坡度为，则斜坡 的长是( ) C A.米 B. 米 C. 米 D.40 米 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 20 【解析】 . 如图，过点作交延长线于，过点作于 斜面 的坡度 为，， 在处测得 处的俯角为 ，处的俯角为 ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 米，， ， 米, 米，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 21 思路分析 过作交延长线于，过点作于点 .由坡度的定义得 ，求得 ，再证是等腰直角三角形，得 ， 然后由锐角三角函数定义求出 的长，即可得出答案． 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 22 2.【2025重庆江津区期中，中】小明邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤 的 坡度为，长为5.2米，钓竿与水平线的夹角是 ，其长为6米.若钓竿 与钓鱼线的夹角也是 ，则浮漂与河堤下端 之间的水平距离约为_____ 米.（结果精确到0.01米.参考数据： ） 2.35 （第2题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 23 【解析】 如图，延长交延长线于，过点作于，则 河堤 的坡度为，.设，.在中， 米,由勾股定理得，即，解得 （负值已舍去），米，米.在中， , 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 24 ,, （米）， （米） ， 是等边三角形， 米，则 （米），故答案为2.35. 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 思路分析 延长交延长线于点，过点作于点.利用勾股定理求出, ,利 用锐角三角函数求出，，再证为等边三角形，求出 ，即可求解． 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 26 刷素养 走向重高 3.核心素养 模型观念 【2025江苏淮安中考，难】综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图， 她的身体侧面可以近似看作矩形， 米， 米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的 部分长 为0.45米，点为中点，，点 到地面的距离是 1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线 与地面 的夹角为 ，雨线与平行，与地面 平行． 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 27 【问题感知】 （1）①在图（1）、图（2）中，点 到地面的距离是_____米； 1.8 【解析】由题意及题图（1）知，米， 米， （米），即点 到地面的距离是1.8米，故答 案为1.8. 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 28 ②如图（1）所示， ，若小丽将伞拿在胸前与在同一条直线上 ， 则小丽身体被雨水淋湿的部分______米．（参考数据： ， ， ） 0.26 【解析】米，点为中点，米. ， ， ， 在 中， （米）， （米），故答案为0.26. 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 29 【问题探究】 （2）如图（2）所示， ，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段 的长 度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与 的函数表达式，并写出头部 不被淋湿情况下 的取值范围． 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 30 图（1） 【解】如图（1），延长交于点，则 米， 米. ， ， ， 在中， 米， 米， 即.延长交于点，过作 交 于，则（米）， （米）. 为使头部不被淋湿， 米， 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 31 ，解得 .又 ，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 思路分析 延长交于点.先利用平行求出 ，再计算出 ，接着可由得.延长 交 于点，过作交于，为保证头部不被淋湿，需满足 ， 建立不等式求解即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 33 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将 雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得 与雨线 垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水 平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出 的最小值；如果不 可以，请说明理由． 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 34 图（2） 【解】可以.如图（2），与 重合时，手臂前伸长度最小，即 的值最小，只需保证此时头部不会被雨淋湿即可.设直线 交于点，过作于点，延长交于，过 作 于点，则米， ， 米，易得米.在 中， 米， 米.在 中， 米， （米）.在 中， 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 35 （米），又 （米），即, 此时头部不会被淋湿.综上，可以通过调节手臂水 平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿， 的 最小值为 米． 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 关键点拨 与重合时，手臂前伸长度 最小，只需保证此时头部不会被雨淋湿 即可.设直线交于点,保证 即可． 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 37 $