第2章 微专题2 抽象函数的性质（PPT课件）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦“抽象函数的性质”微专题，覆盖对称性、周期性及综合应用三大高考核心考点，依据高考评价体系梳理出对称性判断、周期性推导、性质综合应用等高频考查维度，通过例题变式归纳选择填空常考题型，构建完整的性质规律体系。 课件亮点在于“真题引领+规律提炼+素养培养”，如2025年湖州质检题结合奇偶性与对称性推导周期，提炼“对称性→周期性”逻辑推理方法，培养数学抽象与逻辑推理素养。配套精练含易错点分析，帮助学生掌握性质转化技巧，教师可据此精准定位考点，提升复习效率。

第二章 基本初等函数 微专题2抽象函数的性质 视角1 对称性 例1)已知函数x-1)为偶函数，且函数，在[-1，+∞)上单调递增， 则关于x的不等式1一2)<一7)的解集为 () A A.(-∞，3) B.(3,+∞) C. (-∞，2) D.(2,十∞) 【解析】因为x一1)为偶函数，所以x一1)的图象关于y轴对称，则)的图象 关于直线x=一1对称.因为fx)在[一1，十∞)上单调递增，所以x)在（一 ∞，一1]上单调递减. 因为1-2)<-7)=5)，所以-7<1-2x<5,解得x<3. 圆1②已知函数心∈R满足一)=2，若函数)-士与=图象的 10 交点为x1,y1),(2,2),…,(x10,y10),则∑（十y)=■ i=1 【解析】因为函数∈R满足人一对=2一付，即满足-用)士）=1，所以y=付 2 关于点(0,1)对称. 又西数)-1+关于点0，测称所以适数，与=和图家的交点 (x1,y),(x2,y2,…,(10,yo)也关于点(0,1)对称，故交点(1，y),(x2,y2),…, 10 (x10,y0)成对出现，且每一对点都关于(0,1)对称，故∑(：，十y)=(十x2十…十x1)十 i=1 10 0+h++o)=0+2×2=10. 【答案】 10 总结 提炼 若函数y=x)满足孔a十x)=a一x)或x)=2a一x),则函数y=x)的图象关于直线x =a对称.推广：若函数y=x)满足fa十x)=b一x),则函数y=fx)的图象关于直线 -a”对称 a+b 变式1 已知定义在R上的函数)在（孔片单调递增，若函数+2) 为偶函数，且3)=0，则不等式xx)>0的解集为)】 【解析】由函数x十2)为偶函数，可知函数x)的图象关于x =2对称.又函数x)在（一∞，21上单调递增，故函数x)在 (2,+∞)上单调递减.由3)=0，知1)=0，作出函数 x)的大致图象如图所示. 由图可知，当x<0时，由xx)>0,可得x)<0,则x< x=2 0;当x>0时，由xx)>0,可得x)>0,则1<x<3. 综上，不等式xfx)>0的解集为（一∞，0）U(1,3). 视角2 对称性、周期性的综合 例2 (1)2025·湖州质检)已知定义域为R的函数fx),满足2x)是奇函数， 3x一1)是偶函数，则下列说法不一定正确的是 () A.x)的图象关于直线x=一1对称 B.-3)=1 C.x)的一个周期为4 D.x)的图象关于点(0,0)对称 【解析】由3x一1)是偶函数，可知一3x一1)=3x一1)，则fx)关于x= 1对称，故A正确； 因为2x)是奇函数，所以x)也是奇函数，关于点(0,0)对称，故D正确； 由AD可知，一2一x)=x)=-孔-x),即-2+)=一x),即x)= 一x+2),则x)=-x+2)=x十4)，所以fx)是周期函数，一个周期为 4,故C正确： 由x)=一x+2)可知，尤一3)=一一1)，函数孔x)关于x=一1对称，但 九T答秦下确定，故B错误。 B 例2 (2)(2025·济南调研)已知定义在R上的函数fx),gx)满足fx)+g(2 x)=5,g)-x-4)=3,且gx+2)为偶函数，则1)+2)+伯925…+ 【解析】 因为函数gx+2)为偶函数，所以gx+2)=g(-x十2)，即x)+g(2 -x)=x)+g(2+x)=5①，又gx)-x-4)=3，即gx+2)-x-2)= 3②，所以①-②得x)+x一2)=2，即x+2)+x)=2,两式相减得x +2)-x一2)=0，即x+2)=x-2)→x+4)=x),所以x)为周期函 数，周期为4. 又)+g(2-x)=5,-x)+g(2+x)=5,gx+2)=g(-x+2),所以 x)=一x),即x)为偶函数. 又x+2)+x)=2,所以1)+-1)=21)=2→1)=1,1)+3)= 2,2)+4)=2,所以1)+2)+3)+4)=4，所以1)+2)+3)+ …+f2025)=506×4+2025)=2024+1)=2025. 总结 提炼 函数对称性与周期性的关系 (1)若函数y=x)的图象关于直线x=a,x=b都对称，则x)为周期函数且2 b一a是它的一个周期. (2)若函数y=fx)x∈R)的图象关于两点A(a,y),B(b,y)都对称，则2b一 a是y=fx)的一个周期. (3)若函数y=x)x∈R)的图象关于点A(a,y)和直线x=b都对称，则4b一4 是y=x)的一个周期. 变式2(1)(2025·开封质检)已知：)是R上的连续函数，满足：Hx, y∈R,x+y)+x一y)=x)y),且1)=1，则下列说法中正确的是 （) A.0)=0 B.fx)为奇函数 6:期农务称中心 【解析】对于A,令x=1,y=0,则1+0)+1一0)=10)，所以21) =1)0),因为1)=1，所以0)=2，故A不正确： 对于B，令x=0,则0+)+0-)=0y),即y+一)=20)， 即一y)=y),则x)为偶函数，故B不正确； 对于C,令y=1,则x+1)+x-1)=x1)=x),故x+2)+)= x+1),两式相加并整理得x+2)+fx一1)=0，即x十3)=-x),故fx +6)=-x十3)=一[一x)]=x),故x)的一个周期为6，则9)=3)= 2)一1)=1)一0)一1)=-0)=一2≠1)，故x)的一个周期为8不成 府于6，不雷貔斗3)=一，且为偶函数，故+3)=-，所以0是) 的一个对称中心，故D正确. 【答案】 D 变式2(2)(2026·黄冈期初)（多选）已知定义在R上的函数)和g),若x +2)为奇函数，gx)为偶函数，且x+1)+g(3-x)=4,则( A·g(2)=2 B.f6)=0 C.fx)的图象关于x=4对称D.8为g(w)的一个周期 【解析】对于A,由x十2)为奇函数，则x十2)=--x+2),故x+1) =--x+3),由x+1)+g(3-x)=4,则--x+3)+g(3-x)= 4,-x+2+1)+g(3+x-2)=4,即-x+3)+g(1+x)=4,则g3 -x)+g(1+x)=8.令x=1,则2g(2)=8,即g(2)=4,故A错误. 对于B,由gx)为偶函数，则g(x)=g(-x),由x+1)+g(3-x)=4,则x +4)+g(-x)=4,4-x)+gx)=4,故f+4)+g(-x)-4-x)- gx)=4-4=0,又gw)=g(-x),则x+4)=4-x),则x+2)=6 -x),则2)=6).由x+2)=--x+2),则2)=-2)，故2)= 0,故6)=0，故B正确. 对于C,由x十4)=4一x),则x)的图象关于x=4对称，故C正确. 对于D,由g(3-x)+g(1+x)=8,则g(-x)+g(4+x)=8,又gx)=g(- x),则g)+g(4+x)=8,则gx-4)+g)=8,则gx)+g(4+x)=gx一 4)九昝攀)即g(4+)=gc-4),即8为g,)的-个周期，故D正确。 BCD 配套精练 配套精练 一、单项选择题 1. (2025·安庆质检)若函数x)的图象关于点(1,0)对称，则（ )C A.x+1)为偶函数 B.x-1)为偶函数 C.x+1)为奇函数 D.x一I)为奇函数 【解析】因为函数的图象关于点(1,0)对称，所以将x)的图象向左平移1个 单位长度后所得图象关于原点对称，即x+1)是奇函数 123456891ou 配套精练 2.(2025·厦门质检)已知x)是定义在R上的奇函数，x+1)=1一)， 且-1)=1，则2029)= A.1 B.0 C.-2021 D.-1 【解析】 因为x)为奇函数，所以x+1)=1一x)=一x一1)，所以x+3) =x+2+1)=-x+2-1)=x-1),所以x+4)=x),即x)是周期 为4的函数，故2029)=1)=一九一1)=一1. 23456789o1 配套精练 3.(2025·南通一调)已知定义在R上的奇函数x)满足x)=4一x),且x)在[-2， 2上单调递增.设a=b=得，c=月-13)，则 （) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 2345689om 配套精练 【解析】 由x)=4一x)知x)的图象关于直线x=2对称.由x)为奇函数知 x)的图象关于点(0,0)中心对称，从而x)是周期为8的周期函数 作出x)的大致图象如图所示，因为x)在[一2,2]上单调 递增，所以在2,61上单调递减又召=骨局-， -13=8.2}346,所以-13). 6 即b<c<a. 【答案】 D 123456891ou 配套精练 4.(2025·株洲质检)已知偶函数满足：f6)+fx+2)=4,且+》0， 若2)<0，则2025)= () A.1 B.2 C.-V2 D.-1 234567890m 配套精练 【解析】由P(x)十P(x+2)=4,用x代换x十2，可得Px十2)十Px十4)=4，联立方程 P()+fPx+2)=4, 组A+2)f+4到4， 可得x+4)=P(x),即x+4)=±f). 又)为偶函数，且x+》0,可得与x+同号，所以+4)=)，可得 函数x)是周期为4的函数. 因为2)<0,1)与2)同号，则1)<0，令x=-1,可得(-1)+(1)=2(1)=4， 所以1)=-V2,则2025)=f506×4+1)=1)=-V2. 【答案】 C 23456789ou 配套精练 5,已知函数fx)对Hx∈R都有x)=x+4)+2),若函数y=x+3)的图 象关于直线x=一3对称，且对Hx1,x∈[0,2]，当x≠x2时，都有（化2一x) [fx)一x】>0,则下列结论错误的是 () A.2)=0 B.x)是偶函数 C.x)是周期为4的周期函数 D.3)<-4) 2345689o▣ 配套精练 【解析】 因为y=x十3)的图象关于直线x=一3对称，所以y=x)的图象关于 y轴对称，即fx)是偶函数，B正确： 在x)=十4)+2)中，令x=-2,得f-2)=22),因为-2)= 2),所以2)=22)，解得2)=0，A正确： x)=x十4)，x)是周期为4的周期函数，C正确： 对Hx1,x,∈[0,2]，当x≠x2时，都有(2-x)儿x)一x】>0,故x)在 [0,2]上单调递增，又x)是周期为4的周期函数，且x)是偶函数，故0) = -4),3)=-1)=1),因为1)>0)，所以3)>-4)，D错误。 【答案】 D 234567890u 配套精练 二、多项选择题 6.(2025·湘潭调研)已知函数)的定义域为R,:+为奇函数，且对于任意x∈R, 都有2一3x)=f3x),则 A.x+1)=x) B.大引=0 C.fx+2)为偶函数 D.和为奇函数 123456891ou 配套精练 【解析】 由2-3)=3x,得2-)=).由+是奇函数，得+ {-x+》即侧=-1-，所以2-9=一1-，即+1)=，所以 x十2)=x),故A错误； 由侧=-1-.得0.由+1)=-.得得-所以大0 故B正确； 由x十2)=x),2-x)=x),得2一x)=2十x),即x十2)为偶函数，故C正确； 由=-1-，+2)=，得到=--1-，则》=-人-x 即- 为奇函数，故D正确. 【答案】 12 56 BCD 891011 配套精练 7.(2025·石家庄三模)已知函数x)是定义在R上的偶函数，fx十1)是定义 在R上的奇函数，则 A·x)的图象关于点(1,0)中心对称B.x)是周期为2的函数 19 C.2027)=0 D. 0=0 【解析 】对于A,因为y=x十1)是R上的奇函数，其图象关于原点对称，又y =x十1)的图象可看成是函数y=x)的图象向左平移1个单位长度得到，所以 x)的图象关于点(1,0)中心对称，故A正确； 1234567891ou 配套精练 对于B,由y=x+1)是R上的奇函数，得-x十I)=-x+1),即f(一 x)=-x+2),又-x)=),则x+2)=-x),所以x+4)=-fx十 2)=x),故x)是周期为4的函数，故B错误； 对于C,由-x)=-x+2),令x=一1，得1)=-1)，则1)=0，所 以2027)=506×4+3)=3)=尤-1)=1)=0，故C正确； 对于D,由x+2)+x)=0,得2)+4)=0，又1)=f3)=0,x)是周期为4的函 数，所以)=4[1)+2)+3)+4]+1)+2)+3)=2)，而2)的值无法确定， 故D错误. 【答案】 AC 023456789ou 配套精练 8.(2026·唐山期初)已知非常数函数x)是定义在R上的偶函数，且0)= 0,f2x一1)=x),则 A.1)=0 B.2是x)的一个周期 C.当且仅当x∈Z时，x)=0 D.x)不存在最小正周期 2345689o▣ 配套精练 【解析】 由f2x-1)=fx),令x=0,得-1)=0O),又x)是定义在R上 的偶函数，则1)=一1)=0)=0，A正确. 由2x-)=),令2x=4,有-1)= 由2x-1)=fx),令2x=-t,有-1 -1)人分引又网是定义在R上的偶函数，局--引 则有-1)=-1-1)， 所以函数x)的图象关于直线x=一1对称，有一x)=x一2).又x)是定义在R上 的偶函数，则-x)=x-2)=fx),故x+2)=x),所以2是x)的一个周期，B正 确。 1234567891ou 配套精练 由2x-1)=,令x=2得0=付=0，故C错误。 若T是fx)的一个周期，则fx+D=x),所以x)=2x一1)=2x一1+T) =/x+月-1-x+引则也是)的-个周期，结合B可知，2,1,2子名 111 都是x)的周期，所以x)不存在最小正周期，D正确. 【答案】 ABD 234567890▣ 配套精练 三、填空题 9.已知定义在R上的两个函数f孔x)和g(x)满足x)十g(1一x)=3.若y=g) 的图象关于点(1,0)对称，3则0)= 【解析】函数g的定义域为R，且y=g)的图象关于点(1,0)对称，所以 gx)+g(2-x)=0,所以g(1)=0.又x)+g(1-)=3,当x=0时，f0) +g1)=3,所以0)=3. 1234567890 配套精练 10.(2025·芜湖期末)已知函数fx)的定义域为R,y=x)-1为奇函数，y =fx十1)为偶函数，若2025)=卫，则3)= 【解析】由y=)一1为奇函数得一x)十x,)=2,由y=x十1)为偶函数 得1一x)=1+x)→)=2-x),所以有孔-)+2-x)=2，,即x)十 2+x)=2→x十2)+x+4)=2,所以x+4)=x),函数x)的一个周期 为4，所以2025)=4×506+1)=1)=2，又1)+3)=2，所以3)= 0. 1234567890u 配套精练 11,(2025·福州调研)已知fx+1)是定义在R上的奇函数，且x+4)=2 -x),当x∈(1,3]时，x)=ex-2x,则f2025)4+2026)= 【解析 】由x+1)是定义在R上的奇函数，得-x+1)=一x十1)，即2 一x)=-x).又x+4)=2一x),则x+4)=-x),x+8)=-x+ 4)=x),因此函数x)的周期为8. 当x∈(1,3]时，x)=e-2x,则2)=e2-4,结合1)=0，所以2025) +f2026)=1)+2)=e2-4. 123456891ou