第2章 第10讲 指数与指数函数（PPT课件）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦“指数与指数函数”专题，依据高考评价体系梳理了根式、分数指数幂、指数函数图象与性质等核心考点，通过近五年高考真题统计明确“单调性与最值”“指数式化简”等高频考点分布，构建知识整合与题型突破的系统复习框架。 课件亮点在于“真题精讲+变式训练+素养提升”的备考策略，以2023年新高考Ⅰ卷指数函数单调性题为例，剖析“复合函数单调性判断法”，培养学生数学思维中的推理能力和运算能力。特设“易错点警示”和“答题模板”，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

第二章 第10讲　指数与指数函数 基本初等函数 1 知识整合·体系建构 1．(教材经典题)设a＞0，则下列运算中正确的是 (　　) 【解析】 D 激活思维 知识整合·体系建构 2．(教材经典题改编)设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则 (　　) A．b＜c＜a　 B．c＜a＜b C．a＜b＜c　 D．b＜a＜c 【解析】 　　　　b＝2－0.4＜20＝1，c＝90.4＝30.8＞30.7＝a＞30＝1，所以b＜a＜c． D 激活思维 知识整合·体系建构 【解析】 B 激活思维 知识整合·体系建构 4．下列函数的值域是(0，＋∞)的有 (　　) 【解析】 C 激活思维 知识整合·体系建构 5．函数y＝ax+2 026＋2 026(a＞0，a≠1)的图象恒过定点_____________________． (－2 026，2 027) 激活思维 知识整合·体系建构 1．根式 根式 聚焦知识 知识整合·体系建构 2．分数指数幂 (2) 有理指数幂的运算性质：aras＝_________； (ar)s＝______；(ab)r＝________，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q． 没有意义 ar＋s ars arbr 聚焦知识 知识整合·体系建构 3．指数函数的图象与性质   a＞1 0＜a＜1 图象 聚焦知识 知识整合·体系建构   a＞1 0＜a＜1 定义域 R 值域 _____________ 性质 过定点__________，即当x＝0时，y＝1 当x＞0时，_________； 当x＜0时，____________ 当x＜0时，_________； 当x＞0时，____________ 在(－∞，＋∞)上是__________ 在(－∞，＋∞)上是__________ (0，＋∞) (0，1) y＞1 0＜y＜1 y＞1 0＜y＜1 增函数 减函数 聚焦知识 知识整合·体系建构 4．常用结论 (1) 画指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象时注意两个关键点：(1，a)，(0，1)． (2) 底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”． 聚焦知识 知识整合·体系建构 题型突破·思维拓展 目标 1 指数式的求值与化简 1 【解析】 B 举题说法 题型突破·思维拓展 【解答】 1 举题说法 题型突破·思维拓展 指数幂运算的一般原则：(1) 负指数幂化成正指数幂的倒数．(2) 底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(3) 若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示． 总 结 提 炼 【解析】 14 举题说法 题型突破·思维拓展 变式2　(2)(2025·福州质检)牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)的关系式为y＝kerx(k，r为常数)．若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间约是______h． 【解析】 64 举题说法 题型突破·思维拓展 目标 2 指数函数的图象及应用 　　　(1)(多选)若函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列说法中正确的有 (　 　) A．a＞1　 B．0＜a＜1 C．b＞0　 D．b＜0 2 【解析】 　　　　因为函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第 一、三、四象限，所以其大致图象如图所示．由图象可知函数为增函数，所以a＞1．当x＝0时，y＝1＋b－1＝b＜0． AD 举题说法 题型突破·思维拓展 　　　(2)(2025·龙岩质检)已知f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有 (　　) A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．2－a＜2c D．1＜2a＋2c＜2 【解析】 　　　　画出f(x)＝|2x－1|的图象如图所示．对于A，当a＜0，b＜0，c＜0时，f(x)单调递减，得不到f(a)＞f(c)＞f(b)，故A错误； 对于B，如图，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则b可能小于零，也可能大于零，故B错误； 2 对于C，如图，当－a＞c＞0时，2－a＞2c，故C错误； 对于D，由图象可知，a＜0，c＞0，所以0＜2a＜1，2c＞1，又f(a)＞f(c)，所以1－2a＞2c－1，所以1＜2a＋2c＜2，故D正确． D 举题说法 题型突破·思维拓展 A．(3，9)　 B．(5，9)　 C．(5，11)　 D．(3，11) 【解析】 　　　　作出f(x)的图象如图所示，因为a＜b＜c且f(a)＝f(b)＝f(c)，由图象可得a∈(－∞，0)，b∈(0，1)，c∈(1，2)．因为f(a)＝f(b)，所以1－3a＝3b－1，即3a＋3b＝2．因为c∈(1，2)，所以3c∈(3，9)，则3a＋3b＋3c＝2＋3c∈(5，11)． C 举题说法 题型突破·思维拓展 目标 3 指数函数的性质及应用 视角1　单调性与最值 　　　　　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是 (　　) A．(－∞，－2]　 B．[－2，0) C．(0，2]　 D．[2，＋∞) 【解析】 3－1 D 举题说法 题型突破·思维拓展 【解析】 3－1 举题说法 题型突破·思维拓展 　　　　　(2025·宿迁期中)(多选)若定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是 (　　　) A．f(x)的单调递减区间是[0，1] B．f(x)的单调递增区间是[－1，1] C．f(x)的最大值是f(0)＝2 D．f(x)的最小值是f(1)＝－6 【解析】 3－1 ACD 举题说法 题型突破·思维拓展 视角2　比大小与解不等式 【解析】 3－2 A．c＜b＜a　 B．b＜a＜c C．c＜a＜b　 D．b＜c＜a C 举题说法 题型突破·思维拓展 A．(－∞，1)　 B．(1，＋∞) C．(－∞，－3)　 D．(－3，＋∞) 【解析】 　　　　当x＞0时，f(x)＝1－ex，－x＜0，f(－x)＝e－(－x)－1＝ex－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝e－x－1，－x＞0，f(－x)＝1－e－x＝－f(x)；且当x＝0时，f(x)＝0，所以f(x)为奇函数． 易知f(x)为R上的减函数，则f(2x)＋f(x－3)＞0⇔f(2x)＞－f(x－3)＝f(3－x)⇒2x＜3－x⇒x＜1，所以原不等式的解集为(－∞，1)． A 3－2 举题说法 题型突破·思维拓展 视角3　综合应用 【解答】 3－3 (1) 求f(x)的解析式； 举题说法 题型突破·思维拓展 【解答】 3－3 举题说法 题型突破·思维拓展 举题说法 题型突破·思维拓展 【解析】 A 随堂内化 题型突破·思维拓展 4 1 2 3 【解析】 B 随堂内化 题型突破·思维拓展 4 1 2 3 3．(2025·安庆二模)若函数f(x)＝a·2－|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，则 (　　) A．函数f(x)不具有奇偶性 B．a＝2 C．函数f(x)的值域为(－∞，2) D．函数f(x)的单调递增区间为[0，＋∞) 【解析】 　　　　因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，A错误； 由函数f(x)的图象过原点，有f(0)＝0，即a＋b＝0，所以f(x)＝a(2－|x|－1)．由于－1＜2－|x|－1≤0，f(x)的图象无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，故a＜0，且0≤a(2－|x|－1)＜－a，故a＝－2，B，C错误； D 随堂内化 题型突破·思维拓展 4 1 2 3 【解析】 2 随堂内化 题型突破·思维拓展 4 1 2 3 配套精练 一、单项选择题 1．已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则 (　　) A．a＞b＞c　 B．a＞c＞b C．b＞c＞a　 D．c＞b＞a 【解析】 　　　　方法一：由指数函数y＝0.3x在定义域内单调递减，得a＜b．由幂函数y＝x0.5在定义域内单调递增，得c＞b．综上，c＞b＞a． D 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 2．设函数f(x)＝3|a－2x|在区间(1，2)上单调递减，则a的取值范围是 (　　) A．(－∞，2]　 B．(－∞，4] C．[2，＋∞)　 D．[4，＋∞) 【解析】 　　　　函数y＝3x在R上单调递增，而函数f(x)＝3|a－2x|在区间(1，2)上单调递减，所以y＝|a－2x|在区间(1，2)上单调递减，所以a－2×2≥0，即a≥4． D 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 3．(2025·杭州期末)已知函数f(x)＝2x＋m·2－x(m∈R)是奇函数，则下列关系正确的是 (　　) A．f(1)＜f(2)　 B．f(1)＞f(2) 【解析】 A 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 4．(2025·漳州三模)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0e－kt，其中P0＞0，k＞0．若在前5 h内消除了10%的污染物，则15 h后污染物含量还剩余 (　　) A．70%　 B．85% C．81%　 D．72.9% 【解析】 D 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 A．(－∞，－1]　 B．(0，＋∞) C．(－1，0)　 D．(－∞，0) 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 【解析】 　　　　当x≤1时，f(x)＝ex－1＋x单调递增，故f(x)max＝e1－1＋1＝2； 因为f(1－x)＞f(2x)，所以1－x＞2x，即2x＋x－1＜0．设h(x)＝2x＋x－1，可知h(x)单调递增，且h(0)＝0，故x＜0． 【答案】 D 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 二、多项选择题 A．当λ＝1时，f(x)是偶函数，且在区间(0，1)上单调递增 B．当λ＝1时，f(x)是奇函数，且在区间(0，1)上单调递减 C．当λ＝－1时，f(x)是偶函数，且在区间(0，1)上单调递减 D．当λ＝－1时，f(x)是奇函数，且在区间(0，1)上单调递增 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 【解析】 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 【答案】 ABC 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 A．函数y＝f(x)有最小值0，无最大值 B．函数y＝f(x)的图象与直线y＝1有两个不同的交点 C．若f(a)＞f(c)＞f(b)，则2a＋2c＜2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 【解析】 　　　　由题意作出f(x)的图象如图(1)所示．对于A，当x＝0时，f(x)min＝0，无最大值，故A正确； 对于B，函数y＝f(x)的图象与直线y＝1只有一个交点，故B错误； 对于C，由a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)可知，a，b，c在图象中的位置如图(1)所示，f(a)＜1，且a＜0，f(c)＜1，且c＞0，则0＜c＜1，则0＜f(c)＜f(a)＜1，所以2c－1＜1－2a，所以2a＋2c＜2，故C正确； 图(1) 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 图(2) 【答案】 ACD 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 【解析】 　　　　当x＜0时，函数f(x)＝2x单调递增，值域为(0，1)．当0≤x≤1时，函数f(x)＝1－x单调递减，值域为[0，1]；当x≥1时，函数f(x)＝x－1单调递增，值域为[0，＋∞)． 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 令f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝t，x1＜x2＜x3，因此函数y＝f(x)的图象与直线y＝t有3个交点，显然0＜t＜1，作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝t如图所示，观察图象知x1＜0＜x2＜1＜x3，B正确； 【答案】 ABD 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 三、填空题 【解析】 a 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 【解析】 1 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 11．已知函数f(x)＝a·4x－3·2x－1(a∈R)，若关于x的方程f(x)＝(1－a)·2x＋3有解，则a的取值范围为_____________． 【解析】 (0，＋∞) 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 四、解答题 12．我们知道：设函数y＝f(x)的定义域为D，那么“函数y＝f(x)的图象关于原点成 中心对称图形”的充要条件是“∀x∈D，f(－x)＝－f(x)”．有同学发现可以将其推广为：设函数y＝f(x)的定义域为D，那么“函数y＝f(x)的图象关于点(m，n)成中心对称图形”的充要条件是“∀x∈D，f(2m－x)＋f(x)＝2n”． 【解答】 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 12．我们知道：设函数y＝f(x)的定义域为D，那么“函数y＝f(x)的图象关于原点成 中心对称图形”的充要条件是“∀x∈D，f(－x)＝－f(x)”．有同学发现可以将其推广为：设函数y＝f(x)的定义域为D，那么“函数y＝f(x)的图象关于点(m，n)成中心对称图形”的充要条件是“∀x∈D，f(2m－x)＋f(x)＝2n”． 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 【解答】 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 13．已知函数f(x)的图象可由函数y＝ax－1＋2(a＞0且a≠1)的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且f(2)＝16． (1) 求a的值； 【解答】 　　　　函数y＝ax－1＋2的图象向下平移2个单位长度后得到y＝ax－1的图象，再向左平移1个单位长度得到y＝ax的图象，所以f(x)＝ax．又f(2)＝a2＝16，所以a＝4(负值舍去)． 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 13．已知函数f(x)的图象可由函数y＝ax－1＋2(a＞0且a≠1)的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且f(2)＝16． 【解答】 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 13．已知函数f(x)的图象可由函数y＝ax－1＋2(a＞0且a≠1)的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且f(2)＝16． (3) 若函数y1＝|f(x)＋m|与y2＝|f(－x)＋m|在区间[1，2]上都是单调的，且单调性相同，求实数m的取值范围． 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 【解答】 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 $