第2章 第9讲 二次函数与幂函数（PPT课件）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦“二次函数与幂函数”核心考点，依据高考评价体系梳理了解析式、图象性质、幂函数定义及二次方程根的分布等考查要求，通过近五年考情分析明确二次函数单调性、幂函数参数求解等高频题型占比，构建知识网络与解题体系。 课件亮点在于“真题演练+思维建模”，如以2025年韶关质检幂函数题为例，提炼定义应用“三步法”，结合二次方程根的分布“四步法”解析，培养学生数学思维与逻辑推理能力。配套分层精练与易错点警示，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

第二章 第9讲　二次函数与幂函数 基本初等函数 1 知识整合·体系建构 【解析】 B 激活思维 知识整合·体系建构 A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．R 【解析】 B 激活思维 知识整合·体系建构 【解析】 [2，＋∞) 激活思维 知识整合·体系建构 4．已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，那么实数m的取值范围为____________． 【解析】 　　　　由题意得Δ＝4(m＋3)2－4×3×(m＋3)＝0，则m＝0或m＝－3，所以实数m的取值范围是{0，－3}． {0，－3} 激活思维 知识整合·体系建构 5．已知函数f(x)＝x2＋ax－1在区间[0，3]上有最小值－2，那么实数a＝________． 【解析】 －2 激活思维 知识整合·体系建构 1．二次函数解析式的三种形式 (1) 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2) 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3) 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 聚焦知识 知识整合·体系建构 2．二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象 (抛物线) 定义域 ______ 值域 _______________ _______________ R 聚焦知识 知识整合·体系建构 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 对称轴 x＝__________ 顶点坐标 ________________ 奇偶性 当b＝0时是______函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 偶 减 减 增 减 聚焦知识 知识整合·体系建构 3．幂函数的定义 一般地，函数_________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 4．幂函数的性质 (1) 幂函数在_____________上都有定义；(2) 幂函数的图象都过点__________； (3) 当α＞0时，幂函数的图象都过点__________与__________，且在(0，＋∞)上单调________；(4) 当α＜0时，幂函数的图象都________点(0，0)，在(0，＋∞)上单调________． y＝xα (0，＋∞) (1，1) (0，0) (1，1) 递增 不过 递减 聚焦知识 知识整合·体系建构 5．五种常见幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 聚焦知识 知识整合·体系建构 函数 y＝x y＝x2 y＝x3   y＝x－1 性质 单调性 在R上 单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上 单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1，1) 聚焦知识 知识整合·体系建构 题型突破·思维拓展 目标 1 幂函数 　　　(2026·太原期初)(多选)已知函数f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数，则(　　　) A．f(1)＝1　 B．m2＋m＝2 C．f(x)是偶函数 D．当f(2)＜2时，f(x)＝x－2 1 【解析】 　　　　由f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数知m2＋m－1＝1，解得m＝1或－2，所以f(x)＝x或f(x)＝x－2，所以f(1)＝1，m2＋m＝2，故A，B正确． 当m＝1时，f(x)＝x，f(x)是奇函数，故C错误． ABD 举题说法 题型突破·思维拓展 幂函数y＝xα的图象与性质一般从两个方面考查：(1) α的正负：当α＞0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．(2) 曲线在第一象限的凹凸性：当α＞1时，曲线下凹；当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＜0时，曲线下凹． 总 结 提 炼 变式1　(多选)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则下列说法正确的有 (　　　) A．f(x)为增函数 B．f(x)为偶函数 C．若x＞1，则f(x)＞1 举题说法 题型突破·思维拓展 【解析】 f(x)的定义域为[0，＋∞)，所以f(x)不具有奇偶性，B不正确； 【答案】 ACD 举题说法 题型突破·思维拓展 目标 2 二次函数的图象与性质 2－1 举题说法 题型突破·思维拓展 【解析】 举题说法 题型突破·思维拓展 【答案】 D 举题说法 题型突破·思维拓展 　　　　　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足f(x)＝0有两个实数根x1，x2． 【解答】 2－2 举题说法 题型突破·思维拓展 　　　　　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足f(x)＝0有两个实数根x1，x2． (2) 若f(0)＝1，f(1)＝0，记f(x)在x∈[－1，1]时的最小值为g(a)，求g(a)的表达式． 【解答】 2－2 举题说法 题型突破·思维拓展 举题说法 题型突破·思维拓展 总 结 提 炼 【解析】 4 举题说法 题型突破·思维拓展 变式2　(2) 函数y＝－x2＋2ax＋2，x∈[－1，3]的最小值ymin＝______________． 【解析】 举题说法 题型突破·思维拓展 变式2　(3) 已知f(x)＝x2－6x＋10在区间[a，a＋1]上的最大值为4，则实数a＝ ________________． 【解析】 举题说法 题型突破·思维拓展 目标 3 二次方程根的分布 　　　(1) 若关于x的二次方程mx2＋(2m－1)x－m＋2＝0(m＞0)的两个互异的实数根 都小于1，则实数m的取值范围是________________． 3 【解析】 举题说法 题型突破·思维拓展 　　　(2) 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，若方程有两根，其中一根在 区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围是____________． 3 【解析】 举题说法 题型突破·思维拓展 　　　(3) 已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是____________． 3 【解析】 　　　　显然a≠0，关于x的方程ax2＋x＋2＝0对应的二次函数为f(x)＝ax2＋x＋2(对开口方向进行讨论，分a＞0和a＜0)．①若a＞0，即图象开口向上，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f(0)＜0且f(1)＜0，即2＜0且a＋3＜0，则a∈∅(或由f(0)＝2，结合图象也可知a＞0不合题意)． ②若a＜0，即图象开口向下，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f(0)＞0且f(1)＞0，即2＞0且a＋3＞0，则－3＜a＜0．综上，实数a的取值范围是(－3，0)． (－3，0) 举题说法 题型突破·思维拓展 变式3　若方程x2＋ax－2＝0在区间[1，5]上有根，则实数a的取值范围为________. 【解析】 举题说法 题型突破·思维拓展 举题说法 题型突破·思维拓展 A．c＜b＜a　 B．c＜a＜b C．b＜c＜a　 D．a＜b＜c B 随堂内化 题型突破·思维拓展 4 1 2 3 2．(2025·韶关质检)已知幂函数f(x)＝(a－1)xn的图象过点(2，8)，且f(b－2)＜f(1－2b)，则b的取值范围是 (　　) A．(0，1)　 B．(1，2) C．(－∞，1)　 D．(1，＋∞) C 随堂内化 题型突破·思维拓展 4 1 2 3 3．若函数f(x)＝x2－2ax＋1－a在[0，2]上的最小值为－1，则a＝ (　　) 【解析】 　　　　函数f(x)＝x2－2ax＋1－a图象的对称轴为x＝a，图象开口向上，当a≤0时，函数f(x)在[0，2]上单调递增，则f(x)min＝f(0)＝1－a＝－1，解得a＝2，不符合a≤0； 当0＜a＜2时，f(x)min＝f(a)＝a2－2a2＋1－a＝－a2－a＋1＝－1，解得a＝－2或a＝1，又0＜a＜2，所以a＝1符合； D 随堂内化 题型突破·思维拓展 4 1 2 3 4．若方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一根在区间(1，2)上，则实数m的取值范围为______________． 【解析】 (－4，－2) 随堂内化 题型突破·思维拓展 4 1 2 3 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．如图，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是 (　　) A．n＜m＜0　 B．m＜n＜0 C．n＞m＞0　 D．m＞n＞0 A 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 2．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(1－x)＝f(x)，且f(x)的最大值是8，则此二次函数的解析式为f(x)＝ (　　) A．－4x2＋4x＋7　 B．4x2＋4x＋7 C．－4x2－4x＋7　 D．－4x2＋4x－7 【解析】 A 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 A．a＞b＞c　 B．b＞c＞a C．b＞a＞c　 D．c＞b＞a 【解析】 C 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 4．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax2＋x＋1和函数g(x)＝ax＋1的图象不可能是 (　　) 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 【解析】 　　　　若a＝0，则f(x)＝x＋1，g(x)＝1，A可能； 【答案】 C 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 二、多项选择题 B．f(x)的定义域是R C．f(x)是偶函数 D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1，1)∪(1，3] ACD 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 6．(2025·泉州质检)已知二次函数y＝(m－2)x2＋2mx＋m－3的图象与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)，则下列说法正确的是 (　　　) A．该二次函数的图象一定过定点(－1，－5) 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 【解析】 　　　　由y＝(m－2)x2＋2mx＋m－3可得y＝m(x＋1)2－2x2－3，当x＝－1时，y＝－5，故二次函数的图象一定过定点(－1，－5)，A正确； 【答案】 ABD 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 三、填空题 【解析】 (0，20] 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 【解析】 　　　　由于幂函数f(x)＝xp2－2p－3(p∈N*)在(0，＋∞)上单调递减，所以p2－2p－3＜0，解得－1＜p＜3．因为p∈N*，所以p＝1或p＝2．当p＝1时，f(x)＝x－4为偶函数，满足条件；当p＝2时，f(x)＝x－3为奇函数，不满足条件，则p＝1． (－1，4) 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 【解析】 　　　　若a≤1，如图(1)，则x＞1时，f(x)＝x－2a＋1，且单调递增，当x≤1时，f(x)＝x2－2ax＋3，则最小值为f(a)＝－a2＋3．若f(x)存在最小值－1，则有－a2＋3≤1－2a＋1且－a2＋3＝－1，得a＝－2． 图(1) 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 若a＞1，如图(2)，且1＜x＜a时，f(x)＝－x＋1，当x≥a＞1时，f(x)＝x－2a＋1，当x≤1时，f(x)＝x2－2ax＋3，且单调递减，f(1)＝4－2a，f(a)＝1－a．若最小值为f(1)，则4－2a＝－1，且4－2a≤1－a，无解；若最小值为f(a)，则1－a＝－1，且4－2a＞1－a，解得a＝2．综上所述，a＝－2或a＝2． 图(2) 【答案】 ±2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 四、解答题 10．求实数m的取值范围，使关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0分别满足下列条件： (1) 有两个实根，且一个比2大，一个比2小； (2) 有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β＜4； (3) 至少有一个正根． 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 【解答】 　　　　设y＝f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6． (1) 依题意有f(2)＜0，即4＋4(m－1)＋2m＋6＜0，得m＜－1，即实数m的取值范围为(－∞，－1)． 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 ②有一个正根，一个负根，此时可得f(0)＜0，得m＜－3； 综上，实数m的取值范围为(－∞，－1]． 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 11．已知二次函数f(x)满足f(x＋2)－f(x)＝4x＋6，且f(－1)＝0． (1) 求f(x)的解析式； 【解答】 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 11．已知二次函数f(x)满足f(x＋2)－f(x)＝4x＋6，且f(－1)＝0． (2) 记g(x)＝f(x)－x2－|2x－m|，m∈R，当x∈[m，m＋2]时，求g(x)的最大值(用m表示)． 【解答】 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 12．(2026·镇江期初)已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)． (1) 若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值； 【解答】 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 12．(2026·镇江期初)已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)． (2) 若g(x)＝| f(x)|＋f(|x|)，对任意的x∈[－1，1]，g(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围． 【解答】 　　　　由f(x)＝x2－2ax＋5可知，对称轴为x＝a，在[－1，1]上单调递减，f(－1)＝1＋2a＋5＝6＋2a，由a＞1可知f(－1)＞0恒成立，当f(1)＝1－2a＋5＝6－2a＞0时，即1＜a＜3，f(x)在[－1，1]上恒大于零，则此时g(x)＝| f(x)|＋f(|x|)＝f(x)＋f(|x|)，因为当x∈[－1，1]时，|x|∈[0，1][－1，1]，故f(x)＞0且f(|x|)＞0，对任意x∈[－1，1]都有g(x)＞0恒成立； 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 当a＝3时，f(1)＝0，则g(1)＝| f(1)|＋f |(1)|＝0，不符合题意； 当a＞3时，因为f(0)＝5＞0且f(1)＝6－2a＜0，所以存在t∈(0，1)，使f(t)＝0，则当t＜x＜1时，f(x)＜0，| f(x)|＝－f(x)，此时g(x)＝| f(x)|＋f(|x|)＝－f(x)＋f(x)＝0，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为(1，3)． 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 B组　创新题体验 13．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝x|x－a|－2a2，若当x＞2时，f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围是 (　　) A．(－∞，1]　 B．[－2，1] C．[－1，2]　 D．[－1，＋∞) 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 【解析】 当0＜a≤2，x＞2时，由f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)＞0，解得x＞2a．由于x＞2时，f(x)＞0，故2a≤2，解得0＜a≤1； 当a＝0，x＞2时，f(x)＝x2＞0恒成立，符合题意； 当a＜0，x＞2时，由f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)＞0，解得x＞－a，由于x＞2时，f(x)＞0，故－a≤2，解得－2≤a＜0． 综上，－2≤a≤1． 【答案】 B 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 【解析】 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 在上单调递______； 在上单调递______ y＝x y＝x 【答案】 　　　　当c＝0，即x∈[－2，0]时，f(x)∈；当x∈(0，3]时，f(x)∈，所以f(x)的值域为．作出y＝x2＋x和y＝的图象如图所示，当f(x)＝－时，x＝－；当x2＋x＝2时，解得x＝1或x＝－2；当＝2时，x＝，由图象可知当f(x)的值域为时，需满足≤c≤1． 【答案】 $