第1章 第4讲 不等式的性质（PPT课件）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦“不等式的性质”专题，覆盖不等式性质、一元二次不等式解法、恒成立问题等核心考点，对接高考评价体系，分析“三个二次关系”“含参不等式”等高频考点权重，归纳比大小、求取值范围等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题情境+思维建模+素养提升”，以2025年黄冈调研题为例，通过“待定系数法求取值范围”“穿根法解分式不等式”等技巧，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。特设“易错陷阱警示”和“变式训练”，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

第一章 第4讲　不等式的性质 集合与常用逻辑用语、不等式 1 知识整合·体系建构 1．(教材经典题)下列命题为真命题的是 (　　) A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 B 2．(教材经典题)不等式－3x2＋5x－4＞0的解集为______． ∅ 激活思维 知识整合·体系建构 【解析】 (－3,0] 激活思维 知识整合·体系建构 4．(教材经典题改编)已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，则a＋2b的取值范围为__________． 【解析】 　　　　因为－2＜b＜－1，所以－4＜2b＜－2．又2＜a＜3，所以－2＜a＋2b＜1． (－2,1) 激活思维 知识整合·体系建构 5．(教材经典题)火车站有某公司待运的甲种货物1 530 t，乙种货物1 150 t．现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物．已知35 t甲种货物和15 t乙种货物可装满一节A型货厢，25 t甲种货物和35 t乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有_____种方案；若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，选用最节约成本的方案，运费为______万元． 31 激活思维 知识整合·体系建构 【解析】 【答案】 3 　31 激活思维 知识整合·体系建构 1．不等式的性质 (1) 传递性：a＞b，b＞c⇒_________． (2) 可加性：a＞b⇔_______________． (3) 可乘性：a＞b，c＞0⇒___________；a＞b，c＜0⇒__________． (4) 同向可加性：a＞b，c＞d⇒__________________． (5) 同向同正可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒___________． (6) 同正可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)． a＞c a＋c＞b＋c ac＞bc ac＜bc a＋c＞b＋d ac＞bd 聚焦知识 知识整合·体系建构 聚焦知识 知识整合·体系建构 2．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集 设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为x1，x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解集的各种情况如下表：   Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实数根 无实数根 聚焦知识 知识整合·体系建构 (续表注意：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点．   Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 ___________________ ______ ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集  ___________________ ______ ______ {x|x＜x1或x＞x2} R {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 聚焦知识 知识整合·体系建构 题型突破·思维拓展 目标 1 不等式的性质 视角1　比大小 　　　　　(1)(多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一定成立的是 (　　　) A．ac(a－c)＞0　 B．c(b－a)＜0 C．cb2＜ab2　 D．ab＞ac 【解析】 　　　　因为a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，所以c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b－a＞0，所以ac(a－c)＜0，c(b－a)＜0，cb2＜ab2，ab＞ac． BCD 1－1 举题说法 题型突破·思维拓展 　　　　　(2)(2025·黄冈期初调研)(多选)已知c＜0＜b＜a，则 (　　　) A．ac＋b＜bc＋a　 B．b3＋c3＜a3 【解析】 　　　　因为a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，所以c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b－a＞0，所以ac(a－c)＜0，c(b－a)＜0，cb2＜ab2，ab＞ac． 1－1 ABD 举题说法 题型突破·思维拓展 判断不等式的常用方法 (1) 利用不等式的性质逐个验证； (2) 利用特殊值法排除错误选项； (3) 作差(商)法； (4) 构造函数，利用函数的单调性． 总 结 提 炼 视角2　求代数式的取值范围 　　　　 (1) 已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，那么a＋3b的取值范围为_________. 【解析】 1－2 举题说法 题型突破·思维拓展 　　　　　(2) 若实数x，y，z≥0，且x＋y＋z＝4，2x－y＋z＝5，则M＝4x＋3y＋5z的取值范围是____________． 【解析】 1－2 [15，19] 举题说法 题型突破·思维拓展 求代数式的取值范围时应注意的事项 在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体的范围． 总 结 提 炼 目标 2 解不等式 视角1　不含参的不等式 　　　　　解下列关于x的不等式． (1) －6x2－5x＋1＜0； 【解答】 2－1 举题说法 题型突破·思维拓展 　　　　　解下列关于x的不等式． 【解答】 2－1 举题说法 题型突破·思维拓展 　　　　　解下列关于x的不等式． 【解答】 2－1 举题说法 题型突破·思维拓展 (2) 简单的绝对值不等式：|x|＞a(a＞0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|＜a(a＞0)的解集为(－a，a)． (3) 解高次不等式，先分解成若干个因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正，然后将每一个根标在数轴上，再从最大根的右上方依次穿过每一个奇数次根，但不穿过偶数次根． 总 结 提 炼 视角2　含参的一元二次不等式 　　　　　解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R)． 【解答】 　　　　若a＝0，则原不等式转化为－x＋1＜0，解得x＞1． 2－2 举题说法 题型突破·思维拓展 举题说法 题型突破·思维拓展 目标 3 三个二次之间的关系 　　　(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－2或x≥3}，则下列说法正确的是 (　 　) A．a＜0 B．ax＋c＞0的解集为{x|x＞6} C．8a＋4b＋3c＜0 3 举题说法 题型突破·思维拓展 【解析】 【答案】 AD 举题说法 题型突破·思维拓展 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系： (1) 若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系． (2) 若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范围． 总 结 提 炼 变式3　(1)(多选)若关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1，3)，则下列说法正确的是 (　　　) A．a＞0 D．a＋b＜c 举题说法 题型突破·思维拓展 【解析】 【答案】 BCD 举题说法 题型突破·思维拓展 变式3　(2) 已知二次函数y＝x2－2ax＋b2的最小值为0，若关于x的不等式x2－2ax＋b2＜c的解集为(t，t＋4)，则实数c的值为_____． 【解析】 4 举题说法 题型突破·思维拓展 目标 4 一元二次不等式恒成立问题 　　　(1) 如果关于x的不等式ax2－ax＋1≥0恒成立，那么实数a的取值范围为____________． 4 【解析】 [0，4] 举题说法 题型突破·思维拓展 　　　(2) 若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1，3]恒成立，则a的最小值为_______． 【解析】 4 －4 举题说法 题型突破·思维拓展 　　　(3)(变更主元)若命题“∃a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a＜0”为假命题， 则实数x的取值范围为__________________． 【解析】 4 举题说法 题型突破·思维拓展 (1) 解决恒成立问题时可以利用分离参数法，一定要弄清楚谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数． 注意：对于不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)，求解时不要忘记a＝0时的情形． (3) 解决不等式在给定区间上的恒成立问题，可先求出相应函数在这个区间上的最值，再转化为与最值有关的不等式问题． 总 结 提 炼 变式4　已知函数f(x)＝x2＋ax＋3． (1) 当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； 【解答】 　　　　因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，所以Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，所以实数a的取值范围是[－6，2]． 举题说法 题型突破·思维拓展 变式4　已知函数f(x)＝x2＋ax＋3． (2) 当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； 【解答】 举题说法 题型突破·思维拓展 举题说法 题型突破·思维拓展 变式4　已知函数f(x)＝x2＋ax＋3． (3) 当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围． 【解答】 举题说法 题型突破·思维拓展 1．(2025·临汾二模)若3≤a≤5，－2≤b≤1，则2a－b的取值范围是 (　　) A．[8，9]　 B．[4，8] C．[5，8]　 D．[5，12] D 随堂内化 题型突破·思维拓展 4 1 2 3 A．{x|－2≤x≤1}　 B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x＜1}　 D．{x|x＞1} C 随堂内化 题型突破·思维拓展 4 1 2 3 3．设a为实数，若关于x的不等式x2－ax＋7≥0在区间(2，7)上有实数解，则a的取值范围是 (　　) A．(－∞，8)　 B．(－∞，8] 【解析】 A 随堂内化 题型突破·思维拓展 4 1 2 3 4．(2025·三门峡期末)(多选)下列命题中，真命题是 (　 　) A．若a＞b＞0，c∈N，则ac2＞bc2 B．若a＜b，则a3＜b3 随堂内化 题型突破·思维拓展 4 1 2 3 【解析】 　　　　对于A，若a＞b＞0，c∈N，当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误； 对于B，由于y＝x3在R上单调递增，a＜b，则a3＜b3，故B正确； 【答案】 BC 随堂内化 题型突破·思维拓展 4 1 2 3 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．设a，b均为非零实数且a＜b，则下列结论中正确的是 (　　) 【解析】 D 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 【解析】 D 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 3．(2025·济宁调研改)已知实数a，b满足a＞b2＋1，则下列不等关系不一定正确的是 (　　) A．a＞2b　 B．a＞2b＋1 C．a＞b－1　 D．2a＞b2－b＋1 【解析】 　　　　对于A，(b2＋1)－2b＝(b－1)2≥0，所以a＞b2＋1≥2b，则a＞2b，故A正确；对于B，(b2＋1)－(2b＋1)＝b2－2b，正负无法确定，取a＝2.5，b＝1，则满足a＞b2＋1＝2，但a＜2b＋1＝3，故B错误； B 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 A．2　 B．－2 C．1　 D．－1 【解析】 C 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 二、多项选择题 5．(2025·茂名一模)下列命题正确的是 (　　　) A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＜b＜0，则b2＜ab＜a2 D．若2＜a＋b＜3，－1＜a－b＜2，则3＜3a＋b＜8 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 【解析】 　　　　对于A，取a＝1，b＝－2，满足a＞b，但是a2＜b2，故A错误； 对于B，因为a＜b＜0，不等式两边同时乘以负数a，则a2＞ab，不等式两边同时乘以负数b，则ab＞b2，所以b2＜ab＜a2，故B正确； 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 【答案】 BCD 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 A．a＞0　 B．c＜0 C．a＋b＞0 D．关于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为(－3，－1) 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 【解析】 不等式cx2＋bx＋a＞0即为cx2－4cx＋3c＞0⇒x2－4x＋3＜0，解得1＜x＜3，故D错误． 【答案】 BC 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 【解析】 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 【答案】 ABD 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 【解析】 (－∞，－1)∪(1，5) 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 【解析】 　　　　由x2－x－2＞0，得x＞2或x＜－1．由x2＋(3－k)x－3k＜0，得(x＋3)(x－k)＜0，当k＝－3时，(x＋3)2＜0，无解，不合题意； 当k＜－3时，k＜x＜－3，则原不等式组的解集中不包含－2，不合题意； 当k＞－3时，－3＜x＜k，因为原不等式组的解集中只有一个整数－2，如图，结合数轴可知，－2＜k≤3，k∈Z，所以k∈{－1，0，1，2，3}． {－1，0，1，2，3} 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 【解析】 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 四、解答题 11．已知函数f(x)＝x2－(a－2)x＋4． (1) 求关于x的不等式f(x)≥4＋2a的解集； 【解答】 　　　　由f(x)≥4＋2a，得x2－(a－2)x－2a≥0．令x2－(a－2)x－2a＝0，可得x＝－2或x＝a，所以当a＜－2时，原不等式的解集为(－∞，a]∪[－2，＋∞)；当a＝－2时，原不等式的解集为R；当a＞－2时，原不等式的解集为(－∞，－2]∪[a，＋∞)． 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 11．已知函数f(x)＝x2－(a－2)x＋4． (2) 若对任意的x∈[1，6]，f(x)－2a＋14≥0恒成立，求实数a的取值范围． 【解答】 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 12．已知函数f(x)＝(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1． (1) 当m＜0时，解关于x的不等式f(x)≥3x＋m－2； 【解答】 　　　　不等式f(x)≥3x＋m－2即(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1≥3x＋m－2，可化简为(m＋1)x2－(m＋2)x＋1≥0．①当m＝－1时，x≤1． 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 12．已知函数f(x)＝(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1． (2) 若不等式f(x)≥x2＋2x对一切x∈[0，2]恒成立，求实数m的取值范围． 【解答】 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－4有且仅有一个公共点，且不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为[－1，3]． (1) 求此二次函数的解析式； 【解答】 　　　　由不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为[－1，3]，得a＞0且－1，3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，因此ax2＋bx＋c＝a(x＋1)(x－3)，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，其对称轴为x＝1．而该函数的图象与直线y＝－4有且仅有一个公共点，则y＝a(x＋1)(x－3)图象的顶点为(1，－4)，于是－4＝－4a，解得a＝1，所以此二次函数的解析式为y＝(x＋1)(x－3)，即y＝x2－2x－3． 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－4有且仅有一个公共点，且不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为[－1，3]． (2) 若关于x的不等式ax2＋bx＋c＜(m－1)x－m－3的解集中恰有一个正整数，求实数m的取值范围； 【解答】 　　　　由(1)知不等式ax2＋bx＋c＜(m－1)x－m－3为x2－2x－3＜(m－1)x－m－3，整理得x2－(m＋1)x＋m＜0，即(x－1)(x－m)＜0．依题意，不等式(x－1)(x－m)＜0的解集中恰有一个正整数，则m≠1． 当m＜1时，解得m＜x＜1，即不等式的解集为(m，1)，此时解集中不含正整数，故舍去． 当m＞1时，解得1＜x＜m，不等式的解集为(1，m)，要使解集中恰有一个正整数，则2＜m≤3，所以实数m的取值范围是(2，3]． 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－4有且仅有一个公共点，且不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为[－1，3]． (3) ∀m∈[0，2]，不等式ax2＋bx＋c＜(m－2)x恒成立，求实数x的取值范围． 【解答】 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 B组　能力提升练 【解析】 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 15．已知集合M＝{ x∈Z|a≤x≤2a－1}，若集合M有15个真子集，则实数a的取值范围为______________________． 【解析】 　　　　若集合M有15个真子集，则M中有4个元素，又M＝{ x∈Z|a≤x≤2a－1}，可知a＜2a－1，即a＞1，且区间[a，2a－1]中有4个整数．当1＜a＜4时，[a，2a－1]的区间长度为2a－1－a＝a－1＜3，此时[a，2a－1]中不可能有4个整数． 当a＝4时，[a，2a－1]＝[4，7]，其中含有4，5，6，7共4个整数，符合题意． 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 若a＝5，[a，2a－1]＝[5，9]，其中含有5，6，7，8，9五个整数，不符合题意； 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 10．定义区间(m，n)，[m，n]，(m，n]，[m，n)的长度均为n－m，其中n＞m．若不 等式组的解集中各区间长度和等于8，则实数t的取值范围是_____________________． 【答案】∪[9，＋∞) 【答案】∪∪{4} $