第1章 第1讲 集合及其运算（PPT课件）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦“集合及其运算”核心考点，依据高考评价体系梳理了集合的概念、关系、运算及元素性质等考查要求，通过教材经典题改编和模拟题分析，明确集合关系判断、参数取值范围等高频考点，归纳元素性质、集合运算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+技巧指导”，如通过元素互异性求解集合相等问题，用数轴法分析子集参数范围，培养学生数学思维和逻辑推理能力。配套精练含2025-2026年模拟题，助力学生掌握答题技巧，教师可据此系统开展复习，提升备考效率。

第一章 第1讲　集合及其运算 集合与常用逻辑用语、不等式 1 知识整合·体系建构 1．(教材经典题改编)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论错误的是 (　　) A．1∈A　 B．{－1}⊆A C．∅⊆A　 D．{－1,1}∉A D 激活思维 知识整合·体系建构 2．(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2＜2x≤8}，则下列判断正确的是 (　 　) A．A∪B＝B B．(∁RB)∪A＝{x|x≤2或x＞3} C．A∩B＝{x|1＜x≤2} D．(∁RB)∪(∁RA)＝R BC 激活思维 知识整合·体系建构 3．(教材经典题改编)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝_____． 【解析】 　　　　因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A．当a＋2＝3，即 a＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意． 当a＋2＝a2时，a＝－1或a＝2，经检验a＝－1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意； a＝2时，A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合题意．综上，实数a＝2． 2 激活思维 知识整合·体系建构 4．(教材经典题改编)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为_____________． 【解析】 　　　　由B⊆A，利用数轴分析法(如图)，可知a≥2． [2，＋∞) 激活思维 知识整合·体系建构 1．集合与元素 (1) 集合中元素的三个特性：__________、__________、__________． (2) 元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3) 集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4) 常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N N*或N＋ Z Q R C 确定性 互异性 无序性 聚焦知识 知识整合·体系建构 2．集合间的基本关系 关系 定义 记法 相等 集合A与B的所有元素都相同 A＝B 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B或B⊇A 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB 注意：若集合A中含有n(n≥1)个元素，则集合A有______个子集，________个真子集． 2n 2n－1 聚焦知识 知识整合·体系建构 3．集合的基本运算   集合的并集A∪B 集合的交集A∩B 集合的补集∁UA 图形 表示 意义 {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A} 聚焦知识 知识整合·体系建构 4．常见结论与等价关系 (1) A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A． (2)(∁UA)∪A＝______；∁U(∁UA)＝______． (3) 摩根定律：∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． U A 聚焦知识 知识整合·体系建构 题型突破·思维拓展 目标 1 集合中元素的性质 　　　(1)(多选)下列关于集合相等的说法正确的有 (　 　) 1 举题说法 题型突破·思维拓展 【解析】 【答案】 AC 举题说法 题型突破·思维拓展 【解析】 1 0 举题说法 题型突破·思维拓展 【解析】 1 　　　(3) 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．若A中只有一个元素，则a＝________；若A中至少有一个元素，则a的取值范围为____________． 0或1 (－∞，1] 举题说法 题型突破·思维拓展 (1) 集合中的元素最重要的性质是互异性． 总 结 提 炼 变式1　已知集合A＝{1，m，n}，B＝{m2，m，mn}．若A＝B，则m2 026·n2 027＝ (　　) A．－1　 B．0 C．1　 D．2 【解析】 B 举题说法 题型突破·思维拓展 目标 2 集合间的关系 　　　(1)(2025·南阳期末)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{y| y＝x2－x－6，x∈M }，则集合N的真子集个数为 (　　) A．7　 B．8 C．15　 D．16 (2)(2025·赣州一模)已知集合A＝{x| x2－2x－3＜0}，B＝{x|3x－a＜0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是 (　　) A．(9，＋∞)　 B．[9，＋∞) C．(－∞，－3)　 D．(－∞，－3] 2 A B 举题说法 题型突破·思维拓展 A．M＝N⊆P　 B．M⊆N＝P C．M＝P⊆N　 D．N⊆P⊆M 【解析】 B 举题说法 题型突破·思维拓展 判断集合间关系的三种方法 (1) 列举法； (2) 数轴法； (3) 结构法：从元素的结构特点入手，化简变形后找差异． 总 结 提 炼 变式2　已知集合A＝{x|x＜－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是 (　　) 举题说法 题型突破·思维拓展 【解析】 　　　　因为B⊆A，所以①若B＝∅，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意． 【答案】 A 举题说法 题型突破·思维拓展 目标 3 集合间的运算 视角1　集合的基本运算 　　　　　(1)(多选)已知全集U＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，集合A＝{x∈Z|x2－x＜6}，B＝{－2，0，1，3}，则下列方式中可表示图中阴影部分的是 (　　　) A．{－1,2}　 B．∁(A∪B)B C．A∩(∁UB)　 D．(∁UA)∩(∁UB) 【解析】 3－1 ABC 举题说法 题型突破·思维拓展 【解析】 　　　　根据题意画出韦恩图如图所示，由图可知A＝{1,2,3,4}． 3－1 D 举题说法 题型突破·思维拓展 (1) 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (2) 注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图． 总 结 提 炼 D 举题说法 题型突破·思维拓展 视角2　利用集合运算求参数 3－2 举题说法 题型突破·思维拓展 【解析】 举题说法 题型突破·思维拓展 【解析】 　　　　当a≤1时，A＝∅，满足A∩B＝∅．当a＞1时，A≠∅，由A∩B＝∅，可知1＜a≤2．综上，a≤2． D A．(－∞，1)　 B．(－∞，2) C．(－∞，1]　 D．(－∞，2] 举题说法 题型突破·思维拓展 目标 4 集合新定义问题 　　　(多选)设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x－x0|＜a，那么称x0为集合X的聚点，用Z表示整数集，则下列集合中以0为聚点的是 (　 　) 4 举题说法 题型突破·思维拓展 【解析】 举题说法 题型突破·思维拓展 对于D，对于某个a＜1，比如a＝0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x－0|＝0或者|x－0| ≥1，也就是说不可能0＜|x－0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点． 【答案】 BC 举题说法 题型突破·思维拓展 此类题的关键是读懂新定义的意义，在领会新定义的基础上，可通过举例的方法明晰新定义的内涵和外延，将其运用到新的情境中，进而对结论作出判断． 总 结 提 炼 A．数域必含有0,1两个数 B．整数集是数域 C．若有理数集Q⊆M，则数集M一定是数域 D．数域中有无限多个元素 举题说法 题型突破·思维拓展 【解析】 【答案】 AD 举题说法 题型突破·思维拓展 1．(2025·广州一模) 已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|x2－2x≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是 (　　) A．(0,2)　 B．(0,2] C．(2，＋∞)　 D．[2，＋∞) D 随堂内化 题型突破·思维拓展 4 1 2 3 A．∁U(M∩N)　 B．∁U(M∪N) C．M∪(∁UN)　 D．N∪(∁UM) 【解析】 B 随堂内化 题型突破·思维拓展 4 1 2 3 3．(2025·漳州三模)已知集合A＝{x|2x－1＜0}，B＝{x|ex＜2}，则 (　　) C．A∪(∁RB)＝R D．B∪(∁RA)＝R 随堂内化 题型突破·思维拓展 4 1 2 3 【解析】 【答案】 D 随堂内化 题型突破·思维拓展 4 1 2 3 4．某班有38名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知有27人参加数学小组，有16人参加物理小组，有14人参加化学小组，同时参加数学和物理小组的有7人，同时参加物理和化学小组的有5人，则同时参加数学和化学小组的有_____人． 【解析】 　　　　设同时参加数学和化学小组的有x人．因为有16人参加物理小组，所以只参加物理一科的有16－7－5＝4人．因为有27人参加数学小组，所以只参加数学一科的有27－7－x＝(20－x)人．因为有14人参加化学小组，所以只参加化学一科的有14－5－x＝(9－x)人．画出Venn图如图所示，因为总参加人数为38，所以27＋4＋5＋9－x＝38，解得x＝7，故同时参加数学和化学小组的有7人． 7 随堂内化 题型突破·思维拓展 4 1 2 3 配套精练 一、单项选择题 1．(2025·全国Ⅰ卷)设全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1,3,5}，则∁UA中元素个数为 (　　) A．0　 B．3 C．5　 D．8 C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 2．(2025·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{－4,0,1,2,8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　　) A．{0,1,2}　 B．{1,2,8} C．{2,8}　 D．{0,1} D 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 4．(2025·南京、盐城一模)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|x＋a≤0}．若A⊆B，则实数a的取值范围是 (　　) A．(－∞，2)　 B．(－∞，2] C．(－∞，－2)　 D．(－∞，－2] 【解析】 　　　　由x2－4≤0可得A＝[－2,2]，由x＋a≤0可得B＝(－∞，－a]，又A⊆B，所以2≤－a，即a≤－2． D 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 【解析】 【答案】 B 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 【解析】 D 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 7．已知全集U＝{x∈N*|－2＜x＜9}，M＝{3,4,5}，P＝{1,3,6}，则(∁UM)∩(∁UP)是 (　　) A．{2,7,8}　 B．{2,3,4,5,7,8} C．{1,2,4,5,6,7,8}　 D．{1,2,3,6,7,8} 【解析】 　　　　由题知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，M＝{3，4，5}，P＝{1，3，6}，则∁UM＝{1，2，6，7，8}，∁UP＝{2，3，4，5，7，8}，所以(∁UM)∩(∁UP)＝{2，7，8}． A 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 8．(2025·保定二模)若集合A＝{(x，y)|y＝(x－1)(x－5)}，B＝{(x，y)|y2＝4x}，则A∩B的真子集的个数为 (　　) A．3　 B．4 C．7　 D．15 【解析】 D 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 A．{1，3，4}为“权集” B．{1，2，3，6}为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 【解析】 由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误；易知{2,3,6}是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误． B 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 10．某校田径运动会上，共有12名同学参加100米、400米、1 500米三个项目，其中有8人参加100米比赛，有7人参加400米比赛，有5人参加1 500米比赛，100米和400米都参加的有4人，100米和1 500米都参加的有3人，400米和1 500米都参加的有3人，则下列说法不正确的是 (　　) A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1 500米比赛的有1人 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 【解答】 　　　　根据题意，设A＝{x|x是参加100米比赛的同学}，B＝{x|x是参加400米比赛的同学}，C＝{x|x是参加1 500米比赛的同学}，则card(A)＝8，card(B)＝7，card(C)＝5，且card(A∩B)＝4，card(A∩C)＝3，card(B∩C)＝3，则card(A∩B∩C)＝12－[(8＋7＋5)－(4＋3＋3)]＝2，所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，只参加400米比赛的有2人，只参加1 500米比赛的有1人． 【答案】 C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 【解析】 【答案】 BCD 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 12．若非空集合M，N，P满足M∩N＝N，M∪P＝P，则 (　 　) A．P⊆M　 B．M∩P＝M C．N∪P＝P　 D．M∩(∁PN)＝∅ 【解析】 　　　　由M∩N＝N得N⊆M．由M∪P＝P得M⊆P，推不出P⊆M，故A错误；由M⊆P可得M∩P＝M，故B正确； 因为N⊆M且M⊆P，所以N⊆P，则N∪P＝P，故C正确；由N⊆M可得M∩(∁PN)不一定为空集，故D错误． BC 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 13．我们知道，若集合A⊆S，那么A的补集为∁SA＝{x|x∈S且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫做集合A和B的差集，记作A－B．例如：A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,6,7,8}，则有A－B＝{1,2,3}，B－A＝{6,7,8}．下列说法正确的有 (　 　) A．若A＝{4,5,6,7,9}，B＝{3,5,6,8,9}，则B－A＝{3,7,8} B．如果A－B＝∅，那么A⊆B C．已知全集U，集合A，集合B的关系如图所示，则B－A＝ A∩(∁UB) D．已知A＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{x|－2≤x＜4}，则A－B＝{x|x＜－2或x≥4} 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 【解析】 　　　　对于A，由B－A＝{x|x∈B且x∉A}，知B－A＝{3,8}，故A错误；对于B，由A－B＝{x|x∈A且x∉B}＝∅，知A⊆B，故B正确； 对于C，由Venn图知B－A如图中阴影部分所示，则B－A＝B∩(∁UA)，故C错误；对于D，∁RB＝{x|x＜－2或x≥4}，则A－B＝A∩(∁RB)＝{x|x＜－2或x≥4}，故D正确． 【答案】 BD 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 14．设集合S为实数集R的非空子集，若对任意x∈S，y∈S，都有(x＋y)∈S，(x－y) ∈S，xy∈S，则称集合S为“完美集合”．下列命题正确的是 (　 　) A．若S为“完美集合”，则一定有0∈S B．“完美集合”一定是无限集 D．若S为“完美集合”，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是“完美集合” 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 【解析】 　　　　对于A，若S为“完美集合”，则对任意的x∈S,0＝(x－x)∈S，A正确； 【答案】 AC 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 三、填空题 15．已知集合M＝{x|x2－2x－3≤0}，N＝{x|y＝ln(x－4)}，则(∁RM)∩N＝___________． (4，＋∞) 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 16．(2025·漳州二模)已知集合A＝{x|log2x＜2}，B＝{x|1＋a＜x＜2a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________________________． 【解析】 　　　　因为log2x＜2，所以0＜x＜4，所以A＝(0,4)．当B＝∅，即1＋a≥2a－1时，解得a≤2，满足A∩B＝∅，符合题意． (－∞，2]∪[3，＋∞) 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 【解析】 　　　　 由1∈(A∩B)可知，1∈B，则1－3＋m＝0，解得m＝2，所以B＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{x|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}． 8 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 20．用[A]表示非空集合A中元素的个数，已知A＝{1,2}，B＝{x|(ax2＋x)(x2＋ax＋2)＝0}，且|[A]－[B]|＝1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则S＝______________. 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 16 13 14 15 17 18 19 20 配套精练 【答案】(1) (2)∪{6} $