第7章 第39讲 空间直角坐标系与空间向量（PPT课件）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“空间直角坐标系与空间向量”专题，依据高考评价体系梳理了空间向量线性运算、数量积、空间位置关系证明三大核心考点，通过教材经典题改编与高考真题分析，明确了共线共面判断、线面垂直证明等高频题型的考查权重，构建了“定理梳理-题型突破-精练巩固”的系统复习框架。 课件亮点在于“真题导向+素养渗透”的备考设计，如以2025新高考Ⅰ卷正三棱柱多选题为实例，运用基底法和坐标法突破空间位置关系证明，培养学生的逻辑推理与数学运算素养。特设“易错点警示”和“解题模板”，通过例2中AC₁长度计算等典型题解析，帮助学生掌握向量法在立体几何中的应用技巧，教师可据此开展针对性教学，提升复习效率。

第七章 立体几何 第39讲　空间直角坐标系与空间向量 1 知识梳理　体系构建 1．(教材经典题改编)已知点M在z轴上，且点M到点A(1，0，2)与到点B(1，－3，1)的距离相等，则点M的坐标是 (　　) A．(0，0，3)　　　　 B．(0，0，2) C．(0，0，－2)　　　　 D．(0，0，－3) 【解析】 D 激活思维 知识梳理　体系构建 【解析】 B 激活思维 知识梳理　体系构建 l∥α或l⊂α 激活思维 知识梳理　体系构建 4．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共 面，则实数λ＝_____． 【解析】 激活思维 知识梳理　体系构建 【解析】 10 激活思维 知识梳理　体系构建 1． 空间向量中的有关定理 (1) 共线向量定理 空间中两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得________． (2) 共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：____________，其中x，y∈R，a，b为不共线的向量． (3) 空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得________________，{a，b，c}叫做空间中的___________． a＝λb p＝xa＋yb p＝xa＋yb＋zc 一个基底 聚焦知识 知识梳理　体系构建 2．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 聚焦知识 知识梳理　体系构建 3．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔m·n＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 聚焦知识 知识梳理　体系构建 聚焦知识 知识梳理　体系构建 题型突破　能力进阶 目标 1 空间向量的线性运算及共线、共面定理 1－1 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 【答案】C 　　　　根据共线定理推论，系数2－1＝1，所以P，A，B三点共线，命题①正确； 举题说法 题型突破　能力进阶 【解答】 1－2 举题说法 题型突破　能力进阶 【解答】 1－2 举题说法 题型突破　能力进阶 应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较 总 结 提 炼 目标 2 空间向量数量积的运算及应用 　　　如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°. (1) 求AC1的长； 2 【解答】 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°. (2) 求证：AC1⊥BD； 2 【解答】 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°. (3) 求BD1与AC夹角的余弦值． 2 【解答】 举题说法 题型突破　能力进阶 空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算． 总 结 提 炼 变式2　(教材经典题)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则BC′与CA′所成角的余弦值为____． 【解析】 0 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 3 利用空间向量证明平行与垂直问题 【解答】 3－1 举题说法 题型突破　能力进阶 【解答】 3－1 举题说法 题型突破　能力进阶 【解答】 3－1 举题说法 题型突破　能力进阶 线、面位置关系的证明： (1) 基底法证线面垂直：选取合适的基底，直接用数量积判断线线的垂直关系，进而得到线面垂直； (2) 法向量法证平行和垂直：关键是建立恰当的坐标系并准确写出点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素． 总 结 提 炼 　　　　　如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC＝2EF，AE＝AF，G是EF的中点． (1) 求证：AG⊥平面ABCD. 【解答】 　　　　因为AE＝AF，G是EF的中点，所以AG⊥EF.又因为EF∥AD，所以AG⊥AD.由平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AG⊂平面ADEF，可得AG⊥平面ABCD. 3－2 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC＝2EF，AE＝AF，G是EF的中点． 【解答】 　　　　由(1)得AG⊥平面ABCD，因为AD，AB⊂平面ABCD，所以AG⊥AD，AG⊥AB.又四边形ABCD是边长为4的正方形，所以AG，AD，AB两两垂直．以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，4，0). 3－2 举题说法 题型突破　能力进阶 举题说法 题型突破　能力进阶 举题说法 题型突破　能力进阶 1．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝2，AA1＝2，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∠BAD＝90°，则BC1与CA1所成角的余弦值为 (　　) 【解析】 随堂内化 题型突破　能力进阶 1 2 3 【答案】B 随堂内化 题型突破　能力进阶 1 2 3 【解析】 随堂内化 题型突破　能力进阶 1 2 3 在正四面体ABCD中，F是AD的中点，所以AD⊥BF，AD⊥CF，且BF∩CF＝F，BF，CF⊂平面BCF，所以AD⊥平面BCF，故C正确； 同理BC⊥平面ADE，故D正确． 【答案】ACD 随堂内化 题型突破　能力进阶 1 2 3 3．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD所成角为30°. (1) 求证：CM∥平面PAD； 【解答】 　　　　由题意知CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 随堂内化 题型突破　能力进阶 1 2 3 随堂内化 题型突破　能力进阶 1 2 3 随堂内化 题型突破　能力进阶 1 2 3 3．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD所成角为30°. (2) 求证：平面PAB⊥平面PAD. 【解答】 随堂内化 题型突破　能力进阶 1 2 3 随堂内化 题型突破　能力进阶 1 2 3 配套精练 【解析】 A 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列关系正确的是 (　　) A．AD⊥B1C　　　　B．A1D⊥BD　　　　C．AC1⊥A1C　　　　D．AC1⊥CD1 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 【答案】D 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 【解析】 C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 【解析】 A 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 二、 多项选择题 5．(2025·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则 (　　) A．AD⊥A1C　　　 B．B1C1⊥平面AA1D C．AD∥A1B1　　　　 D．CC1∥平面AA1D 【解析】 图(1) 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 对于B，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥B1C1，因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，所以AD⊥BC，故AD⊥B1C1，又AA1∩AD＝A，AA1，AD⊂平面AA1D，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确； 图(1) 对于D，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1∥AA1，又AA1⊂平面AA1D，CC1⊄平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，假设AD∥A1B1，则AD∥AB，这与AD∩AB＝A矛盾，所以AD∥A1B1不成立，故C错误． 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 图(2) 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 图(2) 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 【答案】BD 图(2) 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 【答案】AD 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 【解析】 图(1) 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 因为B1D1⊄平面BC1D，BD⊂平面BC1D，所以B1D1∥平面BC1D.同理可证AD1∥平面BC1D.因为AD1，B1D1⊂平面AB1D1，且AD1∩B1D1＝D1，所以平面AB1D1∥平面BC1D.又因为DP⊂平面BC1D，所以DP∥平面AB1D1，故A正确． 图(2) 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 图(3) 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 图(4) 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 图(4) 【答案】ABD 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 【解析】 －1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 【解析】 2 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 (1) 若D，E分别是CB1，A1C1的中点，求证：DE∥平面ABB1A1； 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 【解答】 　　　　如图(1)，连接BC1，BA1，则B1C，BC1互相平分，而D为CB1的中点，故D为BC1的中点．又E为A1C1的中点，所以DE∥BA1，又DE⊄平面ABB1A1，BA1⊂平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1. 图(1) 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 (2) 若DE⊥CB1，DE⊥A1C1，求DE的长． 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 图(2) 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 12．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P，Q分别为线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA＝DQ∶QB＝5∶12，点H在线段DB1上，DH∶HB1＝1∶2. (1) 求线段PQ的长度； 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 12．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P，Q分别为线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA＝DQ∶QB＝5∶12，点H在线段DB1上，DH∶HB1＝1∶2. (2) 求证：PQ∥平面CDD1C1； 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 12．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P，Q分别为线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA＝DQ∶QB＝5∶12，点H在线段DB1上，DH∶HB1＝1∶2. (3) 求证：点H在平面AD1C上． 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 配套精练 向量表示 坐标表示 数量积 a·b ___________________ 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) ____________________________ 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) ______________________ 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos 〈a，b〉＝ 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 ＝λ ＝x＋y 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) 3．如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则＝ (　　) A．a－b＋c　　　　 B．a＋b－c C．－a＋b＋c　　　　 D．a＋b－c 假设DP⊥A1P，则DP2＋A1P2＝A1D2，即a2＋(λa)2＋a2＋a2＋(1－λ)2a2＝(a)2，化简得λ2－λ＋1＝0，方程无解，所以λ不存在，故C错误． 假设A1C⊥平面DPB，则即解得λ＝，故D正确． 11．(2025·佛山一模)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为，侧面BB1C1C是边长为1的正方形，AB＝1，点D，E分别在线段CB1，A1C1上． $