第7章 第38讲 综合法求空间角与距离（PPT课件）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“立体几何综合法求空间角与距离”专题，依据高考评价体系梳理了线面角、二面角、点面距三大核心考点，明确了定义、范围及求法，通过近五年高考真题分析，归纳出线面角正弦值计算、二面角平面角构造、点面距体积法等高频题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“知识体系构建+题型方法突破+高考真题精练”，如例1用体积法与定义法求点面距，例2结合三垂线法解二面角，培养学生空间观念与推理能力。配套精练含2025临汾三模等改编题，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，助力高考冲刺。

第七章 立体几何 第38讲　综合法求空间角与距离 1 知识梳理　体系构建 1．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则A1C与侧面BCC1B1所成角的正弦值为 (　　) 【解析】 B 激活思维 知识梳理　体系构建 2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1BD和平面BB1D1D所成的二面角的正弦值为 (　　) 【解析】 A 激活思维 知识梳理　体系构建 【解析】 激活思维 知识梳理　体系构建 4．(教材经典题改编)已知P为边长为a的正三角形ABC所在平面外一点，且PA＝PB ＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为_____． 【解析】 　　　　设点P在平面ABC上的射影为点O.由PA＝PC＝PB，可知OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．如图，延长CO交AB于点G，连接PG. 激活思维 知识梳理　体系构建 1．直线和平面所成的角 (1) 定义：平面的一条斜线和它在_______________所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． (2) 范围：________． 平面上的射影 聚焦知识 知识梳理　体系构建 2．二面角 (1) 从一条直线出发的_____________所组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作___________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．   (2) 二面角的平面角α的范围：_________；平面与平面的夹角的取值范围：_____． 两个半平面 垂直于棱 [0，π] 聚焦知识 知识梳理　体系构建 3．空间距离 (1) 点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． (2) 直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． (3) 两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 聚焦知识 知识梳理　体系构建 题型突破　能力进阶 目标 1 点面距 　　　(2025·临汾三模节选)如图，已知圆柱OO1的轴截面ABCD是边长为2的正方形，P是圆O1上异于点C，D的任意一点． (1) 求证：平面ACP⊥平面ADP； 1 【解答】 　　　　因为CD是圆O1的直径，所以DP⊥CP.又因为AD⊥平面PDC，CP⊂平面PCD，所以AD⊥CP.因为AD∩DP＝D，AD，DP⊂平面ADP，所以CP⊥平面ADP.因为CP⊂平面ACP，所以平面ACP⊥平面ADP. 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　(2025·临汾三模节选)如图，已知圆柱OO1的轴截面ABCD是边长为2的正方形，P是圆O1上异于点C，D的任意一点． (2) 若O1P⊥CD，求点D到平面ACP的距离． 1 【解答】 举题说法 题型突破　能力进阶 方法二(定义法)：如图，过点D作DE⊥AP，垂足为E.因为平面ACP⊥平面ADP，平面ACP∩平面ADP＝AP，DE⊂平面ADP，所以DE⊥平面ACP. 举题说法 题型突破　能力进阶 求点面距离的方法有：(1) 定义法：关键找点在面上的投影(可借助面面垂直)；(2) 等体积法：点面距离看成三棱锥的高，利用三棱锥变换顶点，体积不变构造方程求解． 总 结 提 炼 变式1　(2025·肇庆二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面PCD. (1) 求证：CD⊥平面PAC； 【解答】 　　　　如图，在平面PAC内作AH⊥PC，交PC于点H.因为平面APC⊥平面PCD，平面APC∩平面PCD＝PC，AH⊂平面PAC，AH⊥PC，所以AH⊥平面PCD. 又CD⊂平面PCD，所以AH⊥CD.因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.因为PA∩AH＝A，PA，AH⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC. 举题说法 题型突破　能力进阶 变式1　(2025·肇庆二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面PCD. 【解答】 　　　　如图，连接BD交AC于点O，连接OE.易知OE为△PBD的中位线，所以PB∥OE.因为PB⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，所以PB∥平面AEC，所以PB到平面AEC的距离即为点B到平面AEC的距离． 举题说法 题型突破　能力进阶 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 2 线面角 　　　(1) 在如图所示的几何体中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2，则PA与平面PBD所成角的大小为_____． 2 【解析】 　　　　连接AC交BD于点O，连接PO(图略).因为PD⊥平面ABCD，AO⊂平面ABCD，所以AO⊥PD.又四边形ABCD为正方形，所以AO⊥BD. 因为BD，PD⊂平面PBD，BD∩PD＝D，所以AO⊥平面PBD，所以∠APO即为PA与平面PBD所成的角． 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　(2) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD.若PA＝a，则直线PB与平面PCD所成的角的大小为_____． 【解析】 　　　　因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CD. 又底面ABCD是边长为a的正方形，所以CD⊥AD.又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD. 2 举题说法 题型突破　能力进阶 综合法求线面夹角的方法：(1) 通过找线面角的平面角，在直角三角形中利用正、余弦定理进行求解；(2) 寻找点面距，构造多面体，利用等体积法求出点面距，在相应三角形中求得需要的参数，进而得到线面夹角的正弦值或余弦值． 总 结 提 炼 变式2　(2026·邯郸一调节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB＝2CD＝2AP＝2PD＝4，PA⊥PD，AB⊥BC，AB∥CD，E为PB的中点． (1) 求证：CE∥平面PAD； 【解答】 举题说法 题型突破　能力进阶 变式2　(2026·邯郸一调节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB＝2CD＝2AP＝2PD＝4，PA⊥PD，AB⊥BC，AB∥CD，E为PB的中点． 【解答】 　　　　因为CE∥DF，所以直线CE与底面ABCD所成角即直线DF与底面ABCD所成角．如图，过F作FM⊥AD于点M.因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，FM⊂平面PAD，所以FM⊥底面ABCD，所以∠FDM即为直线DF与底面ABCD所成角． (2) 若平面PAD⊥底面ABCD，求直线CE与底面ABCD所成角的正切值． 举题说法 题型突破　能力进阶 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 3 二面角 策略1　定义法 　　　　　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中． (1) 求二面角A-B1C-A1的余弦值； 【解答】 3－1 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中． (2) 求平面A1DC1与平面ADD1A1所成角的正切值． 【解答】 　　　　易知AD1∩A1D＝O，则AD1⊥A1D.连接C1O，易证C1O⊥A1D，所以∠C1OD1为平面A1DC1与平面ADD1A1所成角的平面角． 3－1 举题说法 题型突破　能力进阶 根据二面角的定义，过棱上一点分别在两个平面内作(找)棱的垂线，得到二面角的平面角． 总 结 提 炼 策略2　三垂线法 　　　　　(2025·南通期末改)如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，E为AC的中点，将△ACD沿AC翻折使点D至点D′. 【解答】 　　　　在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，所以△ABC和△ACD均为等边三角形．又因为E为AC的中点，所以BE⊥AC，D′E⊥AC. 因为BE∩D′E＝E，BE，D′E⊂平面BD′E，所以AC⊥平面BD′E.又因为AC⊂平面ABC，所以平面BD′E⊥平面ABC. 3－2 (1) 求证：平面BD′E⊥平面ABC； 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　(2025·南通期末改)如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，E为AC的中点，将△ACD沿AC翻折使点D至点D′. 【解答】 　　　　因为平面BD′E∩平面ABC＝BE，D′M⊥BE，D′M⊂平面BD′E，所以D′M⊥平面ABC.如图，过M作MN⊥AB于点N，连接D′N. 因为AB⊂平面ABC，所以D′M⊥AB.因为D′M∩MN＝M，D′M，MN⊂平面D′MN，所以AB⊥平面D′MN.因为D′N⊂平面D′MN，所以AB⊥D′N，所以∠D′NM即为二面角D′-AB-C的平面角． 3－2 举题说法 题型突破　能力进阶 举题说法 题型突破　能力进阶 结合三垂线定理计算二面角的方法：已知二面角α-l-β，在平面α(或平面β)内找一合适的点A，作AO⊥β于点O，过A作AB⊥l(l是公共棱)于点B，则BO为斜线AB在平面β内的射影，∠ABO为二面角α-l-β的平面角． 总 结 提 炼 策略3　投影法 　　　　　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD. (1) 求证：AB⊥平面PAD； 【解答】 　　　　因为底面ABCD是正方形，所以AB⊥AD.因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，所以由面面垂直的性质定理得AB⊥平面PAD. 3－3 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD. (2) 求平面PAD与平面PDB所成二面角的正切值． 【解答】 3－3 举题说法 题型突破　能力进阶 总 结 提 炼 配套精练 一、 单项选择题 1．已知线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成角为 (　　) A．30°　　　　B．45°　　　　C．60°　　　　D．120° 【解析】 C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 配套精练 2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1-AB-C的正切值为 (　　) 【解析】 D 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 配套精练 【解析】 C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 配套精练 4．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则点A1到平面AB1D1的距离是 (　　) 【解析】 A 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 配套精练 【解析】 【答案】BC 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 配套精练 A．该圆锥的体积为3π B．直线OP与平面PAC所成的角为45° C．二面角P-AC-O为45° D．直线PA与BC所成的角为60° 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 配套精练 【解析】 　　　　如图，取线段AC的中点M，连接PM，过O作ON⊥PM，垂足为N，易知AC⊥OM，AC⊥PM.又OM∩PM＝M，OM，PM⊂平面PMO，所以AC⊥平面PMO. 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 配套精练 对于D，如图，取线段PC的中点D，连接DM，DO，明显有BC∥OM，AP∥MD，则直线PA与BC所成的角为∠DMO或其补角， 【答案】BCD 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 配套精练 三、 填空题 7．(2025·承德期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC上靠近B的三等分点，则直 线D1E与平面BCC1B1所成角的正弦值为_____． 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 配套精练 8．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是A1B1的中点，则点E到平面ABC1D1的距离为_____. 【解析】 　　　　因为A1B1∥AB，所以A1B1∥平面ABC1D1，因此点E到平面ABC1D1的距离等于点B1到平面ABC1D1的距离．连接B1C，交BC1于点O(图略). 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 配套精练 9．如图，△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则钝二面角A-BD-C的余弦值为____． 【解析】 　　　　如图，过点A作AE⊥CB的延长线于点E，连接DE.因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，所以AE⊥平面BCD，所以点E即为点A在平面BCD内的射影，所以△BDE为△ABD在平面BCD内的射影． 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 配套精练 四、 解答题 10．(2025·南京二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝120°，点E在线段PD上，PB∥平面AEC. 【解答】 　　　　如图，连接BD交AC于点O，连接EO.因为底面ABCD为菱形，所以O为BD的中点．又因为PB∥平面AEC，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面AEC＝EO，所以PB∥EO，所以E为PD的中点． (1) 求证：E为PD的中点； 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 配套精练 10．(2025·南京二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝120°，点E在线段PD上，PB∥平面AEC. 【解答】 　　　　如图，取AD的中点H，连接CH.在平面AED内，过H作HF⊥AE，垂足为F，连接CF.因为底面ABCD为菱形，∠ADC＝60°，所以△ACD为正三角形． 又因为H为AD的中点，所以CH⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，CH⊂平面ABCD，所以PA⊥CH.又因为PA，AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A，所以CH⊥平面PAD. 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 配套精练 因为AE⊂平面PAD，所以CH⊥AE.又因为HF⊥AE，CH，HF⊂平面CHF，CH∩HF＝H，所以AE⊥平面CHF.因为CF⊂平面CHF，所以AE⊥CF，所以∠CFH为二面角C-AE-D的平面角． 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 配套精练 (1) 求二面角P-BC-A的余弦值； 【解析】 　　　　如图，取BC的中点E，连接AE，PE.因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为PA⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB. 在Rt△PAB中，PB2＝AB2＋AP2＝22＋12＝5，在Rt△PAC中，PC2＝AC2＋AP2＝22＋12＝5，从而PB＝PC.又E为BC的中点，所以PE⊥BC，从而∠PEA为二面角P-BC-A的平面角． 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 配套精练 (2) 求直线PC与平面ADC所成角的正弦值． 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 配套精练 $