第6章 第33讲 第1课时 分组转化法与错位相减法（PPT课件）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦数列求和专题，依据高考评价体系梳理了公式法、分组求和、错位相减等核心方法，通过近五年真题分析明确错位相减、裂项相消占60%的高频考点，归纳选择填空解答题三大常考题型，构建系统备考体系。 课件亮点在于“真题精讲+方法建模+素养提升”，如以2023新高考II卷分组求和题为例，拆解“奇偶项分类”技巧，培养学生运算能力与逻辑思维。配套“易错警示”和“母题变式”，助力学生掌握得分关键，教师可据此实施精准复习，高效提升备考质量。

第六章 数列 第33讲　数列的求和 1 知识梳理　体系构建 1．设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝ (　　) A．153　　　　B．210　　　　C．135　　　　D．120 【解析】 A 激活思维 知识梳理　体系构建 【解析】 B 激活思维 知识梳理　体系构建 【解析】 C 激活思维 知识梳理　体系构建 4．已知数列{an}满足an＝2×(－2)n-1＋n－2，则数列{an}的前n项和Sn＝ ________________________． 【解析】 激活思维 知识梳理　体系构建 5．(教材经典题)求和：1＋2x＋3x2＋…＋nxn-1＝_______________________. 【解析】 激活思维 知识梳理　体系构建 1．公式法 除了等差、等比数列的求和公式，常见的求和公式还有： 聚焦知识 知识梳理　体系构建 2．分组求和法与并项求和法 (1) 分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2) 并项求和法 一个数列的前n项中，可两两结合求解，则称之为并项求和．如an＝(－1)nf(n)型，可采用两项合并求解． 聚焦知识 知识梳理　体系构建 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法 (1) 裂项原则 一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2) 消项规律 消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项． 聚焦知识 知识梳理　体系构建 第1课时　分组转化法与错位相减法 11 题型突破　能力进阶 目标 1 倒序相加法 　　　已知函数f(x)＝(x－1)3＋2，数列{an}为等比数列，an>0，且a1 014＝e，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，则f(ln a1)＋f(ln a2)＋…＋f(ln a2 027)＝ (　　) 1 【解析】 C 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 2 并项求和 　　　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝4S2，a2n＝2an－1. (1) 求{an}的通项公式； 2 【解答】 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝4S2，a2n＝2an－1. (2) 设bn＝(－1)nan，数列{bn}的前n项和为Tn，若|Tm|＝50，求m的值． 【解答】 　　　　由(1)知bn＝(－1)nan＝(－1)n(n＋1)，则Tn＝－2＋3－4＋5－…＋(－1)n(n＋1). 2 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 3 分组求和 (1) 求数列{an}的通项公式； 3 【解答】 举题说法 题型突破　能力进阶 (2) 求证：当n>5时，Tn>Sn. 【解答】 3 举题说法 题型突破　能力进阶 举题说法 题型突破　能力进阶 举题说法 题型突破　能力进阶 (1) 若cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和． 总 结 提 炼 目标 4 错位相减法求和 4 【解答】 举题说法 题型突破　能力进阶 【解答】 4 举题说法 题型突破　能力进阶 (1) 如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法． (2) 利用错位相减法求和时，应注意： ①写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出Sn－qSn的表达式； ②应用等比数列求和公式时，必须注意公比q是否等于1，若q＝1，则应用公式Sn＝na1求和． (3) 此类问题也可以裂项相消去处理． 总 结 提 炼 变式　(2025·石家庄二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，S5＝25. (1) 求数列{an}的通项公式； 【解答】 举题说法 题型突破　能力进阶 变式　(2025·石家庄二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，S5＝25. (2) 若bn＝3nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 【解答】 　　　　由(1)知bn＝3nan＝(2n－1)·3n. 举题说法 题型突破　能力进阶 方法二：(裂项法)设bn＝3nan＝(2n－1)·3n＝[x(n＋1)＋y]·3n+1－(xn＋y)·3n，可得x＝1，y＝－2，则bn＝(n－1)·3n+1－(n－2)·3n，所以Tn＝0×32－(1－2)×31＋1×33－0×32＋2×34－1×33＋…＋(n－1)·3n+1－(n－2)·3n，即Tn＝－(1－2)×31＋(n－1)·3n+1＝(n－1)·3n+1＋3. 举题说法 题型突破　能力进阶 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．(2025·三门峡期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1，且满足an＋1＋(－1)nan＝3·(－2)n，则S11的值为 (　　) A．4 093　　　　B．4 094　　　　C．4 095　　　　D．4 096 【解析】 A 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 2．若数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝3(n∈N*)，则其前2 025项和为 (　　) A．1 517　　　　B．1 519　　　　C．1 521　　　　D．1 523 【解析】 　　　　因为a1＝1，an＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝3，所以S2 025＝a1＋(a2＋a3＋a4＋a5)＋(a6＋a7＋a8＋a9)＋…＋(a2 022＋a2 023＋a2 024＋a2 025)＝1＋506×3＝1 519. B 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解析】 【答案】A 　　　　令f(ln a1)＋f(ln a2)＋…＋f(ln a2 027)＝S①，则f(ln a2 027)＋f(ln a2 026)＋…＋f(ln a2)＋f(ln a1)＝S②.由f(x)＋f(－2－x)＝(x＋1)3＋1＋(－2－x＋1)3＋1＝2，知函数f(x)关于点(－1，1)中心对称． 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解析】 B 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 二、 多项选择题 5．已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋3n-1an＝n·3n+1(n∈N*)，设数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是 (　　) A．数列{an}为等差数列　　　　 B．Sn＝3n2＋6n C．数列{(－1)nan}的前10项和为30　　　　 D．数列{|an－20|}的前20项和为284 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解析】 　　　　对于A，a1＋3a2＋…＋3n-1an＝n·3n+1(n∈N*)，设bn＝3n-1an，则b1＋b2＋…＋bn＝n·3n+1，所以当n≥2时，b1＋b2＋…＋bn－1＝(n－1)·3n，两式相减得bn＝(2n＋1)·3n. 当n＝1时，b1＝a1＝9也适合上式，则bn＝(2n＋1)·3n＝3n-1an，可得an＝3(2n＋1)，所以an＋1－an＝6，故数列{an}是以9为首项，6为公差的等差数列，an＝9＋6(n－1)＝6n＋3，故A正确； 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 对于C，数列{(－1)nan}的前10项和为(－9＋15)＋(－21＋27)＋…＋(－57＋63)＝6×5＝30，故C正确； 【答案】ABC 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解析】 由上可知，a2k＋1－a2k－1＝3，令n＝2k(k∈N*)，由已知可得a2k＋1＝a2k＋2，a2k＋2＝ a2k＋1＋1，所以a2k＋2－a2k＝3，综上，an＋2－an＝3，故C正确； 【答案】BCD 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 三、 填空题 7．下面的数组均由三个数组成，分别是(1，2，－1)，(2，4，－2)，(3，8，－5)，(4，16，－12)，(5，32，－27)，…，(an，bn，cn)，若数列{cn}的前n项和为Sn，则 S10＝__________． 【解析】 －1 991 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 8．(2025·苏州三模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，an＋1＋an＝2n－1，则S7＝_____． 【解析】 　　　　方法一：因为a1＝3，an＋1＋an＝2n－1，所以a1＋a2＝1，即a2＝－2. 方法二：S7＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋(a6＋a7)＝3＋3＋7＋11＝24. 24 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解析】 9 217 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 四、 解答题 10．(2026·福州一检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，S6＝S5＋7. (1) 求{an}的通项公式； 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 10．(2026·福州一检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，S6＝S5＋7. (2) 若bn＝2an，求数列的前n项和Tn. 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 11．(2025·合肥二模)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝3，a2＋a4＝2b2，a1a3＝b3. (1) 求{an}和{bn}的通项公式； 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 11．(2025·合肥二模)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝3，a2＋a4＝2b2，a1a3＝b3. 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解析】 　　　　将2α－β＝α＋(α－β)，β＝α－(α－β)，代入3sin (2α－β)＝sin β，得3sin [α＋(α－β)]＝sin [α－(α－β)]，展开得3[sin αcos (α－β)＋cos αsin (α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)，整理得2sin αcos (α－β)＋4cos αsin (α－β)＝0. 【答案】D 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 13．(2026·徐州期中节选)设a是实数，函数f(x)＝ax ln x－(x－1)2. 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 13．(2026·徐州期中节选)设a是实数，函数f(x)＝ax ln x－(x－1)2. (2) 若f(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，求a的值． 【解答】 　　　　f(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立等价于g(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立．注意到g(1)＝0.则当a＝0时，x0＝1，由(1)知g(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立．当a>0时，x0>1，则当1<x<x0时，g(x)单调递增，g(x)>g(1)＝0，不合题意．当a<0时，0<x0<1，则当x0<x<1时，g(x)单调递减，g(x)>g(1)＝0，不合题意．综上所述，a的值为0. 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 $