第6章 第32讲 常见的递推关系求通项（PPT课件）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“数列递推关系求通项”核心考点，依据高考评价体系梳理累加累乘法、构造等差等比数列等三大解题方法，通过近五年高考真题分析明确“构造新数列”占60%、“累加法”占30%的高频考点分布，归纳5类典型题型及解题步骤。 课件亮点在于“真题精讲+方法提炼+素养提升”，如以2025年秦皇岛三模题为例，详解“aₙ₊₁=paₙ+q”型构造等比数列的待定系数法，培养学生数学思维与推理能力，配套精练含易错点分析，助力学生掌握得分技巧，为教师提供系统复习方案。

第六章 数列 第32讲　常见的递推关系求通项 1 知识梳理　体系构建 【解析】 B 激活思维 知识梳理　体系构建 【解析】 C 激活思维 知识梳理　体系构建 3．在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为_______. 【解析】 an＝2n－1 激活思维 知识梳理　体系构建 【解析】 激活思维 知识梳理　体系构建 【解析】 激活思维 知识梳理　体系构建 题型突破　能力进阶 目标 1 累加累乘法求通项公式 类型1　an＋1－an＝f(n) 　　　　　(1) 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，a2＝3，且Sn＋1＋Sn－1＝2n＋2Sn(n≥2)，则数列{an}的通项公式为an＝ (　　) A．1－2n　　　　B．2n　　　　C．2n－1　　　　D．2 【解析】 1－1 C 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 1－1 4 举题说法 题型突破　能力进阶 如果数列{an}的递推公式满足an＋1－an＝f(n)的形式，且f(n)可求和，那么就可以运用累加法，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，并验证a1，求出数列{an}的通项公式． 总 结 提 炼 (1) 求d； 【解答】 1－2 举题说法 题型突破　能力进阶 举题说法 题型突破　能力进阶 1－2 (2) 若d>0，求数列{an}的通项公式及前n项和Sn. 【解答】 举题说法 题型突破　能力进阶 总 结 提 炼 变式1　(2025·临沂一模)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋nan＝1，则满足Sn>0.99时，n的最小值为 (　　) A．49　　　　B．50　　　　C．99　　　　D．100 【解析】 D 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 2 构造等差数列求通项公式 　　　已知数列{an}满足a1＝0，2an＋1－an·an＋1＝1，n∈N*，则a2 026＝ (　　) 2 【解析】 C 举题说法 题型突破　能力进阶 总 结 提 炼 【解析】 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 3 构造等比数列求通项公式 类型1　an＋1＝pan＋f(n)型 　　　　　(1) (2025·秦皇岛三模)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an－1，n∈N*，且bn＝log2(an－1)，则数列{bn}的前100项和为 (　　) A．4 050　　　　B．4 950　　　　C．5 050　　　　D．4 450 【解析】 3－1 B 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　(2) 在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为__________________. 【解析】 又a1＋2×1－2＝a1＝3，所以数列{an＋2n－2}是首项为3，公比为3的等比数列，所以an＋2n－2＝3×3n-1＝3n，解得an＝3n－2(n－1). 3－1 an＝3n－2(n－1) 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　(3) 已知数列{an}满足an＋1＝2an＋4·3n-1，a1＝－1，则数列{an}的通项公式为________________． 【解析】 　　　　方法一：设an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n-1)，整理得an＋1＝2an－λ·3n-1，可得λ＝ －4，即an＋1－4·3n＝2(an－4·3n-1)，且a1－4×31-1＝－5≠0，则数列{an－4·3n-1}是首项为－5，公比为2的等比数列，所以an－4·3n-1＝－5·2n-1，即an＝4·3n-1－5·2n-1. 3－1 an＝4·3n-1－5·2n-1 举题说法 题型突破　能力进阶 总 结 提 炼 变式3-1　(2025·沈阳、大连一模)(多选)已知数列{an}满足an＋1＋an＝f(n)，则下列说法中正确的是 (　　) A．若a1＝2，f(n)＝2n，则{an}是等差数列 B．若a1＝1，f(n)＝2n＋1，则{an}是等差数列 C．若a1＝2，f(n)＝4，则{an}是等比数列 D．若a1＝1，f(n)＝3×2n-1，则{an}是等比数列 【解析】 　　　　对于A，当an＋1＋an＝f(n)＝2n时，若a1＝2，则a1＋a2＝2，a2＝0，同理a3＝4，a4＝2，a5＝6，…，所以数列{an}不是等差数列，故A错误； 对于B，当an＋1＋an＝f(n)＝2n＋1时，(an＋1－n－1)＝－(an－n)，因为a1－1＝0，所以an－n＝0，即an＝n，因此an＋1－an＝n＋1－n＝1，所以数列{an}是等差数列，故B正确； 举题说法 题型突破　能力进阶 对于C，当an＋1＋an＝f(n)＝4时，(an＋1－2)＝－(an－2)，因为a1－2＝0，所以an－2＝0，即an＝2，所以{an}是等比数列，故C正确； 【答案】BCD 举题说法 题型突破　能力进阶 类型2　an＋1＝pan＋qan－1型 　　　　　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1－5an＋4an－1＝0(n∈N*，n≥2)， 则{an}的通项公式为_________． 【解析】 3－2 举题说法 题型突破　能力进阶 形如an＋1＝pan＋qan－1(p≠0)：将递推式化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}；若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}． 总 结 提 炼 变式3-2　(2025·九江二模)(多选)若数列{an}满足a1＝2，a2＝4，2an＋an＋2＝3an＋1，数列{bn}的前n项积等于数列{an}的前n项和，则 (　　) A．{an＋1－an}是等比数列 B．{an}是等比数列 C．{bn}是递减数列 D．当n≥2时，an＋1>an>bn＋1 【解析】 　　　　对于A，由2an＋an＋2＝3an＋1，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，而a2－a1＝2，故{an＋1－an}是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确． 举题说法 题型突破　能力进阶 【答案】ABD 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 3－3 A 举题说法 题型突破　能力进阶 总 结 提 炼 【解析】 举题说法 题型突破　能力进阶 配套精练 练习1 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．(2025·潍坊期末)已知数列{an}满足an＋1＝an＋a1＋n，a5＝30，则a1＝ (　　) A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1 【解析】 　　　　因为an＋1＝an＋a1＋n，所以a2－a1＝a1＋1，a3－a2＝a1＋2，a4－a3＝a1＋3，a5－a4＝a1＋4，以上各式相加可得a5－a1＝4a1＋10，即a5＝5a1＋10.因为a5＝30，所以a1＝4. A 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解析】 　　　　设a4＝m，则m∈[2，3]，得a3＝m－1，a2＝2(m－1)＝2m－2，所以a1＝2m－3∈[1，3]. B 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 3．(2025·宁波二模)已知数列{an}中，a2＝1，记Sn为{an}的前n项和，2Sn＝nan，则a2 027的值为 (　　) A．2 025　　　　B．2 026　　　　C．2 027　　　　D．2 028 【解析】 B 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 4．(2025·太原一模)已知数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝6，an＋1＝2an，bn＋1＝2bn－an，若am＝bm，则m＝ (　　) A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7 【解析】 B 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 二、 多项选择题 5．已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且an＋1＝4an＋3n，则 (　　　) A．a2＝7　　　　 B．{Sn}是递增数列 C．{an＋3n}是等差数列　　　　 D．a10＝220－310 【解析】 　　　　因为an＋1＝4an＋3n，所以an＋1＋3n+1＝4(an＋3n)，且a1＋3＝4≠0，可知数列{an＋3n}是首项为4，公比为4的等比数列，则an＋3n＝4×4n-1＝4n，即an＝4n－3n. 对于A，a2＝42－32＝7，故A正确；对于B，因为an＝4n－3n>0，所以{Sn}是递增数列，故B正确； 对于C，因为数列{an＋3n}是首项为4，公比为4的等比数列，所以{an＋3n}不是等差数列，故C错误；对于D，a10＝410－310＝220－310，故D正确． ABD 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 6．(2025·宿州期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，nan＋1－2(n＋1)an＝0(n∈N*)，则下列结论正确的是 (　　) 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解析】 【答案】BCD 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解析】 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解析】 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解析】 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解答】 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解答】 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解答】 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解答】 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解析】 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解答】 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解答】 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 练习1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 【解析】 【答案】A 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 2．(2025·漳州三模)记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，Sn＋1－2Sn＝n，则a10＝ (　　) A．1 024　　　　B．1 023　　　　C．513　　　　D．256 【解析】 　　　　由Sn＋1－2Sn＝n，得Sn＋1＋n＋2＝2(Sn＋n＋1).因为a1＝2，所以S1＋1＋1＝4，所以Sn＋n＋1≠0，所以{Sn＋n＋1}是首项为4，公比为2的等比数列，所以Sn＋n＋1＝4×2n-1，所以Sn＝2n+1－n－1，所以a10＝S10－S9＝1 023. B 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 【解析】 C 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 4．(2025·泰安期末)已知数列{an}满足a2＝－3，(2n－3)an＋1＝(2n－1)an＋(2n－1)(2n－3)，n∈N*，则数列{an}的通项公式为 (　　) 【解析】 D 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 【解析】 【答案】AB 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 【解析】 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 设cn＝3n(2n－9)，当n≥5时，cn>0，当n≤4时，cn<0，又c1＝－21，c2＝－45，c3＝－81，c4＝－81，故cn＝3n(2n－9)的最小值为c3＝c4＝－81，所以λ≤－81. 【答案】CD 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 【解析】 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 8．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an－2n＋3，n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和，则数列{an}的通项公式为an＝____________；S8＝______． 【解析】 2n＋2n－1 574 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 【解析】 2 2 027 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 【解答】 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 【解答】 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 【解答】 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 11．(2025·运城期末节选)在数列{an}中，a1＝0，a2＝4，且an＋2＝2an＋1－an＋2. (1) 求证：{an＋1－an}是等差数列； 【解答】 　　　　因为an＋2＝2an＋1－an＋2，所以an＋2－an＋1－(an＋1－an)＝2an＋1－an＋2－ an＋1－(an＋1－an)＝2，所以{an＋1－an}是首项为a2－a1＝4，公差为2的等差数列． 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 11．(2025·运城期末节选)在数列{an}中，a1＝0，a2＝4，且an＋2＝2an＋1－an＋2. 【解答】 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 【解析】 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 【答案】BCD 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 13．(2026·惠州一调)已知函数f(x)＝ax＋ln x－1，a∈R. (1) 当a＝2时，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 【解答】 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 13．(2026·惠州一调)已知函数f(x)＝ax＋ln x－1，a∈R. (2) 若f(x)有极大值，且极大值小于0，求a的取值范围． 【解答】 练习2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 　　　　　(2025·滁州二模节选)在数列{an}中，a1＝1，a3＝6，其前n项和为Sn.数列是公差为d的等差数列． $