第6章 第31讲 等比数列及其前n项和（PPT课件）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“等比数列及其前n项和”专题，依据高考评价体系梳理了定义、通项公式、前n项和公式及性质四大核心考点，通过近五年真题分析明确基本量运算（占比45%）、性质应用（占比30%）等高频考查维度，归纳出选择、填空、解答题三大常考题型，构建完整备考体系。 课件亮点在于“真题溯源+题型突破+素养提升”策略，如以2023全国甲卷等比数列求和题为范例，详解“方程思想求基本量”“性质法简化运算”等技巧，培养学生推理能力与运算能力。特设易错警示（如公比q=1讨论）和变式训练，助力学生掌握得分关键，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第六章 数列 第31讲　等比数列及其前n项和 1 知识梳理　体系构建 1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝ (　　) A．14　　　　B．12　　　　C．6　　　　D．3 【解析】 D 激活思维 知识梳理　体系构建 2．(2021·全国甲卷)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则 (　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【解析】 　　　　若a1＝－1，q＝1，则Sn＝na1＝－n，{Sn}是递减数列，不满足充分性；若{Sn}是递增数列，则q≠0，且Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0恒成立，则a1＞0，q＞0，满足必要性．故甲是乙的必要不充分条件． B 激活思维 知识梳理　体系构建 3．(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n+1＋a(a为常数)，则 (　　) A．a＝－1 B．数列{an}的公比为2 C．an＝2n D．S9＝1 023 【解析】 BC 激活思维 知识梳理　体系构建 4．在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a7＋a9＝______． 【解析】 激活思维 知识梳理　体系构建 【解析】 17 激活思维 知识梳理　体系构建 1．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项公式为an＝________，其推导方法是累乘法． 2．等比数列的前n项和公式 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝______； 当q≠1时，Sn＝________＝________，其推导方法是错位相减法． a1·qn-1 na1 聚焦知识 知识梳理　体系构建 聚焦知识 知识梳理　体系构建 聚焦知识 知识梳理　体系构建 题型突破　能力进阶 目标 1 等比数列的基本量运算 1 【解析】 A 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　(2) (2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝ (　　) 【解析】 方法二：由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题知q>0，所以q＝2.所以S4＝1＋2＋4＋8＝15. C 1 举题说法 题型突破　能力进阶 等比数列基本量运算的解题策略 (1) 等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． (2) 解方程组时常常利用“作商”消元法． (3) 运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解． 总 结 提 炼 变式1　(1) (2026·肇庆一模)设Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a5＋3a6＝8，a8＋3a9＝64，则S3＝ (　　) 【解析】 C 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 举题说法 题型突破　能力进阶 【答案】BC 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 2 等比数列的判定与证明 　　　(2025·温州三模)已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋2n－1，n∈N*. (1) 若数列{bn}满足bn＝an＋n，试判断{bn}是否为等比数列，并说明理由； 2 【解答】 　　　　{bn}是等比数列，理由如下：因为an＋1＝3an＋2n－1，n∈N*，所以an＋1＋(n＋1)＝3(an＋n).又bn＝an＋n，所以bn＋1＝3bn.因为a1＝2，所以b1＝3≠0，故{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列． 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　(2025·温州三模)已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋2n－1，n∈N*. (2) 若数列{cn}满足cn＝(－1)nan，求数列{cn}的前2n项和T2n. 【解答】 2 举题说法 题型突破　能力进阶 总 结 提 炼 变式2　(2025·清远二模)已知数列{an}的首项为a1＝4，且满足an＋1＋an＝6×5n(n∈N*). (1) 求证：数列{an－5n}是等比数列； 【解答】 举题说法 题型突破　能力进阶 变式2　(2025·清远二模)已知数列{an}的首项为a1＝4，且满足an＋1＋an＝6×5n(n∈N*). (2) 求数列{an}的前n项和Sn. 【解答】 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 3 等比数列的性质及其应用 视角1　项的性质 　　　　　(1) (2025·南通三模)在等比数列{an}中，a5·a6·a7＝8，a2＋a6＝20，则a4＝ (　　) A．36　　　　B．±6　　　　C．－6　　　　D．6 【解析】 3－1 D 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　(2) (2025·滨州二模)设{an}为等比数列，且a2＋a3＝3，a3＋a4＝6，则a7＋a8＝ (　　) A．12　　　　B．24　　　　C．48　　　　D．96 【解析】 3－1 D 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　(3) (2025·苏州期初)(多选)已知数列{an}是等比数列，则 (　　) 【解析】 3－1 举题说法 题型突破　能力进阶 【答案】AB 举题说法 题型突破　能力进阶 视角2　和的性质 　　　　　(1) (2025·赣州二模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S20＝21，S30＝49，则S10＝ (　　) A．－7　　　　B．7　　　　C．63　　　　D．7或63 【解析】 　　　　由等比数列和的性质知，S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，所以(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(21－S10)2＝S10(49－21)，解得S10＝7或S10＝63. 设等比数列{an}的公比为q，若S10＝63，则S20－S10＝S10q10，即－42＝63·q10，而q10>0，显然等式不成立； 若S10＝7，则S20－S10＝S10q10，即14＝7q10，故q10＝2>0，满足题设．所以S10＝7. 3－2 B 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　(2) 设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0， 则公比q＝_____． 【解析】 3－2 举题说法 题型突破　能力进阶 1．(2026·徐州期中)在数列{an}中，a1＝1，若数列{an·an＋1}是公比为2的等比数列，则a1＋a3＋a5＋…＋a19＝ (　　) A．2 048　　　　B．2 047　　　　C．1 024　　　　D．1 023 【解析】 D 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 【解析】 B 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 3．已知等比数列{an}有2n＋1项，a1＝1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n＝ (　　) A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5 【解析】 B 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 4．(2026·宁波一模)(多选)已知等比数列{an}中，a1a2＝1，则下面说法正确的是 (　　) A．若a1>1，则数列{an}是递减数列 B．若0<a1<1，则数列{an}是递减数列 C．若－1<a1<0，则数列{an}是递增数列 D．若a1<－1，则数列{an}是递增数列 【解析】 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 【答案】AD 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．(2026·聊城期中)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3a4＝32，a5＝16，则S5＝ (　　) A．16　　　　B．31　　　　C．32　　　　D．63 【解析】 B 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 2．(2025·杭州质检)若等比数列{an}满足a1＋a2＝2，a1－a3＝3，则数列{an}的公比等于 (　　) 【解析】 C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【解析】 C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 4．(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝ (　　) A．120　　　　B．85　　　　C．－85　　　　D．－120 【解析】 C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 5．(2025·南京、盐城一模)已知数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3.若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24，则正整数k的值是 (　　) A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7 【解析】 B 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 二、 多项选择题 6．(2025·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，且q>0.若S3＝7，a3＝1，则 (　　) 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【答案】AD 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 7．(2025·泉州二检)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，{an}的前n项积为Tn.若a10＝1，S10－S7＝7，则 (　　) A．数列{log2an}为等差数列 B．a1＝1 024 C．Sn<1 024 D．Tn的最大值为245 【解析】 　　　　对于A，设公比为q(q>0)，因为a10＝1，所以an＝a10qn-10＝qn-10，故log2an＋1－log2an＝log2qn-9－log2qn-10＝log2q为常数，故A正确． 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【答案】ACD 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 三、 填空题 8．(2025·深圳一调)在等比数列{an}中，已知a1a3＝9，a2＋a4＝9，则a4＝____． 【解析】 6 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 9．(2023·北京卷)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a7＝_____；数列{an}所有项的和为______． 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 【答案】48　384 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 10．(2025·新高考Ⅰ卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为____． 【解析】 2 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 (1) 求证：{an}为等比数列； 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 (2) 求使bn取得最大值时n的值． 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 (1) 记bn＝a2n＋2，求b1，b2并证明数列{bn}是等比数列； 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 (2) 记cn＝a2n＋3，求满足c1＋c2＋c3＋…＋cn<100的所有正整数n的值． 【解答】 　　　　由(1)知bn＝5×2n-1，所以cn＝5×2n-1＋1，所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＝5×2n＋n－5.因为c1＋c2＋c3＋…＋cn是递增的，且c1＋c2＋c3＋c4＝79<100<c1＋c2＋c3＋c4＋c5＝160，所以正整数n的所有取值为1，2，3，4. 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 B组　能力挑战(挑战点：新定义问题) 13．(2025·吕梁期末节选)如图，在横坐标为x1的点处作f(x)的切线，该切线与x轴的交点为x2；在横坐标为x2的点处作f(x)的切线，该切线与x轴的交点为x3；一直继续下去，得到数列{xn}． 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 13．(2025·吕梁期末节选)如图，在横坐标为x1的点处作f(x)的切线，该切线与x轴的交点为x2；在横坐标为x2的点处作f(x)的切线，该切线与x轴的交点为x3；一直继续下去，得到数列{xn}． 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 配套精练 $