第6章 第30讲 等差数列及其前n项和（PPT课件）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“等差数列及其前n项和”专题，依据高考评价体系梳理了基本量运算、判定与证明、性质应用三大核心考点，通过近五年真题分析明确“基本量运算”占45%、“性质应用”占30%的高频考查权重，构建了公式-性质-题型的完整知识体系。 课件亮点在于“真题溯源+方法提炼+素养提升”的备考路径，如以2025新高考Ⅱ卷S3=6，S5=-5求S6为例，示范“方程法”与“性质法”解题，培养学生运算能力和推理意识。特设“易错警示”（如前n项和最值忽视a_n符号）和“变式训练”，助力学生掌握得分技巧，教师可据此实现精准复习，提升备考效率。

第六章 数列 第30讲　等差数列及其前n项和 1 知识梳理　体系构建 1．(2025·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝6，S5＝－5，则S6＝ (　　) A．－20　　　　B．－15　　　　C．－10　　　　D．－5 【解析】 B 激活思维 知识梳理　体系构建 【解析】 B 激活思维 知识梳理　体系构建 3．已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝120，则a37＋b37＝ (　　) A．760　　　　B．820　　　　C．780　　　　D．860 【解析】 　　　　因为数列{an}，{bn}均为等差数列，所以数列{an＋bn}为等差数列，设其公差为d.因为a1＋b1＝100，a2＋b2＝120，所以d＝120－100＝20，所以a37＋b37＝100＋20×36＝820. B 激活思维 知识梳理　体系构建 4．(教材经典题)在等差数列{an}中，an＝m，am＝n，且n≠m，则am＋n＝____． 【解析】 0 激活思维 知识梳理　体系构建 5． (教材经典题)在等差数列{an}中，若S15＝5(a2＋a6＋ak)，则k＝_____． 【解析】 16 激活思维 知识梳理　体系构建 1．等差数列的有关公式 (1) 通项公式：__________________，其推导方法是累加法．   (2) 前n项和公式：___________________________，其推导方法是倒序相加法． 2．等差数列的常见性质 (1) 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． ①通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)； ②若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则_________________； ③ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为_____的等差数列； an＝a1＋(n－1)d ak＋al＝am＋an md 聚焦知识 知识梳理　体系构建 ④若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列； ⑤数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列； 聚焦知识 知识梳理　体系构建 题型突破　能力进阶 目标 1 等差数列的基本量运算 　　　(1) (2026·淮安期中)已知{an}为等差数列，{an}的前n项和为Sn，a1＋a4＋a7＝1，S5＝5，则a6＝ (　　) 1 【解析】 A 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　(2) (2025·蚌埠二模)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15＝5(a5＋a7＋ak)，则正整数k的值为 (　　) A．11　　　　B．12　　　　C．13　　　　D．14 【解析】 1 B 举题说法 题型突破　能力进阶 (1) 等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”). (2) 确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d. 总 结 提 炼 变式1　(2025·漳州二模)已知数列{an}为等差数列，a5＝9，a3＋a6＋a9＝33. (1) 求数列{an}的通项公式； 【解答】 　　　　设等差数列{an}的公差为d，因为a3＋a6＋a9＝3a6＝33，所以a6＝11.又因为a5＝9，所以a6－a5＝d＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝a5＋2(n－5)＝2n－1. 举题说法 题型突破　能力进阶 变式1　(2025·漳州二模)已知数列{an}为等差数列，a5＝9，a3＋a6＋a9＝33. (2) 若bn＋an＝19，求数列{|bn|}的前n项和Sn. 【解答】 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 2 等差数列的判定与证明 (1) 求证：{an}是等差数列； 2 【解答】 举题说法 题型突破　能力进阶 (2) 若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 2 【解答】 方法二：由方法一知an＝n－13，即有a1<a2<…<a12<0，a13＝0，则当n＝12或n＝13时，(Sn)min＝－78. 举题说法 题型突破　能力进阶 判断数列{an}是等差数列的常用方法：(1) 定义法；(2) 等差中项法；(3) 通项公式法(客观题中判断)；(4) 前n项和公式法(客观题中判断). 总 结 提 炼 【解答】 举题说法 题型突破　能力进阶 (2) 求数列{anan＋1}的前n项和Sn. 【解答】 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 3 等差数列的常见性质 视角1　项的性质 【解析】 3－1 C 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　(2) (2025·三明5月质检)若数列{an}满足an＋1＋an＝2n＋1(n∈N*)，a4＝2，则a1＋a2＋a3＋…＋a17＝ (　　) A．155　　　　B．156　　　　C．203　　　　D．204 【解析】 3－1 A 举题说法 题型突破　能力进阶 视角2　和的性质 　　　　　(1) (2026·肇庆一模)(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a1＝10，S9＝18，则 (　　) A．a5＝0 B．S11＝0 C．当n＝5或n＝6时，Sn取最大值 D．Sn的最小值为0 【解析】 由an＝－2n＋12≥0，得n≤6，所以当n＝5或n＝6时，Sn取最大值，即S6＝S5，故C正确；由Sn＝－n2＋11n，知Sn无最小值，故D错误． 3－2 BC 举题说法 题型突破　能力进阶 a　　　　(2) (2025·保定三模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，S6－S3＝24，则S12－S9＝ (　　) A．36　　　　B．48　　　　C．60　　　　D．120 【解析】 　　　　由等差数列前n项和的性质，知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，故S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝36，则S12－S9＝2(S9－S6)－(S6－S3)＝48. 3－2 B 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 3－2 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　(4) 已知等差数列{an}共有2n＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为 (　　) A．30　　　　B．29　　　　C．28　　　　D．27 【解析】 3－2 B 举题说法 题型突破　能力进阶 1．(2025·南京期初)已知数列{an}为等差数列，前n项和为Sn.若S3＝6，S6＝3，则S9＝ (　　) A．－18　　　　B．－9　　　　　C．9　　　　D．18 【解析】 　　　　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 方法二：因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，即6，－3，S9－3成等差数列，所以－6＝6＋S9－3，解得S9＝－9. B 随堂内化 题型突破　能力进阶 1 2 3 2．(2025·茂名二模)(多选)在等差数列{an}中，a2＋a3＝－12，a5＋a7＝2.记数列{an}的前n项和为Sn，下列选项正确的是 (　　) A．数列{an}的公差为2 B．Sn取最小值时，n＝6 C．S4＝S7 D．数列{|an|}的前10项和为50 【解析】 随堂内化 题型突破　能力进阶 1 2 3 对于C，S4＝42－10×4＝－24，S7＝72－10×7＝－21，则S4≠S7，故C错误； 对于D，数列{|an|}的前10项和为|－9|＋|－7|＋|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＋7＋9＝50，故D正确． 【答案】AD 随堂内化 题型突破　能力进阶 1 2 3 【解析】 随堂内化 题型突破　能力进阶 1 2 3 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．(2025·合肥一检)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＋a6＝9，则S9＝ (　　) A．9　　　　B．18　　　　　C．27　　　　D．36 【解析】 C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 2．已知一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是 (　　) A．0.5，0.5　　　　B．0.5，1　　　　C．0.5，2　　　　D．1，0.5 【解析】 A 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 B 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 D 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 【答案】B 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【答案】ACD 当n≥2时，Sn－1＝－(n－1)2＋11(n－1)＝－n2＋13n－12，则an＝Sn－Sn－1＝－n2＋11n－(－n2＋13n－12)＝－2n＋12，又a1＝S1＝10，也符合上式，故an＝－2n＋12，故C正确； 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【答案】ABD 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 三、 填空题 8．(2025·潍坊二模)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4＝12，S8＝40，则S12＝_____． 【解析】 　　　　由等差数列前n项和的性质知S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，所以2(S8－S4)＝S4＋S12－S8，则S12＝2(S8－S4)－S4＋S8＝3(S8－S4)＝3×28＝84. 84 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 10．(2025·漳州三模)记等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝3a1＋6，a3n＋1＝3an＋1－2，则an＝________. 【解析】 　　　　设an＝An＋B，则3(A＋B)＋6＝3a1＋6＝S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝3(2A＋B)，得3A＋6＝6A，故A＝2，从而an＝2n＋B.由a3n＋1＝3an＋1－2，可知2(3n＋1)＋B＝3[2(n＋1)＋B]－2，即2＋B＝3(2＋B)－2，故B＝－1，所以an＝2n－1. 2n－1 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 四、 解答题 11．(2023·全国乙卷文)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1) 求{an}的通项公式； 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 11．(2023·全国乙卷文)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (2) 求数列{|an|}的前n项和Tn. 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 (1) 若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 (2) 若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 【答案】B 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 $