第3章 第16讲 导数与函数的单调性（PPT课件）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“导数与函数的单调性”核心考点，依据高考评价体系明确单调区间求法、含参函数单调性讨论、结合单调性求参数范围等考查要求，通过近五年真题分析归纳出含参分类讨论（占比45%）、参数恒成立问题（占比30%）等高频题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+分层突破+素养提升”策略，如以2025合肥一检含参函数题为例，示范导数因式分解后根的大小比较分类法，培养学生逻辑推理的数学思维和模型观念的数学语言。特设“易错警示”（如单调区间端点取舍）和“母题变式”训练，助力学生掌握分类标准与转化技巧，教师可依托此开展精准专题教学，提升复习效率。

第三章 一元函数的导数及其应用 第16讲　导数与函数的单调性 1 知识梳理　体系构建 1．(教材经典题改编)函数f(x)＝ex－x的单调递减区间为 (　　) A．(1，＋∞)　　　　 B．(0，＋∞) C．(－∞，0)　　　　 D．(－∞，1) 【解析】 　　　　f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝ex－1<0，得x<0，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，0). C 激活思维 知识梳理　体系构建 【解析】 　　　　由题设，f′(x)＝x2＋2mx＋n，由f(x)的单调递减区间是(－3，1)，得f′(x)<0的解集为(－3，1)，则－3，1是f′(x)＝0的解，所以－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3，可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2. A 激活思维 知识梳理　体系构建 3．(教材经典题改编)(多选)已知函数y＝f′(x)的图象如图所示，那么下列关于函数y＝f(x)的判断正确的是 (　　) A．在区间(0，a)上，f(x)为定值 B．函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增 C．函数y＝f(x)在区间(c，e)内单调递增 D．函数y＝f(x)在区间(b，d)内单调递减 激活思维 知识梳理　体系构建 【解析】 　　　　由图知，当0<x<a时，f′(x)>0且为定值；当a<x<c时，f′(x)单调递减，且当x∈(a，b)时，f′(x)>0，当x∈(b，c)时，f′(x)<0； 当c<x<e时，f′(x)单调递增，且当x∈(c，d)时，f′(x)<0，当x∈(d，e)时，f′(x)>0，所以当0<x<a时，f(x)单调递增且为斜率大于0的直线，当a<x<b时，f(x)单调递增，当b<x<c时，f(x)单调递减，当c<x<d时，f(x)单调递减，当d<x<e时，f(x)单调递增，其大致图象如图． 【答案】BD 激活思维 知识梳理　体系构建 4．(教材经典题改编)函数f(x)＝x3－x2－x的单调递增区间为__________________． 【解析】 激活思维 知识梳理　体系构建 5．若函数f(x)＝－x2＋4x＋b ln x在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是______________． 【解析】 (－∞，－2] 激活思维 知识梳理　体系构建 1．求可导函数f(x)单调区间的步骤： (1) 确定f(x)的_________； (2) 求导数f′(x)； (3) 在定义域内解不等式f′(x)_____0(或f′(x)_____0)，得函数f(x)的单调递增(减)区间； (4) 当____________时，f(x)在相应区间上是增函数，当____________时，f(x)在相应区间上是减函数． 定义域 >  <  f′(x)>0 f′(x)<0 聚焦知识 知识梳理　体系构建 2．常用结论 (1) f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件． (2) f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件． (3) 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 聚焦知识 知识梳理　体系构建 题型突破　能力进阶 目标 1 函数单调性的判断 视角1　不含参函数 　　　　　(1) 已知f(x)＝2x2－3x－ln x，则f(x)的单调递增区间为____________． 【解析】 (1，＋∞) 1－1 (1，＋∞) (－∞，0)和(0，1) 举题说法 题型突破　能力进阶 确定不含参函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意：一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“，”或“和”隔开． 总 结 提 炼 【解答】 举题说法 题型突破　能力进阶 视角2　含参函数 　　　　　(1) (2025·九江三模节选)已知函数f(x)＝ax2＋(1－2a)x－ln x，其中a<0，讨论f(x)的单调性． 【解答】 1－2 举题说法 题型突破　能力进阶 举题说法 题型突破　能力进阶 【解答】 1－2 举题说法 题型突破　能力进阶 x (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞) g(x) — 0 ＋ 0 — f(x) ↘ f(x1) ↗ f(x2) ↘ 举题说法 题型突破　能力进阶 (1) 研究含参函数的单调性，要根据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，如：开口方向、是否有解、解是否在定义域的取值范围内、解之间的大小关系等． (2) 划分函数的单调区间时，还要确定导数为0的点和函数的间断点． (3) 个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数． 总 结 提 炼 变式 1-2　(2026·深圳11月模拟节选)已知函数f(x)＝(x－1)eax(a≠0). (1) 当a＝1时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； 【解答】 　　　　当a＝1时，f(x)＝(x－1)ex，f(1)＝0，f′(x)＝xex，f′(1)＝e，故y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)，即ex－y－e＝0. 举题说法 题型突破　能力进阶 变式 1-2　(2026·深圳11月模拟节选)已知函数f(x)＝(x－1)eax(a≠0). (2) 讨论f(x)在(0，＋∞)上的单调性． 【解答】 　　　　f′(x)＝eax＋a(x－1)eax＝(ax＋1－a)·eax，由于x∈(0，＋∞)，若0<a≤1，则ax＋1－a>0，f′(x)＝(ax＋1－a)·eax>0恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 举题说法 题型突破　能力进阶 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 2 结合函数单调性确定参数 视角1　求参数取值范围 　　　　　(1) (2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为 (　　) A．e2　　　　B．e　　　　C．e-1　　　　D．e-2 【解析】 2－1 C 举题说法 题型突破　能力进阶 2－1 【解析】 (－1，＋∞) 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　(3) 若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是 (　　) A．(－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞) B．(－3，－1)∪(1，3) C．(－2，2) D．不存在这样的实数k 2－1 【解析】 　　　　由题意得f′(x)＝3x2－12＝0在(k－1，k＋1)上至少有一个实数根，又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2和x＝－2两侧异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，故只有2或－2在(k－1，k＋1)内，所以k－1<2<k＋1或k－1<－2<k＋1，所以1<k<3或－3<k<－1. B 举题说法 题型突破　能力进阶 由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的方法： (1) 可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0 (或f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立； (2) 可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集； (3) 若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围． 总 结 提 炼 【解析】 举题说法 题型突破　能力进阶 因为x2≥1，所以2a－1≤1，解得a≤1； 对于②，因为y＝ex-1在(－∞，1)上单调递增，所以t(x)＝aex-1在(－∞，1)上单调递增时，a>0； 【答案】C 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 2－2 举题说法 题型突破　能力进阶 【答案】C 举题说法 题型突破　能力进阶 变式 2-2　已知定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝x ln (x2＋3)，则满足f(5－a)<f(a＋1)的实数a的取值范围为 (　　) A．(1，＋∞)　　　B．(2，＋∞) 　　　C．(3，＋∞)　　　D．(4，＋∞) 【解析】 B 举题说法 题型突破　能力进阶 1．若函数f(x)＝2x2＋ax＋ln x在(0，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－4)　　B．(－∞，－4] 　　C．(－4，＋∞)　　D．[－4，＋∞) 【解析】 B 随堂内化 题型突破　能力进阶 1 2 3 2．(2025·晋城一模)若函数f(x)＝ax3－x2＋a在[－6，－4]上单调递减，则实数a的取值范围为 (　　) 【解析】 A 随堂内化 题型突破　能力进阶 1 2 3 【解答】 　　　　f′(x)＝e2x－(a＋2)ex＋2a＝(ex－2)·(ex－a).当a≤0时，ex－a>0，令f′(x)>0，得x>ln 2；令f′(x)<0，得x<ln 2，所以f(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln 2)上单调递减． 当a＝2时，f′(x)＝(ex－2)2≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．当a>2时，令f′(x)>0，得x>ln a或x<ln 2；令f′(x)<0，得ln 2<x<ln a，所以f(x)在(－∞，ln 2)，(ln a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，ln a)上单调递减． 随堂内化 题型突破　能力进阶 1 2 3 当0<a<2时，令f′(x)>0，得x>ln 2或x<ln a；令f′(x)<0，得ln a<x<ln 2，所以f(x)在(－∞，ln a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(ln a，ln 2)上单调递减． 综上，当a≤0时，f(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln 2)上单调递减；当0<a<2时，f(x)在(－∞，ln a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(ln a，ln 2)上单调递减；当a＝2时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>2时，f(x)在(－∞，ln 2)，(ln a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，ln a)上单调递减． 随堂内化 题型突破　能力进阶 1 2 3 配套精练 【解析】 D 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 2．(2026·辽宁期初)已知连续函数f(x)的导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)在[－2，2]上的图象，则 (　　) A．f(x)在[－1，0]上单调递减 B．f(x)在[0，1]上单调递减 C．f(x)在[－1，2]上单调递增 D．f(x)在[－2，0]上单调递增 【解析】 　　　　由图象可得当－2≤x<－1时，xf′(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)在[－2，－1)上单调递增；当－1<x<0时，xf′(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)在(－1，0)上单调递减， 当0<x<1时，xf′(x)>0，此时f′(x)>0，函数f(x)在(0，1)上单调递增，当1<x≤2时，xf′(x)>0，此时f′(x)>0，函数f(x)在(1，2]上单调递增． 又f′(－1)＝0，f′(0)＝0，f′(1)＝0，f(x)为连续函数，故B，C，D都错误，A正确． A 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 3．若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是 (　　) 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【答案】A 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 4．(2025·邵阳二模)已知函数f(x)＝3x3－sin x＋x，则满足f(x)＋f(4－3x)<0的x的取值范围是 (　　) A．(1，＋∞)　　　　 B．(－∞，1) C．(2，＋∞)　　　　 D．(－∞，2) 【解析】 　　　　f(x)＝3x3－sin x＋x，定义域为R，f(－x)＝－3x3＋sin x－x＝－f(x)，故f(x)为奇函数． 又f′(x)＝9x2－cos x＋1≥0，所以f(x)在R上单调递增，所以f(x)＋f(4－3x)<0，即f(x)<－f(4－3x)＝f(3x－4)，即x<3x－4，解得x>2，故x的取值范围是(2，＋∞). C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 由f′(x)<0，可得－1<x<2，由f′(x)>0，可得x<－1或x>2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(2，＋∞)，单调递减区间为(－1，2). 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 若函数f(x)在(m－1，m＋3)上单调递增，则(m－1，m＋3)⊆(－∞，－1)或(m－1，m＋3)⊆(2，＋∞)，即m＋3≤－1或m－1≥2，解得m≤－4或m≥3. 【答案】ACD 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【答案】AC 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 三、 填空题 7．已知函数f(x)＝cos x＋x sin x，x∈(－π，π)，那么f(x)的单调递增区间为 _____________________，单调递减区间为________________． 【解析】 　　　　函数f(x)＝cos x＋x sin x，x∈(－π，π)，求导得f′(x)＝－sin x＋sin x＋x cos x＝x cos x． 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 (－∞，－2)∪(0，＋∞) 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 9．已知f(x)＝x2－mx，g(x)＝(x＋m)ex，两个函数图象至少有一个在区间(－1，2)上不单调，则实数m的取值范围是___________． 【解析】 由函数g(x)＝(x＋m)·ex，可得g′(x)＝(x＋m＋1)ex，若g(x)在(－1，2)上不单调，则满足－1<－m－1<2，解得－3<m<0. 由两个函数图象至少有一个在区间(－1，2)上不单调，则有－2<m<4或－3<m<0，可得－3<m<4，所以实数m的取值范围为(－3，4). (－3，4) 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 11．(2025·泉州三检节选)设函数f(x)＝ex+1－x2－kx. (1) 当k＝0时，求曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程； 【解答】 　　　　当k＝0时，f(x)＝ex+1－x2，则f′(x)＝ex+1－2x，则曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线斜率为f′(－1)＝3，又f(－1)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为y＝3x＋3. 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 11．(2025·泉州三检节选)设函数f(x)＝ex+1－x2－kx. (2) 若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数k的取值范围． 【解答】 　　　　f′(x)＝ex+1－2x－k，由题意得，当x∈[－1，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立．令F(x)＝f′(x)，则F′(x)＝ex+1－2，且F′(x)在[－1，＋∞)上单调递增． 令F′(x)＝0，解得x＝ln 2－1>－1，所以当x∈(－1，ln 2－1)时，F′(x)<0，故F(x)单调递减； 当x∈(ln 2－1，＋∞)时，F′(x)>0，故F(x)单调递增，所以F(x)min＝F(ln 2－1)＝4－2ln 2－k. 又f′(x)≥0恒成立，所以F(x)min≥0，故k≤4－2ln 2，即实数k的取值范围是(－∞，4－2ln 2]. 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 B组　滚动小练 12．(2026·无锡期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝10x，则f(lg 3)＝ (　　) 【解析】 C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 13．(2026·肇庆一模)已知f(x)＝ex－e－x，若f(x＋1)＋f(x－1)>0，则x的取值范围是 (　　) A．(0，＋∞)　　　　 B．(1，＋∞) C．(－1，＋∞)　　　　 D．(－∞，0)∪(0，＋∞) 【解析】 　　　　函数f(x)＝ex－e－x的定义域为R，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数．而函数y＝ex，y＝－e－x在R上都单调递增，则函数f(x)在R上单调递增，不等式f(x＋1)＋f(x－1)>0，即f(x＋1)>－f(x－1)＝f(－x＋1)，则x＋1>－x＋1，解得x>0，所以x的取值范围是(0，＋∞). A 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 14．(2026·杭州一模)《算经十书》是中国古代数学典籍的合集．书中记载(用现代文表达)：今有牛、羊、猪各数头(各有至少1头)，已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3倍多于猪、羊数量之和，则牛、羊、猪的总头数至少为(　　) A．12　　　　B．15　　　　C．18　　　　D．21 【解析】 B 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 $