第3章 第15讲 导数的几何意义和四则运算（PPT课件）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“导数的几何意义和四则运算”核心考点，依据高考评价体系梳理导数定义、几何意义、运算公式等考查要求，通过近五年真题分析明确切线方程（占比45%）、导数运算（30%）等高频考点，归纳定义应用、切线求解、距离最值等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+变式训练+素养提升”策略，如以2024全国甲卷切线与坐标轴面积题为例，详解“求导—求斜率—算交点”步骤，培养数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言（模型观念）。特设易错点警示（如“在某点”与“过某点”切线区别），帮助学生掌握解题技巧，教师可据此高效组织复习，提升备考效率。

第三章 一元函数的导数及其应用 第15讲　导数的几何意义和四则运算 1 知识梳理　体系构建 1．(教材经典题)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 (　　) A．f′(1)>f′(2)>f′(3)>0 B．f′(1)<f′(2)<f′(3)<0 C．0<f′(1)<f′(2)<f′(3) D．f′(1)>f′(2)>0>f′(3) 【解析】 　　　　由图象可知函数f(x)是单调递增的，所以f′(1)，f′(2)，f′(3)均为正．从图中还可以看出函数f(x)切线的斜率是随着自变量x的增大而逐渐减小的，因此该函数的导函数单调递减，所以有f′(1)>f′(2)>f′(3)>0. A 激活思维 知识梳理　体系构建 【解析】 　　　　对于A，因为y＝x5，所以y′＝5x4，所以在x＝3处的导数为5×34＝405，故A正确； 激活思维 知识梳理　体系构建 对于C，因为y＝sin x，所以y′＝cos x，所以在x＝2π处的导数为cos 2π＝1，故C错误； 对于D，因为y＝ex，所以y′＝ex，所以在x＝0处的导数为e0＝1，故D正确． 【答案】AD 激活思维 知识梳理　体系构建 【解析】 B 激活思维 知识梳理　体系构建 【解析】 150 激活思维 知识梳理　体系构建 【解析】 激活思维 知识梳理　体系构建 聚焦知识 知识梳理　体系构建 2．几何意义 (1) “在”点P(x0，f(x0))处的切线方程是____________________． (2) “过”点(x1，y1)的切线：①设切点(x0，y0)；②求切线方程；③列方程组：切点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，即y0＝f(x0)；切点在切线y－y1＝f′(x0)(x－x1)上；④解方程组，得x0，求切线方程． 3．物理意义 若物体的位移函数为y＝s(t)，则瞬时速度v＝_______，加速度a＝_______． y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) s′(t) s″(t) 聚焦知识 知识梳理　体系构建 4．运算 (1) 基本公式 ①C′＝0；②(xn)′＝_________； ③(sin x)′＝________；④(cos x)′＝__________； ⑤(ax)′＝_________；⑥(ex)′＝_____； ⑦(logax)′＝_______；⑧(ln x)′＝_____． nxn-1 cos x －sin x axln a ex 聚焦知识 知识梳理　体系构建 f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) f′(g(x))·g′(x) 聚焦知识 知识梳理　体系构建 题型突破　能力进阶 目标 1 导数的运算 视角1　导数的定义 　　　　　(1) 下列命题正确的是 (　　) 1－1 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 对于B，导数的几何意义是函数在某一点处的切线的斜率，反映函数的变化快慢，应该是函数的导数的绝对值越小，说明函数在某点处切线斜率的绝对值越小，即函数的变化越慢，函数的图象就越平缓，故B错误； 举题说法 题型突破　能力进阶 【答案】A 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 1－1 D 举题说法 题型突破　能力进阶 视角2　导数的运算 　　　　　 (1) (教材经典题)求下列函数的导数． ①y＝2x＋log2x； 【解答】 1－2 【解答】 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　 (1) (教材经典题)求下列函数的导数． ③y＝(3x＋1)2ln (3x)； 【解答】 1－2 ④y＝3xe-3x. 【解答】 　　　　y′＝(3x)′e-3x＋3x(e-3x)′＝3xe-3xln 3－3x+1e-3x. 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 1－2 C 举题说法 题型突破　能力进阶 (1) 求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2) 抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3) 复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 总 结 提 炼 变式 1-2　(1) (2026·镇江期初)(多选)下列求导结果正确的有 (　　) 【解析】 BD 举题说法 题型突破　能力进阶 变式 1-2　(2) (2026·周口期初)若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)＝ (　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 【解析】 　　　　令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，因为f(1)＝1，所以g(1)＝0.因为f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，所以f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，所以f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2. B 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 2 导数的几何意义 视角1　在某点处的切线 【解析】 2－1 A 举题说法 题型突破　能力进阶 变式 2-1　(1) (2025·湛江二模)已知函数f(x)＝ex＋2x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 (　　) A．y＝2x＋1　　　　B．y＝3x＋1　　　　C．y＝2x　　　　D．y＝3x 【解析】 　　　　由f(x)＝ex＋2x，得f′(x)＝ex＋2，则f(0)＝1，f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝3x＋1. B 举题说法 题型突破　能力进阶 变式 2-1　(2) (2026·南通如东期初)若直线y＝2x－4是曲线y＝ln x＋x＋a的切线，则实数a的值是______． 【解析】 －3 举题说法 题型突破　能力进阶 视角2　过某点的切线 【解析】 2－2 y＝4x－4或y＝x＋2 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　(2) (2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_________________________. 【解析】 2－2 (－∞，－4)∪(0，＋∞) 举题说法 题型突破　能力进阶 变式 2-2　(1) (2026·青岛10月调研)写出过坐标原点且与曲线y＝e|2x|相切的一条直线方程：_____________________． 【解析】 因为y＝e|2x|为偶函数，所以它的图象关于y轴对称，则它的过原点的切线也关于y轴对称，所以它的另一条切线方程为y＝－2ex. y＝2ex(或y＝－2ex) 举题说法 题型突破　能力进阶 变式 2-2　(2) 已知过点A(a，0)作曲线y＝(2－x)·ex-1的切线有且仅有1条，则a的值为 (　　) A．－2或2　　　　B．－1或3　　　　C．3　　　　D．－2 【解析】 A 举题说法 题型突破　能力进阶 (1) 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． (2) 处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的关系列出有关参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． 总 结 提 炼 目标 3 导数几何意义的应用 3 【解析】 举题说法 题型突破　能力进阶 举题说法 题型突破　能力进阶 距离最值转化问题解题技巧 (1) 将距离问题转化为平行切线问题； (2) 求与给定直线平行且与曲线相切的直线； (3) 计算两平行线间距离． 总 结 提 炼 变式3　若点P是曲线y＝ln x－x2上任意一点，则点P到直线l：x＋y－4＝0距离的最小值为 (　　) 【解析】 C 举题说法 题型突破　能力进阶 1．(2024·全国甲卷文)曲线f(x)＝x6＋3x－1在点(0，－1)处的切线与坐标轴围成的面积为 (　　) 【解析】 A 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 【解析】 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 【解析】 y＝－ln 2·(x－1) 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 4．过点(－1，0)作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线的方程： _____________________________． 【解析】 2x－y＋2＝0(或x＋4y＋1＝0) 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 配套精练 A．f(x)在x＝1＋Δx处的导数 B．f(x)在x＝1处的导数 C．f(x)在[1，1＋x]上的平均变化率 D．f(x)在[1－x，1]上的平均变化率 C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 3．(2026·如东期初)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(ex)＝x＋1，则f′(e)＝ (　　) 【解析】 D 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 A 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 D 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 A 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 7．(2025·清远二模)设曲线y＝e(n+1)x(n∈N*)在(1，en+1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 025x1＋log2 025x2＋log2 025x3＋…＋log2 025x2 024的值为 (　　) A．－1　　　　 B．－log2 0252 024 C．log2 0252 024－1　　　　 D．1 【解析】 A 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 8．(2025·佛山一模)若直线y＝x＋a与曲线y＝ln (x＋b)相切，则a2＋b2的最小值为 (　　) 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【答案】A 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 二、 多项选择题 9．(2025·镇江期初)下列求导运算正确的是 (　　) 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【答案】CD 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【答案】AC 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 11．若函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t，则称函数y＝f(x)为“t型函数”．下列函数中为“2型函数”的有 (　　) A．y＝x－x3　　　　 B．y＝x＋ex C．y＝sin x　　　　 D．y＝x＋cos x 【解析】 对于B，y＝x＋ex的导数为y′＝1＋ex，可得函数图象上在任意两点处的切线的斜率之和大于2，故B不是“2型函数”； 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 对于C，y′＝cos x，由cos x1＋cos x2＝2，得cos x1＝cos x2＝1，可取x1＝0，x2＝2π，故C是“2型函数”； 对于D，y＝x＋cos x的导数为y′＝1－sin x，若1－sin x1＋1－sin x2＝2，即sin x1＝ －sin x2，此时有无数多个解，故D是“2型函数”． 【答案】CD 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 三、 填空题 12．(2025·新高考Ⅰ卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，则实数a＝__． 【解析】 　　　　方法一：对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1，因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，直线的斜率为2，所以令y′＝ex＋1＝2，即ex＝1，解得x＝0，将x＝0代入切线方程y＝2x＋5，可得y＝2×0＋5＝5，所以切点坐标为(0，5). 因为切点(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上，所以5＝e0＋0＋a，即5＝1＋a，解得a＝4. 4 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 13．(2025·芜湖期末)若过点(2，t)可以作曲线y＝ln x的两条切线，则实数t的取值范围是_______________． 【解析】 (ln 2，＋∞) 不妨设g(x)＝(t＋1)x－x ln x－2(x>0)，则g′(x)＝t－ln x．当0<x<et时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x>et时，g′(x)<0，g(x)单调递减． 故g(x)max＝g(et)＝et－2，则et－2>0，即t>ln 2，所以实数t的取值范围为(ln 2，＋∞). 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 【解析】 x－ey＝0 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 $