第2章 微专题1 函数的对称性（PPT课件）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的对称性”专题，覆盖轴对称、中心对称及对称性与周期性综合应用等高考核心考点，依据高考评价体系分析近五年真题，明确对称性问题在函数考查中的高频权重，归纳出利用对称性质求解析式、解不等式、求参数等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“结论提炼+真题解析+变式训练”的三阶备考策略，如通过总结f(a+x)=f(b-x)对称轴公式培养数学思维，以2021新高考Ⅱ卷真题为例解析对称性与周期性推导，帮助学生掌握对称点转化技巧。教师可依托此课件系统开展专题复习，提升学生解题效率与得分率。

第二章 微专题1　函数的对称性 基本初等函数 1 视角 1 轴对称 探究1　一个函数的自对称 　　　　　已知函数f(x－1)为偶函数，且函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，则关于x的不等式f(1－2x)<f(－7)的解集为 (　　) A．(－∞，3)　　　　 B．(3，＋∞) C．(－∞，2)　　　　 D．(2，＋∞) 【解析】 　　　　因为f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)的图象关于y轴对称，则f(x)的图象关于直线x＝－1对称． 因为f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，－1]上单调递减．因为f(1－2x)<f(－7)＝f(5)，所以－7<1－2x<5，解得x<3. A 1－1 推论：(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且满足条件：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2) 若函数y＝f(x)的定义域为R，且满足条件：f(x)＝f(2a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (3) 若函数y＝f(x)的定义域为R，且满足条件：f(a＋x)＝f(a－x)，方程f(x)＝0有n个根，则此n个根的和为na； (4) 函数f(x＋a)是偶函数⇔f(x)关于x＝a对称． 总 结 提 炼 变式 1-1　(2025·秦皇岛一模)若函数f(x)＝(x2－2x)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则a＋b＝_____，f(x)的最小值为_______． 【解析】 因为f(－4－x)＝(－x－4)(－x－6)(－x)(－x＋2)＝x(x－2)·(x＋4)(x＋6)＝f(x)，所以函数f(x)＝x(x－2)(x＋4)(x＋6)的图象关于直线x＝－2对称，则a＋b＝34. 因为f(x)＝(x2＋4x)(x2＋4x－12)，令t＝x2＋4x＝(x＋2)2－4≥－4，则f(x)＝h(t)＝t(t－12)＝t2－12t＝(t－6)2－36，所以h(t)min＝h(6)＝－36，故f(x)min＝－36. 34 －36 探究2　两个函数的互对称 　　　　　下列函数中，其图象与函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的是 (　　) A．y＝log2(2＋x)　　　　 B．y＝log2(2－x) C．y＝log2(4＋x)　　　　 D．y＝log2(4－x) 【解析】 　　　　设所求函数图象上的任意一点P(x，y)，点P关于x＝2对称的点为Q(4－x，y). 由题意知点Q在y＝log2x的图象上，可得y＝log2(4－x)，即函数y＝log2x关于x＝2对称的函数解析式为y＝log2(4－x). D 1－2 总 结 提 炼 变式 1-2　若函数y＝f(1－x)的图象与函数y＝f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，则m＝ (　　) 【解析】 D 视角 2 中心对称 　　　(1) 若函数f(x)＝x3＋ax2－x－1(a∈R)的图象关于点(－1，f(－1))中心对称，则实数a的值为____． 2 【解析】 　　　　由函数f(x)的图象关于点(－1，f(－1))中心对称，得f(－1＋x)＋f(－1－x)＝2f(－1). 因为f(－1＋x)＋f(－1－x)＝(－1＋x)3＋a(－1＋x)2－(－1＋x)－1＋(－1－x)3＋a(－1－x)2－(－1－x)－1＝(2a－6)·x2＋2a－2，2f(－1)＝2(a－1)，于是(2a－6)x2＋2a－2＝2(a－1)，则2a－6＝0，解得a＝3. 3 【解析】 2 10 总 结 提 炼 【解析】 C 视角 3 中心对称与轴对称的应用 　　　(1) (2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则 (　　) 3 【解析】 　　　　由函数f(x＋2)为偶函数，可得f(2＋x)＝f(2－x).由函数f(2x＋1)为奇函数，可得f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(2－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数． 因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，所以F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝f(3)＝－f(1)＝0，故B正确，其他三个选项不确定． B 【解析】 3 A (1) 如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同). (2) 如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a<b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a). (3) 如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|. 总 结 提 炼 变式3　(2025·石家庄三模)(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x＋1)是定义在R上的奇函数，则 (　　) A．f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 B．f(x)是周期为2的函数 C．f(2 027)＝0 【解析】 　　　　对于A，因为y＝f(x＋1)是R上的奇函数，其图象关于原点对称，且y＝f(x＋1)可看成是函数y＝f(x)向左平移1个单位长度得到，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，故A正确； 对于B，由y＝f(x＋1)是R上的奇函数，可得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x)＝－f(x＋2)，又f(－x)＝f(x)，则f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期为4的函数，故B错误； 对于C，由f(－x)＝－f(x＋2)，令x＝－1，得f(1)＝－f(1)，则f(1)＝0，所以f(2 027)＝f(506×4＋3)＝f(3)＝f(－1)＝f(1)＝0，故C正确； 【答案】AC 配套精练 1．(2018·全国 Ⅱ 卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝ (　　) A．－50　　　　B．0　　　　C．2　　　　D．50 【解析】 　　　　由题知f(x＋4)＝f(－2－x)＝－f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，所以f(x)的周期为4. 因为f(1)＝2，f(2)＝0，f(3)＝－2，f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2. C 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 【解析】 　　　　由题意知f(1＋x)＝f(1－x)，则f[1＋(x－1)]＝f[1－(x－1)]，即f(x)＝f(2－x)， B 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 【解析】 　　　　因为f(x＋1)为奇函数，所以f(x＋1)＝－f(－x＋1).因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2). 由f(x＋1)＝－f(－x＋1)，得f(x＋2)＝－f(－x)＝f(－x＋2)，即－f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4. 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 【答案】D 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 4．(2025·芜湖期末)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)－1为奇函数，y＝f(x＋1)为偶函数，若f(2 025)＝2，则f(3)＝ (　　) A．1　　　　B．－1　　　　C．0　　　　D．－3 【解析】 　　　　由y＝f(x)－1为奇函数，得f(－x)＋f(x)＝2.由y＝f(x＋1)为偶函数，得f(1－x)＝f(1＋x)⇒f(x)＝f(2－x)，所以f(－x)＋f(2－x)＝2，即f(x)＋f(2＋x)＝2，f(x＋2)＋f(x＋4)＝2，所以f(x＋4)＝f(x)，函数f(x)的周期为T＝4，所以f(2 025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝2.又f(1)＋f(3)＝2，所以f(3)＝0. C 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 【解析】 　　　　因为m，n是关于x的方程x2－4x＋t2－5＝0的两个不等的实根，所以Δ＝16－4(t2－5)>0，解得－3<t<3，且m＋n＝4. 由f(x＋4)＋f(－x)＝0，x∈R，得函数f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，则f(m)＋f(n)＝0，且f(2)＝0. 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 【答案】D 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 二、 多项选择题 6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＋f(1－x)＝0，且f(x)不是常函数，则下列说法中正确的有 (　　) A．若2为f(x)的周期，则f(x)为奇函数 B．若f(x)为奇函数，则2为f(x)的周期 C．若4为f(x)的周期，则f(x)为偶函数 D．若f(x)为偶函数，则4为f(x)的周期 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 【解析】 　　　　对于A，若2是f(x)的周期，则f(x＋2)＝f(x)，由f(1＋x)＋f(1－x)＝0，可得f(2＋x)＝f(1＋x＋1)＝－f(1－x－1)＝－f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确； 对于B，若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，由f(1＋x)＋f(1－x)＝0，可得f(2＋x)＝f(1＋x＋1)＝－f(1－x－1)＝－f(－x)＝f(x)，所以2是f(x)的周期，故B正确； 若4是f(x)的周期，设f(x)＝sin πx，则f(1＋x)＋f(1－x)＝sin (π＋πx)＋sin (π－πx)＝0，该函数的最小正周期为2，故4为该函数的周期，但该函数为奇函数，故C不正确； 对于D，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，由f(1－x)＝f(x－1)，可得f(x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x)＝－f(x＋2)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以4是f(x)的周期，故D正确． 【答案】ABD 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 【解析】 　　　　由f(x)为奇函数，知函数f(x)的图象关于点(0，0)中心对称，又f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)的图象关于x＝1对称，所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)为周期函数且周期为T＝4，故B正确． 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 f(3)＝f(－1)＝1，故A正确．f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，故C错误． 【答案】ABD 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 8．(2026·黄冈期初)已知定义在R上的函数f(x)和g(x)，若f(x＋2)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x＋1)＋g(3－x)＝4，则 (　　) A．g(2)＝2 B．f(6)＝0 C．f(x)的图象关于x＝4对称 D．8为g(x)的一个周期 【解析】 　　　　对于A，由f(x＋2)为奇函数，得f(x＋2)＝－f(－x＋2)，故f(x＋1)＝－f(－x＋3)，由f(x＋1)＋g(3－x)＝4，得－f(－x＋3)＋g(3－x)＝4，且有f(－x＋2＋1)＋g(3＋x－2)＝4，即f(－x＋3)＋g(1＋x)＝4，则g(3－x)＋g(1＋x)＝8，令x＝1，则2g(2)＝8，即g(2)＝4，故A错误； 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 对于B，由g(x)为偶函数，得g(x)＝g(－x)，由f(x＋1)＋g(3－x)＝4，得f(x＋4)＋g(－x)＝4，f(4－x)＋g(x)＝4，故f(x＋4)＋g(－x)－f(4－x)－g(x)＝4－4＝0，又g(x)＝g(－x)，所以f(x＋4)＝f(4－x)，则f(x＋2)＝f(6－x)，则f(2)＝f(6)，由f(x＋2)＝－f(－x＋2)，得f(2)＝－f(2)，故f(2)＝0，f(6)＝0，故B正确； 对于C，由f(x＋4)＝f(4－x)，得f(x)的图象关于x＝4对称，故C正确； 对于D，由g(3－x)＋g(1＋x)＝8，得g(－x)＋g(4＋x)＝8，又g(x)＝g(－x)，则g(x)＋g(4＋x)＝8，g(x－4)＋g(x)＝8，则g(x)＋g(4＋x)＝g(x－4)＋g(x)，即g(4＋x)＝g(x－4)，即8为g(x)的一个周期，故D正确． 【答案】BCD 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 【解析】 　　　　对于A，令x＝y＝0，则2f(0)＝f2(0)，解得f(0)＝0或f(0)＝2.若f(0)＝0，令y＝0，则f(x)＋f(x)＝2f(x)＝f(x)f(0)＝0，这与f(1)＝1矛盾，所以f(0)＝2，故A错误． 对于B，令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝f(0)f(y)＝2f(y)，即f(－y)＝f(y)，可知f(x)是偶函数，故B正确． 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 对于C，令y＝1，则f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)①，用x＋1代替上式中的x，则f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)②，联立①②可得f(x＋2)＝－f(x－1)，再次用x＋1代替x，得f(x＋3)＝－f(x)，用x＋3代替上式的x，则f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以6是f(x)的一个周期，故C正确． 【答案】BCD 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 三、 填空题 10．已知函数f(x)＝(x＋3)(2x2＋mx＋n)，若∀x∈R，f(2－x)＋f(x)＝0，则2m＋n＝_______． 【解析】 　　　　由∀x∈R，f(2－x)＋f(x)＝0，得函数f(x)图象的对称中心为(1，0)，显然f(－3)＝0，则f(5)＝0，于是f(x)＝2(x＋3)(x－1)(x－5)＝(x＋3)(2x2－12x＋10)，因此m＝－12，n＝10，所以2m＋n＝－24＋10＝－14. －14 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 11．(2025·湛江期末)已知函数f(x)满足f(x－2)＋f(－x)＝0，且f(x＋1)是奇函数，若f(2)＝3，则f(9)＋f(10)＝____． 【解析】 　　　　因为f(x＋1)是奇函数，所以f(1)＝0，f(x＋1)＝－f(－x＋1)，所以f(x＋2)＝ －f(－x). 因为f(x－2)＋f(－x)＝0，所以f(x－2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，即f(x)是周期为4的周期函数，则f(9)＋f(10)＝f(1)＋f(2)＝3. 3 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 【解析】 1 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 【解析】 　　　　因为f(－1－x)＝－f(－1＋x)，所以f(－2－x)＝－f(x)，又f(3＋x)＝f(1－x)，所以f(4－x)＝f(x)，所以f(－2－x)＝－f(4－x)，所以f(x－6)＝－f(x)，所以f(x－12)＝－f(x－6)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是12. 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 14．已知a3－3a2＋5a＝1，b3－3b2＋5b＝5，那么a＋b＝____． 【解析】 　　　　由题意知a3－3a2＋5a－3＝－2，b3－3b2＋5b－3＝2，设f(x)＝x3－3x2＋5x－3，则f(a)＝－2，f(b)＝2.因为f(x)图象的对称中心为(1，0)，所以a＋b＝2. 2 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 $